Vizualizare sursă pentru „Spațiu vectorial”

[[Fișier:Vector_add_scale.svg|dreapta|miniatura|200x200px|Adunarea între vectori și înmulțirea cu un scalar: un vector {{math|'''v'''}} (albastru) este compus cu un alt vector {{math|'''w'''}} (roșu, imaginea de sus). Mai jos, '''w''' este întins cu un factor de 2, obținându-se suma {{math|'''v''' + 2'''w'''}}.]]
Un '''spațiu vectorial''' (numit și '''spațiu liniar''') este o colecție de [[obiect matematic |obiecte]] numite '''vectori''', care pot fi [[Vector (fizică)|adunați]] între ei și [[Înmulțirea cu un scalar|înmulțiți]] („scalați”) cu numere, denumite în acest context ''[[Scalar (matematică)|scalari]]''. Scalarii sunt de multe ori luați ca [[Număr real|numere reale]], dar există și spații vectoriale în care înmulțirea cu un scalar se face cu [[Număr complex|numere complexe]], [[Număr rațional|numere raționale]], sau, în general, din orice [[corp comutativ]]. Operațiunile de adunare vectorială și de înmulțire cu un scalar trebuie să îndeplinească anumite cerințe, numite ''[[Axiomă|axiome]]'', enumerate [[#Definiție|mai jos]].

[[Vector (fizică)|Vectorii euclidieni]] sunt un exemplu de spațiu vectorial. Ei reprezintă cantități [[Fizică|fizice]], cum ar fi [[Forță|forțele]]: orice două forțe (de același tip) pot fi adunate pentru a produce o a treia, și înmulțirea unui vector [[forță]] cu un factor de înmulțire real dă un alt vector forță. În același fel, dar într-un sens mai [[Geometrie|geometric]], vectorii care reprezintă deplasări în plan sau în [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] formează și ei spații vectoriale. Vectorii din spațiile vectoriale nu trebuie să fie neapărat obiecte reprezentabile prin săgeți, așa cum apar în exemplele amintite: vectorii sunt considerați ca abstracții matematice, obiecte cu proprietăți speciale, care în unele cazuri pot fi reprezentate sub forma unor săgeți.

Spațiile vectoriale fac obiectul [[Algebră liniară|algebrei liniare]] și sunt bine caracterizate prin [[dimensiune]]a lor, care, aproximativ vorbind, specifică numărul de direcții independente în spațiu. Spații vectoriale infinit-dimensionale apar în mod natural în [[analiza matematică]], ca [[Spațiu funcțional|spații de funcții]], ale căror vectori sunt [[Funcție|funcții]]. Aceste spații vectoriale sunt, în general, înzestrate cu o [[Structură algebrică |structură]] suplimentară, care poate fi o [[topologie]], care să permită luarea în considerare a aspectelor de proximitate și de [[Funcție continuă|continuitate]]. Printre aceste topologii, cele definite printr-o [[Normă (matematică)|normă]] sau [[Spațiu prehilbertian|produs scalar]] sunt mai frecvent utilizate, ca având o noțiune de [[Metrică|distanță]] dintre doi vectori. Este în special cazul [[Spațiu Banach|spațiilor Banach]] și [[Spațiu Hilbert|spațiilor Hilbert]], care sunt fundamentale în analiza matematică.

Din punct de vedere istoric, primele idei care au condus la noțiunea de spațiu vectorial pot fi găsite în [[Geometrie analitică|geometria analitică]], [[Matrice|matricile]], sistemele de [[Ecuație de gradul întâi|ecuații liniare]], și vectorii euclidieni din secolul al XVII-lea. Abordarea modernă, mai abstractă, formulată pentru prima dată de către [[Giuseppe Peano]] în 1888, cuprinde obiecte mai generale decât spațiul euclidian, dar o mare parte din teorie poate fi văzută ca o extensie ideilor din geometria clasică, cum ar fi [[Dreaptă|drepte]], [[Plan (geometrie)|planuri]] și analogii în dimensiuni superioare.

Astăzi, spațiile vectoriale au aplicații în toată matematica, în [[Știință|științe]] și [[inginerie]]. Acestea sunt noțiunile liniar-algebrice adecvate pentru a trata [[Sistem de ecuații liniare|sisteme de ecuații liniare]]; a oferi un cadru pentru [[Serie Fourier|dezvoltarea în serie Fourier]], utilizată în rutinele de [[Compresia imaginilor|compresie a imaginilor]]; sau a oferi un mediu care poate fi folosit pentru tehnici de rezolvare a [[Ecuație cu derivate parțiale|ecuațiilor cu derivate parțiale]]. Mai mult, spațiile vectoriale furnizează o modalitate abstractă, independentă de coordonate, de a trata obiecte fizice sau geometrice, cum ar fi [[Tensor|tensorii]]. Aceasta, la rândul său, permite examinarea proprietăților locale ale [[Varietate (geometrie)|varietăților]] prin tehnici de liniarizare. Spațiile vectoriale pot fi generalizate în mai multe moduri, ceea ce duce la mai multe noțiuni avansate în geometrie și [[Algebră abstractă|algebra abstractă]].

== Introducere și definiții ==
Conceptul de spațiu vectorial va fi explicat în primul rând prin descrierea a două exemple concrete:

=== Primul exemplu: săgeți în plan ===
Primul exemplu de spațiu vectorial constă din săgeți într-un [[Plan (geometrie)|plan]], pornind de la un punct fix (originea). Acestea sunt folosite în fizică pentru a descrie [[Forță|forțele]] sau [[Viteză|vitezele]]. Date fiind oricare două astfel de săgeți, {{math|'''v'''}} și {{math|'''w'''}}, [[paralelogram]]ul generat de aceste două săgeți conține o săgeată diagonală care începe și ea tot de la origine. Această nouă săgeată se numește ''suma'' celor două săgeți și este notată cu {{math|'''v''' + '''w'''}}. În cazul special când cele două săgeți sunt pe aceeași linie, suma lor este săgeata de pe această linie a cărui lungime este suma sau diferența de lungimi, în funcție dacă săgețile au același sens sau sensuri opuse. O altă operație care se poate face cu săgeți este scalarea: dat fiind orice [[număr real]] pozitiv ''a'', săgeata care are aceeași direcție ca și {{math|'''v'''}}, dar este dilatată sau micșorată prin înmulțirea lungimii sale cu ''a'', se numește ''înmulțire'' a lui {{math|'''v'''}} cu ''a''. Acesta este notată ''a'''''v'''. Atunci când ''a'' este negativ, ''a'''''v''' este definit ca fiind o săgeată îndreptată în sens opus, pe aceeași direcție.

Următoarele arată câteva exemple: dacă ''a'' = 2, vectorul rezultat ''a'''''w''' are aceeași direcție ca și {{math|'''w'''}}, dar este întins la lungime dublă față de {{math|'''w'''}} (dreapta imaginii de mai jos). Echivalent, {{math|2'''w'''}} este suma {{math|'''w''' + '''w'''}}. În plus, {{math|1=(-1)'''v''' = −'''v'''}} are sens opus și aceeași lungime ca {{math|'''v'''}} (vectorul albastru cu vârful în jos în imaginea din dreapta).
{| class="wikitable" style="text-align:center; margin:1em auto 1em auto;"
| width="50%" |[[Fișier:Vector_addition3.svg|180x180px]]
| width="50%" |[[Fișier:Scalar_multiplication.svg|230x230px]]
|}

=== Al doilea exemplu: perechi ordonate de numere ===
Un al doilea exemplu de spațiu vectorial este dat ca perechile de numere reale {{math|''x''}} și {{math|''y''}}. (Ordinea componentelor {{math|''x''}} și {{math|''y''}} este importantă, astfel încât o astfel de pereche se numește și [[Cuplu (matematică)|pereche ordonată]].) O astfel de pereche este scrisă sub forma {{math|(''x'', ''y'')}}. Suma a două astfel de perechi și înmulțirea unei perechi cu un număr sunt definite după cum urmează:
: {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} + {{math|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}} {{math|1== (''x''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>1</sub> + ''y''<sub>2</sub>)}}
și
: {{math|1=''a'' (''x'', ''y'') = (''ax'', ''ay'')}}.
Primul exemplu de mai sus se reduce la acesta dacă săgețile sunt reprezentate printr-o pereche de [[coordonate carteziene]] ale punctelor lor de capăt.

=== Definiție ===
Un spațiu vectorial peste un [[corp comutativ]] {{math|''K''}} este structura formată dintr-o [[mulțime]]&nbsp;{{math|''V''}} împreună cu două operații, care satisface cele opt axiome enumerate mai jos. Elementele din {{math|''V''}} sunt de obicei numite ''vectori''. Elementele din {{math|''K''}} sunt de obicei numite ''scalari''. Prima operațiune, numită ''adunare vectorială'' sau pur și simplu ''adunare'', ia orice doi vectori {{math|'''v'''}} și {{math|'''w'''}} și le atribuie un al treilea vector, care este de obicei scris ca {{math|'''v''' + '''w'''}}, și se numește suma acestor doi vectori. Cea de-a doua operație, numită ''[[Înmulțirea cu un scalar|înmulțire cu un scalar]],'' ia orice scalar și orice vector {{math|'''v'''}} și dă un alt vector.

În acest articol, vectorii sunt deosebiți de scalari prin aceea că sunt scriși cu litere îngroșate.<ref group="lower-alpha">Mai ales în fizică, este obișnuită notarea vectorilor cu o săgeată deasupra: <math>\vec v</math>.</ref> În cele două exemple de mai sus, corpul este corpul numerelor reale și mulțimea vectorilor este formată din săgeți plane având un punct fix de pornire și, respectiv, din perechi de numere reale.

Pentru a se califica drept spațiu vectorial, mulțimea {{math|''V''}} și operațiile de adunare și înmulțire cu un scalar trebuie să respecte o serie de cerințe numite [[Axiomă|axiome]].<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 1, p. 27}}</ref> În lista de mai jos, fie {{math|'''u'''}}, {{math|'''v'''}} și {{math|'''w'''}} vectori arbitrari din {{math|''V''}}, și ''a'' și {{math|''b''}} scalari din {{math|''K''}}.
{| border="0" style="width: 100%;"
| '''Axioma''' 
|'''Înțelesul'''
|-
| [[Asociativitate]]a adunării
| {{math|1='''u''' + ('''v''' + '''w''') = ('''u''' + '''v''') + '''w'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| [[Comutativitate]]a adunării
| {{math|1='''u''' + '''v''' = '''v''' + '''u'''}}
|-
|[[Element neutru|Elementul neutru]] al adunării
| Există un element {{math|'''0''' ∈ ''V''}}, numit ''[[vector nul|vectorul nul]]'', astfel încât {{math|1='''v''' + '''0''' = '''v'''}} pentru orice {{math|'''v''' ∈ ''V''}}.
|- style="background:#F8F4FF;"
|[[Element simetric|Elementul simetric]] al adunării
| Pentru fiecare {{math|'''v''' ∈ ''V''}}, există un element {{math|−'''v''' ∈ ''V''}}, numit ''[[Element opus|opusul]]'' lui {{math|'''v'''}}, astfel încât {{math|1='''v''' + (−'''v''') = '''0'''}}.
|-
| {{Ill-wd|Q7449424|3=Compatibilitatea}} înmulțirii cu un scalar cu înmulțirea corpului
|''a''(''b'''''v''') = (''ab'')'''v''' <ref group="lower-alpha">Această axiomă și următoarea se referă la două operațiuni diferite: înmulțirea cu un scalar: {{math|''b'''''v'''}}; și operațiunea de înmulțire din cadrul corpului: {{math|''ab''}}. </ref>
|- style="background:#F8F4FF;"
| Elementul neutru al înmulțirii cu un scalar
|  {{math|1=1'''v''' = '''v'''}}, unde {{math|1}} reprezintă [[1 (cifră)|elementul neutru multiplicativ]] din {{math|''K''}}.
|-
| [[Distributivitate|Distributivitatea]] înmulțirii cu un scalar față de adunarea vectorială
| {{math|1=''a''('''u''' + '''v''') = ''a'''''u''' + ''a'''''v'''}}
|- style="background:#F8F4FF;"
| Distributivitatea înmulțirii cu un scalar în raport cu [[operator (matematică)|operatorul]] aditiv al corpului
| {{math|1=(''a'' + ''b'')'''v''' = ''a'''''v''' + ''a'''''v'''}}
|}
Aceste axiome generalizează proprietățile vectorilor introduse în exemplele de mai sus. Într-adevăr, rezultatul adunării a două perechi ordonate (ca în al doilea exemplu de mai sus) nu depinde de ordinea [[operand|operanzilor]]:
: {{math|1=(''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>) + (''x,''<sub>'''w'''</sub>, ''y,''<sub>'''w'''</sub>) = (''x,''<sub>'''w'''</sub>, ''y,''<sub>'''w'''</sub>) + (''x''<sub>'''v'''</sub>, ''y''<sub>'''v'''</sub>)}}.

De asemenea, în exemplul geometric în care vectorii erau văzuți ca săgeți, {{math|1='''v''' + '''w''' = '''w''' + '''v'''}} întrucât paralelogramul care definește adunarea vectorilor este independent de ordinea vectorilor. Toate celelalte axiome pot fi verificate într-un mod similar în ambele exemple. Astfel, făcând abstracție de natura concretă a tipului particular de vectori pe care se lucrează, definiția include aceste două exemple, și multe altele, într-o singură noțiune unificatoare de ''spațiu vectorial''.

Scăderea a doi vectori și împărțirea la un scalar nenul poate fi definită ca:
: {{math|1='''v''' − '''w''' = '''v''' + (−'''w''')}},
: {{math|1='''v'''/''a'' = (1/''a'')'''v'''}}.
Atunci când corpul de scalari {{math|''K''}} este [[Număr real|mulțimea numerelor reale]] {{math|'''R'''}}, spațiul vectorial se numește ''spațiu vectorial real''. Atunci când câmpul scalar este [[Număr complex|mulțimea numerelor complexe]], se numește ''spațiu vectorial complex''. Aceste două cazuri sunt cele folosite cel mai adesea în inginerie. Definiția generală a unui spațiu vectorial permite ca scalarii să fie elemente din orice [[corp comutativ]] fix {{math|''K''}}, spațiul fiind denumit în acest caz ''spațiu vectorial peste {{math|''K''}}''. Un corp comutativ este, în esență, o mulțime de numere care posedă operațiuni de [[adunare]], [[scădere]], [[Înmulțire (matematică)|înmulțire]] și [[Împărțire (matematică)|împărțire]].<ref group="lower-alpha">Unii autori (cum ar fi Brown&nbsp;[[#CITEREFBrown1991|1991]]) restrâng atenția la corpurile {{math|'''R'''}} sau {{math|'''C'''}}, dar mare parte din teorie este neschimbată pentru orice corp arbitrar.</ref> De exemplu, [[Număr rațional|numerele raționale]] formează și ele un corp comutativ.

Spre deosebire de analogia intuitivă care decurge din asocierea lor cu vectori în plan și din cazurile de dimensiune superioară, în spațiile vectoriale generale, nu există nicio noțiune de [[Vecinătate (matematică)|vecinătate]], [[unghi]] sau [[metrică|distanță]]. Pentru tratarea unor astfel de probleme, se introduc tipuri particulare de spații vectoriale; vedeți [[Spațiu vectorial#Spații vectoriale cu structură suplimentară|mai jos]].

=== Formule alternative și consecințe elementare ===
Adunarea vectorială și înmulțirea cu un scalar sunt operațiuni care îndeplinesc proprietatea de [[Închidere (matematică)|închidere]]: {{math|'''u''' + '''v'''}} și {{math|''a'''''v'''}} în {{math|''V''}} pentru {{math|''a''}} din {{math|''K''}}, {{math|'''u'''}}, {{math|'''v'''}} din {{math|''V''}}. Unele surse mai vechi menționează aceste proprietăți ca axiome separate.<ref>van der Waerden&nbsp;[[#CITEREFvan der Waerden1993|1993]],&#x2002;Ch. 19</ref>

În limbajul [[Algebră abstractă|algebrei abstracte]], primele patru axiome pot fi subsumate prin impunerea condiției ca mulțimea de vectori să fie un [[grup abelian]] în raport cu adunarea. Restul de axiome conferă acestui grup o structură de {{math|''K''}}-{{Ill-wd|Q18848|3=modul}}. Cu alte cuvinte, există un {{Ill-wd|Q1194212|3=omomorfism de inele}} {{math|''f''}} definit pe corpul {{math|''K''}} cu valori în {{Ill-wd|Q2896709|3=inelul de endomorfisme}} al grupului vectorilor. Atunci, înmulțirea cu un scalar ''a'''''v''' este definită ca {{math|(''f''(''a''))('''v''')}}.<ref>{{Harvard citations| last=Bourbaki |year=1998 |nb=yes |loc=§II.1.1. }}</ref>

Există o serie de consecințe directe ale axiomelor spațiilor vectoriale. Unele dintre ele rezultă din aplicarea teoriei elementare a [[Grup (matematică)|grupurilor]] asupra grupului aditiv al vectorilor: de exemplu, vectorul zero {{math|'''0'''}} din {{math|''V''}} și elementul invers {{math|−'''v'''}} al oricărui vector {{math|'''v'''}} sunt unice. Alte proprietăți rezultă din legea distributivității, de exemplu ''a'''''v''' este egal cu '''0''' [[dacă și numai dacă]] ''a'' este egal cu 0 sau '''v''' este egal cu '''0'''.

== Istorie ==
Spațiile vectoriale rezultă din [[Geometrie afină|geometria afină]] prin introducerea de [[Sistem de coordonate|coordonate]] în plan sau în spațiul tridimensional. În preajma lui 1636, [[René Descartes|Descartes]] și [[Pierre de Fermat|Fermat]] au pus bazele [[Geometrie analitică|geometriei analitice]] prin echivalarea soluțiilor unei ecuații cu două variabile, cu puncte de pe o [[curbă]] plană.<ref>{{Harvard citations| last=Bourbaki |year=1969 |nb=yes |loc=ch. "Algèbre linéaire et algèbre multilinéaire", pp. 78–91 }}</ref> În 1804, pentru a obține soluții geometrice fără utilizarea de coordonate, [[Bernard Bolzano|Bolzano]] a introdus anumite operațiuni pe puncte, linii și planuri, predecesoarele vectorilor.<ref>{{Harvard citations| last=Bolzano |year=1804 |nb=yes |loc=}}</ref> Lucrarea sa a fost apoi utilizată în conceperea {{Ill-wd|Q738422|3=coordonatelor baricentrice}} de către [[August Ferdinand Möbius|Möbius]] în 1827.<ref>Möbius&nbsp;[[#CITEREFM.C3.B6bius1827|1827]]</ref> În 1828, {{Ill-wd|Q24330340}} sugera existența unei algebre care depășește nu numai algebra obișnuită, ci și algebra bidimensională creată de el în timp ce căuta o interpretare geometrică a numerelor complexe.<ref><cite class="citation" id="CITEREFCrowe1994">Crowe, Michel J. (1994), ''A History of Vector Analysis: The Evolution of the Idea of a Vectorial System'', Dover, p.&nbsp;11 and 16, [[International Standard Book Number|ISBN]]&nbsp;0-486-67910-1</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AVector+space&rft.aufirst=Michel+J.&rft.aulast=Crowe&rft.btitle=A+History+of+Vector+Analysis%3A+The+Evolution+of+the+Idea+of+a+Vectorial+System&rft.date=1994&rft.genre=book&rft.isbn=0-486-67910-1&rft.pages=11+and+16&rft.pub=Dover&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook">&nbsp;</span></ref>

Definiția vectorilor s-a bazat pe noțiunea lui [[Giusto Bellavitis|Bellavitis]] de bipunct, un segment orientat din care un capăt este originea și altul o țintă, și apoi elaborată în continuare cu prezentarea [[Număr complex|numerelor complexe]] de către [[Jean Robert Argand|Argand]] și [[William Rowan Hamilton|Hamilton]] și introducerea [[cuaternion]]ilor și {{Ill-wd|Q2590607|3=bicuaternionilor}} de către acesta din urmă.<ref>{{Harvard citations| last=Hamilton |year=1853 |nb=yes |loc=}}</ref> Acestea sunt elemente din {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, {{math|'''R'''<sup>4</sup>}} și {{math|'''R'''<sup>8</sup>}}; tratarea lor drept {{Ill-wd|Q27628|3=combinații liniare}} poate fi găsită la [[Edmond Laguerre|Laguerre]] în 1867, care și el a definit [[Sistem de ecuații liniare|sisteme de ecuații liniare]].

În 1857, [[Arthur Cayley|Cayley]] a introdus [[Matrice (matematică)|notația matriceală]], care permite o armonizare și o simplificare a [[Transformare liniară|aplicațiilor liniare]]. În același timp, [[Hermann Grassmann|Grassmann]] a studiat calculul baricentric inițiat de Möbius. El și-a imaginat mulțimi de obiecte abstracte dotate cu operațiuni.<ref>{{Harvard citations| last=Grassmann |year=2000 |nb=yes |loc=}}</ref> În lucrarea sa sunt prezente conceptele de {{Ill-wd|Q27670|3=liniar-independență}} și [[dimensiune]], precum și cea de produs scalar. În fapt, activitatea lui Grassmann din 1844 depășește cadrul spațiilor vectoriale, deoarece abordarea înmulțirii l-a condus pe el la ceea ce astăzi numim [[Algebră|algebre]]. [[Giuseppe Peano|Peano]] a fost primul care a dat definiția modernă a spațiilor vectoriale și a aplicațiilor liniare în 1888.<ref>{{Harvard citations|last = Peano|year = 1888|nb = yes |loc = ch. IX}}</ref>

O dezvoltare importantă în domeniul spațiilor vectoriale se datorează construcției [[Spațiu funcțional|spațiilor de funcții]] de către [[Henri Lebesgue|Lebesgue]]. Ulterior, aceasta a fost formalizată de către [[Stefan Banach|Banach]] și [[David Hilbert|Hilbert]], în preajma anului 1920.<ref>{{Harvard citations| last=Banach |year=1922 |nb=yes |loc=}}</ref> La acea vreme, [[Algebră|algebra]] și noul domeniu al [[Analiză funcțională|analizei funcționale]] au început să interacționeze, în special cu concepte-cheie, cum ar fi [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|spațiile de funcții ''p''-integrabile]] și [[Spațiu Hilbert|spațiile Hilbert]].<ref>Dorier&nbsp;[[#CITEREFDorier1995|1995]], Moore&nbsp;[[#CITEREFMoore1995|1995]]</ref> Spațiile vectoriale, inclusiv cele infinit-dimensionale, au devenit mai târziu noțiuni ferm stabilite, și multe ramuri matematice au început să facă uz de aceste concepte.

== Exemple ==

=== Spații de coordonate ===
Cel mai simplu exemplu de spațiu vectorial peste un corp comutativ {{math|''K''}} este corpul însuși, echipat cu adunarea și înmulțirea standard. Mai mult, în general, un spațiu vectorial poate fi compus din
{{Ill-wd|Q600590|3=''n''-tupluri}} (secvențe de lungime {{math|''n''}}) de elemente din {{math|''K''}}, cum ar fi
: {{math|(''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>)}}, unde fiecare {{math|''a''<sub>''i''</sub>}} este un element din {{math|''K''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. I.1|nb = yes}}</ref>
Un spațiu vectorial compus din toate {{math|''n''}}-tuplurile unui corp {{math|''K''}} este cunoscut drept ''{{Ill-wd|Q2133608|3=spațiu de coordonate}}'', de obicei, notat cu {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}. Cazul {{math|1=''n'' = 1}} este mai sus-menționatul exemplu simplu, în care corpul {{math|''K''}} este considerat și spațiu vectorial peste el însuși. Cazurile {{math|1=''K'' = '''R'''}} și {{math|1=''n'' = 2}} au fost discutate în introducerea de mai sus.

=== Numerele complexe și alte extinderi ale corpului ===
Mulțimea [[Număr complex|numerelor complexe]] {{math|'''C'''}}, de exemplu, numere care pot fi scrise sub forma {{math|''x'' + ''iy''}} pentru {{math|''x''}} și {{math|''y''}} [[Număr real|numere reale]], unde {{math|''i''}} este [[unitatea imaginară]], formează un spațiu vectorial peste numerele reale cu obișnuitele operațiuni de adunare și înmulțire cu un scalar: {{math|1=(''x'' + ''iy'') + (''o'' + ''ib'') = (''x'' + ''o'') + ''i''(''y'' + ''b'')}} și {{math|1=''c'' ⋅ (''x'' + ''iy'') = (''c'' ⋅ ''x'') + ''m''(''c'' ⋅ ''y'')}} pentru numerele reale {{math|''x''}}, {{math|''y''}}, ''a'', {{math|''b''}} și {{math|''c''}}. Diferite axiome ale spațiilor vectoriale rezultă din faptul că aceleași reguli rămân valabile pentru aritmetica numerelor complexe.

De fapt, exemplul numerelor complexe este, în esență, aceleași (adică este ''izomorf'') cu spațiul vectorial al perechilor ordonate de numere reale menționat mai sus: dacă ne gândim la numărul complex {{math|''x'' + ''i'' ''y''}} ca reprezentând perechea ordonată {{math|(''x'', ''y'')}} în [[planul complex]], atunci vom vedea că regulile pentru sumă și produs scalar corespund exact cu cele din exemplul anterior.

Mai mult, în general, [[Extindere de corp|extinderile de corp]] oferă o altă clasă de exemple de spații vectoriale, în special în algebră și {{Ill-wd|Q613048|3=teoria algebrică a numerelor}}: un corp {{math|''K''}} care conține un [[Extindere de corp|corp mai mic]] {{math|''E''}} este spațiu vectorial peste ''E'', prin operațiunile de înmulțire și de adunare date din {{Math|''K''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year =2002|loc = ch. V.1|nb = yes}}</ref> De exemplu, numerele complexe sunt un spațiu vectorial peste '''R''', iar extinderea de corp <math>\mathbf{Q}(i\sqrt{5})</math> este un spațiu vectorial peste '''Q'''.

=== Spații de funcții ===
Funcțiile definite pe orice mulțime fixă {{math|Ω}} cu valori într-un corp comutativ {{math|''K''}} formează și ele spații vectoriale, prin efectuarea [[operație punctuală |punctuală]] a operațiunilor de adunare și înmulțire cu un scalar. Adică suma a două funcții {{math|''f''}} și {{math|''g''}} este funcția {{math|(''f'' + ''g'')}} dată de
: {{math|1=(''f'' + ''g'')(''w'') = ''f''(''w'') + ''g''(''w'')}},
și în mod similar pentru înmulțire. Astfel de [[Spațiu funcțional|spații funcționale]] apar în multe situații geometrice, atunci când {{math|Ω}} este [[dreapta reală]] sau un [[Interval (matematică)|interval]], sau alte [[Submulțime|submulțimi]] ale lui {{math|'''R'''}}. Multe noțiuni de topologie și analiză, cum ar fi [[Funcție continuă|continuitatea]], [[Integrală|integrabilitatea]] sau [[funcție derivabilă|derivabilitatea]] se comportă bine în raport cu liniaritatea: adunarea și înmulțirea cu un scalar a funcțiilor care posedă o astfel de proprietate o conservă.<ref>de exemplu, {{Harvard citations|last = Lang|year = 1993|loc = ch. XII.3., p. 335|nb = yes}}</ref> Prin urmare, mulțimea acestor funcții este spațiu vectorial. Ele sunt studiate în detaliu, folosind metodele de [[analiză funcțională]]. Constrângerile algebrice produc și ele spații vectoriale: <cite id="labelPolynomialRing">{{Ill-wd|Q1455652|3=spațiul vectorial {{math|''F''[x]}}}}</cite> este dat de [[Polinom|polinoamele]]:
: {{math|1=''f''(''x'') = ''r''<sub>0</sub> + ''r''<sub>1</sub>''x'' + ... + ''r''<sub>''n''-1</sub>''x''<sup>''n''-1</sup> + ''r''<sub>''n''</sub>''x''<sup>''n''</sup>}}, unde [[Coeficient|coeficienții]] {{math|''r''<sub>0</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} sunt în {{math|''F''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. IX.1|nb = yes}}</ref>

=== Ecuații liniare ===
Sistemele de [[Sistem de ecuații liniare|ecuații liniare omogene]] sunt strâns legate de spațiile vectoriale.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|loc = ch. VI.3.|nb = yes}}</ref> De exemplu, soluțiile sistemului
: {|
| style="text-align:right;" |{{math|''a''}}
|{{math|+}}
|{{math|3''b''}}
|{{math|+}}
| style="text-align:right;" |{{math|''c''}}
|{{math|1== 0}}
|-
|{{math|4''a''}}
|{{math|+}}
|{{math|2''b''}}
|{{math|+}}
|{{math|2''c''}}
|{{math|1== 0}}
|}
sunt date de triplete arbitrare cu ''a'', b = ''a''/2 și c = −5''a''/2. Ele formează un spațiu vectorial: și după adunarea și înmulțirea cu un scalar a acestui gen de triplete, ele continuă să satisfacă aceleași raporturi dintre cele trei variabile; astfel și ele sunt soluții. [[Matrice (matematică)|Matricele]] pot fi folosite pentru a condensa mai multe ecuații liniare ca mai sus într-o singură ecuație vectorială, și anume:
: <cite id="equation3">{{math|1=''A'''''x''' = '''0'''}}</cite>,
unde ''A'' = <math>\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
4 & 2 & 2\end{bmatrix}</math> este matricea care conține coeficienții ecuațiilor date, {{math|'''x'''}} este vectorul {{math|(''a'', ''b'', ''c'')}}, {{math|''A'''''x'''}} reprezintă [[Înmulțirea matricilor|înmulțirea de matrice]], și {{math|1='''0''' = (0, 0)}} este vectorul zero. În mod similar, soluții ''ecuațiilor diferențiale liniare ''formează spații vectoriale. De exemplu,
: <cite id="equation1">{{math|1=''f''"(''x'') + 2''f''<nowiki/>'(''x'') + ''f''(''x'') = 0}}</cite>
produce {{math|1=''f''(''x'') = ''a e''<sup>−''x''</sup> + ''bx e''<sup>−''x''</sup>}}, unde ''a'' și {{math|''b''}} sunt constante arbitrare, și {{math|''e''<sup>''x''</sup>}} e [[Funcție exponențială|funcția exponențială cu baza naturală]].

== Baza și dimensiunea ==
[[Fișier:Vector_components_and_base_change.svg|miniatura|200x200px|Un vector {{math|'''v'''}} în {{math|'''R'''<sup>2</sup>}} (albastru) exprimat în termeni de baze diferite: folosind baza standard din {{math|1='''R'''<sup>2</sup> '''v''' = ''x'''''e'''<sub>1</sub> + ''y'''''e'''<sub>2</sub>}} (negru), și folosind altă bază, ne[[Ortogonalitate|ortogonală]]: {{math|1='''v''' = '''f'''<sub>1</sub> + '''f'''<sub>2</sub>}} (roșu).]]
<cite id="label1">''Bazele''</cite> permit reprezentarea vectorilor cu ajutorul unui [[Șir (matematică)|șir]] de scalari numit ''coordonate'' sau ''componente''. O bază este o mulțime (finită sau infinită) {{math|1=''B'' = {'''b'''<sub>''i''</sub>}<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}} de vectori {{math|'''b'''<sub>''am''</sub>}}, pentru comoditate de multe ori indexați cu un {{Ill-wd|Q21285678|3=indice}}'' i''<span class="cx-segment" data-segmentid="622">, care generează întregul spațiu și este liniar independentă. „</span><span class="cx-segment" data-segmentid="625">Care generează întregul spațiu</span><span class="cx-segment" data-segmentid="622">”</span> <span class="cx-segment" data-segmentid="625">înseamnă că orice vector {{math|'''v'''}} poate fi exprimat ca sumă finită (numită ''combinație liniară'') a elementelor bazei:</span>
<math>\mathbf{v} = a_1 \mathbf{b}_{i_1} + a_2 \mathbf{b}_{i_2} + \cdots + a_n \mathbf{b}_{i_n},</math>
unde {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} sunt scalari, numiți coordonatele (sau componentele) vectorului {{math|'''v'''}} în raport cu baza {{math|''B''}}, iar {{math|'''b'''<sub>''i''<sub>''k''</sub></sub>}} {{math|1=(''k'' = 1, ..., ''n'')}} elemente din {{math|''B''}}. Independența liniară înseamnă că coordonatele {{math|''a''<sub>''k''</sub>}} sunt unic determinate pentru orice vector din spațiul vectorial.

De exemplu, [[versor]]ii {{math|1='''e'''<sub>1</sub> = (1, 0, ..., 0)}}, {{math|1='''e'''<sub>2</sub> = (0, 1, 0, ..., 0)}}, până la {{math|1='''e'''<sub>''n''</sub> = (0, 0, ..., 0, 1)}}, formează o bază în {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}, numit {{Ill-wd|Q2000912|3=bază canonică}}, deoarece orice vector {{math|(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>)}} poate fi exprimat unic ca o combinație liniară a acestor vectori:
: {{math|1=(''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>) = ''x''<sub>1</sub>(1, 0, ..., 0) + ''x''<sub>2</sub>(0, 1, 0, ..., 0) + ... + ''x''<sub>''n''</sub>(0, ..., 0, 1) = ''x''<sub>1</sub>'''e'''<sub>1</sub> + ''x''<sub>2</sub>'''e'''<sub>2</sub> + ... + ''x''<sub>''n''</sub>'''e'''<sub>''n''</sub>}}.
Coordonatele corespunzătoare {{math|''x''<sub>1</sub>}}, {{math|''x''<sub>2</sub>}}, {{math|...}}, {{math|''x''<sub>''n''</sub>}} sunt [[Coordonate carteziene|coordonatele carteziene]] ale vectorului.

Fiecare spațiu vectorial are o bază. Acest lucru rezultă din [[lema lui Zorn]], o formulare echivalentă a [[Axioma alegerii|axiomei alegerii]].<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Theorem 1.9, p. 43}}</ref> Date fiind celelalte axiome ale [[Sistemul axiomatic Zermelo-Fraenkel|teoriei mulțimilor Zermelo–Fraenkel]], existența bazelor este echivalentă cu axioma alegerii.<ref>{{Harvard citations| last=Blass |year=1984 |nb=yes |loc=}}</ref> {{Ill-wd|Q872088|3=Teorema idealului prim}}, care este mai slabă decât axioma alegerii, implică faptul că toate bazele unui anumit spațiu vectorial au același număr de elemente, sau același {{Ill-wd|Q4049983|3=cardinal}} (cf. ''{{Ill-wd|Q3527205|3=teorema dimensiunii spațiilor vectoriale}}'').<ref>{{Harvard citations|last = Halpern|year = 1966|nb = yes|loc=pp. 670–673}}</ref> Acest cardinal se numește ''dimensiunea'' spațiului vectorial, notată {{Math|dim ''V''}}. Dacă spațiul este generat de un număr finit de vectori, afirmațiile de mai sus pot fi demonstrate fără o astfel de informație fundamentală din teoria mulțimilor.<ref>{{Harvard citations|last = Artin|year = 1991|nb = yes|loc=Theorem 3.3.13}}</ref>

Dimensiunea de spațiului de coordonate {{math|''K''<sup>''n''</sup>}} este {{math|''n''}}, conform bazei expuse mai sus. Dimensiunea inelului polinomial ''F''[''x''] introdus [[Spațiu vectorial#Spații de funcții|mai sus]] este [[Mulțime numărabilă|infinit numărabilă]], o bază fiind dată de {{math|1}}, {{math|''x''}}, {{math|''x''<sup>2</sup>}}, {{math|...}} {{Ill-wd|Q1753631}}, dimensiunea spațiilor mai generale de funcții, cum ar fi spațiul funcțiilor pe un interval (mărginit sau nemărginit), este infinită.<ref group="lower-alpha">De exemplu, funcțiile indicator ale intervalelor (care sunt în număr infinit) sunt liniar independente.</ref> Sub ipoteze potrivite de regularitate a coeficienților implicați, dimensiunea spațiului soluției unei [[Ecuație diferențială ordinară|ecuații diferențiale ordinare]] omogene este egal cu gradul ecuației.<ref>{{Harvard citations|last = Braun|year = 1993|nb = yes|loc=Th. 3.4.5, p. 291}}</ref> De exemplu, spațiul soluțiilor [[Spațiu vectorial#Ecuații liniare|ecuației de mai sus]] este generat de {{math|''e''<sup>−''x''</sup> și ''xe''<sup>−''x''</sup>}}. Aceste două funcții sunt liniar independente peste {{math|'''R'''}}, astfel încât dimensiunea acestui spațiu este doi, atât cât este și gradul ecuației.

O extindere de corp peste mulțimea numerelor raționale {{math|'''Q'''}} poate fi gândită ca spațiu vectorial peste {{math|'''Q'''}} (prin definirea adunării vectoriale ca adunarea corpului, definirea înmulțirii scalarilor ca fiind înmulțirea cu elemente din {{math|'''Q'''}}, și altfel ignorând înmulțirea corpului). Dimensiunea (sau gradul) de extinderii de domeniu {{math|'''Q'''(α)}} peste {{math|'''Q'''}} depinde de {{math|α}}. Dacă {{math|α}} satisface o ecuație polinomială
: {{math|1=''q''<sub>''n''</sub>&#x3B1;<sup>''n''</sup> + ''q''<sub>''n''-1</sub>&#x3B1;<sup>''n''-1</sup> + ... + ''q''<sub>0</sub> = 0}}, cu coeficienți raționali {{math|''q''<sub>''n''</sub>, ..., ''q''<sub>0</sub>}}.

(„α este [[Număr algebric|algebric]]”), dimensiunea este finită. Mai exact, este egală cu [[gradul unui polinom|gradul]] [[Polinom minimal|polinomului minimal]] având α ca rădăcină.<ref>{{Harvard citations|last = Stewart|year = 1975|nb = yes|loc=Proposition 4.3, p. 52}}</ref> De exemplu, numerele complexe '''C''' formează un spațiu vectorial bidimensional real, generat de baza formată din 1 și [[unitatea imaginară]] ''i''. Acesta îndeplinește condiția ''i''<sup>2</sup> + 1 = 0, ecuație de gradul doi. Astfel, '''C''' este '''R'''-spațiu vectorial bidimensional (și, ca și orice corp comutativ, unidimensional ca spațiu vectorial peste el însuși, '''C'''). Dacă α nu este algebric, dimensiunea '''Q'''(α) peste '''Q''' este infinită. De exemplu, pentru α = [[Pi|π]] nu există nici o astfel de ecuație, cu alte cuvinte π este [[Număr transcendent|transcendent]].<ref>{{Harvard citations|last = Stewart|year = 1975|nb = yes|loc=Theorem 6.5, p. 74}}</ref>

== Aplicații liniare și matrice ==
Relația dintre două spații vectoriale poate fi exprimată printr-o ''aplicație liniară'' sau ''transformare liniară''. Acestea sunt [[Funcție|funcții]] care reflectă structura spațiului vectorial, adică ele conservă sumele și înmulțirea cu un scalar:
: ''f''('''x''' + '''y''') = ''f''('''x''') + ''f''('''y''') și ''f''(''a'' &#xB7; '''x''') = ''a'' &#xB7; ''f''('''x''') pentru orice '''x''' și '''y''' din {{Math|''V''}}, orice ''a'' din {{Math|''K''}}.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=ch. 2, p. 45}}</ref>

Un ''[[izomorfism]]'' este o aplicație liniară {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} astfel încât există o [[Funcție inversă|aplicație inversă]] {{math|''g'' : ''W'' → ''V''}}, cu proprietatea că cele două {{Ill-wd|Q244761|3=compuneri}} posibile {{math|''f'' ∘ ''g'' : ''W'' → ''W''}} și {{math|''g'' ∘ ''f'' : ''V'' → ''V''}} sunt egale cu [[Identitate (matematică)|aplicația identitate]]. Echivalent, {{Math|''f''}} este atât [[Funcție injectivă|injectivă]] cât și [[Funcție surjectivă|surjectivă]].<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. IV.4, Corollary, p. 106}}</ref> Dacă există un izomorfism între {{Math|''V''}} și {{Math|''W''}}, se spune că cele două spații sunt ''izomorfe''; acestea sunt, în esență, identice ca spații vectoriale, deoarece toate identitățile valabile în {{Math|''V''}} sunt, prin intermediul lui {{Math|''f''}}, transformate în altele similare în {{Math|''W''}}, și vice-versa prin {{Math|''g''}}.
[[Fișier:Vector_components.svg|dreapta|miniatura|180x180px|Descrierea unui vector săgeată '''v''' prin coordonatele sale ''x'' și ''y'' dă un izomorfism de spații vectoriale.]]
De exemplu, spațiile vectoriale „săgeți în plan” și „perechi ordonate de numere” din introducere sunt izomorfe: o săgeată în plan '''v''' care pornește din [[Origine (matematică)|originea]] unui [[sistem de coordonate]] (fix) poate fi exprimată ca o pereche ordonată considerând componentele ''x'' și ''y'' ale săgeții, așa cum se arată în imaginea din dreapta. Analog, având în vedere o pereche (''x'', ''y''), săgeata care duce ''x'' spre dreapta (sau spre stânga, dacă ''x'' este negativ), și ''y'' în sus (sau în jos, dacă ''y'' este negativ) se transformă înapoi în săgeata '''v'''.

Aplicațiile liniare {{Math|''V'' → ''W''}} între două spații vectoriale formează un spațiu vectorial Hom<sub>''F''</sub>(''V'', ''W''),  notat și cu L(''V'', ''W'').<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Example IV.2.6}}</ref> Spațiul aplicațiilor liniare de la {{Math|''V''}} la {{Math|''K''}} se numește ''{{Ill-wd|Q752487|3=spațiul vectorial dual}}'', notat cu {{Math|''V''<sup>*</sup>}}.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. VI.6}}</ref> Prin intermediul aplicației injective {{Ill-wd|Q1442189|3=naturale}} {{math|''V'' → ''V''<sup>∗∗</sup>}}, orice spațiu vectorial poate fi încorporat în ''bidualul ''său; aplicația este un izomorfism dacă și numai dacă spațiul este finit-dimensional.<ref>{{Harvard citations|last = Halmos|year =1974|nb = yes|loc=p. 28, Ex. 9}}</ref>

Odată fiind aleasă o bază a lui {{math|''V''}}, aplicațiile liniare {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} sunt complet determinate prin specificarea imaginilor vectorilor din bază, deoarece orice element din {{Math|''V''}} se exprimă în mod unic ca o combinație liniară a acestora.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Theorem IV.2.1, p. 95}}</ref> Dacă {{math|1=dim ''V'' = dim ''W''}}, o [[Corespondență biunivocă|corespondență 1-la-1]] între bazele fixe ale lui {{math|''V''}} și {{math|''W''}} dă naștere la o aplicație liniară care mapează orice element din baza lui {{math|''V''}} cu un element corespunzător din baza lui {{math|''W''}}. Este un izomorfism, prin definiție.<ref>{{Harvard citations|last = Roman|year = 2005|nb = yes|loc=Th. 2.5 and 2.6, p. 49}}</ref> Prin urmare, două spații vectoriale sunt izomorfe dacă au aceeași dimensiune și vice-versa. Un alt mod de a exprima acest lucru este că orice spațiu vectorial este ''complet clasificat'' (până la izomorfism) de dimensiunea acestuia, un singur număr. În special, orice {{math|''K''}}-spațiu vectorial {{math|''V''}} ''n''-dimensional este izomorf cu {{math|''K''<sup>''n''</sup>}}. Cu toate acestea, nu există un izomorfism „canonic” sau preferat; de fapt un izomorfism {{math|''φ'' : ''K''<sup>''n''</sup> → ''V''}} este echivalent cu alegerea unei baze a lui {{math|''V''}}, mapând baza standard a lui {{math|''K''<sup>''n''</sup>}} cu {{math|''V''}}, prin intermediul lui {{math|''φ''}}. Libertatea de a alege o bază convenabilă este deosebit de utilă în context infinit-dimensional.

=== Matrice ===
[[Fișier:Matrix.svg|dreapta|miniatura|200x200px|O matrice tipică]]
''Matricele'' sunt o noțiune utilă pentru codificarea aplicațiilor liniare.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. V.1}}</ref> Ele sunt scrise ca un tablou dreptunghiular de scalari ca în imaginea din dreapta. Orice matrice ''m''-pe-''n'' ''A'' dă naștere unei aplicații liniare de la {{Math|''K''<sup>''n''</sup>}} la {{Math|''K''<sup>''m''</sup>}}, cu următoarea lege:
: <math>\mathbf x = (x_1, x_2, \cdots, x_n) \mapsto \left(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j, \cdots, \sum_{j=1}^n a_{mj}x_j \right)</math>, unde cu <math>\sum</math> se notează [[Sumă|suma]],
sau, folosind [[Înmulțirea matricilor|înmulțirea matriceală]] a lui ''A'' cu coordonatele vectorului {{math|'''x'''}}:
: <cite id="equation2">{{math|'''x''' ↦ ''A'''''x'''}}</cite>.
Mai mult decât atât, după alegerea bazelor lui {{math|''V''}} și {{math|''W''}}, ''orice'' aplicație liniară {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} este unic reprezentată de o matrice prin această atribuire.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=ch. V.3., Corollary, p. 106}}</ref>
[[Fișier:Determinant_parallelepiped.svg|dreapta|miniatura|200x200px|Volumul acestui [[paralelipiped]] este valoarea absolută a determinantului matricei 3-pe-3 formată din vectorii {{math|''r''<sub>1</sub>}}, {{math|''r''<sub>2</sub>}}și {{math|''r''<sub>3</sub>}}.]]
[[Determinant (matematică)|Determinantul]] {{Math|det(''A'')}} al unei [[Matrice pătrată|matrice pătrate]] {{Math|''A''}} este un scalar care spune dacă aplicația liniară asociată este un izomorfism sau nu: pentru a fi izomorfism, este suficient și necesar ca determinantul să fie nenul.<ref>{{Harvard citations|last = Lang|year = 1987|nb = yes|loc=Theorem VII.9.8, p. 198}}</ref> Transformarea liniară a lui {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}} corespunzătoare unei matrice reale ''n''-pe-''n''{{Ill-wd|Q1477782|3= conservă orientarea}} dacă și numai dacă determinantul este pozitiv.

=== Vectori și valori proprii ===
{{Ill-wd|Q1340800|3=Endomorfismele}}, aplicații liniare {{math|''f'' : ''V'' → ''V''}}, sunt deosebit de importante deoarece, în acest caz, vectorii {{math|'''v'''}} pot fi comparați cu imaginea lor în raport cu {{math|''f''}}, {{math|''f''('''v''')}}. Orice vector nenul {{math|'''v'''}} care satisface {{math|1=''λ'''''v''' = ''f''('''v''')}}, unde {{math|''λ''}} este un scalar, se numește ''vector propriu'' al lui {{math|''f''}} cu ''valoarea proprie'' {{math|''λ''}}.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 8, p. 135–156}}</ref> Echivalent, {{math|'''v'''}} este un element al [[Nucleu (algebră liniară)|nucleului]] diferenței {{math|''f'' − ''λ'' · Id}} (în cazul în care Id este [[Identitate (matematică)|aplicația identitate]] {{math|''V'' → ''V'')}}. Dacă {{math|''V''}} este finit dimensional, acest lucru poate fi reformulat folosind determinanți: {{math|''f''}} având valoarea proprie {{math|''λ''}} este echivalent cu
: {{math|1=det(''f'' − ''λ'' · Id) = 0}}.
Dezvoltând definiția determinantului, expresia din partea stângă poate fi considerată a fi o funcție polinomială în {{math|''λ''}}, numită {{Ill-wd|Q849705|3=polinom caracteristic}} al {{math|''f''}}.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1987 |nb=yes |loc=ch. IX.4 }}</ref> Dacă {{math|''F''}} este suficient de mare pentru a conține o rădăcină a acestui polinom (care în mod automat se întâmplă pentru {{math|''F''}} [[Corp algebric închis|algebric închis]], cum este {{math|1=''K'' = '''C'''}}) orice aplicație liniară are cel puțin un vector propriu. Spațiul vectorial {{math|''V''}} poate sau nu să posede o [[Vectori și valori proprii|bază proprie]], bază formată din vectori proprii. Acest fenomen este guvernat de {{Ill-wd|Q838495|3=forma canonică Jordan}} a aplicației.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 8, p. 140. }}</ref> Mulțimea tuturor vectorilor proprii corespunzători unei anumite valori proprii a lui {{math|''f''}} formează un spațiu vectorial cunoscut ca ''spațiul vectorial propriu'' corespunzătoare valorii proprii (și lui {{math|''f''}}) în cauză. Pentru a ajunge la {{Ill-wd|Q1425077|3=teorema spectrală}}, afirmația corespunzătoare în cazul infinit-dimensional, este nevoie de mecanismele analizei funcționale.

== Construcția bazelor ==
În plus față de exemplele concrete de mai sus, există mai multe construcții liniare algebrice standard care generează spații vectoriale legate de cele date. În plus față de definițiile prezentate mai jos, acestea sunt și ele caracterizate prin {{Ill-wd|Q1417809|3=proprietăți universale}}, care determină un obiect {{math|''X''}} prin specificarea aplicațiilor liniare de la {{math|''X''}} la orice alt spațiu vectorial.

=== Subspații și spații factor ===
[[Fișier:Linear_subspaces_with_shading.svg|dreapta|miniatura|250x250px|O dreaptă care trece prin [[Origine (matematică)|origine]] (albastru, gros) în [[Spațiu euclidian|{{math|'''R'''<sup>3</sup>}}]] este un subspațiu liniar. Este intersecția a două [[Plan (geometrie)|planuri]] (verde și galben).]]
O [[submulțime]] nevidă ''W'' a unui spațiu vectorial ''V'' , care este închisă în raport cu adunarea și cu înmulțirea cu un scalar (și, prin urmare, conține vectorul zero din ''V'') se numește ''subspațiu vectorial'' al lui ''V'', sau pur și simplu ''subspațiu'' al lui ''V'', atunci când spațiul ambiental este fără echivoc spațiu vectorial.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 1, p. 29}}</ref><ref group="lower-alpha">Este de regulă cazul când un spațiu vectorial este considerat și ca [[spațiu afin]]. </ref> Subspațiile lui ''V'' sunt spații vectoriale (peste același corp) de sine stătătoare. Intersecția tuturor subspațiilor conține o anumită mulțime ''S'' de vectori numită {{Ill-wd|Q209812|3=generatoare}}, și acesta este cel mai mic subspațiu al lui ''V'' care conține mulțimea ''S''. Exprimat în termeni de elemente, generatoarea este subspațiul format din toate {{Ill-wd|Q27628|3=combinațiile liniare}} de elemente din ''S''.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 1, p. 35}}</ref>

Un subspațiu liniar de dimensiune 1 este o '''dreaptă vectorială'''. Un subspațiu liniar de dimensiune 2 este un '''plan de vectori'''. Un subspațiu liniar care conține toate elementele de bază din spațiul ambiental este un '''hiperplan de vectori'''. Într-un spațiu vectorial de dimensiune finită {{math|''n''}}, un [[hiperplan]] este astfel un subspațiu de dimensiune {{math|''n'' – 1}}.

Omologul subspațiilor este ''spațiul vectorial factor''.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 3, p. 64}}</ref> Dat fiind orice subspațiu {{math|''W'' ⊂ ''V''}}, spațiul factor ''V''/''W'' ("''V'' {{Ill-wd|Q319400|3=modulo}} ''W''") este definit după cum urmează: ca mulțime, el se compune din {{math|1='''v''' + ''W'' = {'''v''' + '''w''' : '''w''' ∈ ''W''},}} unde '''v''' este un vector arbitrar din ''V''. Suma a două astfel de elemente {{math|'''v'''<sub>1</sub> + ''W''}} și {{math|'''v'''<sub>2</sub> + ''W''}} este {{math|('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) + ''W'',}} și înmulțirea cu un scalar este dată de {{math|1=''un'' · ('''v''' + ''W'') = (''o'' · '''v''') + ''W''}}. Punctul cheie în această definiție este faptul că {{math|1='''v'''<sub>1</sub> + ''W'' = '''v'''<sub>2</sub> + ''W''}} [[Dacă și numai dacă|dacă și numai dacă]] diferența dintre '''v'''<sub>1</sub> și '''v'''<sub>2</sub> se află în ''W''.<ref group="lower-alpha">Unii autori (cum ar fi {{Harvnb|Roman|2005}}) aleg să înceapă cu această [[relație de echivalență]] și să calculeze forma concretă a lui ''V''/''W'' din aceasta.</ref> Astfel, spațiul factor „uită” informațiile conținute în subspațiul ''W''.

[[Nucleu (algebră liniară)|Nucleul]] {{Math|ker(''f'')}} unei aplicații liniare {{math|''f'' : ''V'' → ''W''}} este format din vectorii '''v''' care sunt mapați la '''0''' din ''W''.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1987 |nb=yes |loc=ch. IV.3.}}</ref> Atât nucleul cât și [[Imaginea unei funcții|imaginea]] {{math|1=im(''f'') = {''f''('''v''') : '''v''' ∈ ''V''}}} sunt subspații ale lui {{Math|''V''}} și, respectiv, {{Math|''W''}}.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 2, p. 48}}</ref> Existența nucleelor și imaginilor face parte din afirmația că {{Ill-wd|Q5051857|3=categoria spațiilor vectoriale}} (peste un corp comutativ fix {{Math|''K''}}) este {{Ill-wd|Q318737|3=categorie abeliană}}, adică un grup de [[obiect matematic |obiecte matematice]] și aplicații de la una la alta care conservă structura (o [[Categorie (matematică)|categorie]]), care se comportă ca și {{Ill-wd|Q1956793|3=categoria grupurilor abeliene}}.<ref>Mac Lane&nbsp;[[#CITEREFMac Lane1998|1998]]</ref> De aceea, multe afirmații, cum ar fi {{Ill-wd|Q1065966|3=prima teoremă de izomorfism}} (numită și {{Ill-wd|Q303402|3=teorema rangului}} în termeni de matrice)
:{{Math|''V'' / ker(''f'') ≡ im(''f'').}}

și a doua și a treia teoremă de izomorfism pot fi formulate și demonstrate într-un mod foarte similar cu situațiile corespunzătoare pentru [[Grup (matematică)|grupuri]].

Un exemplu important este nucleul unei aplicații liniare {{math|'''x''' ↦ ''A'''''x'''}} pentru o matrice fixă ''A'', ca [[#equation2|mai sus]]. Nucleul aceastei aplicații este un subspațiu de vectori {{Math|x}}, astfel încât {{math|1=''A'''''x''' = 0}}, care este tocmai mulțimea soluțiilor sistemului omogen de ecuații liniare care aparțin lui ''A''. De asemenea, acest concept se extinde la ecuații diferențiale liniare
: <math>a_0 f + a_1 \frac{d f}{d x} + a_2 \frac{d^2 f}{d x^2} + \cdots + a_n \frac{d^n f}{d x^n} = 0</math>, unde coeficienții ''a''<sub>''i''</sub> sunt și ei funcții de ''x''.
În aplicația corespunzătoare
: <math>f \mapsto D(f) = \sum_{i=0}^n a_i \frac{d^i f}{d x^i}</math>,
[[Derivată|derivatele]] funcției {{Math|''f''}} apar liniar (adică nu apar de exemplu sub forma de {{Math|''f''&apos;&apos;(''x'')<sup>2</sup>}}). Când diferențierea este o procedură liniară (adică {{math|1=(''f'' + ''g'')' = ''f''<nowiki/>' + ''g'' '}} și {{math|1=(''c''·''f'')' = ''c''·''f''<nowiki/>'}} pentru orice constantă {{math|''c''}}) această atribuire este liniară, și se numește {{Ill-wd|Q1058681|3=operator diferențial liniar}}. În particular, soluțiile ecuației diferențiale {{math|1=''D''(''f'') = 0}} formează un spațiu vectorial (peste {{math|'''R'''}} sau {{math|'''C'''}}).

=== Produsul direct și suma directă ===
''Produsul direct'' al unor spații vectoriale și ''suma directă'' a unor spații vectoriale sunt două moduri de a combina o familie indexată de spații vectoriale într-un nou spațiu vectorial.

''Produsul direct'' <math>\textstyle{\prod_{i \in I} V_i}</math> al unei familii de spații vectoriale {{Math|v<sub>''i''</sub>}} constă din mulțimea tuturor tuplurilor ({{Math|'''v'''<sub>''i''</sub>)<sub>''i'' ∈ ''I''</sub>}}, care specifică pentru fiecare indice {{Math|''i''}} dintr-o {{Ill-wd|Q21285678|3=mulțime de indici}} ''I'' un element '''v'''<sub>''i''</sub> al lui ''V''<sub>''i''</sub>.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 1, pp. 31–32}}</ref> Adunarea și înmulțirea cu un scalar se realizează pe componente. O variantă a acestei construcții este ''suma directă'' <math>\oplus_{i \in I} V_i</math> (notată cu <math>\textstyle{\coprod_{i \in I}V_i}</math>), în care sunt permise numai tuplurile cu un număr finit de vectori nenuli. Dacă mulțimea de indici ''I'' este finită, cele două construcții sunt în acord, dar, în general, ele sunt diferite.

=== Produsul tensorial ===
''Produsul tensorial'' {{Math|''V'' ⊗<sub>''F''</sub> ''W''}}, sau mai simplu {{Math|''V'' ⊗ ''W''}}, a două spații vectoriale ''V'' și ''W'' este una dintre noțiunile centrale ale {{Ill-wd|Q1197190|3=algebrei multiliniare}} care se ocupă cu extinderea noțiunilor cum ar fi aplicațiile liniare la mai multe variabile. O aplicație {{Math|''g'' : [[Produs cartezian|''V'' × ''W'']] → ''X''}} se numește [[aplicație biliniară|biliniară]] dacă ''g'' este liniară în ambele variabile '''v''' și '''w'''. Cu alte cuvinte, pentru un '''w''' fix, aplicația {{Math|'''v''' ↦ ''g''('''v''', '''w''')}} este liniară în sensul de mai sus și analog pentru '''v''' fix.

Produsul tensorial este un anumit spațiu vectorial care este primitor ''universal'' al aplicațiilor biliniare ''g'', după cum urmează. Este definit ca spațiu vectorial format din sume finite (formale) de simboluri numite [[Tensor|tensori]]
: '''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w'''<sub>2</sub> + ... + '''v'''<sub>''n''</sub> ⊗ '''w'''<sub>''n''</sub>,
supuse regulilor
: <cite id="tensor_product">a &#xB7; ('''v''' ⊗ '''w''') = (a &#xB7; '''v''') ⊗ '''w''' = '''v''' ⊗ (a &#xB7; '''w'''), unde a este un scalar,</cite>
: ('''v'''<sub>1</sub> + '''v'''<sub>2</sub>) ⊗ '''w''' = '''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''w''' + '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''w''', și
: '''v''' ⊗ ('''w'''<sub>1</sub> + '''w'''<sub>2</sub>) = '''v''' ⊗ '''w'''<sub>1</sub> + '''v''' ⊗ '''w'''<sub>2</sub>.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=ch. XVI.1}}</ref>
[[Fișier:Universal_tensor_prod.svg|dreapta|miniatura|200x200px|{{Ill-wd|Q621542|3=Diagrama comutativă}} reprezentând proprietatea universală a produsului tensorial.]]
Aceste reguli asigură că aplicația ''f'' definită pe {{Math|''V'' × ''W''}} cu valori în {{Math|''V'' ⊗ ''W''}} care mapează un {{Ill-wd|Q600590|3=tuplu}} {{Math|('''v''', '''w''')}} în {{Math|'''v''' ⊗ '''w'''}} este biliniară. Universalitatea afirmă că, dat fiind ''orice'' spațiu vectorial {{Math|''X''}} și ''orice ''aplicație biliniară {{Math|''g'' : ''V'' × ''W'' → ''X''}}, există o aplicație unică {{Math|''u''}}, arătată în diagramă cu o săgeată punctată, a cărei {{Ill-wd|Q244761|3=compoziție}} cu {{Math|''f''}} este egală cu {{Math|''g''}}: {{Math|1=''u''('''v''' ⊗ '''w''') = ''g''('''v''', '''w''')}}.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=Th. 14.3. }}</ref> Aceasta se numește {{Ill-wd|Q1417809|3=proprietatea universală}} a produsului tensorial, un exemplu de metodă mult utilizată în algebra abstractă avansată—pentru a defini indirect obiecte prin specificarea unor aplicații definite pe acel obiect sau cu valori în el.

== Spații vectoriale cu structură suplimentară ==
Din punctul de vedere al algebrei liniare, spațiile vectoriale sunt complet înțelese în măsura în care orice spațiu vectorial este caracterizat, până la izomorfism, prin dimensiunea sa. Cu toate acestea, spațiile vectoriale ''în sine'' nu oferă un cadru de abordare a chestiunii—cruciale pentru analiză—dacă un șir de funcții [[Limită a unui șir|converge]] către o altă funcție. De asemenea, algebra liniară nu este adaptată pentru a trata [[Serie (matematică)|șiruri infinite]], deoarece operația aditivă permite adunarea numai a unui număr finit de termeni. <cite id="labelFunctionalAnalysis">Prin urmare, nevoile [[Analiză funcțională|analizei funcționale]] impun considerarea unor structuri suplimentare.</cite>

Unui spațiu vectorial i se poate da o [[Relație de ordine|relație de ordine parțială]] ≤, în care unii vectori pot fi comparați.<ref>Schaefer &#x26; Wolff&nbsp;[[#CITEREFSchaeferWolff1999|1999]],&#x2002;pp. 204–205</ref> De exemplu, spațiul ''n''-dimensional real '''R'''<sup>''n''</sup> poate fi ordonat prin compararea vectorilor pe componente. {{Ill-wd|Q1503340|3=Spațiile vectoriale ordonate}}, cum ar fi {{Ill-wd|Q2152570|3=spațiile Riesz}}, sunt fundamentale pentru {{Ill-wd|Q853831|3=integrarea Lebesgue}}, care se bazează pe capacitatea de a exprima o funcție ca o diferență de două funcții pozitive
: ''f'' = ''f''<sup>+</sup> − ''f''<sup>−</sup>,

unde ''f''<sup>+</sup> reprezintă partea pozitivă a lui ''f'' și ''f''<sup>−</sup> partea negativă.<ref>{{Harvard citations| last=Bourbaki |year=2004 |nb=yes |loc=ch. 2, p. 48}}</ref>

=== Spații vectoriale normate și spații cu produs scalar ===
„Măsurarea” vectorilor se face prin specificarea unei [[Normă (matematică)|norme]], un datum care măsoară lungimi de vectori, sau printr-un [[Spațiu prehilbertian|produs scalar]], care măsoară unghiurile dintre vectori. Normele și produsele scalare se notează cu <math>| \mathbf v|</math> și, respectiv, cu <math>\lang \mathbf v , \mathbf w \rang</math>. Natura unui produs scalar presupune că lungimile de vectori pot fi și ele definite, prin definirea normei asociate <math>|\mathbf v| := \sqrt {\langle \mathbf v , \mathbf v \rangle}</math>. Spațiile vectoriale înzestrate cu astfel de date sunt cunoscute sub denumirea de ''spații vectoriale normate'' și, respectiv, ''spații prehilbertiene''.<ref>{{Harvard citations| last=Roman |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 9}}</ref>

Coordonatele spațiului {{Math|''K''<sup>''n''</sup>}} pot fi echipate cu [[Produs scalar|produsul scalar]] standard:
: <math>\lang \mathbf x , \mathbf y \rang = \mathbf x \cdot \mathbf y = x_1 y_1 + \cdots + x_n y_n.</math>
În '''R'''<sup>2</sup>, acest lucru reflectă noțiunea comună de unghi între doi vectori '''x''' și '''y''', prin [[Teorema cosinusului|legea cosinusurilor]]:
: <math>\mathbf x \cdot \mathbf y = \cos\left(\angle (\mathbf x, \mathbf y)\right) \cdot |\mathbf x| \cdot |\mathbf y|.</math>
Din această cauză, doi vectori care satisfac relația <math>\lang \mathbf x , \mathbf y \rang = 0</math> se numesc [[Ortogonalitate|ortogonali]]. O variantă importantă a produsului scalar standard este folosită în [[Spațiu Minkowski|spațiul Minkowski]]: '''R'''<sup>4</sup> înzestrat cu produsul Lorentz
: <math>\lang \mathbf x | \mathbf y \rang = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 - x_4 y_4.</math><ref>{{Harvard citations| last=Naber |year=2003 |nb=yes |loc=ch. 1.2}}</ref>
Spre deosebire de produsul scalar standard, acesta nu este {{Ill-wd|Q1182685|3=pozitiv definit}}: <math>\lang \mathbf x | \mathbf x \rang</math> ia și valori negative, de exemplu pentru <math>\mathbf x = (0, 0, 0, 1)</math>. Izolarea celei de-a patra coordonate [[Spațiu-timp|corespunzătoare timpului]], spre deosebire de cele trei dimensiuni ale spațiului—îl face util pentru tratarea matematică a [[Teoria relativității restrânse|relativității restrânse]].

=== Spatii vectoriale topologice ===
Chestiunile de convergență sunt tratate prin luarea în considerare a spațiilor vectoriale {{Math|''V''}} care au și o [[Spațiu topologic|topologie]] compatibilă, o structură care ne permite să vorbim despre elemente ca fiind [[Vecinătate (matematică)|aproape unul de altul]].<ref>{{Harvard citations| last=Treves |year=1967 |nb=yes |loc=}}</ref><ref>{{Harvard citations| last=Bourbaki |year=1987 |nb=yes |loc=}}</ref> „Compatibil” aici înseamnă că, adunarea și înmulțirea cu un scalar trebuie să fie [[Funcție continuă|aplicații continue]]. Aproximativ, dacă '''x''' și '''y''' din {{Math|''V''}}, și {{Math|''a''}} din {{Math|''K''}} variază cu o cantitate mărginită, atunci la fel variază și {{Math|'''x''' + '''y'''}} și {{Math|''a'''''x'''}}<span class="cx-segment" data-segmentid="1036">.<ref group="lower-alpha">Această cerință face ca topologia să dea naștere unei structuri uniforme, Bourbaki&nbsp;[[#CITEREFBourbaki1989|1989]],&#x2002;ch. </ref> </span><span class="cx-segment" data-segmentid="1037">Pentru a avea sens precizarea cantității cu care se modifică un scalar,</span> <span class="cx-segment" data-segmentid="1036">corpul</span> {{Math|''K''}} <span class="cx-segment" data-segmentid="1037">trebuie să aibă în acest context și o topologie; o alegere comună sunt numerele reale sau cele complexe.</span>

În astfel de ''spații vectoriale topologice,'' se poate considera un șir de vectori. [[Serie (matematică)|Suma infinită]]
: <math>\sum_{i=0}^{\infty} f_i</math>
reprezintă [[Limită a unui șir|limita]] sumelor parțiale finite ale șirului {{Math|(''f''<sub>''i''</sub>)<sub>''i''∈N</sub>}} de elemente din {{Math|''V''}}. De exemplu, {{Math|''f<sub>i</sub>''}} ar putea fi funcții (reale sau complexe) aparținând unui [[spațiu funcțional]] {{Math|''V''}}, caz în care seria este o {{Ill-wd|Q1474614|3=serie de funcții}}. {{Ill-wd|Q6889154|3=Modul de convergență}} al seriei depinde de topologia impusă spațiului de funcții. În astfel de cazuri, [[Convergență punctuală|convergența punctuală]] și {{Ill-wd|Q1411887|3=convergența uniformă}} sunt două exemple elocvente.
[[Fișier:Vector_norms2.svg|dreapta|miniatura|260x260px|[[sferă unitate|„Sferele” unitate]] din '''R'''<sup>2</sup> constau din vectori plani de normă 1.  Sunt ilustrate sferele unitate în diferite [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|''p''-norme]], pentru ''p'' = 1, 2, și ∞. Pătratul cel mare ilustrează punctele a căror 1-normă este egală cu 2.]]
O modalitate de a asigura existența unor limite ale anumitor serii infinite este de a restricționa atenția asupra spațiilor în care orice [[șir Cauchy]] este convergent; un astfel de spațiu vectorial se numește [[Spațiu complet|complet]]. Aproximativ, un spațiu vectorial este complet cu condiția ca acesta să conțină toate limitele necesare. De exemplu, spațiul vectorial al polinoamelor definite pe [[interval unitate|intervalul unitate]] [0,1], echipat cu {{Ill-wd|Q17104208|3=topologia convergenței uniforme}} nu este complet, deoarece orice funcție continuă pe [0,1] poate fi uniform aproximată printr-un șir de polinoame, de către {{Ill-wd|Q939927|3=teorema de aproximare Weierstrass}}.<ref>[[#CITEREFKreyszig1989|Kreyszig 1989]], §4.11-5</ref> În schimb, spațiul ''tuturor'' funcțiilor continue pe [0,1] cu aceeași topologie este complet.<ref>[[#CITEREFKreyszig1989|Kreyszig 1989]], §1.5-5</ref> O normă dă naștere unei topologii prin definirea noțiunii că un șir de vectori '''v'''<sub>''n''</sub> converge în '''v''' dacă și numai dacă

: <math>\text{lim}_{n \rightarrow \infty} |\mathbf v_n - \mathbf v| = 0.</math>

Spațiile Banach și Hilbert sunt spații vectoriale topologice complete ale căror topologii sunt date de o normă și, respectiv, de un produs scalar. Studiul lor—o piesă-cheie în [[Analiză funcțională|analiza funcțională]]—se axează pe spații vectoriale infinit-dimensionale, deoarece toate normele pe spații vectoriale topologice finit-dimensionale dau naștere la aceeași noțiune de convergență.<ref>{{Harvard citations| last=Choquet |year=1966 |nb=yes |loc=Proposition III.7.2}}</ref> Imaginea din dreapta arată echivalența 1-normei și ∞-normei pe '''R'''<sup>2</sup>: cum [[bilă unitate|„bilele” unitate]] se includ una pe alta, un șir converge la zero într-una din norme, dacă și numai dacă el converge și în cealaltă. În cazul infinit-dimensional însă vor exista, în general, topologii neechivalente, care fac studiul spațiilor vectoriale topologice mai bogat decât cel al spațiilor vectoriale fără date suplimentare.

Din punct de vedere conceptual, toate noțiunile legate de spații vectoriale topologice ar trebui să se potrivească cu topologia. De exemplu, în loc de a considera toate aplicațiile liniare (denumite și {{Ill-wd|Q579600|3=funcționale}}) {{Math|''V'' → ''W''}}, aplicațiile între spații vectoriale topologice sunt obligate să fie continue.<ref>{{Harvard citations| last=Treves |year=1967 |nb=yes |loc=p. 34–36}}</ref> În special, <cite id="label2">spațiul dual (topologic) {{Math|''V''<sup>∗</sup>}}</cite> constă din funcționale continue {{Math|''V'' → '''R'''}} (sau {{Math|'''C'''}}). {{Ill-wd|Q866116|3=Teorema fundamentală Hahn–Banach}} tratează separarea subspațiilor corespunzătoare spațiilor vectoriale topologice de funcționalele continue.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1983 |nb=yes |loc=Cor. 4.1.2, p. 69}}</ref>

==== Spații Banach ====
''Spațiile Banach'', prezentate de [[Stefan Banach]], sunt spații vectoriale complete normate.<ref>{{Harvard citations| last=Treves |year=1967 |nb=yes |loc=ch. 11}}</ref> Un prim exemplu este [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|spațiul vectorial ℓ <sup>''p''</sup>]] constând din vectori infiniți cu elemente reale {{Math|1='''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ...)}} ale căror [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|''p''-norme]] {{Math|(1 ≤ ''p'' ≤ ∞)}} date de
: <math>|\mathbf x|_p := \left(\sum_i |x_i|^p \right)^{1/p}</math> pentru ''p'' < ∞ și <math>|\mathbf x|_\infty := \text{sup}_i |x_i|</math>
sunt finite. Topologiile pe spațiul infinit-dimensional ℓ <sup>''p''</sup> sunt neechivalente pentru ''p'' diferite. De exemplu, șirul de vectori {{Math|1='''x'''<sub>''n''</sub> = (2<sup>−''n''</sup>, 2<sup>−''n''</sup>, ..., 2<sup>−''n''</sup>, 0, 0, ...)}}, adică primele 2<sup>''n''</sup> cu valoarea 2<sup>−''n''</sup>, și următoarele 0, converge la [[vector nul|vectorul nul]] pentru {{Math|1=''p'' = ∞}}, dar nu și pentru {{Math|1=''p'' = 1}}:
: <math>|x_n|_\infty = \sup (2^{-n}, 0) = 2^{-n} \rightarrow 0</math>, dar <math>|x_n|_1 = \sum_{i=1}^{2^n} 2^{-n} = 2^n \cdot 2^{-n} = 1.</math>
Mai general decât șirurile de numere reale, funcțiile {{Math|''f'': Ω → '''R'''}} sunt dotate cu o normă care înlocuiește suma de mai sus cu {{Ill-wd|Q853831|3=integrala Lebesgue}}
: <math>|f|_p := \left(\int_\Omega |f(x)|^p \, dx \right)^{1/p}.</math>

Spațiul [[Integrală|funcțiilor integrabile]] pe un anumit [[Domeniu de definiție|domeniu]] Ω (de exemplu un interval) care satisfac {{Math|{{abs|''f''}}<sub>''p''</sub> < ∞}}, și sunt echipate cu această normă se numesc [[Funcții p-sumabile și funcții local p-sumabile|spații Lebesgue]], notate {{Math|L<sup>''p''</sup>(Ω)}}.<ref group="lower-alpha">Inegalitatea triunghiului pentru |&#x2212;|<sub>''p''</sub> este dată de [[Inegalitatea lui Minkowski|inegalitatea Minkowski]].</ref> Aceste spații sunt complete.<ref>{{Harvard citations| last=Treves |year=1967 |nb=yes |loc=Theorem 11.2, p. 102}}</ref> (Dacă se folosește [[Integrală Riemann|integrala Riemann]] în schimb, spațiul ''nu'' este complet, ceea ce poate fi considerat a fi o justificare pentru teoria integrării Lebesgue.<ref group="lower-alpha">Multe funcții din ''L''<sup>2</sup> de măsură Lebesgue, fiind nemărginite, nu pot fi integrate cu integrala Riemann clasică.</ref>) Concret, aceasta înseamnă că pentru orice șir de funcții integrabile Lebesgue {{Math|''f''<sub>1</sub>, ''f''<sub>2</sub>, ...}} , cu {{Math|{{abs|''f''<sub>''n''</sub>}}<sub>''p''</sub> < ∞}}, care îndeplinesc condiția

: <math> \lim_{k,\ n \to \infty}\int_\Omega |{f}_k (x)-{f}_n (x)|^p \, dx = 0</math>
există o funcție {{Math|''f''(''x'')}} aparținând spațiului vectorial {{Math|L<sup>''p''</sup>(Ω)}}, astfel încât
: <math>\lim_{k \to \infty}\int_\Omega |{f} (x)-{f}_k (x)|^p \, dx = 0.\ </math>

Impunerea condițiilor de mărginire nu numai pe funcție, ci și pe [[Derivată|derivatele]] ei, duce la {{Ill-wd|Q1501536|3=spații Sobolev}}.<ref>{{Harvard citations| last=Evans |year=1998 |nb=yes |loc=ch. 5}}</ref>

==== Spații Hilbert ====
[[Fișier:Periodic_identity_function.gif|dreapta|miniatura|400x400px|Cadrele succesive arată însumarea a de la 1 la 5 termeni care aproximează o funcție periodică (albastru) cu o sumă finită de funcții sinusoidale (roșu).]]
Spațiile prehilbertiene complete se numesc ''spații Hilbert'', în cinstea lui [[David Hilbert]].<ref>{{Harvard citations| last=Treves |year=1967 |nb=yes |loc=ch. 12}}</ref>
În spațiul Hilbert {{Math|L<sup>2</sup>(Ω)}}, cu produsul scalar dat de

: <math> \langle f\ , \ g \rangle = \int_\Omega f(x) \overline{g(x)} \, dx,\,\!</math>
unde cu <math>\overline{g(x)}</math> se notează [[Conjugată complexă|conjugata complexă]] a lui ''g''(''x''),<ref name="Dennery">Dennery&nbsp;[[#CITEREFDennery1996|1996]],&#x2002;p.190</ref><ref group="lower-alpha">Pentru ''p'' ≠2, ''L''<sup>''p''</sup>(Ω) nu este spațiu Hilbert.</ref> este un caz-cheie.

Prin definiție, într-un spațiu Hilbert, orice șir Cauchy converge la o limită. În schimb, este la fel de importantă și găsirea unui șir de funcții {{Math|''f''<sub>''n''</sub>}} cu proprietățile dorite care aproximează o anumită funcție-limită. Analiza timpurie, sub forma [[Serie Taylor|aproximării Taylor]], a stabilit o aproximare a [[funcție derivabilă|funcțiilor derivabile]] {{Math|''f''}} cu polinoame.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1993 |nb=yes |loc=Th. XIII.6, p. 349}}</ref> Conform <cite id="labelStoneWeierstrass">{{Ill-wd|Q939927|3=teoremei Stone–Weierstrass}}</cite>, orice funcție continuă pe {{Math|[''a'', ''b'']}} poate fi aproximată oricât de îndeaproape se dorește cu un polinom.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1993 |nb=yes |loc=Th. III.1.1}}</ref> O tehnică similară de aproximare cu [[Funcție trigonometrică|funcții trigonometrice]] se numește de obicei [[Serie Fourier|dezvoltare în serie Fourier]], și este aplicată frecvent în inginerie, a se vedea [[#labelFourier|mai jos]]. <cite id="basis_in_inf_dim_context">Mai general, și mai conceptual, teorema dă o simplă descriere a ce „funcții de bază”, sau, în spațiile Hilbert abstracte, a ce vectori din bază sunt suficienți pentru a genera un spațiu Hilbert ''H'', în sensul că ''{{Ill-wd|Q320346|3=închiderea}}'' intervalului generat de ele (de exemplu, combinațiile liniare finite și limitele acestora) este întregul spațiu.</cite> O astfel de mulțime de funcții se numește o ''bază'' a lui ''H'', cardinalitatea sa fiind cunoscută ca [[Spațiu Hilbert|dimensiune a spațiului Hilbert]].<ref group="lower-alpha">O bază a unui spațiu Hilbert nu este același lucru ca baza în sensul algebrei liniare [[#label1|de mai sus]].</ref> Nu numai că teorema prezintă funcțiile corespunzătoare din bază ca fiind suficiente pentru scopul aproximării, ci, împreună cu [[Procedeul Gram–Schmidt|procedeul Gram-Schmidt]], ea permite și construirea unei {{Ill-wd|Q3306808|3=baze de vectori ortogonali}}.<ref>{{Harvard citations| last=Choquet |year=1966 |nb=yes |loc=Lemma III.16.11}}</ref> Astfel de baze ortogonale sunt generalizările la nivel de spațiu Hilbert ale axelor de coordonate în [[Spațiu euclidian|spațiul euclidian]] finit-dimensional.

Soluțiile a diverse [[Ecuație diferențială|ecuații diferențiale]] pot fi interpretate în termeni de spații Hilbert. De exemplu, numeroase domenii ale fizicii și ingineriei duc la astfel de ecuații și soluții cu anumite proprietăți fizice sunt frecvent utilizate ca funcții de bază, de multe ori ortogonale.<ref>{{Harvard citations| last=Kreyszig |year=1999 |nb=yes |loc=Chapter 11}}</ref> Ca un exemplu din fizică, [[ecuația lui Schrödinger]] dependentă de timp din [[Mecanică cuantică|mecanica cuantică]] descrie schimbarea proprietăților fizice în timp printr-o [[ecuație cu derivate parțiale]], ale cărei soluții sunt numite [[Funcție de undă|funcții de undă]].<ref>{{Harvard citations| last=Griffiths |year=1995 |nb=yes |loc=Chapter 1}}</ref> Valorile definite pentru proprietățile fizice, cum ar fi energia, sau impulsul, corespund [[Vectori și valori proprii|valorilor proprii]] ale unui {{Ill-wd|Q1058681|3=operator diferențial}} (liniar) și funcțiile de undă asociate se numesc [[Stare cuantică|stări proprii]]. {{Ill-wd|Q1425077|3=Teorema spectrală}} descompune un {{Ill-wd|Q1780743|3=operator compact}} liniar care acționează asupra funcțiilor în termenii acestor funcții proprii și valorilor lor proprii.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1993 |nb=yes |loc=ch. XVII.3}}</ref>

=== Algebre peste corpuri ===
[[Fișier:Rectangular_hyperbola.svg|dreapta|miniatura|250x250px|O [[hiperbolă]], dată de ecuația {{Math|1=''x'' ⋅ ''y'' = 1}}. {{Ill-wd|Q3554813|3=Inelul de coordonate}} al funcțiilor pe această hiperbolă este dat de {{Math|'''R'''[''x'', ''y''] / (''x'' &middot; ''y'' − 1)}}, un spațiu vectorial infinit-dimensional peste {{Math|'''R'''}}.]]
Spațiile vectoriale generale nu posedă o înmulțire între vectori. Un spațiu vectorial dotat un [[Aplicație biliniară|operator biliniar]] care definește înmulțirea a doi vectori este o ''algebră peste un corp''.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=ch. III.1, p. 121}}</ref> Multe algebre rezultă din funcții definite pe unele obiecte geometrice: întrucât funcțiile cu valori într-un anumit domeniu pot fi înmulțite punctual, aceste entități formează algebre. Teorema Stone–Weierstrass menționată [[#labelStoneWeierstrass|mai sus]], de exemplu, se bazează pe {{Ill-wd|Q806066|3=algebre Banach}}, care sunt atât spații Banach, cât și algebre.

[[Algebră comutativă|Algebra comutativă]] face mare uz de {{Ill-wd|Q1455652|3=inele de polinoame}} într-una sau mai multe variabile, introduse [[#labelPolynomialRing|mai sus]]. Înmulțirea lor este atât [[Comutativitate|comutativă]], cât și [[Asociativitate|asociativă]]. Aceste inele și factorii lor formează baza [[Geometrie algebrică|geometriei algebrice]], deoarece acestea sunt {{Ill-wd|Q3554813|3=inele de funcții de obiecte geometrice algebrice}}.<ref>{{Harvard citations| last=Eisenbud |year=1995 |nb=yes |loc=ch. 1.6}}</ref>

Un alt important exemplu sunt ''algebrele Lie'', care nu sunt nici comutative și nici asociative, dar faptul că nu sunt limitate de constrângerile ({{Math|[''x'', ''y'']}} reprezintă produsul dintre {{Math|''x''}} și {{Math|''y''}}):
* {{Math|1=[''x'', ''y''] = −[''y'', ''x'']}} ({{Ill-wd|Q639608|3=anticomutativitate}}), și
* {{Math|1=[''x'', [''y'', ''z''<nowiki>]] + [</nowiki>''y'', [''z'', ''x''<nowiki>]] + [</nowiki>''z'', [''x'', ''y''<nowiki>]] = 0</nowiki>}} ({{Ill-wd|Q1151539|3=identitatea Jacobi}}).<ref>{{Harvard citations| last=Varadarajan |year=1974 |nb=yes |loc=}}</ref>
Printre exemple se numără spațiul vectorial al matricelor ''n''-pe-''n'', cu {{Math|1=[''x'', ''y''] = ''xy'' − ''yx''}}, {{Ill-wd|Q2989763|3=comutatorul}} a două matrice, și {{Math|'''R'''<sup>3</sup>}}, dotat cu [[Produs vectorial|produsul vectorial]].

{{Ill-wd|Q2296021|3=Algebra tensorială}} T(''V'') este un mod formal de a adăuga produsul la orice spațiu vectorial ''V'' pentru a obține o algebră.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=ch. XVI.7}}</ref> Ca spațiu vectorial, este generat de simboluri, numite simplu [[Tensor|tensori]]
: {{Math|'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub> ⊗ ... ⊗ '''v'''<sub>''n''</sub>}}, unde gradul {{Math|''n''}} variază.
Înmulțirea este dată prin concatenarea acestor simboluri, care impune în plus [[Distributivitate|legea distributivă]] față de adunare, și faptul că necesită ca înmulțirea cu un scalar să fie comutativă cu produsul tensorial ⊗, în același fel ca și produsul tensorial a două spații vectoriale introdus [[#Tensor product|mai sus]]. În general, nu există relații între {{Math|'''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub>}} și {{Math|'''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''v'''<sub>1</sub>}}. Forțând două astfel de elemente să fie egale, se obțin {{Ill-wd|Q1052674|3=algebre simetrice}}, pe când punerea condiției ca {{Math|1='''v'''<sub>1</sub> ⊗ '''v'''<sub>2</sub> = − '''v'''<sub>2</sub> ⊗ '''v'''<sub>1</sub>}} dă [[Algebră Grassmann|algebre exterioare]].<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=2002 |nb=yes |loc=ch. XVI.8}}</ref>

== Aplicații ==
Spații vectoriale au multiple aplicații întrucât apar în multe situații, și anume oriunde sunt implicate funcții cu valori într-un anumit corp. Ele oferă un cadru de tratare a problemelor analitice și geometrice, sau sunt utilizate în transformata Fourier. Această listă nu este exhaustivă: există mult mai multe aplicații, de exemplu, în [[optimizare]]. {{Ill-wd|Q25047507|3=Teorema minimax}} din [[teoria jocurilor]], care afirmă existența unui câștig unic atunci când toți jucătorii joacă optim poate fi formulată și demonstrată folosind metode cu spații vectoriale.<ref>{{Harvard citations| last=Luenberger |year=1997 |nb=yes |loc=§7.13}}</ref> [[Teoria reprezentării]] reușește să transfere buna înțelegere a algebrei liniare și a spațiilor vectoriale în alte domenii matematice, cum ar fi [[Teoria grupurilor|teoria grupurilor]].<ref group="lower-alpha">Vezi teoria reprezentării și reprezentarea grupurilor.</ref>

=== Distribuții ===
O ''distribuție'' (sau o ''funcție generalizată'') este o aplicație liniară ce atribuie un număr fiecărei {{Ill-wd|Q865811|3=funcții „test”}}, de obicei, o {{Ill-wd|Q868473|3=funcție netedă}} cu {{Ill-wd|Q1136376|3=suport compact}}, într-un mod continuu: în terminologia [[#label2|de mai sus]], spațiul distribuțiilor este dualul (continuu) al spațiului funcției „test”.<ref>{{Harvard citations| last=Lang |year=1993 |nb=yes |loc=Ch. XI.1}}</ref> Acesta din urmă este dotat cu o topologie care ia în considerare nu numai pe {{Math|''f''}} în sine, ci și toate derivatele sale superioare. Un exemplu standard este rezultatul integrării unei funcții test {{Math|''f''}} pe un domeniu Ω:
: <math>I(f) = \int_\Omega f(x)\,dx.</math>
Atunci când {{Math|1=Ω = {''p''},}} mulțimea formată dintr-un singur punct, aceasta se reduce la [[Funcția lui Dirac|distribuția Dirac]], notată cu δ, care asociază unei funcții test {{Math|''f''}} valoarea sa în punctul {{Math|1=''p'': δ(''f'') = ''f''(''p'')}}. Distribuțiile sunt un instrument puternic de rezolvare a ecuațiilor diferențiale. Deoarece toate noțiunile analitice standard, cum ar fi derivatele, sunt liniare, ele se extind în mod natural în spațiul distribuțiilor. Prin urmare, ecuația în cauză poate fi transferată într-un spațiu de distribuție, care este mai mare decât spațiul funcțional de bază, astfel că sunt disponibile mai multe metode flexibile pentru rezolvarea ecuației. De exemplu, {{Ill-wd|Q378435|3=funcțiile lui Green}} și {{Ill-wd|Q1474123|3=soluțiile fundamentale}} sunt, de obicei, distribuții, și nu funcții propriu-zise, și pot fi apoi folosite pentru a găsi soluții ale ecuației cu condițiile la limită prescrise. Soluția găsită poate fi atunci, în unele cazuri, demonstrată a fi de fapt o funcție adevărată, și o soluție pentru ecuația originală (de exemplu, folosind {{Ill-wd|Q9993851|3=teorema Lax–Milgram}}, o consecință a {{Ill-wd|Q1357684|3=teoremei de reprezentare Riesz}}).<ref>{{Harvard citations| last=Evans |year=1998 |nb=yes |loc=Th. 6.2.1}}</ref>

=== Analiza Fourier ===
[[Fișier:Heat_eqn.gif|dreapta|miniatura|200x200px|Ecuația căldurii descrie variația proprietăților fizice în timp, cum ar fi scăderea temperaturii unui corp fierbinte plasat într-un mediu mai rece (galben descrie regiunile mai reci decât cele roșii).]]
Dezvoltarea unei [[Funcție periodică|funcții periodice]] într-o sumă de [[Funcție trigonometrică|funcții trigonometrice]] formează o <cite id="labelFourier">''[[serie Fourier]]''</cite>, o tehnică des utilizată în fizică și inginerie.<ref group="lower-alpha">Deși seria Fourier este periodică, tehnica se poate aplica oricărei funcții ''L''<sup>2</sup> pe un interval considerând funcția ca fiind periodică în afara intervalului.</ref><ref>{{Harvard citations| last=Folland |year=1992 |nb=yes |loc=p. 349 ''ff''}}</ref> Spațiul vectorial este, de obicei, [[Spațiu Hilbert|spațiul Hilbert]] ''L''<sup>2</sup>(0, 2π), pentru care funcțiile {{Math|sin ''mx''}} și {{Math|cos ''mx''}} (cu ''m'' un număr întreg) formează o bază ortogonală.<ref>Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;p. 150</ref> [[Serie Fourier|Dezvoltarea în serie Fourier]] a unei funcții {{Math|L<sup>2</sup>''f''}} ''este''
: <math>
\frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{\infty}\left[a_m\cos\left(mx\right)+b_m\sin\left(mx\right)\right].
</math>

Coeficienții {{Math|''a''<sub>''m''</sub>}} și {{Math|''b''<sub>''m''</sub>}} se numesc [[Serie Fourier|coeficienții Fourier]] ai lui {{Math|''f''}}, și sunt calculați prin formulele<ref name="ReferenceA">Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;§4.5</ref>
: <math>a_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \cos (mt) \, dt</math>, <math>b_m = \frac{1}{\pi} \int_0^{2 \pi} f(t) \sin (mt) \, dt.</math>
Din punct de vedere fizic, funcția este reprezentată ca o [[Principiul superpoziției|suprapunere]] de [[Sinusoidă|unde sinusoidale]] și coeficienții dau informații despre {{Ill-wd|Q1331626|3=spectrul de frecvență}} al funcției.<ref>Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;p. 57</ref> Se mai folosește frecvent și o formă cu numere complexe a seriei Fourier.<ref name="ReferenceA">Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;§4.5</ref> Formulele concrete de mai sus sunt consecințele unei mai generale [[Dualitate (matematică)|dualități matematice]] numită {{Ill-wd|Q1632419|3=dualitate Pontreaghin}}.<ref>{{Harvard citations| last=Loomis |year=1953 |nb=yes |loc=Ch. VII}}</ref> Aplicată [[Grup (matematică)|grupului]] '''R''', ea dă transformata Fourier clasică; o aplicație în fizică sunt {{Ill-wd|Q164129|3=rețelele reciproce}}, în care grupul de bază este un spațiu vectorial finit-dimensional real înzestrat cu elementele suplimentare ale unei [[Rețea (geometrie)|rețele]] ce codifică pozițiile [[atom]]ilor în [[cristal]]e.<ref>Ashcroft &#x26; Mermin&nbsp;[[#CITEREFAshcroftMermin1976|1976]],&#x2002;Ch. 5</ref>

Seriile Fourier sunt folosite și pentru a rezolva [[problema condiției la limită |probleme cu condiții la limită]] în [[Ecuație cu derivate parțiale|ecuațiile cu derivate parțiale]].<ref>{{Harvard citations| last=Kreyszig |year=1988 |nb=yes |loc=p. 667}}</ref> În 1822, [[Joseph Fourier|Fourier]] a fost primul care a folosit această tehnică pentru a rezolva [[Ecuația propagării căldurii|ecuația căldurii]].<ref>{{Harvard citations| last=Fourier |year=1822 |nb=yes |loc=}}</ref> O versiune discretă a seriilor Fourier se poate folosi în aplicații de [[Eșantionare (procesare de semnal)|eșantionare]] în care valoarea funcției este cunoscută doar într-un număr finit de puncte [[echidistant]]e. În acest caz, seria Fourier este finită și valoarea sa este peste tot egală cu punctele eșantionate.<ref>Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;p. 67</ref> Mulțimea coeficienților este cunoscută sub numele de {{Ill-wd|Q2878|3=transformata Fourier discretă}} (DFT) a eșantionului dat. DFT este unul dintre instrumentele-cheie din {{Ill-wd|Q173142|3=prelucrarea semnalelor digitale}}, un domeniu printre ale cărui aplicații se numără [[RADAR|radarul]], {{Ill-wd|Q3270773|3=codificarea sunetului}}, [[Compresia imaginilor|compresia imaginilor]].<ref>Ifeachor &#x26; Jervis&nbsp;[[#CITEREFIfeachorJervis2002|2002]],&#x2002;pp. 3–4, 11</ref> Formatul de imagine [[JPEG]] este o aplicație strâns legată de [[Transformata cosinus discretă|transformarea cosinus discretă]].<ref>Wallace&nbsp;[[#CITEREFWallaceFeb 1992|Feb 1992]]</ref>

{{Ill-wd|Q623950|3=Transformata Fourier rapidă}} este un algoritm rapid de calcul a transformatei Fourier discrete.<ref>Ifeachor &#x26; Jervis&nbsp;[[#CITEREFIfeachorJervis2002|2002]],&#x2002;p. 132</ref> Este folosit nu numai pentru calculul coeficienților Fourier ci, folosind {{Ill-wd|Q2638931|3=teorema de convoluție}}, și pentru calculul [[Convoluție|convoluției]] a două șiruri finite.<ref>Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;§10.2</ref> Acestea, la rândul lor, sunt aplicate în {{Ill-wd|Q1163067|3=filtrele digitale}}<ref>Ifeachor &#x26; Jervis&nbsp;[[#CITEREFIfeachorJervis2002|2002]],&#x2002;pp. 307–310</ref> și ca {{Ill-wd|Q130762|3=algoritm rapid de înmulțire}} pentru polinoame și numere întregi mari ({{Ill-wd|Q1938391|3=algoritmul Schönhage-Strassen}}).<ref>Gasquet &#x26; Witomski&nbsp;[[#CITEREFGasquetWitomski1999|1999]],&#x2002;§10.3</ref><ref>Schönhage &#x26; Strassen&nbsp;[[#CITEREFSch.C3.B6nhageStrassen1971|1971]]</ref>

=== Geometrie diferențială ===
[[Fișier:Image_Tangent-plane.svg|dreapta|miniatura|200x200px|Spațiul tangent la o [[Sferă|2-sferă]] la un moment dat este planul infinit care atinge sfera în acel punct.]]
{{Ill-wd|Q909601|3=Planul tangent}} la o suprafață într-un punct este, în mod natural, un spațiu vectorial a cărui origine este punctul de contact. Planul tangent este cea mai bună [[aproximare liniară]], sau {{Ill-wd|Q1520713|3=liniarizare}} a unei suprafețe într-un punct.<ref group="lower-alpha">Adică ([[#CITEREFBSE-32001|BSE-3 2001]]) planul care trece prin punctul de contact ''P'' astfel încât [[distanța de la un punct la un plan |distanța de la un punct ''P''<sub>1</sub> la suprafața planului]] este infinitezimal de mică prin comparație cu distanța de la ''P''<sub>1</sub> la ''P'' la limită când ''P''<sub>1</sub> se apropie de ''P'' pe suprafață.</ref> Chiar și într-un spațiu euclidian tridimensional, nu există de obicei niciun mod natural de a prescrie o bază a planului tangent, și, deci, el este conceput ca un spațiu vectorial abstract, mai degrabă decât ca un spațiu cu coordonate reale. ''Spațiul tangent'' este generalizarea la {{Ill-wd|Q3552958|3=varietăți diferențiabile}} de dimensiuni superioare.<ref name="ReferenceB">Spivak&nbsp;[[#CITEREFSpivak1999|1999]],&#x2002;ch. 3</ref>

{{Ill-wd|Q632814|3=Varietatile riemanniene}} sunt varietăți ale căror spații tangente sunt dotate cu un produs scalar adecvat.<ref>Jost&nbsp;[[#CITEREFJost2005|2005]]. </ref> De aici rezultă [[Tensorul Riemann|tensorul Riemann (de curbură)]] care codifică toate [[Curbură|curburile]] unei varietăți într-un singur obiect, care își găsește aplicații în [[teoria relativității generale]], de exemplu, în care {{Ill-wd|Q550929|3=tensorul Einstein}} descrie materia și conținutul de energie al [[spațiu-timp]]ului.<ref>Misner, Thorne &#x26; Wheeler&nbsp;[[#CITEREFMisnerThorneWheeler1973|1973]],&#x2002;ch. 1.8.7, p. 222 and ch. 2.13.5, p. 325</ref><ref>{{Harvard citations| last=Jost |year=2005 |nb=yes |loc=ch. 3.1}}</ref> Spațiul tangent la un grup Lie poate fi dat în mod natural ca structura unei algebre Lie și poate fi folosit pentru a clasifica {{Ill-wd|Q1887083|3=grupuri Lie compacte}}.<ref>{{Harvard citations| last=Varadarajan |year=1974 |nb=yes |loc=ch. 4.3, Theorem 4.3.27}}</ref>

== Generalizări ==

=== Fibrate vectoriale ===
[[Fișier:Mobius_strip_illus.svg|dreapta|miniatura|249x249px|O bandă Möbius. La nivel local, ea {{Ill-wd|Q202906|3=seamănă cu}} {{Math|''U'' × '''R'''}}.]]
Un ''fibrat vectorial'' este o familie de spații vectoriale parametrizate continuu de un [[spațiu topologic]] {{Math|''X''}}.<ref name="ReferenceB">Spivak&nbsp;[[#CITEREFSpivak1999|1999]],&#x2002;ch. 3</ref> Mai precis, un fibrat vectorial peste {{Math|''X''}} este un spațiu topologic {{Math|''E''}} echipat cu o aplicație continuă
:<math>\pi \colon E \rightarrow X</math>

cu proprietatea că pentru orice {{Math|''x''}} din {{Math|''X''}}, {{Ill-wd|Q1640811|3=fibra}} {{Math|π<sup>-1</sup>(''x'')}} este un spațiu vectorial. Cazul {{Math|1=dim ''V'' = 1}} se numește o {{Ill-wd|Q1509762|3=fibră de drepte}}. Pentru orice spațiu vectorial {{Math|''V''}}, proiecția {{Math|''X'' × ''V'' → ''X''}} transformă produsul {{Math|''X'' × ''V''}} într-un {{Ill-wd|Q1154996|3=fibrat vectorial „trivial”}}. Fibratele vectoriale peste {{Math|''X''}} sunt în mod necesar {{Ill-wd|Q1868414|3=la nivel local}} un produs între {{Math|''X''}} și un spațiu vectorial fixat {{Math|''V''}}: pentru fiecare {{Math|''x''}} din {{Math|''X''}}, există o [[Vecinătate (matematică)|vecinătate]] {{Math|''U''}} a lui {{Math|''x''}} astfel încât [[restricție (matematică) |restricția]] lui {{Math|π}} la {{Math|π<sup>-1</sup>(''U'')}} este izomorfă<ref group="lower-alpha">Adică există un homeomorfism de la {{Math|π<sup>−1</sup>(''U'')}} la {{math|''V'' × ''U''}} care se restrânge la izomorfisme liniare între fibre.</ref> cu fibratul trivial {{Math|''U'' × ''V'' → ''U''}}. În ciuda caracterului lor local și trivial, fibratele vectoriale pot (în funcție de forma spațiului-suport {{Math|''X''}}) să fie „răsucite” la scară mare (de exemplu, fibratul nu trebuie să fie global izomorf cu fibratul trivial {{Math|''X'' × ''V''}}). De exemplu, [[banda lui Möbius|fâșia lui Möbius]] poate fi văzută ca un fibrat vectorial de drepte peste cercul ''S''<sup>1</sup> (identificând intervale deschide pe dreapta reală). Cu toate acestea, este diferit de [[Cilindru (geometrie)|cilindrul]] {{Math|''S''<sup>1</sup> × '''R'''}}, deoarece acesta din urmă este {{Ill-wd|Q2748415|3=orientabil}}, în timp ce fâșia lui Möbius, nu.<ref>{{Harvard citations| last=Kreyszig |year=1991 |nb=yes |loc=§34, p. 108}}</ref>

Proprietățile anumitor fibrate vectoriale oferă informații despre spațiul topologic suport al lor. De exemplu, {{Ill-wd|Q746550|3=fibratul tangent}} constă din mulțimea {{Ill-wd|Q909601|3=spațiilor tangente}} parametrizată de punctele unei varietăți derivabile. Fibratul tangent la cercul {{Math|''S''<sup>1</sup>}} la nivel global este izomorf cu {{Math|''S''<sup>1</sup> × '''R'''}}, deoarece nu există [[câmp vectorial]] global nenul pe {{Math|''S''<sup>1</sup>}}.<ref group="lower-alpha">Un fibrat de drepte, cum ar fi fibratul tangent la {{Math|''S''<sup>1</sup>}} este trivial dacă și numai dacă există o secțiune care nu dispare nicăieri, vezi Husemoller&nbsp;[[Spațiu vectorial#CITEREFHusemoller1994|1994]],&#x2002;Corollary 8.3. </ref> În contrast, conform {{Ill-wd|Q1077741|3=teoremei bilei păroase}}, nu există niciun câmp vectorial (tangent) pe [[Sferă|2-sfera]] {{Math|''S''<sup>2</sup>}}, care să fie peste tot nenul.<ref>Eisenberg &#x26; Guy&nbsp;[[#CITEREFEisenbergGuy1979|1979]]</ref> {{Ill-wd|Q15615154|3=K-teoria}} studiază clasele de izomorfism ale tuturor fibratelor vectoriale peste un spațiu topologic.<ref>{{Harvard citations| last=Atiyah |year=1989 |nb=yes |loc=}}</ref> În plus față de perspectivele topologice și geometrice mai profunde, conceptul are consecințe pur algebrice, cum ar fi clasificarea [[Algebră cu diviziune|algebrelor cu diviziune]] reale și de dimensiuni finite: '''R''', '''C''', [[cuaternion]]ii '''H''' și [[octonion]]ii '''O'''.

{{Ill-wd|Q1142143|3=Fibratul cotangent}} al unei varietăți diferențiabile constă, în fiecare punct al varietății, din dualul spațiului tangent, {{Ill-wd|Q1713076|3=spațiul cotangent}}. {{Ill-wd|Q11703678|3=Secțiunile}} acelui fibrat sunt cunoscute sub numele de {{Ill-wd|Q1047080|3=1-formă diferențială}}.

=== Module ===
''Modulele'' sunt pentru [[Inel (matematică)|inele]] ce sunt spații vectoriale pentru corpuri: aceleași axiome, aplicate la un inel {{Math|''I''}} în loc de un corp comutativ {{Math|''K''}}, dau module.<ref>{{Harvard citations| last=Artin |year=1991 |nb=yes |loc=ch. 12}}</ref> Teoria modulelor, față de cea a spațiilor vectoriale, este complicată de prezența elementelor de inel care nu au {{Ill-wd|Q216906|3=element invers multiplicativ}}. De exemplu, modulele nu au neapărat baze, după cum demonstrează '''Z'''-modulul (de exemplu, [[Grup abelian|grupul abelian]]) {{Ill-wd|Q319400|3='''Z'''/2'''Z'''}}; acele module care au bază (între care se numără și spațiile vectoriale) sunt cunoscute sub numele de {{Ill-wd|Q1292333|3=module libere}}. Cu toate acestea, un spațiu vectorial poate fi compact definit ca un {{Ill-wd|Q18848|3=modul}} peste un [[Inel (matematică)|inel]] care este și [[Corp (matematică)|corp]], elementele lui fiind denumite vectori. Unii autori folosesc termenul de ''spațiu vectorial'' cu sensul de modul peste un [[Corp (matematică)|inel cu operație de diviziune]].<ref>Grillet, Pierre Antoine. </ref> Interpretarea algebro-geometrică a [[inel comutativ|inelelor comutative]] prin intermediul {{Ill-wd|Q1154351|3=spectrului}} permite dezvoltarea de concepte cum ar fi {{Ill-wd|Q942423|3=module local libere}}, omologul algebric al fibratelor vectoriale.

=== Spații afine și proiective ===
[[Fișier:Affine_subspace.svg|dreapta|miniatura|200px|Un [[plan afin]] (albastru-deschis) în '''R'''<sup>3</sup>. Este un subspațiu bidimensional deplasat cu un vector '''x''' (roșu).]]
Ca definiție aproximativă, ''spațiile afine'' sunt spații vectoriale ale căror origini nu sunt specificate.<ref>{{Harvard citations| last=Meyer |year=2000 |nb=yes |loc=Example 5.13.5, p. 436}}</ref> Mai precis, un spațiu afin este o mulțime cu o acțiune de spațiu vectorial {{Ill-wd|Q288465|3=liber tranzitivă}}. În special, un spațiu vectorial este un spațiu afin peste sine, prin aplicația
:{{math|''V'' × ''V'' → ''V'', ('''v''', '''a''') ↦ '''a''' + '''v'''}}.
Dacă {{Math|''W''}} este un spațiu vectorial, atunci un subspațiu afin este o submulțime a lui {{Math|''G''}} obținută prin translatarea unui subspatiu liniar {{Math|''V''}} cu un vector {{Math|'''x''' ∈ ''W''}} fixat; acest spațiu este notat cu {{Math|'''x''' + ''V''}} și este format din toți vectorii de forma {{Math|'''x''' + '''v'''}} pentru {{Math|'''v''' ∈ ''V''.}} Un exemplu important este spațiul soluțiilor unui [[sistem de ecuații liniare]] neomogene
:{{Math|1=''A'''''x''' = '''b'''}}

generalizând cazul omogen {{Math|1='''b''' = 0}} [[#equation3|de mai sus]].<ref>{{Harvard citations| last=Meyer |year=2000 |nb=yes |loc=Exercise 5.13.15–17, p. 442}}</ref> Spațiul soluțiilor este subspațiul afin {{Math|'''x''' + ''V''}} , unde '''x''' este o soluție particulară a ecuației, și {{Math|''V''}} este spațiul de soluții ale ecuației omogene ([[Nucleu (algebră liniară)|nucleul]] lui {{Math|''A''}}).

Mulțimea subspațiilor monodimensionale ale unui spațiu vectorial finit-dimensional {{Math|''V''}} este cunoscută ca ''spațiu proiectiv''; acesta poate fi folosit pentru a formaliza ideea dreptelor [[Paralelism|paralele]] care se intersectează la infinit.<ref>{{Harvard citations| last=Coxeter |year=1987 |nb=yes |loc=}}</ref> {{Ill-wd|Q129638|3=Grassmannienii}} și {{Ill-wd|Q938283|3=varietățile de steaguri}} generalizează acest lucru prin parametrizarea subspațiilor vectoriale de dimensiune fixă {{Math|''k''}} și, respectiv, a [[Steag (matematică)|steagurilor]] subspațiilor.

== Note de completare ==
{{listănote|group=lower-alpha}}

== Note bibliografice ==
<references />

== Bibliografie ==

=== Algebră ===
* {{Citation|last1=Artin|first1=Michael|author1-link=Michael Artin|title=Algebra|publisher={{Ill-wd|Q443253}}|isbn=978-0-89871-510-1|year=1991}}
* {{Citation|last1=Blass|first1=Andreas|title=Axiomatic set theory (Boulder, Colorado, 1983)|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|series=Contemporary Mathematics|year=1984|volume=31|chapter=Existence of bases implies the axiom of choice|pages=31–33}}
* {{Citation|last1=Brown|first1=William A.|title=Matrices and vector spaces|publisher=M. Dekker|location=New York|isbn=978-0-8247-8419-5|year=1991}}
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Linear algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-96412-6|year=1987}}
* {{Lang Algebra}}
* {{Citation|last1=Mac Lane|first1=Saunders|author1-link=Saunders Mac Lane|title=Algebra|edition=3rd|pages=193–222|isbn=0-8218-1646-2|year=1999}}
* {{Citation|last1=Meyer|first1=Carl D.|title=Matrix Analysis and Applied Linear Algebra|url=http://www.matrixanalysis.com/|publisher={{Ill-wd|Q782100|3=SIAM}}|isbn=978-0-89871-454-8|year=2000}}
* {{Citation|last1=Roman|first1=Steven|title=Advanced Linear Algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|series=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-24766-3|year=2005|volume=135}}
* {{Citation|last1=Spindler|first1=Karlheinz|title=Abstract Algebra with Applications: Volume 1: Vector spaces and groups|publisher=CRC|isbn=978-0-8247-9144-5|year=1993}}
* {{Citation|last1=van der Waerden|first1=Bartel Leendert|author1-link=Bartel Leendert van der Waerden|title=Algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=9|isbn=978-3-540-56799-8|year=1993|language=de}}

=== Analiză ===
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Topological vector spaces|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|series=Elements of mathematics|isbn=978-3-540-13627-9|year=1987}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Integration I|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-41129-1|year=2004}}
* {{Citation|last1=Braun|first1=Martin|title=Differential equations and their applications: an introduction to applied mathematics|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-97894-9|year=1993}}
* {{Springer|last=BSE-3|title=Tangent plane|id=T/t092180}}
* {{Citation|last1=Choquet|first1=Gustave|author1-link=Gustave Choquet|title=Topology|publisher={{Ill-wd|Q2076913}}|location=Boston, MA|year=1966}}
* {{Citation|last1=Dennery|first1=Philippe|last2=Krzywicki|first2=Andre|title=Mathematics for Physicists|publisher=Courier Dover Publications|isbn=978-0-486-69193-0|year=1996}}
* {{Citation|last1=Dudley|first1=Richard M.|title=Real analysis and probability|publisher=Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software|location=Pacific Grove, CA|series=The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series|isbn=978-0-534-10050-6|year=1989}}
* {{Citation|last1=Dunham|first1=William|title=The Calculus Gallery|publisher=[[Princeton University Press]]|isbn=978-0-691-09565-3|year=2005}}
* {{Citation|last1=Evans|first1=Lawrence C.|title=Partial differential equations|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-0772-9|year=1998}}
* {{Citation|last1=Folland|first1=Gerald B.|title=Fourier Analysis and Its Applications|publisher=Brooks-Cole|isbn=978-0-534-17094-3|year=1992}}
* {{Citation|last=Gasquet|first=Claude|last2=Witomski|first2=Patrick|publication-date=1999|title=Fourier Analysis and Applications: Filtering, Numerical Computation, Wavelets|series=Texts in Applied Mathematics|publication-place=New York|publisher=[[Springer-Verlag]]|isbn=0-387-98485-2|year=1999}}
* {{Citation|last=Ifeachor|first=Emmanuel C.|last2=Jervis|first2=Barrie W.|publication-date=2002|title=Digital Signal Processing: A Practical Approach|edition=2nd|publication-place=Harlow, Essex, England|publisher=Prentice-Hall|isbn=0-201-59619-9|year=2001}}
* {{Citation|last=Krantz|first=Steven G.|publication-date=1999|title=A Panorama of Harmonic Analysis|series=Carus Mathematical Monographs|publication-place=Washington, DC|publisher=[[Mathematical Association of America]]|isbn=0-88385-031-1|year=1999}}
* {{Citation|last=Kreyszig|first=Erwin|author-link=Erwin Kreyszig|publication-date=1988|title=Advanced Engineering Mathematics|edition=6th|publication-place=New York|publisher=John Wiley & Sons|isbn=0-471-85824-2|year=1988}}
* {{Citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|author1-link=Erwin Kreyszig|title=Introductory functional analysis with applications|publisher=[[Wiley]]|location=New York|series=Wiley Classics Library|isbn=978-0-471-50459-7|year=1989}}
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Real analysis|publisher={{Ill-wd|Q353060}}|isbn=978-0-201-14179-5|year=1983}}
* {{Citation|last1=Lang|first1=Serge|author1-link=Serge Lang|title=Real and functional analysis|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-94001-4|year=1993}}
* {{Citation|last1=Loomis|first1=Lynn H.|title=An introduction to abstract harmonic analysis|publisher=D. Van Nostrand Company, Inc.|location=Toronto-New York–London|year=1953|pages=x+190}}
* {{Citation|author1-link=Helmut Schaefer|last1=Schaefer|first1=Helmut H.|last2=Wolff|first2=M.P.|title=Topological vector spaces|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-98726-2|year=1999}}
* {{Citation|last1=Treves|first1=François|title=Topological vector spaces, distributions and kernels|publisher={{Ill-wd|Q2076913}}|location=Boston, MA|year=1967}}

=== Referințe istorice ===
* {{Citation|last1=Banach|first1=Stefan|author1-link=Stefan Banach|title=Sur les opérations dans les ensembles abstraits et leur application aux équations intégrales|trans_title=Despre operațiunile din cadrul mulțimilor abstracte și aplicațiile lor în ecuații integrale|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm3/fm3120.pdf|year=1922|journal={{Ill-wd|Q771148}}|issn=0016-2736|volume=3|language=fr}}
* {{Citation|last1=Bolzano|first1=Bernard|author1-link=Bernard Bolzano|title=Betrachtungen über einige Gegenstände der Elementargeometrie|trans_title=Considerațiuni asupra unor aspecte ale geometriei elementare|url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400338|year=1804|language=de}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Éléments d'histoire des mathématiques|trans_title=Elemente de istoria matematicii|publisher=Hermann|location=Paris|year=1969|language=fr}}
* {{Citation|last1=Dorier|first1=Jean-Luc|title=A general outline of the genesis of vector space theory|url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-C&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=2&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=fd995fe2dd19abde0c081f1e989af006|year=1995|journal={{Ill-wd|Q3330664}}|volume=22|issue=3|pages=227–261|doi=10.1006/hmat.1995.1024}}
* {{Citation|last1=Fourier|first1=Jean Baptiste Joseph|author1-link=Joseph Fourier|title=Théorie analytique de la chaleur|url={{Google books|TDQJAAAAIAAJ|plainurl=y}}|publisher=Chez Firmin Didot, père et fils|year=1822|language=fr}}
* {{Citation|last1=Grassmann|first1=Hermann|author1-link=Hermann Grassmann|title=Die Lineale Ausdehnungslehre - Ein neuer Zweig der Mathematik|url={{Google books|bKgAAAAAMAAJ|page=1|plainurl=y}}|year=1844|publisher=O. Wigand|language=de}}, retipărit: {{Citation|title=Extension Theory|publisher=[[American Mathematical Society]]|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-2031-5|year=2000|author=Hermann Grassmann. Translated by Lloyd C. Kannenberg.|editor1-last=Kannenberg|editor1-first=L.C.}}
* {{Citation|last1=Hamilton|first1=William Rowan|author1-link=William Rowan Hamilton|title=Lectures on Quaternions|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=05230001&seq=9|publisher=Royal Irish Academy|year=1853}}
* {{Citation|last1=Möbius|first1=August Ferdinand|author1-link=August Ferdinand Möbius|title=Der Barycentrische Calcul : ein neues Hülfsmittel zur analytischen Behandlung der Geometrie|trans_title=Analiză baricentrică: un nou instrument de tratare analitică a geometriei|url=http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|year=1827|language=de|access-date=2016-09-13|archive-date=2006-11-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20061123192612/http://mathdoc.emath.fr/cgi-bin/oeitem?id=OE_MOBIUS__1_1_0|dead-url=yes}}
* {{Citation|last1=Moore|first1=Gregory H.|title=The axiomatization of linear algebra: 1875–1940|url=http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6WG9-45NJHDR-D&_user=1634520&_coverDate=12%2F31%2F1995&_rdoc=3&_fmt=high&_orig=browse&_srch=doc-info(%23toc%236817%231995%23999779996%23308480%23FLP%23display%23Volume)&_cdi=6817&_sort=d&_docanchor=&_ct=9&_acct=C000054038&_version=1&_urlVersion=0&_userid=1634520&md5=4327258ef37b4c293b560238058e21ad|year=1995|journal={{Ill-wd|Q3330664}}|volume=22|issue=3|pages=262–303|doi=10.1006/hmat.1995.1025}}
* {{Citation|last1=Peano|first1=Giuseppe|author1-link=Giuseppe Peano|title=Calcolo Geometrico secondo l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dalle Operazioni della Logica Deduttiva|year=1888|location=Torino|language=it}}

=== Alte referințe ===
* {{Citation|last1=Ashcroft|first1=Neil|last2=Mermin|first2=N. David|author2-link=Mermin|title=Solid State Physics|publisher=Thomson Learning|location=Toronto|isbn=978-0-03-083993-1|year=1976}}
* {{Citation|last1=Atiyah|first1=Michael Francis|author1-link=Michael Atiyah|title=K-theory|publisher={{Ill-wd|Q353060}}|edition=2nd|series=Advanced Book Classics|isbn=978-0-201-09394-0|year=1989}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=Elements of Mathematics : Algebra I Chapters 1-3|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-64243-5|year=1998}}
* {{Citation|last1=Bourbaki|first1=Nicolas|author1-link=Nicolas Bourbaki|title=General Topology. Chapters 1-4|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-64241-1|year=1989}}
* {{Citation|last1=Coxeter|first1=Harold Scott MacDonald|author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter|title=Projective Geometry|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-96532-1|year=1987}}
* {{Citation|last1=Eisenberg|first1=Murray|last2=Guy|first2=Robert|title=A proof of the hairy ball theorem|year=1979|journal={{Ill-wd|Q2707818|3=The American Mathematical Monthly}}|volume=86|issue=7|pages=572–574|doi=10.2307/2320587|publisher=Mathematical Association of America}}
* {{Citation|last1=Eisenbud|first1=David|author1-link=David Eisenbud|title=Commutative algebra|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|series=Graduate Texts in Mathematics|isbn=978-0-387-94269-8|year=1995|volume=150}}
* {{Citation|last1=Goldrei|first1=Derek|title=Classic Set Theory: A guided independent study|publisher={{Ill-wd|Q2054191}}|location=London|edition=1st|isbn=0-412-60610-0|year=1996}}
* {{Citation|last=Griffiths|first=David J.|title=Introduction to Quantum Mechanics|year=1995|publisher={{Ill-wd|Q443253}}|location=Upper Saddle River, NJ|isbn=0-13-124405-1}}
* {{Citation|last1=Halmos|first1=Paul R.|author1-link=Paul R. Halmos|title=Finite-dimensional vector spaces|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90093-3|year=1974}}
* {{Citation|last1=Halpern|first1=James D.|title=Bases in Vector Spaces and the Axiom of Choice|date=Jun 1966|journal={{Ill-wd|Q3406325}}|volume=17|issue=3|pages=670–673|doi=10.2307/2035388|publisher=American Mathematical Society}}
* {{Citation|last1=Husemoller|first1=Dale|title=Fibre Bundles|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=3rd|isbn=978-0-387-94087-8|year=1994}}
* {{Citation|last1=Jost|first1=Jürgen|title=Riemannian Geometry and Geometric Analysis|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=4th|isbn=978-3-540-25907-7|year=2005}}
* {{Citation|last1=Kreyszig|first1=Erwin|author1-link=Erwin Kreyszig|title=Differential geometry|publisher={{Ill-wd|Q2137023}}|location=New York|isbn=978-0-486-66721-8|year=1991|pages=xiv+352}}
* {{Citation|last=Kreyszig|first=Erwin|title=Advanced Engineering Mathematics|edition=8th|year=1999|publisher=[[Wiley]]|location=New York|isbn=0-471-15496-2}}
* {{Citation|last1=Luenberger|first1=David|title=Optimization by vector space methods|publisher=[[Wiley]]|location=New York|isbn=978-0-471-18117-0|year=1997}}
* {{Citation|last1=Mac Lane|first1=Saunders|author1-link=Saunders Mac Lane|title={{Ill-wd|Q5051820}}|publisher=[[Springer Science+Business Media]]|location=Berlin, New York|edition=2nd|isbn=978-0-387-98403-2|year=1998}}
* {{Citation|last1=Misner|first1=Charles W.|author1-link=Charles W. Misner|last2=Thorne|first2=Kip|author2-link=Kip Thorne|last3=Wheeler|first3=John Archibald|author3-link=John Archibald Wheeler|title={{Ill-wd|Q5597987|3=Gravitation}}|publisher=W. H. Freeman|isbn=978-0-7167-0344-0|year=1973}}
* {{Citation|last1=Naber|first1=Gregory L.|title=The geometry of Minkowski spacetime|publisher={{Ill-wd|Q2137023}}|location=New York|isbn=978-0-486-43235-9|year=2003}}
* {{Citation|last1=Schönhage|first1=A.|author1-link=Arnold Schönhage|last2=Strassen|first2=Volker|author2-link=Volker Strassen|title=Schnelle Multiplikation großer Zahlen (Fast multiplication of big numbers)|url=http://www.springerlink.com/content/y251407745475773/fulltext.pdf|year=1971|journal=Computing|issn=0010-485X|volume=7|pages=281–292|doi=10.1007/bf02242355|language=de}}{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}
* {{Citation|last1=Spivak|first1=Michael|author1-link=Michael Spivak|title=A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two)|publisher=Publish or Perish|location=Houston, TX|year=1999}}
* {{Citation|last1=Stewart|first1=Ian|title=Galois Theory|year=1975|publisher={{Ill-wd|Q2054191}}|isbn=0-412-10800-3|location=Londra|series={{Ill-wd|Q2054191}} Mathematics Series}}
* {{Citation|last1=Varadarajan|first1=V. S.|title=Lie groups, Lie algebras, and their representations|publisher={{Ill-wd|Q443253}}|isbn=978-0-13-535732-3|year=1974}}
* {{Citation|last1=Wallace|first1=G.K.|title=The JPEG still picture compression standard|year=Feb 1992|journal=IEEE Transactions on Consumer Electronics|issn=0098-3063|volume=38|issue=1|pages=xviii–xxxiv|doi=10.1109/30.125072}}
* {{Weibel IHA}}

== Legături externe ==
{{Portal|matematică}}
* {{en icon}} {{Springer|title=Vector space|id=p/v096520}}
* {{en icon}} [http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/video-lectures/lecture-9-independence-basis-and-dimension/ O prelegere] despre concepte fundamentale referitoare la spații vectoriale (ținută la [[Massachusetts Institute of Technology|MIT]])
* {{en icon}} [https://code.google.com/p/esla/ Simulator grafic] pentru conceptele de generare, liniar-dependență, bază și dimensiune

{{articol bun}}
{{Algebră liniară}}

[[Categorie:Structuri algebrice]]
[[Categorie:Concepte fizice fundamentale]]
[[Categorie:Teoria grupurilor]]