Vizualizare sursă pentru „Spațiu tridimensional”

[[Fișier:Coord planes color.svg|right|thumb|260px|O reprezentare a unui [[sistem de coordonate cartezian]] tridimensional cu axa ''x'' îndreptată către observator]]
{{Geometrie generală|3d}}
Un '''spațiu tridimensional''', '''spațiu cu trei dimensiuni''' sau '''3-spațiu''' este un [[spațiu (matematică) |spațiu]] geometric în care sunt necesare trei valori (numite [[coordonate]]) pentru a determina poziția unui [[Punct (geometrie) |punct]]). Acesta este sensul informal al termenului [[dimensiune (matematică) |dimensiune]].

În [[fizică]] și [[matematică]], o [[vector euclidian |secvență]] de ''n'' [[Număr real |numere reale]] poate fi considerată o locație într-un  spațiu ''n''-dimensional. Când ''n''&nbsp;=&nbsp;3, mulțimea tuturor acestor locații se numește ''[[spațiu euclidian]] tridimensional'' (sau pur și simplu ''spațiu euclidian'' când contextul este clar). Este reprezentat în mod obișnuit de simbolul ℝ<sup>3</sup>.<ref>{{en icon}} {{Cite web|date=2020-03-01|title=Compendium of Mathematical Symbols|url=https://mathvault.ca/hub/higher-math/math-symbols/|access-date=2020-08-12|website=Math Vault|language=en-US}}</ref><ref>{{en icon}} {{Cite web|title=Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics|url=https://encyclopediaofmath.org/wiki/Euclidean_space|access-date=2020-08-12|website=encyclopediaofmath.org}}</ref> Acesta servește ca model cu trei coordonate al [[univers]]ului fizic (adică, partea spațială, fără a lua în considerare timpul), în care există toată [[materie |materia]] cunoscută. Deși acest spațiu rămâne cel mai convingător și util mod de a modela lumea așa cum este percepută experimental,<ref>{{Cite web|title=Euclidean space {{!}} geometry|url=https://www.britannica.com/science/Euclidean-space|access-date=2020-08-12|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> este doar un exemplu din marea varietate de spații cu trei dimensiuni numite [[3-varietate|3-varietăți]]. În acest exemplu clasic, atunci când cele trei valori se referă la măsurători în direcții diferite ([[Sistem de coordonate |coordonate]]), pot fi alese oricare trei direcții, cu condiția ca [[Spațiul vectorial |vectorii]] cu aceste direcții să nu fie toți în același [[Spațiu bidimensional |2-spațiu]] ([[plan (geometrie) |plan]]). De obicei aceste trei valori sunt denumite ''[[lungime]]'', ''[[lățime]]'' și ''[[înălțime]]'', dar există și alte variante.

== În geometria euclidiană ==
=== Sisteme de coordonate ===
{{Articol principal|Sistem de coordonate }}
În matematică, [[geometrie analitică |geometria analitică]] (numită și „geometrie carteziană”) descrie fiecare punct din spațiul tridimensional prin intermediul a trei coordonate. Se dau trei [[sistem de coordonate |axe de coordonate]], fiecare perpendiculară pe celelalte două în origine, punctul în care se intersectează. De obicei sunt etichetate ''x'', ''y'' și ''z''. În raport cu aceste axe, poziția oricărui punct din spațiul tridimensional este dată de un triplet ordonat de numere reale, fiecare număr oferind distanța acelui punct de la origine, măsurată de-a lungul axei date, care este egală cu distanța acelui punct de planul determinat de celelalte două axe.<ref name="Hughes">{{en icon}} {{cite book|last1=Hughes-Hallett|first1=Deborah|last2=McCallum|first2=William G.|last3=Gleason|first3=Andrew M.|title=Calculus : Single and Multivariable|date=2013|publisher=John wiley|isbn=978-0470-88861-2|edition=6}}</ref>

Alte metode de descriere a localizării unui punct în spațiul tridimensional sunt sistemele de [[coordonate cilindrice]] și [[coordonate sferice]], dar există un număr infinit de metode posibile. Mai jos sunt imagini cu sistemele menționate mai sus.
<div style="text-align:center"><gallery mode=packed heights="200px" caption="Sisteme de coordonate>
Fișier:Coord XYZ.svg|[[Coordonate carteziene]]
Fișier:Cylindrical Coordinates.svg|[[Coordonate cilindrice]]
Fișier:Spherical Coordinates (Colatitude, Longitude).svg|[[Coordonate sferice]]
</gallery></div>

=== Drepte și planuri ===
Două puncte diferite determină întotdeauna o [[dreaptă]]. Trei puncte diferite sunt [[coliniaritate |coliniare]] sau determină un plan unic. Pe de altă parte, patru puncte diferite pot fi fie [[coliniaritate|coliniare]], fie [[coplanaritate|coplanare]], fie pot determina întregul spațiu.

Două drepte diferite pot fi fie [[drepte concurente|concurente]], fie [[paralelism|paralele]], fie [[drepte necoplanare|necoplanare]]. Două drepte paralele sau două drepte concurente se află într-un plan unic, deci dreptele necoplanare sunt drepte care nu se întâlnesc și nu se află într-un plan comun.

Două plane diferite se pot intersecta într-o dreaptă comună sau sunt paralele (adică nu se întâlnesc). Trei plane diferite, dintre care nici o pereche nu sunt paralele, se pot întâlni fie într-o dreaptă comună, fie într-un punct comun unic, fie nu au niciun punct comun toate trei. În ultimul caz, cele trei drepte de intersecție ale fiecărei perechi de plane sunt reciproc paralele.

O dreaptă poate fi situată într-un plan dat, poate intersecta acel plan într-un punct unic sau poate fi paralelă cu planul. În ultimul caz, vor exista drepte în plan care sunt paralele cu dreapta dată.

Un [[hiperplan]] este un subspațiu cu o dimensiune mai mică decât dimensiunea spațiului complet. Hiperplanele unui spațiu tridimensional sunt subspații bidimensionale, adică plane. În ceea ce privește coordonatele carteziene, punctele unui hiperplan satisfac o singură [[ecuație liniară]], deci planele din acest 3-spațiu sunt descrise prin ecuații liniare. O dreaptă poate fi descrisă de o pereche de ecuații liniare independente&nbsp;— fiecare reprezentând un plan având această dreaptă drept intersecția lor.

[[Teorema Varignon]] afirmă că punctele din mijlocul laturilor oricărui patrulater din ℝ<sup>3</sup> formează un [[paralelogram]] și, prin urmare, sunt coplanare.

=== Sfere și bile ===
{{Articol principal|Sferă}}
[[Fișier:Sphere wireframe 10deg 6r.svg|right|thumb|[[Proiecție centrală]] a unei sfere într-un [[2-spațiu]]]]
O [[sferă]] în 3-spațiu (numită și ''[[n-sferă|2-sferă]]'' deoarece este un obiect bidimensional) constă din mulțimea tuturor punctelor din 3-spațiu la o distanță fixă, ''r'', de un punct central {{mvar|P}}. [[interior (topologie) |Interiorul]] sferei se numește ''[[bilă (matematică) |bilă]]'' (sau, aici mai exact, o ''3-bilă''). Volumul bilei este dat de:
:<math>V = \frac{4}{3}\pi r^{3}</math>.

Un alt tip de sferă apare dintr-o 4-bilă, a cărei suprafață tridimensională este o ''3-sferă'': puncte [[echidistant]]e de originea spațiului euclidian ℝ<sup>4</sup>. Dacă un punct are coordonatele {{mvar|P}}(''x'',''y'',''z'',''w''), atunci <math>x^2+y^2+z^2+w^2=1 \,</math> caracterizează punctele de pe 3-[[sferă unitate|sfera unitate]] (centrată în origine).

=== Politopuri ===
{{Articol principal|Poliedru}}
În trei dimensiuni există nouă politopuri regulate: cele cinci [[poliedru platonic |poliedre platonice]] și cele patru stelate, [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrele Kepler–Poinsot]].
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Politopuri regulate tridimensionale
|-
!Clasa
!colspan=5|[[Poliedru platonic |Poliedre platonice]]
!colspan=4|[[Poliedru Kepler–Poinsot |Poliedre Kepler–Poinsot]]
|-
![[Grup de simetrie |Simetrie]]
![[Simetrie tetraedrică |T<sub>d</sub>]]
!colspan=2|[[Simetrie octaedrică |O<sub>h</sub>]]
!colspan=6|[[Simetrie icosaedrică |I<sub>h</sub>]]
|-
![[Grup Coxeter]]
!A<sub>3</sub>, [3,3]
!colspan=2|B<sub>3</sub>, [4,3]
!colspan=6|H<sub>3</sub>, [5,3]
|- 
![[Ordin de simetrie |Ordin]]
|24
|colspan=2|48
|colspan=6|120
|-
![[Poliedru regulat |Poliedru<br/>regulat]]
|[[Fișier:Tetrahedron.svg|50px]]<br/>[[Tetraedru|{3,3}]]
|[[Fișier:Hexahedron.svg|50px]]<br/>[[Cub|{4,3}]]
|[[Fișier:Octahedron.svg|50px]]<br/>[[Octaedru|{3,4}]]
|[[Fișier:Dodecahedron.svg|50px]]<br/>[[Dodecaedru|{5,3}]]
|[[Fișier:Icosahedron.svg|50px]]<br/>[[Icosaedru|{3,5}]]
|[[Fișier:SmallStellatedDodecahedron.jpg|50px]]<br/>[[Micul dodecaedru stelat |{5/2,5}]]
|[[Fișier:GreatDodecahedron.jpg|50px]]<br/>[[Marele dodecahedron|{5,5/2}]]
|[[Fișier:GreatStellatedDodecahedron.jpg|50px]]<br/>[[Marele dodecaedru stelat |{5/2,3}]]
|[[Fișier:GreatIcosahedron.jpg|50px]]<br/>[[Marele icosaedru|{3,5/2}]]
|}

=== Suprafețe de revoluție ===
{{Articol principal|Suprafață de revoluție}}
O [[suprafață]] generată prin rotirea unei [[curbă |curbe]] plane în jurul unei drepte fixe în planul său ca axă se numește [[suprafața de revoluție]]. Curba plană se numește ''[[generatoare]]a'' suprafeței. O [[secțiune plană|secțiune a suprafeței]], realizată prin intersecția suprafeței cu un plan perpendicular (ortogonal) pe axă, este un cerc.

Exemple simple se obțin atunci când generatoarea este o dreaptă. Dacă dreapta generatoare intersectează axa, suprafața de revoluție este un [[con]] cu vârful (apexul) în punctul de intersecție. Dacă generatoarea și axa sunt paralele, atunci suprafața de revoluție este un [[Cilindru (geometrie) |cilindru]].

=== Cuadrice  ===
{{Articol principal|Cuadrică }}
Analog cu [[conică |conicele]], ansamblul de puncte ale căror coordonate carteziene satisfac ecuația generală de gradul al doilea, și anume,
:<math>Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,</math>
unde {{mvar|A, B, C, F, G, H, J, K, L}} și {{mvar|M}} sunt numere reale și nu toate dintre {{mvar|A, B, C, F, G}} și {{mvar|H}} sunt zero, se numesște ''[[cuadrică]]''.<ref name=Brannan>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|pages=34–5}}</ref>

Există șase tipuri de cuarice [[degenerare (matematică) |nedegenerate]]:
# [[Elipsoid]]ul
# [[Hiperboloid |Hiperboloidul cu o pânză]]
# [[Hiperboloid |Hiperboloidul cu două pânze]]
# [[Con eliptic |Conul eliptic]]
# [[Paraboloid |Paraboloidul eliptic]]
# [[Paraboloid |Paraboloidul hiperbolic]]

Cuadricele degenerate pot fi mulțimea vidă, un singur punct, o singură dreaptă, un singur plan, o pereche de plane sau un cilindru pătratic (o suprafață constând dintr-o secțiune conică nedegenerată într-un plan <math>\pi \,</math> și toate dreptele din ℝ<sup>3</sup> prin acea conică care sunt [[normală |normale]] pe <math>\pi.</math><ref name = Brannan/> Conurile eliptice sunt uneori considerate și ele a fi cuadrice degenerate.

Hiperboloidul cu o pânză este o [[suprafață riglată]], ceea ce înseamnă că poate fi generat de o familie de drepte. De fapt, are două familii de drepte generatoare, membrii fiecărei familii sunt disjuncti și fiecare membru intersectează, cu o singură excepție, fiecare membru al celeilalte familii.<ref>{{harvnb|Brannan|Esplen|Gray|1999|pages=41–2}}</ref>

== În algebra liniară ==
Un alt punct de vedere cu privire la spațiul tridimensional se găsește în [[algebră liniară |algebra liniară]], unde ideea de independență este esențială. Spațiul are trei dimensiuni deoarece lungimea unui [[paralelipiped dreptunghic]] este independentă de lățimea sau înălțimea sa. În limbajul algebrei liniare spațiul este tridimensional deoarece fiecare punct din spațiu poate fi descris printr-o combinație liniară de trei valori ([[Vector (fizică și matematică) |vector]] cu trei componente).

=== Produs scalar, unghi și lungime ===
{{Articol principal|Produs scalar}}
Un vector poate fi reprezentat ca o săgeată. Modulul vectorului este lungimea sa, iar direcția sa este direcția indicată de săgeată. Un vector din ℝ<sup>3</sup> poate fi reprezentat printr-un triplet ordonat de numere reale. Aceste numere sunt denumite „componentele” vectorului.

[[Produs scalar |Produsul scalar]] al doi vectori <math>\mathbf A=A_1, A_2, A_3 \,</math> și <math>\mathbf B=B_1, B_2, B_3 \,</math> este definit drept:<ref>{{harvnb|Anton|1994|page=133}}</ref>
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3.</math>

Modulul vectorului <math>\mathbf A</math> este notat cu <math>\|\mathbf A\|</math>. Produsul scalar al vectorului <math>\mathbf A=A_1, A_2, A_3 \,</math> cu el însuși este:
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2,</math>
adică
:<math> \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2},</math>
care este formula [[distanță euclidiană |lungimii euclidiene]] a vectorului.

Fără a se referi la componentele vectorilor, produsul scalar al a doi vectori euclidieni diferiți de zero <math>\mathbf A</math> și <math>\mathbf B</math> este dat de:<ref>{{harvnb|Anton|1994|page=131}}</ref>
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,</math>
unde {{mvar|θ}} este [[unghi]]ul dintre {{mvar|A}} și {{mvar|B}}.

=== Produs vectorial ===
{{Articol principal|Produs vectorial}}
[[Produs vectorial |Produsul vectorial]] al doi vectori <math>\mathbf A</math> și <math>\mathbf B</math> este un vector în spațiul tridimensional. Operația este notată prin simbolul ×. Produsul <math>\mathbf A \times \mathbf B</math> este [[perpendicularitate |perpendicular]] pe ambii <math>\mathbf A</math> și <math>\mathbf B</math>, adică este normal pe planul care-i conține pe ambii. Are multe aplicații în matematică, [[fizică]] și [[inginerie]].

Spațiul și produsul formează o [[algebră peste un corp]], care nu este nici [[comutativitate |comutativ]], nici [[asociativitate |asociativ]], dar este o [[algebră Lie]], produsul vectorial fiind o [[paranteză Lie]].

Într-un ''n''-spațiu se poate folosi produsul a ''n''&nbsp;–&nbsp;1 vectori pentru a genera un vector perpendicular pe toți. Dar dacă produsul este limitat la produse binare nebanale cu rezultate vectoriale, acesta există doar în trei și șapte dimensiuni.<ref name=Massey2>{{en icon}} {{cite journal |title=Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces |author=WS Massey |year=1983 |jstor=2323537|quote=If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space. |pages=697–701 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=90 |issue=10 |doi=10.2307/2323537}}</ref>

[[Fișier:Cross product vector.svg|thumb|Produsul vectorial într-un sistem de coordonate pe dreapta]]
== În calcule ==
{{Articol principal|Calcul vectorial }}
=== Gradient, divergență și rotor ===
Într-un sistem de coordonate rectangular, [[gradient]]ul este dat de:
:<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +
\frac{\partial f}{\partial y}  \mathbf{j} +
\frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}</math>

[[Divergență |Divergența]] unui [[câmp vectorial]] continuu derivabil '''F''' = ''U'' '''i''' + ''V'' '''j''' + ''W'' '''k''' este egală cu funcția [[scalar (matematică) |scalară]]:
:<math>\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}
=\frac{\partial U}{\partial x}
+\frac{\partial V}{\partial y}
+\frac{\partial W}{\partial z
}. </math>

Dezvoltat în coordonate carteziene, [[rotor]]ul ∇ × '''F''' este, pentru '''F''' compus din [''F''<sub>x</sub>, ''F''<sub>y</sub>, ''F''<sub>z</sub>]:
:<math>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}</math>
unde '''i''', '''j''', and '''k''' sunt [[versor (fizică) |versorii]] pe axele ''x'', ''y'', respectiv ''z''. Dezvoltarea este:<ref>Arfken, p.&nbsp;43</ref>
:<math>\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}  - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}</math>

=== Integrale, integrale de suprafață și integrale de volum ===
Pentru un [[câmp scalar]] ''f'' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R''', integrala curbei continue ''C'' ⊂ ''U'' este definită drept
:<math>\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math>
unde '''r''': [a, b] → ''C'' este o parametrizare [[bijecție |bijectivă]] a curbei ''C'' astfel încât '''r'''(''a'') și '''r'''(''b'') să fie capetele lui ''C'' iar <math>a < b</math>.

Pentru un câmp vectorial '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''n''</sup>, integrala curbei continue ''C'' ⊂ ''U'' în direcția lui '''r''' este definită drept
:<math>\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>
unde · este produsul scalar iar '''r''': [a, b] → ''C'' este o parametrizare bijectivă a curbei ''C'' astfel încât '''r'''(''a'') și '''r'''(''b'') să fie capetele lui ''C''.

O [[integrală de suprafață]] este o generalizare a [[integrală multiplă |integralei multiple]] la integrarea pe [[Suprafață]]. Se poate considera că este analoaga [[integrală dublă |integralei duble]]. Pentru a găsi o formulă explicită pentru integrala de suprafață, trebuie parametrizată suprafața ''S'', luând în considerare un sistem de [[coordonate curbilinii]] pe ''S'', ca [[coordonate geografice |latitudine și longitudine]] pe o [[sferă]]. Fie o astfel de parametrizare '''x''' (''s'',&nbsp;''t''), unde (''s'',&nbsp;''t'') variază în anumite regiuni ''T'' din plan. Apoi, integrala de suprafață este dată de:
:<math>\iint_{S} f \,\mathrm dS= \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt</math>
unde expresia dintre bare din partea dreaptă este [[Magnitudinea (matematică) |magnitudinea]] produsului vectorial al [[derivată parțială |derivatelor parțiale]] '''x'''(''s'',''t'') și este cunoscută sub numele de suprafața [[element de volum |elementului]]. Fiind dat un câmp vectorial '''v''' pe ''S'', aceasta este o funcție care atribuie fiecărui '''x''' din ''S'' un vector '''v'''('''x'''), integrala de suprafață poate fi definită în funcție de componente conform definiției integralei de suprafață a unui câmp scalar; rezultatul este un vector.

O [[integrală de volum]] este o integrală pe un domeniu tridimensional. Poate însemna și o [[integrală multiplă |integrală triplă]] într-o regiune ''D'' din '''R'''<sup>3</sup> a funcției <math>f(x,y,z),</math> și este exprimată prin:
:<math>\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.</math>

=== Teorema gradientului ===
<!-- {{Articol principal|Teorema gradientului}} -->
[[Teorema gradientului]] afirmă că integrala unui gradient poate fi calculată din valorile câmpului scalar original la capetele curbei. Fie <math> \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Atunci:
:<math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}.</math>

=== Teorema Kelvin–Stokes ===
<!-- {{Articol principal|Teorema Kelvin–Stokes}} -->
[[Teorema Kelvin–Stokes]] leagă integrala de suprafață a rotorului unui câmp vectorial F pe suprafața euclidiană tridimensională Σ de integrala câmpului vectorial pe [[frontieră (topologie) |frontiera]] sa, ∂Σ:
:<math> \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}. </math>

=== Teorema divergenței ===
<!-- {{Articol principal|Teorema divergenței}} -->
Presupunând că {{mvar|V}} este o submulțime a <math>\mathbb{R}^n</math> (în cazul <math>n=3, V \,</math> reprezintă un volume în 3-spațiu) care este compactă și are frontiera netedă pe porțiuni {{mvar|S}} (notată și <math>\delta V=S)</math>. Dacă {{math|'''F'''}} este un câmp vectorial continuu derivabil definit în vecinătatea lui {{mvar|V}}, atunci [[teorema divergenței]] afirmă că:<ref name=spiegel>{{en icon}} {{cite book |author1=M. R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman | title = Vector Analysis | edition = 2nd | series = Schaum’s Outlines | publisher = McGraw Hill | location = USA | year = 2009 | isbn = 978-0-07-161545-7 }}</ref>
:{{oiint
| preintegral = <math>\iiint_V\left(\mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F}\right)\,dV=</math>
| intsubscpt = <math>\scriptstyle S</math>
| integrand = <math>(\mathbf{F}\cdot\mathbf{n})\,dS .</math>
}}

Partea stângă este integrala de volum pe volumul {{mvar|V}}, partea dreaptă este integrala de suprafață pe limita volumului {{mvar|V}}. Varietatea închisă {{math|∂''V ''}} este, în general, frontiera lui {{mvar|V}} ca suprafață normală [[orientare (geometrie)|orientată]] spre exterior, iar {{math|'''n'''}} este câmpul unitate normal orientat spre exteriorul frontierei {{math|∂''V''}}. (notația {{math| ''d'''''S'''}} poate fi folosită ca o prescurtare pentru {{math|'''n'''''dS ''}}.)

== În topologie==
[[Fișier:WikipediaGlobeOnePiece.stl|thumb|Logoul [[Wikipedia |Wikipediei]] în 3D]]
Spațiul tridimensional are o serie de proprietăți topologice care îl disting de spațiile cu alte numere de dimensiuni. De exemplu, sunt necesare cel puțin trei dimensiuni pentru a face un [[teoria nodurilor |nod]] într-o bucată de sfoară.<ref>{{en icon}} {{cite book |first1=Dale |last1=Rolfsen |title=Knots and Links |publisher=Publish or Perish |location=Berkeley, California |year=1976 |isbn=0-914098-16-0}}</ref>

În [[geometrie diferențială |geometria diferențială]] spațiile tridimensionale generice sunt [[Varietate (geometrie) |3-varietăți]], care seamănă local cu <math>{\mathbb{R}}^3</math>.

== În geometria finită ==
Multe idei cu privire la dimensiuni pot fi testate în [[geometrie finită |geometria finită]]. Cea mai simplă formă este [[PG (3,2)]], care are [[plan Fano |plane Fano]] ca subspații bidimensionale. Este o formă din [[geometrie Galois |geometria Galois]], un studiu al [[geometrie proiectivă |geometriei proiective]] folosind [[câmp finit |câmpuri finite]]. Astfel, pentru orice câmp Galois GF(''q''), există un [[spațiu proiectiv]] PG(3,''q'') cu trei dimensiuni. De exemplu, oricare trei drepte neconcurente din PG(3,''q'') sunt conținute în exact un [[regulus (geometrie) |regulus]].<ref>Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum (1998). ''Projective Geometry'', p.&nbsp;72, [[Cambridge University Press]]  {{ISBN|0-521-48277-1}}</ref>

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation|first=Howard|last=Anton|title=Elementary Linear Algebra|edition=7th|year=1994|publisher=John Wiley & Sons|isbn=978-0-471-58742-2}}
* {{en icon}} George B. Arfken, Hans J. Weber, ''Mathematical Methods For Physicists'', Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). {{isbn|978-0-12-059876-2}}.
* {{en icon}} {{citation|first1=David A.|last1=Brannan|first2=Matthew F.|last2=Esplen|first3=Jeremy J.|last3=Gray|title=Geometry|year=1999|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-59787-6}}

== Vezi și ==
* [[Spațiu bidimensional]]
* [[Spațiu cvadridimensional]]

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|3D|Spațiu tridimensional}}
* {{en icon}} {{MathWorld |title=Four-Dimensional Geometry |id=Four-DimensionalGeometry}}
* {{en icon}} [http://www.numbertheory.org/book/cha8.pdf Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry] Keith Matthews de la University of Queensland, 1991

{{Portal|Matematică}}
{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Geometrie analitică]]
[[Categorie:Geometrie multidimensională]]
[[Categorie:Dimensiune]]