Vizualizare sursă pentru „Suma cifrelor”

[[Fișier:Quersumme.png|miniatura|Suma cifrelor numerelor de la 1 la 10000]]
În [[matematică]], '''suma cifrelor''' unui [[număr natural]] într-o anumită [[bază de numerație]] este [[sumă|suma]] tuturor [[cifră|cifrelor]] sale. De exemplu, suma cifrelor [[număr zecimal |numărului zecimal]] <math>9045</math> este <math>9+4+5=18</math>.

== Definiție ==
Fie <math>n</math> un număr natural. Se definește ''suma cifrelor'' în baza <math>b > 1</math> <math>F_{b} : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}</math> în modul următor:
:<math>F_{b}(n) = \sum_{i=0}^{k - 1} d_i</math>
unde <math>k = \lfloor \log_{b}{n} \rfloor + 1</math> este numărul cifrelor lui <math>n</math> în baza <math>b</math>, iar
:<math>d_i = \frac{n \bmod{b^{i+1}} - n \bmod b^i}{b^i}</math> 
este valoarea fiecărei cifre a numărului. 

De exemplu, în baza 10 suma cifrelor numărului 84001 este <math>F_{10}(84001) = 8 + 4 + 0 + 0 + 1 = 13</math>.

pentru oricare două baze <math>2 \leq b_1 < b_2</math> și pentru numere naturale <math>n</math> suficient de mari,<ref name=lebush>{{en icon}} {{citation|doi=10.2307/2304217|first=L. E.|last=Bush|title=An asymptotic formula for the average sum of the digits of integers|journal=American Mathematical Monthly|year=1940|volume=47|issue=3|pages=154–156|publisher=[[Mathematical Association of America]]|jstor=2304217}}.</ref>
:<math>\sum_{k=0}^n F_{b_1}(k) < \sum_{k=0}^n F_{b_2}(k)</math>.

În [[baza 10]] suma cifrelor numerelor întregi 0, 1, 2, ... este cea de la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.<ref>{{OEIS|A007953}}</ref> {{harvtxt|Borwein|Borwein|1992}} folosește o [[funcție generatoare]] a acestui șir de întregi (și a șirului analog pentru sumele numerelor binare) pentru a obține mai multe [[serie (matematică) |serii]] rapid convergente cu sume [[număr rațional |raționale]] și [[număr transcendent |transcendente]].<ref>{{en icon}} {{citation|doi=10.2307/2324993|title=Strange series and high precision fraud|first1=J. M.|last1=Borwein|first2=P. B.|last2=Borwein|journal=American Mathematical Monthly|volume=99|issue=7|year=1992|pages=622–640|url=http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P56.pdf|jstor=2324993|hdl=1959.13/1043650|hdl-access=free|access-date=2021-05-23|archive-date=2016-05-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20160509033517/http://www.cecm.sfu.ca/personal/pborwein/PAPERS/P56.pdf|dead-url=yes}}.</ref>

== Extensia pentru numerele întregi negative ==
Suma cifrelor poate fi extinsă la numerele întregi negative utilizând o [[reprezentare cu cifre cu semn]] pentru a reprezenta fiecare număr întreg.

== Aplicații ==
Conceptul sumei cifrelor este strâns legat&nbsp;— dar nefiind același lucru&nbsp;— de [[rădăcină digitală |rădăcina digitală]], care este rezultatul aplicării în mod repetat a operației de sumare a cifrelor până când valoarea rămasă are doar o singură cifră. Rădăcina digitală a oricărui număr întreg diferit de zero va fi un număr în intervalul 1-9, în timp ce suma cifrelor poate lua orice valoare. Sumele cifrelor și rădăcinile digitale pot fi utilizate pentru [[criterii de divizibilitate |teste de divizibilitate]] rapide: un număr natural este [[divizor |divizibil]] cu 3 sau cu 9 [[dacă și numai dacă]] suma cifrelor sale (sau rădăcina digitală) este divizibilă cu 3, respectiv cu 9. Pentru divizibilitatea cu 9, acest test se numește „regula lui nouă” și stă la baza tehnicii [[proba cu nouă]] pentru verificarea calculelor.

Suma cifrelor, sub forma [[sumă de control |sumei de control]], a fost o noțiune comună în algoritmii de verificare a operațiilor aritmetice ale vechilor [[calculator|calculatoare]].<ref>{{en icon}} {{citation|doi=10.2307/2002859|title=The Logical Design of the Raytheon Computer|first1=R. M.|last1=Bloch|first2=R. V. D.|last2=Campbell|first3=M.|last3=Ellis|journal=Mathematical Tables and Other Aids to Computation|volume=3|issue=24|year=1948|pages=286–295|publisher=[[American Mathematical Society]]|jstor=2002859}}.</ref>

Suma cifrelor reprezentărilor în [[Sistem binar |binar]] a unui număr este cunoscută sub numele de [[pondere Hamming]]. Algoritmii pentru efectuarea acestei operații au fost studiați și au fost incluși ca o operație cablată în unele arhitecturi de calculatoare și încorporați în unele [[limbaj de programare |limbaje de programare]]. Aceste operații sunt utilizate în aplicații de calcul, inclusiv [[criptografie]], [[teoria codurilor]] și [[șah pe calculator]].

[[Număr harshad |Numerele harshad]] sunt definite în termeni de divizibilitate prin sumele cifrelor lor, iar [[Număr Smith |numerele Smith]] sunt definite prin egalitatea sumelor cifrelor lor cu sumele cifrelor [[factorizarea întregilor |divizorilor lor primi]].

== Note ==
<references />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld|urlname=DigitSum|title=Digit Sum}}

[[Categorie:Teoria numerelor]]