Vizualizare sursă pentru „Spațiu bidimensional”

[[Fișier:Cartesian-coordinate-system.svg|thumb|260px|[[Coordonate carteziene]] bidimensionale]]
{{Geometrie generală|2d}}
Un '''spațiu bidimensional''', '''spațiu cu două dimensiuni''' sau '''2-spațiu''' este un [[spațiu (matematică) |spațiu]] geometric în care sunt necesare două valori (numite [[coordonate]]) pentru a determina poziția unui [[Punct (geometrie) |punct]]). Acesta este sensul informal al termenului [[dimensiune (matematică) |dimensiune]]. Mulțimea ℝ<sup>2</sup> de perechi de numere reale cu [[structură algebrică |structură]] adecvată servește adesea ca exemplu canonic al unui [[spațiu euclidian]] bidimensional.

Spațiul bidimensional poate fi considerat drept o proiecție a [[univers]]ului fizic pe un [[plan (geometrie) |plan]]. De obicei, este văzut ca un spațiu euclidian, iar cele două dimensiuni se numesc [[lungime]] și [[lățime]].

== Istoric ==
Cărțile I până la IV și VI din ''[[Elementele]]'' lui [[Euclid]], printre multe alte subiecte, se refereau la geometria bidimensională, dezvoltând noțiuni precum asemănarea [[formă|formelor]], [[teorema lui Pitagora]] (propoziția 47), [[egalitate (matematică) |egalitatea]] [[unghi]]urilor și [[arie (geometrie) |ariilor]], paralelismul, suma unghiurilor dintr-un [[triunghi]] și cele trei cazuri în care triunghiurile sunt „egale” (au aceeași arie).

Mai târziu, planul a fost descris într-un așa-numit ''[[coordonate carteziene |sistem de coordonate cartezian]]'', un [[sistem de coordonate]] care specifică fiecare punct dintr-un plan în mod unic, printr-o pereche de ''coordonate'' numerice, care sunt distanțele cu semn de la punct la două [[dreaptă|drepte]] [[perpendicularitate |perpendiculare]] fixe, măsurate cu aceeași [[unitate de lungime |unitate de lungime]]. Fiecare dreaptă de referință este numită ''axă de coordonate'' sau doar ''axă'' a sistemului, iar punctul în care se întâlnesc este ''[[Origine (matematică) |originea]]'', de obicei la perechea ordonată (0,&#8239;0). Coordonatele pot fi definite și ca pozițiile [[proiecție ortogonală |proiecțiilor perpendiculare]] ale punctului pe cele două axe, exprimate ca distanțe cu semn până la origine.

Ideea acestui sistem a fost dezvoltată în 1637 în scrierile lui [[Descartes]] și, independent de el, de [[Pierre de Fermat]], deși Fermat a lucrat și în trei dimensiuni și nu a publicat descoperirea.<ref>{{en icon}} {{cite encyclopedia|title=Analytic geometry|encyclopedia=Encyclopædia Britannica|year=2008|edition=Encyclopædia Britannica Online}}</ref> Ambii autori au folosit o singură axă în tratările lor și au o lungime variabilă măsurată în raport cu această axă. Conceptul de utilizare a unei perechi de axe a fost introdus mai târziu, după ce ''[[La Géométrie]]'' de Descartes a fost tradusă în latină în 1649 de [[Frans van Schooten]] și studenții săi. Acești comentatori au introdus mai multe concepte care încercau să clarifice ideile conținute în lucrarea lui Descartes.<ref>{{harvnb|Burton|2011|loc=p. 374}}</ref>

Ulterior, planul a fost gândit ca un [[câmp (fizică) |câmp]], unde orice două puncte ar putea fi multiplicate și, cu excepția lui 0, divizate. Acesta a fost cunoscut sub numele de [[planul complex]]. Planul complex este uneori numit plan Argand, deoarece este utilizat în diagramele Argand. Acestea sunt numite după [[Jean-Robert Argand]] (1768–1822), deși au fost descrise pentru prima dată de topograful și matematicianul danez-norvegian [[Caspar Wessel]] (1745–1818). Memoriul lui Wessel a fost prezentat Academiei Daneze în 1797; lucrarea lui Argand a fost publicată în 1806.<ref>Whittaker & Watson, 1927, p. 9</ref> Diagramele Argand sunt utilizate frecvent pentru a reprezenta pozițiile [[pol (matematică) |polilor și zerourilor]] unei [[funcție |funcții]] în planul complex.

==În geometrie ==
{{Articol principal|Plan (geometrie)}}

=== Sisteme de coordonate ===
{{imagine multiplă
| width = 200
| image1 = Coord XY.svg
| caption1 = <div style="text-align:center">Sistemul de coordonate carteziene</div>
| image2 = Coord Circular.svg
| caption2 = <div style="text-align:center">Sistemul de coordonate polare</div>
}}
În matematică, [[geometrie analitică |geometria analitică]] (numită și geometrie carteziană) descrie fiecare punct din spațiul bidimensional prin intermediul a două coordonate. Sunt date două axe de coordonate care se intersectează în [[Origine (matematică) |origine]]. De obicei sunt etichetate ''x'' și ''y''. Poziția oricărui punct din spațiul bidimensional în raport cu aceste axe este dată de o pereche ordonată de numere reale, fiecare număr reprezentând distanța dintre [[proiecție ortogonală |proiecția ortogonală]] a acelui punct pe axa respectivă și origine, măsurată de-a lungul axei, distanță care este egală cu distanța acelui punct față de cealaltă axă.

Alt sistem de coordonate utilizat pe scară largă este [[Coordonate polare |sistemul de coordonate polare]], care localizează un punct prin distanța sa față de origine și unghiul său față de o rază de referință (uzual unghiul față de o axă).

=== Politopuri ===
{{Articol principal|Poligon}}
În două dimensiuni, există infinit de multe [[politop]]uri: [[poligon |poligoanele]]. Primele câteva regulate sunt prezentate mai jos.

==== Convexe ====
[[Simbol Schläfli |Simbolul Schläfli]] {p} reprezintă un [[Poligon regulat |''p''-gon regulat]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Nume
![[Triunghi echilateral |Triunghi]]<br />([[Simplex|2-simplex]])
![[Pătrat]]<br />([[Ortoplex |2-ortoplex]])<br />([[Hipercub|2-cub]])
![[Pentagon]]
![[Hexagon]]
![[Heptagon]]
![[Octogon]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
![[Simbol Schläfli |Schläfli]]
|{3}
|{4}
|{5}
|{6}
|{7}
|{8}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Regular triangle.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular quadrilateral.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular pentagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular hexagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular heptagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular octagon.svg|75px]]
|-
!Nume
![[Eneagon]]
![[Decagon]]
![[Endecagon]]
![[Dodecagon]]
![[Tridecagon]]
![[Tetradecagon]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
!Schläfli
|{9}
|{10}
|{11}
|{12}
|{13}
|{14}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Regular nonagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular decagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular hendecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular dodecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular tridecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular tetradecagon.svg|75px]]
|-
!Nume
![[Pentadecagon]]
![[Hexadecagon]]
![[Heptadecagon]]
![[Octodecagon]]
![[Eneadecagon]]
![[Icosagon]]
|...[[Poligon regulat |''n''-gon]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
!Schläfli
|{15}
|{16}
|{17}
|{18}
|{19}
|{20}
|{''n''}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Regular pentadecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular hexadecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular heptadecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular octadecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular enneadecagon.svg|75px]]
|[[Fișier:Regular icosagon.svg|75px]]
|}

==== Degenerate (sferice) ====
[[Monogon]]ul regulat {1} și [[digon]]ul {2} regulat pot fi considerate poligoane regulate degenerate și există nedegenerate în spații neeuclidiene, cum ar fi [[sferă |2-sfera]], [[tor |2-torul]], sau [[cilindru |cilindrul circular drept]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0" valign="top"
!Nume
|[[Monogon]]
|[[Digon]]
|- bgcolor="#eeeedd"
![[Simbol Schläfli |Schläfli]]
|{1}
|{2}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Monogon.svg|75px]]
|[[Fișier:Digon.svg|75px]]
|}

==== Neconvexe ====
Există infinit de multe politopuri neconvexe în două dimensiuni, ale căror simboluri Schläfli constau din numere raționale {n/m}. Se numesc [[poligon stelat |poligoane stelate]] și au aceleași dispunere a [[vârf (geometrie) |vârfurilor]] ca și poligoanele regulate convexe.

În general, pentru orice număr natural ''n'', există poligoane stelate regulate cu ''n'' vârfuri, cu simbolurile Schläfli {''n''/''m''} pentru toate ''m'', astfel încât ''m''&nbsp;<&nbsp;''n''/2 (strict vorbind {''n''/'' m''}&nbsp;= {''n''/(''n''&nbsp;–&nbsp;''m'')}) și ''m'' și ''n'' să fie [[coprime]]).
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|- bgcolor="#e0e0e0"
!Nume
|[[Pentagramă]]
| colspan="2" | [[Heptagramă |Heptagrame]]
|[[Octagramă]]
| colspan="2" | [[Eneagramă |Eneagrame]]
|[[Decagramă]]
|...[[Poligon stelat|''n''-agramă]]
|- bgcolor="#ffd0d0"
![[Simbol Schläfli |Schläfli]]
|{5/2}
|{7/2}
|{7/3}
|{8/3}
|{9/2}
|{9/4}
|{10/3}
|{''n/m''}
|-
!Imagine
|[[Fișier:Star polygon 5-2.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 7-2.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 7-3.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 8-3.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 9-2.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 9-4.svg|75px]]
|[[Fișier:Star polygon 10-3.svg|75px]]
|&nbsp;
|}

=== Cerc ===
[[Fișier:CIRCLE 1.svg|200px|right|border]]
{{Articol principal|Cerc}}
[[Hipersferă |Hipersfera]] în 2 dimensiuni este un [[cerc]], uneori numit 1-sferă (''S''<sup>1</sup>) deoarece este o [[formă]] [[spațiu unidimensional|unidimensională]]. Într-un plan euclidian, are lungimea circumferinței <math>2\pi r \,</math> iar [[arie |aria]] [[interior (topologie) | interiorului]] său este <math>A=\pi r^2,</math> unde {{mvar|r}} este raza.

=== Alte forme ===
În două dimensiuni există o infinitate de alte forme curbe, incluzând în special [[conică |conicele]]: [[elipsă |elipsa]], [[parabolă |parabola]] și [[hiperbolă |hiperbola]].

== În algebra liniară ==
Un alt mod matematic de vizualizare a spațiului bidimensional se găsește în [[algebra liniară]], unde ideea independenței este esențelă. Planul are două dimensiuni, deoarece lungimea unui [[dreptunghi]] este independentă de lățimea sa. În limbajul tehnic al algebrei liniare, planul este bidimensional deoarece fiecare punct din plan poate fi descris printr-o combinație liniară de două valori ([[Vector (fizică și matematică) |vector]] cu două componente).

=== Produs scalar, unghi și lungime ===
{{Articol principal|Produs scalar}}
Un vector poate fi reprezentat ca o săgeată. Modulul vectorului este lungimea sa, iar direcția sa este direcția indicată de săgeată. Un vector din ℝ<sup>2</sup> poate fi reprezentat printr-un dublet ordonat de numere reale. Aceste numere sunt denumite „componentele” vectorului.

[[Produs scalar |Produsul scalar]] al doi vectori <math>\mathbf A=A_1, A_2 \,</math> și <math>\mathbf B=B_1, B_2 \,</math> este definit drept:<ref name="Lipschutz2009">{{en icon}} {{cite book |author1=S. Lipschutz |author2=M. Lipson |title= Linear Algebra (Schaum’s Outlines)|edition= 4th |year= 2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-154352-1}}</ref>
:<math>\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2.</math>

Modulul vectorului <math>\mathbf A</math> este notat cu <math>\|\mathbf A\|</math>. Produsul scalar al vectorului <math>\mathbf A=A_1, A_2 \,</math> cu el însuși este:
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2 = A_1^2 + A_2^2,</math>
adică
:<math> \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}</math>
care este formula [[distanță euclidiană |lungimii euclidiene]] a vectorului.

Fără a se referi la componentele vectorilor, produsul scalar al a doi vectori euclidieni diferiți de zero <math>\mathbf A</math> și <math>\mathbf B</math> este dat de:<ref name="Spiegel2009">{{cite book |author1=M.R. Spiegel |author2=S. Lipschutz |author3=D. Spellman |title= Vector Analysis (Schaum’s Outlines)|edition= 2nd |year= 2009|publisher= McGraw Hill|isbn=978-0-07-161545-7}}</ref>
:<math>\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,</math>
unde {{mvar|θ}} este [[unghi]]ul dintre {{mvar|A}} și {{mvar|B}}.

== În calcule ==
=== Gradient ===
Într-un sistem de coordonate rectangular, [[gradient]]ul este dat de:
:<math>\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +
\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j}</math>

=== Integrale și integrale duble ===
Pentru un [[câmp scalar]] ''f'' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> → '''R''', integrala curbei continue ''C'' ⊂ ''U'' este definită drept
:<math>\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.</math>
unde '''r''': [a, b] → ''C'' este o parametrizare [[bijecție |bijectivă]] a curbei ''C'' astfel încât '''r'''(''a'') și '''r'''(''b'') să fie capetele lui ''C'' iar <math>a < b</math>.

Pentru un câmp vectorial '''F''' : ''U'' ⊆ '''R'''<sup>2</sup> → '''R'''<sup>2'</sup>, integrala curbei continue ''C'' ⊂ ''U'' în direcția lui '''r''' este definită drept
:<math>\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.</math>
unde · este produsul scalar iar '''r''': [a, b] → ''C'' este o parametrizare bijectivă a curbei ''C'' astfel încât '''r'''(''a'') și '''r'''(''b'') să fie capetele lui ''C''.

O [[integrală dublă]] este o [[integrală]] pe o regiune ''D'' din '''R'''<sup>2</sup> a [[funcție]]i <math>f(x,y),</math> și se scrie de obicei:
:<math>\iint\limits_D f(x,y)\,dx\,dy.</math>

=== Teorema gradientului ===
<!-- {{Articol principal|Teorema gradientului}} -->
[[Teorema gradientului]] afirmă că integrala unui gradient poate fi calculată din valorile câmpului scalar original la capetele curbei. Fie <math> \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>. Atunci:
:<math> \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}.</math>

=== Teorema lui Green ===
{{Articol principal|Teorema Green}}
Fie ''C'' o [[curbă plană]] închisă, [[orientare (geometrie)|orientată]] pozitiv, netedă [[pe porțiuni]] și fie ''D'' regiunea delimitată de ''C''. Dacă ''L'' și ''M'' sunt funcții de (''x'',''y'') definite pe o regiune deschisă care conține pe ''D'' și are [[derivată parțială |derivate parțiale]] [[Funcție continuă |continui]] acolo, atunci<ref>{{en icon}} Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, {{isbn|978-0-521-86153-3}}</ref><ref>{{en icon}} Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009, {{isbn|978-0-07-161545-7}}</ref>
:<math>\oint_{C} (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dx\, dy</math>
unde sensul parcurgerii ''C'' este cel [[sens orar |trigonometric]].

== În topologie ==
În [[topologie]], planul este caracterizat ca fiind unica [[suprafață]] [[spațiu contractil |contractilă]].

Dimensiunea sa este caracterizează prin faptul că eliminarea unui punct din plan lasă un [[conexitate |spațiu care este conex]], dar nu [[spațiu simplu conex |simplu conex]].

== În teoria grafurilor ==
În [[teoria grafurilor]], un [[graf planar]] este un [[graf]] care poate fi încorporat în plan, adică poate fi desenat în plan în așa fel încât muchiile sale să se intersecteze doar la capetele lor (în noduri). Cu alte cuvinte, poate fi desenat în așa fel încât nicio muchie să nu se încrucișeze cu alta.<ref>{{en icon}} {{cite book|last=Trudeau|first=Richard J.|title=Introduction to Graph Theory|year=1993|publisher=Dover Pub.|location=New York|isbn=978-0-486-67870-2|pages=64|url=http://store.doverpublications.com/0486678709.html|edition=Corrected, enlarged republication.|access-date=8 August 2012|quote=Thus a planar graph, when drawn on a flat surface, either has no edge-crossings or can be redrawn without them.}}</ref>

== Note ==
{{listănote|25em}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commonscat-inline|2D|Spațiu bidimensional}}

{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Geometrie analitică]]
[[Categorie:Geometrie multidimensională]]
[[Categorie:Dimensiune]]