Vizualizare sursă pentru „Stelarea finală a icosaedrului”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Stelarea finală a icosaedrului
| image_up = [[Fișier:Complete icosahedron ortho stella.png|145px]][[Fișier:Complete icosahedron ortho2 stella.png|145px]]
| caption = Două [[proiecție ortogonală |proiecții ortogonale]] simetrice<br/>([[:Fișier:Final stellation of the icosahedron.stl|model 3D]])
| type = [[poliedru stelat]]
| euler = −10
| faces = 20 ([[eneagramă |eneagrame]] 9/4)
| edges = 90 (30 scurte, 60 lungi)
| vertices = 60
| vertex_config = 3<sup>3</sup>
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter = 
| symmetry = [[Simetrie icosaedrică |I<sub>h</sub>]], [5,3], (*532)
| rotsymmetry =
| surface_area = 
| volume = &approx;411,25 {{mvar|a}}<sup>3</sup> &nbsp; ({{mvar|a}} = latura scurtă)
| angle = 
| dual = Marele hexacontaedru triunghiular nobil
| properties = [[Politop convex |neconvex]], [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]] și pe [[figură izoedrică |fețe]]
| vertex_figure = [[Fișier:Basic isosceles triangle.svg|75px]]
| net =
}}
În [[geometrie]] '''stelarea finală''' sau '''completă a icosaedrului'''<ref>Coxeter ș.a., 1999, p. 30–31</ref><ref>Wenninger, 1971, p. 65</ref> este numită [[stelare]]a „finală” sau „completă” deoarece cuprinde toate celulele din [[diagramă de stelare |diagrama de stelare]] a [[icosaedru]]lui. Adică, fiecare trei plane ale [[față (geometrie) |fețelor]] nucleului icosaedric se [[intersecție (matematică) |intersectează]] fie într-un [[vârf  (geometrie) |vârf]] al acestui [[poliedru]], fie în [[interior (topologie) |interiorul]] său.

În clasificarea Wenninger acest [[poliedru]] este a șaptesprezecea stelare a icosaedrului și are indicele W<sub>42</sub>.

Ca figură geometrică are două interpretări:
* Ca [[poliedru stelat]] [[poliedru regulat |neregulat]] cu 20 de fețe identice [[eneagramă |eneagramice]] 9/4, 90 de muchii, 60 de vârfuri.
* Ca [[poliedru_stelat#Poliedre_stea |poliedru stea]] cu 180 de fețe [[triunghi]]ulare (60 isoscele, 120 scalene), 270 de [[latură (geometrie) |laturi]] și 92 de vârfuri. Această interpretare este utilă pentru construcția modelului fizic al poliedrului.

== Istoric ==
{| class=wikitable style="text-align:center;"
| [[Fișier:Great icosahedron (gray with yellow face).svg|160px]]<br/>Marele icosaedru
| [[Fișier:Model of the final stellation of the icosahedron.JPG|165px]]<br/>Modelul lui Brückner<ref>Brückner, 1900, Taf. XI, Fig. 14</ref>
|}
* 1809: [[Louis Poinsot]] a descoperit prima formă de icosaedru stelat, [[marele icosaedru]]<ref>Poinsot, 1810</ref>
* 1900: [[Max Brückner]] a identificat 10 stelări ale icosaedrului, inclusiv ''stelarea finală''.<ref>Brückner, 1900</ref>
* 1938: în cartea sa, ''[[The Fifty-Nine Icosahedra]]'' (în {{ro|Cele cincizeci și nouă de icosaedre}}), [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]], [[Patrick du Val|P. du Val]], H.T. Flather și J.F. Petrie au făcut o enumerare sistematică a celor 59 de stelări posibile ale icosaedrului, în conformitate cu regulile lui [[Jeffrey Charles Percy Miller |J.C.P. Miller]], stelarea finală apărând în listă în poziția a 8-a.
* 1974: [[Magnus Wenninger]] în cartea sa, ''Polyhedron Models'', a enumerat stelarea finală ca al 17-lea mod de stelare al icosaedrului, cu indicele W<sub>42</sub>.
* 1995: Andrew Hume, în baza sa de date cu poliedre, [[Netlib]], l-a numit '''echidnaedru'''<ref name=Hume>{{en icon}} {{citat web |url=http://netlib.sandia.gov/polyhedra/index.html |archive-url=https://web.archive.org/web/20070702002543/http://netlib.sandia.gov/polyhedra/index.html |titlu=Polyhedron database |nume=Hume |prenume=Andrew |lucrare=Netlib |archive-date=2007-07-02 |format= |doi= |datăaccesare=2023-11-26}}</ref> datorită asemănării cu o [[echidnă]].

== Interpretări ==
=== Ca stelare ===
[[Fișier:Icosahedron stellation diagram center.png|thumb|Diagrama de stelare a icosaedrului, cu tipurile de celule numerotate. Icosaedrul final este format din toate celulele din stelare, dar numai cele periferice, etichetate în diagramă cu „13”, sunt vizibile din exterior.]]
Stelarea unui poliedru extinde fețele sale în plane infinite și generează un nou poliedru care este delimitat de aceste plane ca fețe și intersecțiile acestor plane ca laturi. ''The Fifty Nine Icosahedra'' enumeră stelările icosaedrului regulat, inclusiv stelarea finală, în conformitate cu regulile lui J.C.P. Miller. Simbolul lui du Val al stelării finale este '''H''', deoarece cuprinde toate celulele din diagrama de stelare până la stratul exterior, „h”.<ref>Cromwell, 1997, p. 259</ref>

=== Ca poliedru stelat ===
{{multiple image
 | align = right
 | total_width = 400
 | image1 = Echidnahedron with enneagram face.png
 | caption1 = 20 de fețe eneagramice 9/4 (o față este colorată galben cu 9 vârfuri etichetate)
 | image2 = Enneagram 9-4 icosahedral.svg
 | caption2 = Față 9/4 [[Figură_izogonală#Figuri_k-izogonale_și_k-uniforme |2-izogonală]]
}}
Stelarea finală poate fi văzută și ca un [[poliedru stelat]] (autointersectat), având 20 de fețe corespunzătoare celor 20 de fețe ale icosaedrului subiacent. Fiecare față este un [[poligon stelat]] neregulat, o eneagramă 9/4.<ref>Cromwell, 1997, p. 259</ref> Deoarece în fiecare vârf se întâlnesc câte trei fețe, acesta are {{math|1=20 × 9 / 3 = 60}} de vârfuri (acestea se află pe stratul exterior de vârfuri vizibile și formează vârfurile „spinilor”) și {{math|1=20 × 9 / 2 = 90}} de laturi.

Când este privit ca un icosaedru stelat, stelarea finală este un [[poliedru nobil]], deoarece este atât [[figură izoedrică |tranzitiv pe fețe]], cât și [[figură izogonală |tranzitiv pe vârfuri]].

=== Ca poliedru simplu ===
[[Fișier:Complete icosahedron net stella.png|thumb|Un model poliedric poate fi construit din 12 seturi de fețe, fiecare pliat într-un grup de cinci [[piramidă (geometrie) |piramide]]]]
Ca poliedru simplu, cum este văzut din [[interior (topologie) |exterior]], forma stelării finale este compusă din 180 de fețe triunghiulare, care sunt zonele triunghiulare exterioare din diagrama stelării. Acestea se unesc de-a lungul a 270 de laturi, care, la rândul lor, se întâlnesc în 92 de vârfuri. Caracteristica sa [[Caracteristică Euler |Caracteristica sa Euler]] este în acest caz 2.<ref name=mw>{{en icon}} {{MathWorld|urlname=Echidnahedron|title=Echidnahedron|mode=cs1}}</ref><ref>{{en icon}} [http://polyhedra.org/poly/show/141/echidnahedron Echidnahedron] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20081007033206/http://polyhedra.org/poly/show/141/echidnahedron |date=2008-10-07}} at polyhedra.org</ref> 
Cele 92 de vârfuri se află pe suprafețele a trei [[sferă |sfere]] concentrice. Cel mai interior grup de 20 de vârfuri formează vârfurile unui [[dodecaedru regulat]]; următorul strat de 12 formează vârfurile unui icosaedru regulat; iar stratul exterior de 60 formează vârfurile unui [[icosaedru trunchiat]] neuniform. Razele acestor sfere sunt în raportul<ref name=mw/>
:<math>\sqrt {\frac {3}{2} \left (3 + \sqrt{5} \right ) } \, : \,
\sqrt {\frac {1}{2} \left (25 + 11\sqrt{5} \right ) } \, : \,
\sqrt {\frac {1}{2} \left (97 + 43\sqrt{5} \right ) } \, .</math>

{| class=wikitable width=400
|+ Anvelopele convexe ale fiecărei sfere pe care sunt vârfurile
!Interioară
!Mediană
!Exterioară
!Toate trei
|-
!20 vârfuri
!12 vârfuri
!60 vârfuri
!92 vârfuri
|- valign=top
|[[Fișier:Dodecahedron.png|100px]]<br/>[[Dodecaedru]]
|[[Fișier:Icosahedron.png|100px]]<br/>[[Icosaedru]]
|[[Fișier:Complete icosahedron convex hull.png|100px]]<br/>[[Icosaedru trunchiat]] neuniform
|[[Fișier:Complete icosahedron ortho stella.png|100px]]<br/>Icosaedrul stelat final
|}

==== Mărimi asociate ====
Când este considerat un obiect tridimensional cu lungimile laturilor <math>a</math>, <math>\varphi a</math>, <math>\varphi^2 a</math> și <math>\sqrt2\varphi^2 a</math> (unde <math>\varphi</math> este [[secțiunea de aur]]) icosaedrul complet are [[arie |aria]]<ref name=mw />
:<math>A = \frac{13211 + \sqrt{174306161}}{20}\,a^2\, \approx 1320,675~a^2</math>
și [[volum]]ul<ref name=mw />
:<math>V = (210+90\sqrt5)\,a^3 = 411,246~a^3.</math>

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{de icon}} {{cite book
 | last = Brückner | first = Max | authorlink = Max Brückner
 | year = 1900
 | url = https://archive.org/details/vieleckeundviel00brgoog
 | title = Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte
 | publisher = Leipzig: B.G. Treubner
 | isbn = 978-1-4181-6590-1
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Coxeter | first = H.S.M. | authorlink = Harold Scott MacDonald Coxeter
 | title = Regular Polytopes
 | edition = 3rd
 | year = 1973
 | publisher = Dover
 | isbn = 0-486-61480-8
 | at = 3.6 6.2 ''Stellating the Platonic solids'', p. 96–104
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last1 = Coxeter | first1 = H.S.M.
 | last2 = Du Val | first2 = P.
 | last3 = Flather | first3 = H. T.
 | last4 = Petrie | first4 = J. F.
 | title = The Fifty-Nine Icosahedra
 | publisher = Tarquin
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-1-899618-32-3
 | mr = 676126
 | year = 1999
 | orig-year = 1938
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Cromwell
 | first = Peter R.
 | title = Polyhedra
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | year = 1997
 | isbn = 0-521-66405-5
 | url=https://books.google.com/books?id=OJowej1QWpoC&pg=PP1
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last1 = Jenkins | first1 = Gerald
 | last2 = Bear | first2 = Magdalen
 | title = The Final Stellation of the Icosahedron: An Advanced Mathematical Model to Cut Out and Glue Together
 | publisher = Tarquin Publications, Norfolk, England
 | year = 1985
 | isbn = 978-0-906212-48-6
}}
* {{fr icon}} {{cite journal
 | last = Poinsot | first = Louis | authorlink = Louis Poinsot
 | title = Memoire sur les polygones et polyèdres
 | journal = J. de l'École Polytechnique
 | volume = 9
 | pages = 16–48
 | year = 1810
}}
* {{en icon}} {{cite conference
 | last = Wheeler | first = A. H.
 | title = Certain forms of the icosahedron and a method for deriving and designating higher polyhedra
 | conference = Proc. Internat. Math. Congress, Toronto
 | year = 1924
 | volume = 1
 | pages = 701–708
}}
* {{en icon}} {{cite book
 | last = Wenninger | first = Magnus J.
 | url = https://books.google.com/books?id=N8lX2T-4njIC&pg=PP1
 | title = Polyhedron models
 | publisher = [[Cambridge University Press]]
 | year = 1971
 | isbn = 978-0-521-09859-5
}}

== Legături externe ==
* {{en icon}}  [https://web.archive.org/web/20111004184258/http://www.prospero78.freeserve.co.uk/icosa/Echidnahedron1.doc  With instructions for constructing a model of the echidnahedron] ([[Microsoft Word|.doc]]) by Ralph Jones
* {{en icon}} [https://www.steelpillow.com/polyhedra/icosa/stelfacet/StelFacet.html Towards stellating the icosahedron and faceting the dodecahedron] by Guy Inchbald
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=IcosahedronStellations | title=Fifty nine icosahedron stellations}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20110516141659/http://mathserver.sdu.edu.cn/mathency/math/i/i011.htm Stellations of the icosahedron]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-icosahedron-index.html 59 Stellations of the Icosahedron]
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/echidnahedron.wrl Model VRML] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20211231143439/http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/vrml/echidnahedron.wrl |date=2021-12-31 }}
* {{en icon}} [[Netlib]]: [http://netlib.sandia.gov/polyhedra Polyhedron database, model 141]

{{Stelări ale icosaedrului}}

[[Categorie:Poliedre stelate]]