Vizualizare sursă pentru „Spectrul unei matrice”

În [[matematică]] '''spectrul unei matrice''' este [[mulțime]]a [[vectori și valori proprii |valorilor proprii]] ale [[matrice]]i.<ref name=AJ>Alexandru Juncu, [https://swarm.cs.pub.ro/~alexj/facultate/mn/MN_Final/vp1.pdf ''Calculul valorilor proprii și vectorilor proprii pentru matrice nesimetrice''], pub.ro, accesat 2023-04-17</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=310}}</ref><ref>{{harvtxt|Kreyszig|1972|p=273}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=270}}</ref> În general, dacă <math>T\colon V \to V</math> este un [[transformare liniară |operator liniar]] pe un [[spațiu vectorial]] [[dimensiune (spațiu vectorial) |finit dimensional]], spectrul său este mulțimea de [[scalar]]i <math>\lambda</math> astfel încât <math>T-\lambda I</math> nu este o [[funcție inversă |funcție inversabilă]]. [[Determinant (matematică) |Determinantul]] matricei este egal cu produsul valorilor sale proprii. Similar, [[urmă (algebră) |urma]] matricei este egală cu suma valorilor sale proprii.<ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=310|}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|pp=271–272}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|pp=115–116}}</ref>
Din acest punct de vedere, se poate defini pseudodeterminantul unei [[inversarea matricilor |matrice singulare]] ca fiind produsul valorilor proprii diferite de zero (densitatea {{ill-wd| Q1149000||distribuției normale multivariate}} are nevoie de această noțiune).

== Definiție ==
Fie {{mvar|V}} un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un [[corp (matematică) |corp]] {{mvar|K}} și {{math|''T'' : ''V'' → ''V''}} o aplicație liniară. ''Spectrul'' lui, presupus a fi că {{mvar|T}}, notat {{math|σ<sub>''T''</sub>}}, este [[multimulțime]]a [[zero al unei funcții |rădăcinilor]] {{ill-wd| Q849705||polinomului caracteristic}} al lui {{mvar|T}}. Astfel, elementele spectrului sunt tocmai valorile proprii ale lui {{mvar|T}}, iar [[multiplicitate]]a unei valori proprii {{mvar|λ}} din spectru este egală cu dimensiunea {{ill-wd| Q970767||spațiului valorilor proprii generalizat}} a lui {{mvar|T}} pentru {{mvar|λ}}.

Se alege o [[bază (algebră liniară)|bază]] {{mvar|B}} a lui {{mvar|V}} peste {{mvar|K}} și fie {{mvar|M}} ∈ Mat<sub>''K''&hairsp;</sub>({{mvar|V}}) o matrice. Se definește aplicația liniară {{math|''T'' : ''V'' → ''V''}} [[operație punctuală |punctual]] prin {{mvar|1=Tx = Mx}}, unde în partea dreaptă {{mvar|x}} este interpretat ca fiind un vector coloană, iar {{mvar|M}} acționează asupra lui {{mvar|x}} prin [[înmulțirea matricilor |înmulțire matricială]]. Acum se spune că {{mvar|x ∈ V}} este un [[vectori și valori proprii |vector propriu]] al lui {{mvar|M}} dacă {{mvar|x}} este un vector propriu al lui {{mvar|T}}. Similar, {{mvar|λ ∈ K}} este o [[vectori și valori proprii |valoare proprie]] a lui {{mvar|M}} dacă este o valoare proprie a lui {{mvar|T}}, și cu aceeași multiplicitate, iar spectrul lui {{mvar|M}}, notat σ<sub >''M''</sub>, este multimulțimea tuturor acestor valori proprii.

== Notații înrudite ==
{{ill-wd| Q194919||Descompunerea spectrală}} a unei {{ill-wd| Q1767080||matrice diagonalizabile}} este o {{ill-wd| Q1361088|descompunerea unei matrice|descompunere}} a unei matrice diagonalizabile într-o formă canonică specifică, prin care matricea este reprezentată în termeni de [[vectori și valori proprii]].

{{ill-wd| Q249748||Raza spectrală}} a unei [[matrice pătrată |matrice pătrate]] este cea mai mare [[modul |valoare absolută]] a valorilor sale proprii.<ref name=AJ/> În {{ill-wd| Q2409122||teoria spectrală}}, raza spectrală a unui {{ill-wd| Q2342396||operator liniar mărginit}} este {{ill-wd| Q17502105||supremum}} al valorilor absolute ale elementelor din spectrul acelui operator.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{ citation | first1 = Gene H. | last1 = Golub | first2 = Charles F. | last2 = Van Loan | year = 1996 | isbn = 0-8018-5414-8 | title = Matrix Computations | edition = 3rd | publisher = [[Johns Hopkins University Press]] | location = Baltimore }}
* {{en icon}} {{ citation | first1 = I. N. | last1 = Herstein | year = 1964 | isbn = 978-1114541016 | title = Topics In Algebra | publisher = Blaisdell Publishing Company | location = Waltham }}
* {{en icon}} {{citation | first1 = Erwin | last1 = Kreyszig | year = 1972 | isbn = 0-471-50728-8 | title = Advanced Engineering Mathematics | edition = 3rd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | url-access = registration | url = https://archive.org/details/advancedengineer00krey }}
* {{en icon}} {{ citation | first1 = Evar D. | last1 = Nering | year = 1970 | title = Linear Algebra and Matrix Theory | edition = 2nd | publisher = [[John Wiley & Sons|Wiley]] | location = New York | lccn = 76091646 }}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Matrice]]