Vizualizare sursă pentru „Teorema împărțirii cu rest”

{{referințe|date=octombrie 2010}}
În [[algebră]], '''teorema împărțirii cu rest''' exprimă algoritmul procesului de împărțire între două numere la care se obține un rezultat întreg și un rest neîntreg.

==Enunțul teoremei==
Fie ''a'' (deîmpărțit) și ''b'' (împărțitor) două [[număr întreg|numere întregi]], cu condiția ca b să fie nenul. Există și sunt unice numerele întregi q (câtul) și ''r'' ([[rest (matematică)|restul împărțirii]]), astfel încât să fie satisfăcute simultan condițiile:

* <math> a = b \cdot q + r </math>
* <math> r < |b| </math>

==Demonstrație==
Demonstrația teoremei conține două părți: prima, demonstrația existenței lui ''q'' și ''r'', a doua, demonstrația unicității lui ''q'' și ''r''.

===Existența câtului și restului===
Se consideră mulțimea 
:<math>S = \left\{a - nd : a,d,n \in \mathbb{Z}, d\neq0 \right\}.</math>

Se poate demonstra că mulțimea ''S'' conține cel puțin un element întreg nenegativ. Sunt două cazuri care trebuie luate în considerare.
*Dacă ''a'' este nenegativ, atunci se alege ''n'' = ''0''.
*Dacă ''a'' este negativ, atunci se alege ''n'' = ''a''.
În ambele cazuri, ''a - nd'' este nenegativ, de unde rezultă ca ''S'' conține întotdeauna cel puțin un întreg nenegativ. Se deduce că ''S'' conține un ''cel mai mic'' întreg nenegativ ''r''. Prin definiție, ''r = a - nd'' pentru un anumit ''n''.  Fie ''q'' acest ''n''. Atunci, ecuația devine ''a = qd + r''.

Rămâne de demonstrat că 0 ≤ ''r'' < |''d''|. Prima inegalitate este adevărată ca urmare a alegerii lui ''r'' ca întreg ''nenegativ''. Pentru a doua inegalitate (strictă), se presupune că ''r'' ≥ |''d''|. Pentru că ''d'' ≠ 0, ''r'' > 0, și ''d'' > 0 sau ''d'' < 0.

*Dacă ''d'' > 0, atunci ''r'' ≥ ''d'' implică ''a''-''qd'' ≥ ''d''.  Ceea ce implică ''a''-''qd''-''d'' ≥0, implicând că ''a''-(''q''+1)''d'' ≥ 0.  Deci, ''a''-(''q''+1)''d'' is in ''S'' și, deoarece ''a''-(''q''+1)''d''=''r''-''d'' cu ''d''>0 știm ''a''-(''q''+1)''d''<''r'', contrazice ipoteza că ''r'' a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui ''S''.

*Dacă ''d''<0 atunci ''r'' ≥ -''d'' implică ''a''-''qd'' ≥ -''d''.  Aceasta implică ''a''-''qd''+''d'' ≥0, implicând că ''a''-(''q''-1)''d'' ≥ 0.  Deci, ''a''-(''q''-1)''d'' este în ''S'' și, deoarece ''a''-(''q''-1)''d''=''r''+''d'' cu ''d''<0 știm că ''a''-(''q''-1)''d''<''r'', contrazice ipoteza că ''r'' a fost elementul cel mai mic întreg nenegativ al lui ''S''.

În ambele cazuri, am demonstrat că ''r'' > 0 nu este cel mai mic întreg nenegativ al lui ''S'', ceea ce este o contradicție, deci trebuie să avem ''r'' < |''d''|. Aceasta demonstrează complet existența lui ''q'' și ''r''.

===Unicitatea===
Presupunem că există ''q'', ''q' '', ''r'', ''r' '' cu 0 ≤ ''r'', ''r' '' < ''|d|'' qstfel încât ''a'' = ''dq'' + ''r'' și ''a'' = ''dq' '' + ''r' ''. Putem considera, fără a reduce generalitatea demonstrației, ''q'' ≤ ''q' ''.

Scăzând cele două ecuații rezultă: ''d''(''q' ''- ''q'') = (''r'' - ''r' ''). 

Dacă ''d'' > 0, atunci ''r' '' ≤ ''r'' și ''r'' < ''d'' ≤ ''d''+''r' '', deci (''r''-''r' '') < ''d''. Similar, dacă ''d'' < 0, atunci ''r'' ≤ ''r' ''        și ''r' ''< -''d'' ≤ -''d''+''r'', deci -(''r''- ''r' '') < -''d''.  Combinând cele două ecuații |''r''- ''r' ''| < |''d''|. 

Ecuația inițială implică: |''d''| divide |''r''- ''r' ''|; deci sau |''d''| ≤ |''r''- '''r' ''| sau |''r''- ''r' ''|=0. Deoarece am stabilit că |''r''-''r' ''| < |''d''|, putem concluziona că prima variantă nu poate fi adevarată. Deci, ''r''=''r' ''. 

Înlocuind în cele două ecuații inițiale rezultă ''dq'' = ''dq' '' și, deoarece ''d'' nu este 0, trebuie să avem ''q'' = ''q' '' ceea ce demonstrează unicitatea.

==Bibliografie==
* {{citation|first=John B.|last=Fraleigh|title=A First Course in Abstract Algebra|edition=5th|year=1993|publisher=Addison-Wesley|isbn=978-0-201-53467-2}}
* {{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=A First Course in Abstract Algebra with Applications|edition=3rd|year=2006|publisher=Prentice-Hall|isbn=978-0-13-186267-8}}


[[Categorie:Aritmetică]]
[[Categorie:Împărțire (matematică)]]
[[Categorie:Teoreme în teoria numerelor|IÎmpaărtțirea cu rest]]