Vizualizare sursă pentru „Sticla lui Klein”

[[Fișier:Klein bottle.svg|thumb|240px|right|O reprezentare bidimensională a sticlei lui Klein (tridimensională)]]
[[Fișier:Surface of Klein bottle with traced line.svg|thumb|150px|right|Structura tridimensională a sticlei lui Klein]]
În [[matematică]], '''sticla lui Klein''' este un exemplu de [[suprafață]] [[topologie |topologică]] [[orientabilitate |neorientabilă]] în spațiu în [[varietate (geometrie) | varietatea sa geometrică]] astfel încât să se poată defini o metodă consistentă de a construi un [[vector]] [[normală |normal]]. Într-o exprimare neformală, ea este o suprafață cu o singură față. Prin deplasarea pe ea se poate reveni în punctul de plecare „cu capul în jos”. Alte exemple de astfel de suprafețe sunt [[Bandă Möbius |banda Möbius]] și [[plan proiectiv real | planul proiectiv real]]. În timp ce banda Möbius este o suprafață cu [[frontieră (topologie) | frontieră topologică]], sticla lui Klein nu are frontieră (prin comparație, o [[sferă]] este o suprafață orientabilă fără frontieră).

Sticla lui Klein a fost descrisă pentru prima oară în 1882 de [[matematician]]ul [[german]] [[Felix Klein]]. Inițial s-a numit ''suprafață Klein'' ({{de|Kleinsche Fläche}}), care ulterior a fost înțeleasă prost, drept {{lang|de|Kleinsche Flasche}}, („sticlă Klein”), care formă a fost adoptată inclusiv în limba germană.<ref>{{en icon}} {{Cite book | publisher = AMS Bookstore | isbn = 978-0-8218-4816-6 | last = Bonahon | first = Francis | title = Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots | date = 2009-08-05 | page=95 | url={{Google books|YZ1L8S4osKsC|page=95|plainurl=y}}}}</ref>

== Construcție ==
Pătratul următor este un [[poligon fundamental]] al sticlei lui Klein. Ideea este de a „lipi” laturile de aceeași culoare astfel încât săgețile respective să fie îndreptate în același sens, procedura fiind ilustrată în figurile de mai jos. De notat că procedeul este abstract, deoarece la încercarea de realizare în spațiul real suprafața se autointersectează.

:[[Fișier:Klein Bottle Folding 1.svg]]:
Pentru a construi sticla lui Klein, se alătură (lipesc) laturile cu săgețile roșii (stînga și dreapta), rezultând un cilindru. Pentru a alătura capetele cilindrului astfel încât săgețile de pe cercuri să aibă același sens trebuie trecut un capăt prin partea laterală a cilindrului. Asta generează un cerc de autointersectare&nbsp;&mdash; asta este „[[Imersiune (matematică) | imersiunea]] sticlei lui Klein în spațiul tridimensional.

<gallery class="center" caption="Obținerea sticlei lui Klein">
Fișier:Klein Bottle Folding 2.svg
Fișier:Klein Bottle Folding 3.svg
Fișier:Klein Bottle Folding 4.svg
Fișier:Klein Bottle Folding 5.svg
Fișier:Klein Bottle Folding 6.svg
</gallery>

Imersiunea este utilă pentru a vizualiza e serie de proprietăți ale sticlei lui Klein. De exemplu, sticla lui Klein nu are ''frontieră'', unde suprafața s-ar termina, și este neorientabilă, cum rezultă din imersiunea unică.
[[Fișier:Science Museum London 1110529 nevit.jpg|thumb|right|150px|Sticle Klein imersate la [[Muzeul de Științe (Londra)| Muzeul de Științe din Londra]]]]
[[Fișier:Acme klein bottle.jpg|thumb|150px|right|O sticlă Klein]]
Un model fizic se realizează asemănător. Muzeul de Științe din Londra prezintă o serie de sticle Klein în diverse variante topologice. Sticlele au fost realizate în 1995 pentru muzeu de Alan Bennett.<ref>{{en icon}} {{cite web|archiveurl=https://web.archive.org/web/20061128155852/http://www.sciencemuseum.org.uk/on-line/surfaces/new.asp|archivedate=2006-11-28|url=http://www.sciencemuseum.org.uk/on-line/surfaces/new.asp|title=Strange Surfaces: New Ideas|publisher=Science Museum London|accessdate=2016-05-09|dead-url=no}}</ref>

În mod abstract, sticla lui Klein nu se autointersectează. Se poate vizualiza sticla lui Klein într-un [[spațiu cvadridimensional]]. Adăugând [[spațiu tridimensional|spațiului tridimensional]] a patra dimensiune autointersectarea poate fi eliminată. Pentru asta partea sticlei cu intersecția se trage de-a lungul celei de-a patra dimensiuni, în afara spațiului tridimensional. O analogie intuitivă este îndreptarea unei curbe care se autointersectează în spațiul bidimensional prin ridicarea ei în spațiul tridimensional.

[[Fișier:Klein bottle time evolution in xyzt-space.gif|thumb|Evoluție în timp a unei figuri Klein în spațiul xyzt]]
Pentru claritate, să admitem ca apatra dimensiune timpul. Evoluția „sticlei” în spațiul ''xyzt'' este prezentată alăturat.  La ''t''&nbsp;=&nbsp;0 suprafața începe să fie generată dintr-un punct din apropierea „intersecției”. După ce figura s-a dezvoltat, părțile inițiale ale figurii încep să dispară, ca pisica din Cheshire, din care persista doar „zâmbetul” (amintirea). În timpul dezvoltării, capul figurii se îndreaptă spre punctul de start, dar acolo nu mai este nimic cu care să se intersecteze, iar evoluția se încheie fără să străpungă vreo structură existentă. Figura cvadrimensională nu poate exista în spațiul tridimensional, dar este ușor de înțeles în cel cvadrimensional.<!-- vorba vine! -->

Matematic, sticla lui Klein este descrisă în [[spațiu cât (topologie)|spațiul cât]] drept un [[pătrat]] [0,1] × [0,1] la care laturile sunt definite de relațiile {{nowrap|(0, ''y'') ~ (1, ''y'')}} pentru {{nowrap|0 ≤ ''y'' ≤ 1}} și {{nowrap|(''x'', 0) ~ (1 − ''x'', 1)}} pentru {{nowrap|0 ≤ ''x'' ≤ 1}}.

== Proprietăți ==
Ca și banda Möbius, sticla lui Klein este o suprafață bidimensională neorientabilă. spre deosebire de banda Möbius, sticla lui Klein este o suprafață ''închisă'', adică o suprafață [[Spațiu compact | compactă]], fără frontieră. În timp de banda Möbius poate fi cuprinsă în spațiul tridimensional [[Spațiu euclidian |euclidian]] '''R'''<sup>3</sup>, sticla lui Klein nu poate fi. Ea poate fi cuprinsă în '''R'''<sup>4</sup>.

Sticla lui Klein poate fi văzută ca o [[Spațiu fibrat |fibrată]] a [[cerc]]ului ''S''<sup>1</sup>, cu fibra ''S''<sup>1</sup> după cum urmează: una consideră pătratul de mai sus (modulo latura cu relația de echivalență) ca fiind ''E'', spațiul total, în timp de spațiul de bază ''B'' este [[interval unitate|intervalul unitate]] în ''y'', modulo ''1~0''. Proiecția π:''E''&rarr;''B'' este dată de π([''x'', ''y'']) = [''y''].

Sticla lui Klein poate fi construită (în sens matematic, deoarece nu se admite autointersectarea suprafeței) prin alăturarea frontierelor a două benzi Möbius, cum a fost descrisă într-un [[limerick (poezie)|limerick]] de [[Leo Moser]]:<ref name="Darling2004">{{en icon}} {{cite book|author=David Darling|title=The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes|url=https://books.google.com/books?id=nnpChqstvg0C&pg=PA176&lpg=PA176&focus=viewport&vq=get+a+weird+bottle+like+mine|date=11 august 2004|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-27047-8|page=176}}</ref>

: A mathematician named Klein
: Thought the Möbius band was divine.
: Said he: "If you glue
: The edges of two,
: You'll get a weird bottle like mine."

Construcția inițială a sticlei lui Klein prin identificarea laturilor opuse a pătratului arată că sticla lui Klein este un [[CW complex]] cu o 0-celulă ''P'', două 1-celule ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub> și o 2-celulă ''D''. [[Caracteristică Euler | Caracteristica sa Euler]] este deci 1-2+1&nbsp;=&nbsp;0. [[Homomorfism]]ul frontierei este dat de &part;''D'' = 2''C''<sub>1</sub> și &part;''C''<sub>1</sub>=&part;''C''<sub>1</sub>=0, prin urmare [[Homologie celulară|grupul homologic]] al sticlei lui Klein ''K'' va fi H<sub>0</sub>(''K'','''Z''')='''Z''', H<sub>1</sub>(''K'','''Z''')='''Z'''&times;('''Z'''/2'''Z''') și H<sub>''n''</sub>(''K'','''Z''') = 0 pentru ''n''>1.

Șase culori sunt suficiente pentru a colora orice hartă pe suprafața sticlei lui Klein; singura excepție a [[Conjectura Heawood | conjecturii Heawood]], o generalizare a [[Teorema celor patru culori | teoremei celor patru culori]], care afirmă că ar trebui șapte.

În spațiul euclidian sticla lui Klein are o singură față. Există alte spații topologice tridimensionale în care suprafața sticlei lui Klein este cu două fețe, dar tot neorientabilă este.<ref>{{en icon}} {{Cite book | publisher = CRC Press | isbn = 978-0-8247-0709-5 | last = Weeks | first = Jeffrey | title = The shape of space, 2nd Edn. | year = 2002 }}</ref>

== Disecție ==
[[Fișier:KleinBottle-cut.svg|thumb|right|150px|Tăierea sticlei lui Klein produce benzi Möbius]]
Tăierea sticlei lui Klein în două după [[plan de simetrie |planul său de simetrie]] produce două benzi Möbius în oglindă, una răsucită cu 180° la dreapta iar cealaltă la stânga (în imagine este prezentată cea răsucită la dreapta). Intersecția reprezentată în figură nu este reală.

== Parametrizare ==
[[Fișier:KleinBottle-Figure8-01.svg|thumb|left|Imersia de tip „figură-8” a sticlei lui Klein]]
[[Fișier:Kleinbagel cross section.png|thumb|left|Secțiune transversală prin covrigul Klein indicând „curba 8” ([[Lemniscata lui Gerono]]).]]

=== Imersia de tip imagine 8 ===
Pentru a construi „imaginea 8” sau „covrigul” sticlei lui Klein, se pornește de la o bandă Möbius, a cărei frontieră se aduce (curbează) spre linia mijlocie. Deoarece frontiera este unică ea se va suprapune singură, trecând prin această linie. Ea are o parametrizare simplă de tip "figură-8", un tor răsucit pe jumătate:

:<math>\begin{align}
x & = \left(r + \cos\frac{\theta}{2}\sin v - \sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \cos \theta\\
y & = \left(r + \cos\frac{\theta}{2}\sin v - \sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \sin \theta\\
z & = \sin\frac{\theta}{2}\sin v + \cos\frac{\theta}{2}\sin 2v
\end{align}</math>
pentru 0 ≤ ''θ'' < 2π, 0 ≤ ''v'' < 2π și ''r'' > 2.

În această imersiune, cercul care se autointersectează (unde sin(''v'') este zero) este un cerc în planul ''xy''. Constanta pozitivă ''r'' este raza cercului. Parametrul ''θ'' dă unghiul de rotație a figurii-8 în planul ''xy'', iar ''v'' specifică poziția de-a lungul secțiunii de tip figură-8. Cu parametrizarea de mai sus secțiunea transversală este o [[curbă Lissajous]] de tip 2:1.

=== Neintersecția în 4-D ===
O parametrizare fără intersecție în 4-D poate fi modelată pe baza unui [[Tor#Tor plat | tor plat]]:
:<math>\ \begin{align}
x & = R\left(\cos\frac{\theta}{2}\cos v-\sin\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \\
y & = R\left(\sin\frac{\theta}{2}\cos v+\cos\frac{\theta}{2}\sin 2v\right) \\
z & = P\cos\theta\left(1+{\epsilon}\sin v\right) \\
w &= P\sin\theta\left(1+{\epsilon}\sin v\right)
\end{align}</math>

unde ''R'' și ''P'' sunt constante care determină forma, iar ''θ'' și ''v'' sunt similare cu cele de mai sus. ''v'' determină poziția de-a lungul figurii-8, respectiv poziția în planul x-y. ''θ'' determină unghiul de rotire a figurii-8, respectiv poziția în planul z-w. ''ε'' is o constantă mică, iar ''ε'' sin''v'' este o mică discontinuitate în spațiul ''z-w'' depinzând de ''v'', care evită autointersectarea. Discontinuitatea ''v'' mută intersecția figurii-8 din spațiul 2-D într-o formă de „șa” în spațiile 3-D x-y-w și x-y-z. Când ''ε=0'' autointersecția este un cerc în planul z-w <0, 0, cos''θ'', sin''θ''>.

=== Tor plat în 3-D / Tub Möbius în 4-D ===
[[Fișier:Pinched Torus Klein bottle.jpg|thumb|left|Tor plat, imersiune a sticlei lui Klein]]
Torul plat este poate parametrizarea cea mai simplă a unei sticle Klein, atât în 3-D, cât și în 4-D. În 3-D el este un tor care se aplatizează și trece prin el însuși. Din păcate, în 3-D parametrizarea are două puncte sigulare, ceea ce o face inadecvată pentru unele aplicații. În 4-D, amplitudinea în ''z'' se deplasează în ''w'', astfel că nu există intersecție în punctele singulare.

:<math>x(\theta, \varphi) = (R + r \cos \theta) \cos{\varphi}</math>
:<math>y(\theta, \varphi) = (R + r \cos \theta) \sin{\varphi}</math>
:<math>z(\theta, \varphi) = r \sin \theta \cos({\varphi/2}) </math>
:<math>w(\theta, \varphi) = r \sin \theta \sin({\varphi/2}) </math>

Intuitiv, el este un cilindru încolăcit sub formă de tor, dar la care secțiunea sa circulară se inversează în spațiul 4-D, în zona de contact conectându-se „cu spatele”, exact cum la banda Möbius capetele se răsucesc înainte de a se conecta. [[proiecție ortogonală|Proiecția ortogonală]] în 3D este torul plat din figură.

=== Forma sticlei ===
Parametrizarea imersiunii 3-D a sticlei propriu-zise este mult mai complicată.

[[Fișier:Klein bottle translucent.png|thumb|right|Sticlă Klein semitransparentă]]
:<math>\begin{align}
    x(u,v) &= -\frac{2}{15} \cos u (3 \cos{v}-30 \sin{u}+90 \cos^4{u} \sin{u} \\
           &\quad -60 \cos^6{u} \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}) \\
    y(u,v) &= -\frac{1}{15} \sin u (3 \cos{v}-3 \cos^2{u} \cos{v}-48 \cos^4{u} \cos{v}+ 48 \cos^6{u} \\
           &\quad \cos{v}-60 \sin{u}+5 \cos{u} \cos{v} \sin{u}-5 \cos^3{u} \cos{v} \sin{u}-80 \\
           &\quad \cos^5{u} \cos{v} \sin{u}+80 \cos^7{u} \cos{v} \sin{u}) \\
    z(u,v) &= \frac{2}{15} (3+5 \cos{u} \sin{u}) \sin{v}
\end{align}</math>
pentru 0 ≤ ''u'' < π și 0 ≤ ''v'' < 2π.

== Popularitate culturală ==
* Sticla lui Klein constituie subiectul unui capitol (XII) din lucrarea ''La potière jalouse'' (''Olăreasa geloasă'') a lui [[Claude Lévi-Strauss]], care se referă la interpretările [[psihanaliză|psihanalitice]] și câmpul [[semantică|semantic]] al orificiilor corporale.<ref>{{fr icon}} [[Claude Lévi-Strauss]], ''La Potière jalouse'', Editions Plon, Paris, 1985.</ref>
* Una dintre devizele din serialul de animație francez ''[[Les Shadoks]]'' („dacă nu există soluție e pentru că nu există problemă”) conține o sticlă a lui Klein în ilustrație, ca simbol al unei probleme insolubile.
* În serialul de animație american ''[[Futurama]]'', o marcă de bere, „klein’s beer”, este vândută în sticle ale lui Klein.
* În jocul video [[NetHack]], încercarea de a vărsa o băutură în ea însăși generează mesajul următor: ''That is a potion bottle, not a Klein bottle!'' (Aceasta este o sticlă de băutură, nu o sticlă a lui Klein!)
* În jocul de masă ''[[Magic the gathering]]'' una dintre cărțile de joc se numește „Elkin Bottle”<ref>{{fr icon}} [http://www.magiccorporation.com/gathering-cartes-view-3081-bouteille-elkine.html Site magiccorporation]. Accesat la 11 mai 2016.</ref>, în semn de omagiu pentru [[Richard Garfield]], inventatorul jocului, matematician. Autorii au avut grijă să transforme numele, „Elkin” fiind o [[anagramă]] a lui „Klein”; toate celelalte cărți de la începutul jocului care reprezintă și ele omagii ascunse sau aluzii fine au, de asemenea, un nume ''deformat''.
* La [[Muzeul Quai Branly]] din [[Paris]], imaginea sticlei lui Klein era prezentată într-un panou pentru a explica viziunea asupra [[sexualitate|sexualiății]] din civilizațiile așa-zis primitive. Omul perfect e perceput ca un individ ale cărui organe reproducătoare se confundă cu interiorul gurii, astfel încât acest om nu are nici interior, nici exterior. Pentru a sprijini discursul, vizitatorul putea observa prezența unei sticle a lui Klein printre statuetele primitive. Acest panou nu mai este expus acum în muzeu.

== Note==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Eric W. Weisstein]], [http://mathworld.wolfram.com/KleinBottle.html Kleib Bottle], ''[[MathWorld]]''
* {{en icon}} Teoria clasică a '''suprafețelor Klein''' este prezentată în Norman Alling, Newcomb Greenleaf, ''Klein surfaces and real algebraic function fields'', ''Bulletin of the American Mathematical Society'', mr.&nbsp;0251213, vol.&nbsp;75, nr.&nbsp;4, 1969, pp.&nbsp;627–888, DOI 10.1090/S0002-9904-1969-12332-3

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Klein bottle|Sticla lui Klein}}
* {{en icon}} [http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index-gifd.html Imaging Maths - The Klein bottle] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20110302160042/http://plus.maths.org/issue26/features/mathart/index-gifd.html |date=2011-03-02 }}
* {{en icon}} [http://www.kleinbottle.com/meter_tall_klein_bottle.html Cea mai mare sticlă Klein din lume]
* {{en icon}} [http://www.youtube.com/watch?v=E8rifKlq5hc Animație cu sticlă Klein, produsă pentru un seminar de topologie la Universitatea Leibniz din Hanovra]
* {{en icon}} [http://www.youtube.com/watch?v=sRTKSzAOBr4&fmt=22 Animație cu sticlă Klein din 2010 incluzând o călătorie prin sticlă și descrierea originală a lui Felix Klein, produsă la Universitatea Liberă Berlin]
* {{en icon}} [http://www.geometrygames.org/TorusGames/index.html.en Torus Games] Jocuri pentru Windows și Mac OS X care pot fi descărcate gratuit și care evidențiază topologia torului și a sticlei lui Klein
* {{en icon}} [https://github.com/danfuzz/xscreensaver/blob/master/hacks/glx/klein.man Sticlă Klein], XScreenSaver "hack". Un screensaver pentru X 11 (Windows) și OS X cu o animație a sticlei lui Klein.

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Suprafețe]]
[[Categorie:Topologie geometrică]]