Vizualizare sursă pentru „Spin ½ și matricile lui Pauli”

'''Matricile lui Pauli''' sunt un ansamblu <math>\{ \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 \} \,</math> de trei [[Matrice|matrici]] hermitice 2×2 care apar în [[Mecanică cuantică|teoria cuantică nerelativistă]] a particulelor de [[spin (fizică)|spin]]<math>\scriptstyle \frac{1}{2} \, ,</math> cum este [[electron]]ul.

==Spinul electronului==
Ipoteza existenței unui [[moment cinetic]] al electronului, rezultând din rotația (în [[Limba engleză|engleză]]: ''spin'') sarcinii electronului în jurul axei proprii, a fost formulată în [[1925]] de [[Ralph Kronig]], fiind formulate imediat obiecții de [[Wolfgang Pauli]], pe baza faptului că viteza de rotație a electronului necesară pentru a obține valori acceptabile ale momentului cinetic ar fi în contradicție cu [[teoria relativității]]. În consecință, Kronig nu a publicat ideea, care însă a fost regăsită și publicată, independent, de [[George Uhlenbeck]] și [[Samuel Goudsmit]], câteva luni mai târziu. În anii următori, existența spinului electronului a fost acceptată, ca moment cinetic ''intrinsec'', diferit de momentul cinetic ''orbital'' (acesta din urmă fiind definit în raport cu poziția și impulsul particulei). Teoria spinului electronic a fost formulată în [[1927]] de Pauli, în cadrul mecanicii cuantice nerelativiste. În teoria cuantică relativistă, spinul <math>\scriptstyle \frac{1}{2} \,</math> nu necesită o ipoteză specială: el rezultă, ca proprietate intrinsecă, din [[ecuația lui Dirac]].

Spinul electronului a oferit, ''a posteriori'', explicația rezultatelor obținute în [[experimentul Stern-Gerlach]] ([[1922]]) pentru [[Raport giromagnetic|momentul magnetic]] al electronului. Astăzi, experimentul Stern-Gerlach este privit ca justificare ''a priori'' a spinului electronic.<ref>Țițeica, pp. 232–233.</ref>

==Teoria spinului ½==
[[Fișier:Wolfgang Pauli ETH-Bib Portr 01042.jpg|160px|thumb|right|Wolfgang Pauli]]

Spinul electronului este descris de un [[operator (matematică)|operator]] hermitic, vector axial, <math>\, \mathbf{S} = \left( S_1, S_2, S_3 \right) \,</math>, care satisface relațiile de comutare caracteristice pentru orice [[Moment cinetic (mecanică cuantică)#Operatorul moment cinetic|moment cinetic]]:

:<math>[S_1, S_2] = i \hbar S_3 \, , \, [S_2, S_3] = i \hbar S_1 \, , \, [S_3, S_1] = i \hbar S_2 \, ; </math>

:<math>[\mathbf{S}^2 , S_1] = 0 \, , \, [\mathbf{S}^2 , S_2] = 0 \, , \, [\mathbf{S}^2 , S_3] = 0 \, .</math>

===Valori proprii și vectori proprii===

Datele experimentale duc la concluzia că proiecția spinului electronului pe o direcție oarecare poate avea numai două valori: <math>\pm \frac{\hbar}{2}</math>, deci spațiul stărilor de spin este un spațiu vectorial complex bidimensional. Vectorii proprii <math>| s m_s \rangle</math>, comuni pentru operatorii <math>\mathbf{S}^2</math> și <math>S_3</math>, satisfac ecuațiile

:<math>\mathbf{S}^2 | s m_s \rangle = s \left( s + 1 \right) \hbar^2 | s m_s \rangle \, , \quad S_3 | s m_s \rangle = m_s \hbar | s m_s \rangle \, ,</math>

unde

:<math>s = \frac{1}{2} \, ; \quad m_s = - \frac{1}{2}, \, + \frac{1}{2} \, .</math>

În calcule e convenabilă utilizarea operatorului adimensional

:<math>\boldsymbol{\sigma} = \frac{2}{\hbar} \mathbf{S}</math>

și notația simplificată

:<math>\xi = \left| \frac{1}{2} , \frac{1}{2} \right \rangle \, , \quad \eta = \left| \frac{1}{2} , -\frac{1}{2} \right \rangle \, .</math>

Vectorii <math>\xi \,</math> și <math>\eta \,</math> corespund unor valori proprii diferite ale operatorului <math>\sigma_3 \, </math>:

:<math>\sigma_3 \, \xi = \xi \, , \quad \sigma_3 \, \eta = - \eta \, ,</math>

deci sunt automat ortogonali; presupunând că sunt și normați, ei constituie o bază ortonormată în spațiul stărilor de spin ale electronului.

===Matricile lui Pauli===
În baza <math>\{ \xi , \eta \} \,</math>, operatorii de spin <math>\boldsymbol{\sigma} = \{ \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 \} \,</math> sunt reprezentați prin ''matricile lui Pauli''

:<math>\sigma_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \, , \quad \sigma_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \, , \quad \sigma_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \, .</math>

Proprietățile enumerate mai jos, care pot fi verificate prin calcul direct, sunt importante în aplicații.<ref>Messiah, p. 466; Țițeica, p. 234.</ref>

:<math>\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = 1 \, .</math>

:<math>\sigma_1\sigma_2 = -\sigma_2\sigma_1 = i\sigma_3 \, ,\quad \sigma_2\sigma_3 = -\sigma_3\sigma_2 = i\sigma_1 \, ,\quad \sigma_3\sigma_1 = -\sigma_1\sigma_3 = i\sigma_2 \, .</math>

:<math>\sigma_1\sigma_2\sigma_3 = i \, .</math>

:<math>Tr\,\sigma_1 = Tr\,\sigma_2 = Tr\,\sigma_3 = 0 \, .</math>

:<math>det\,\sigma_1 = det\,\sigma_2 = det\,\sigma_3 = - 1 \, .</math>

Pentru doi vectori oarecare <math>\mathbf{u}</math> și <math>\mathbf{v}</math> este valabilă identitatea

:<math>\left( \boldsymbol{\sigma} \, \mathbf{u} \right) \, \left( \boldsymbol{\sigma} \, \mathbf{v} \right) = \left( \mathbf{u} \, \mathbf{v} \right) + i \boldsymbol{\sigma} \, \left( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \right) \, .</math>

Orice matrice 2×2 poate fi scrisă ca o combinație liniară a matricii unitate și celor trei matrici Pauli.

===Funcție de stare===
Drept consecință a faptului că spinul reprezintă un [[grad de libertate]] independent de mișcarea orbitală, spațiul stărilor devine produsul direct dintre spațiul configurațiilor (în care acționează operatorii asociați observabilelor ca poziție, impuls, moment cinetic orbital, ...) și spațiul bidimensional al spinului (în care acționează operatorii de spin). Funcția de stare a electronului depinde de ''variabilele de poziție'' <math>\mathbf{r} \,</math> și de o ''variabilă de spin'' <math>\mu \,</math>, care poate lua două valori (de exemplu ''plus'' și ''minus''), în funcție de proiecția spinului pe axa 3; ea poate fi scrisă în baza <math>\{ \xi , \eta \} \,</math> sub forma

:<math>\psi \left( \mathbf{r} , \mu \right) = \psi_+ \left( \mathbf{r} \right) \,\xi + \psi_- \left( \mathbf{r} \right) \,\eta \, .</math>

Presupunând că este satisfăcută condiția de normare

:<math>\int \left( | \psi_+ \left( \mathbf{r} \right) |^2 + | \psi_- \left( \mathbf{r} \right) |^2 \right) d \mathbf{r} = 1 \, ,</math>

din formalismul general al mecanicii cuantice rezultă următoarea [[Mecanică cuantică#Interpretare statistică|interpretare statistică]]: <math>| \psi_+ \left( \mathbf{r} \right) |^2 \, d \mathbf{r}</math> reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în [[element de volum |elementul de volum]] <math>d \, \mathbf{r}</math> în jurul punctului cu vector de poziție <math>\mathbf{r}</math> și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu <math>\scriptstyle +\frac{1}{2} \, .</math> La fel, <math>| \psi_- \left( \mathbf{r} \right) |^2 \, d \mathbf{r}</math> reprezintă probabilitatea de localizare a electronului în elementul de volum <math>d \, \mathbf{r}</math> în jurul punctului cu vector de poziție <math>\mathbf{r}</math> și având proiecția spinului pe axa 3 egală cu <math>\scriptstyle -\frac{1}{2} \, .</math>

Funcția de stare cu două componente a unei particule de spin <math>\scriptstyle \frac{1}{2} \, ,</math> caracterizată prin modul în care componentele sale se transformă la o rotație spațială, se numește ''spinor''.<ref>Țițeica, pp. 236–241.</ref>

==Moment magnetic de spin==

Experimentul Stern-Gerlach și analiza făcută de Kronig, Uhlenbeck și Goudsmit au pus în evidență faptul că electronul (de masă <math>m \,</math> și sarcină electrică <math>e \,</math>) posedă un ''moment cinetic'' intrinsec <math>\mathbf{S} \, ,</math> cu care este asociat un ''moment magnetic''

:<math>\boldsymbol{\mu_s} = g_S \frac{e}{2mc} \, \mathbf{S} \, .</math>&nbsp;<ref>Factorul <math>\scriptstyle c</math> de la numitor provine din folosirea [[Sistemul de unități CGS în electromagnetism#Constante electromagnetice|sistemului de unități Gauss]]</ref>

Mecanica cuantică nerelativistă indică <math>g_S = 2 \, ,</math> în bun acord cu experimentul. Faptul că această [[valoare (matematică) |valoare]] pentru [[Factor Landé|factorul Landé]] este dublă față de valoarea <math>g_L = 1</math> corespunzătoare momentului cinetic orbital este cunoscut ca „anomalia magnetică a spinului”.<ref>Țițeica, p. 242.</ref> Corecțiile relativiste [[Constante fizice|indică]] <math>g_S = 2,002 319 304 \, ,</math> în excelent acord cu determinări experimentale moderne.

==Note==
<references />

==Bibliografie==
*Messiah, Albert: ''Mécanique quantique'', Tome II, Dunod, Paris, 1964.
*[[Șerban Țițeica|Țițeica, Șerban]]: Mecanica cuantică, Editura Academiei Republicii Socialiste România, București, 1984.

==Legături externe==
{{Portal|Fizică}}
*[http://mathworld.wolfram.com/PauliMatrices.html Pauli Matrices – Wolfram MathWorld]
{{Fizică cuantică}}

[[Categorie:Mecanică cuantică]]
[[Categorie:Matrice]]