Vizualizare sursă pentru „Teorema Kronecker-Capelli”

În [[algebra liniară]], '''teorema Kronecker-Capelli''', sau '''criteriul rangului''', indică existența și/sau unicitatea soluțiilor unui [[sistem de ecuații]]. 

Deoarece în practică se folosește de fapt eliminarea Gauss–Jordan pentru obținerea soluției sistemului (este mai ușor din punct de vedere al efortului de calcul să fie găsite direct soluțiile, fără a calcula toți [[determinant (matematică)|determinanții]] minorilor), acest criteriu interesează mai mult din punct de vedere didactic și este cunoscut sub mai multe nume: Kronecker-Capelli, Rouché-Capelli, sau Rouché-Frobenius.

== Enunț ==
Pe scurt, un sistem de ecuații liniare 

:<math>
\left\{
\begin{matrix} 
a_{1,1}x_1 + a_{1,2}x_2 +\cdots + a_{1,n}x_n = b_1\\
a_{2,1}x_1 + a_{2,2}x_2 +\cdots + a_{2,n}x_n = b_2\\
\vdots\\
a_{m,1}x_1 + a_{m,2}x_2 +\cdots + a_{m,n}x_n = b_m\\
\end{matrix}
\right.</math>
admite soluție (soluții) [[dacă și numai dacă]] rangul matricii sistemului este egal cu rangul [[matrice extinsă|matricei extinse]].

== Exemplu ==
Să presupunem că după eliminarea Gauss-Jordan, a rămas următoarea situație :
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & * & 0 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & * & * & 0 & * & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & * & * & 0 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & * & 0 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 
\end{pmatrix}
</math>
Atunci rangul matricii este 4 (numărul de linii nenule), iar rangul matricii extinse este 5.
În linia a cincea putem constata o egalitate 0 = 1, ceea ce face ca sistemul să fie incompatibil.

== Bibliografie ==
* Ion D. Ion, Nicolae Radu, ''Algebra'', ediția a III-a revizuită și completată, Editura didactică și pedagogică, București, 1981
* Pierre Leroux, ''Algèbre Linéaire, une approche matricielle'', Modulo Éditeur, Mont-Royal (Québec), 1983 

[[Categorie:Algebră liniară]]