Vizualizare sursă pentru „Spațiu Hausdorff”

În [[topologie]] și ramurile înrudite ale [[Matematică|matematicii]], un '''spațiu Hausdorff''' ([[Alfabetul Fonetic Internațional|/ˈhaʊsdɔːrf/]], [[Alfabetul Fonetic Internațional|/ˈhaʊsdɔːrf/]]<ref>{{Citat web|url=https://www.dictionary.com/browse/hausdorff-space|titlu=Hausdorff space Definition & Meaning|accessdate=15 June 2022|lucrare=www.dictionary.com}}</ref>), '''spațiu T<sub>2</sub>''' sau '''spațiu separat''', este un [[spațiu topologic]] în care punctele distincte au [[Vecinătate (matematică)|vecinătăți]] [[Mulțimi disjuncte|disjuncte]]. Dintre numeroasele [[axiomă de separare|axiome de separare]] care pot fi impuse unui spațiu topologic, „condiția Hausdorff” (T<sub>2</sub>) este cea mai des folosită și discutată. Aceasta implică unicitatea [[Limită a unui șir|limitelor]] de [[Limită a unui șir|șiruri]], [[șir generalizat|șiruri generalizate]] și [[Filtru (topologie)|filtre]].<ref name="ncatlab">{{Citat web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms|titlu=Separation axioms in nLab|lucrare=ncatlab.org}}</ref>

Spațiile Hausdorff sunt numite după [[Felix Hausdorff]], unul dintre fondatorii topologiei. Definiția originală a spațiului topologic dată de Hausdorff (în 1914) includea condiția Hausdorff ca [[axiomă]].

== Definiții ==
[[Fișier:Hausdorff_space.svg|dreapta|miniatura|203x203px| Punctele x și y, separate prin vecinătățile lor respective U și V.]]
Puncte <math>x</math> și <math>y</math> dintr-un spațiu topologic <math>X</math> pot fi ''[[Mulțimi separate|separate prin vecinătăți]]'' dacă [[Cuantificare existențială|există]] o [[Vecinătate (matematică)|vecinătate]] <math>U</math> a lui <math>x</math> si o vecinătate <math>V</math> a lui <math>y</math> astfel încât <math>U</math> și <math>V</math> să fie [[Mulțimi disjuncte|disjuncte]] <math>(U\cap V=\varnothing)</math>. <math>X</math> este un '''spațiu Hausdorff''' dacă oricare două puncte distincte din <math>X</math> sunt separate prin vecinătăți. Această condiție este a treia [[axiomă de separare]] (după T<sub>0</sub> și T<sub>1</sub>), motiv pentru care spațiile Hausdorff sunt numite și '''spații T<sub>2</sub>'''. Se mai folosește și denumirea de ''spațiu separat''.

O noțiune înrudită, dar mai slabă, este aceea de '''spațiu preregulat'''. <math>X</math> este un spațiu preregulat dacă oricare două puncte [[indistincție topologică|distinse topologic]] pot fi separate prin vecinătăți disjuncte. Un spațiu preregulat se mai numește și '''spațiu R<sub>1</sub>'''.

Relația dintre aceste două condiții este următoarea. Un spațiu topologic este Hausdorff [[dacă și numai dacă]] este atât preregulat (adică punctele distinse topologic sunt separate prin vecinătăți), cât și [[spațiu Kolmogorov|Kolmogorov]] (adică punctele distincte sunt distinse topologic). Un spațiu topologic este preregulat dacă și numai dacă [[spațiu Kolmogorov|spațiul Kolmogorov factor]] este Hausdorff.

== Echivalențe ==
Pentru un spațiu topologic ''<math>X</math>'', următoarele afirmații sunt echivalente:<ref name="ncatlab">{{Citat web|url=https://ncatlab.org/nlab/show/separation+axioms|titlu=Separation axioms in nLab|lucrare=ncatlab.org}}</ref>

* <math>X</math> este un spațiu Hausdorff.
* Limitele [[șir generalizat|șirurilor generalizate]] din ''<math>X</math>'' sunt unice.<ref name="Willard04_86_7">{{Harvnb|Willard|2004|pp=86–87}}</ref>
* Limitele [[Filtru (topologie)|filtrelor]] pe ''<math>X</math>'' sunt unice.<ref name="Willard04_86_7" />
* Orice [[Singleton (matematică)|mulțime singleton]] <math>\{ x \} \subset X</math> este egală cu intersecția tuturor [[Vecinătate (matematică)|vecinătăților închise]] ale lui ''<math>x</math>''.<ref>{{Harvnb|Bourbaki|1966|p=75}}</ref> (O vecinătate închisă a lui <math>x</math> este o [[mulțime închisă]] care conține o mulțime deschisă ce îl conține pe <math>x</math>.)
* Diagonala ''<math>\Delta = \{ (x, x) \mid x \in X \}</math>'' este [[Mulțime închisă|închisă]] ca o submulțime a [[produs topologic|spațiului produs]] ''<math>X \times X</math>''.
* Orice injecție de la spațiul discret cu două puncte la ''<math>X</math>'' are [[Proprietate de ridicare|proprietatea de ridicare]] în raport cu aplicația de la spațiul topologic finit cu două puncte deschise și un punct închis la un singur punct.

== Exemple și contraexemple de spații Hausdorff ==
Aproape toate spațiile întâlnite în [[Analiza matematică|analiză]] sunt Hausdorff; cel mai important, [[Număr real|numerele reale]] (în raport cu [[Spațiu metric|topologia metrică]] standard pe numere reale) formează un spațiu Hausdorff. Mai general, toate [[Spațiu metric|spațiile metrice]] sunt Hausdorff. De fapt, multe spații utilizate în analiză, cum ar fi [[grup topologic|grupurile topologice]] și [[varietate topologică|varietățile topologice]], au condiția Hausdorff menționată explicit în definițiile lor.

Un exemplu simplu de topologie care este [[spatiu T1|T<sub>1</sub>]], dar nu este Hausdorff este [[topologie cofinită|topologia cofinită]] definită pe o [[mulțime infinită]], la fel ca [[Topologie numărabilă|topologia conumărabilă]] definită pe o [[mulțime nenumărabilă]].

[[Spațiu pseudometric|Spațiile pseudometrice]] de obicei nu sunt Hausdorff, dar sunt preregulate, iar utilizarea lor în analiză apare de obicei numai în construcția [[spațiu uniform|spațiilor gauge]] Hausdorff. Într-adevăr, atunci când analiștii dau de un spațiu care nu este Hausdorff, acesta este probabil cel puțin preregulat, și atunci pur și simplu îl înlocuiesc cu spațiul Kolmogorov factor, care este Hausdorff.<ref>Vedeți, de exemplu, {{ill|en|Lp space#Lp spaces and Lebesgue integrals}}, {{ill|en|Banach–Mazur compactum}} etc.</ref>

În schimb, spațiile nepreregulate sunt întâlnite mult mai des în [[Algebră abstractă|algebra abstractă]] și [[Geometrie algebrică|geometria algebrică]], în special ca [[topologie Zariski|topologia Zariski]] pe o [[varietate algebrică]] sau [[spectrul unui inel]]. Ele apar, de asemenea, în [[teoria modelelor]] [[logică intuiționistă|logicii intuiționiste]]: fiecare [[algebră Heyting]] [[latice completă|completă]] este algebra [[Mulțime deschisă|mulțimilor deschise]] ale unui spațiu topologic, dar acest spațiu nu trebuie să fie neapărat preregulat, cu atât mai puțin Hausdorff și, de obicei, nu este niciunul. Conceptul înrudit de [[domeniu Scott]] constă, de asemenea, din spații nepreregulate.

În timp ce existența unor limite unice pentru șiruri generalizate și filtre convergente implică faptul că un spațiu este Hausdorff, există spații T<sub>1</sub> care nu sunt Hausdorff în care fiecare secvență convergentă are o limită unică.<ref>{{Citat revistă|nume=van Douwen|prenume=Eric K.|an=1993|titlu=An anti-Hausdorff Fréchet space in which convergent sequences have unique limits|journal=[[Topology and Its Applications]]|volum=51|număr=2|pagini=147–158|doi=10.1016/0166-8641(93)90147-6}}</ref> Astfel de spații sunt numite ''spații US''.<ref>{{Citat revistă|nume=Wilansky|prenume=Albert|an=1967|titlu=Between T<sub>1</sub> and T<sub>2</sub>|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volum=74|număr=3|pagini=261–266|jstor=2316017|doi=10.2307/2316017}}</ref> Pentru [[Spațiu secvențial|spațiile secvențiale]], această noțiune este echivalentă cu a fi [[Spațiu slab hausdorff|slab Hausdorff]].

== Proprietăți ==
[[Spațiu indus|Subspațiile]] și [[Topologie produs|produsele]] de spații Hausdorff sunt Hausdorff, dar [[spațiu factor (topologie)|spațiile factor]] ale spațiilor Hausdorff nu sunt neapărat Hausdorff. De fapt, ''fiecare'' spațiu topologic poate fi realizat drept cât al unui spațiu Hausdorff.<ref>{{Citat revistă|nume=Shimrat|prenume=M.|an=1956|titlu=Decomposition spaces and separation properties|journal=[[Quarterly Journal of Mathematics]]|volum=2|pagini=128–129|doi=10.1093/qmath/7.1.128}}</ref>

Spațiile Hausdorff sunt [[spatiu T1|T<sub>1</sub>]], ceea ce înseamnă că orice [[Singleton (matematică)|singleton]] este o mulțime închisă. În mod similar, spațiile preregulate sunt [[spatiu R0|R<sub>0</sub>]]. Fiecare spațiu Hausdorff este un [[spațiu Sober]], deși reciproca nu este în general adevărată.

O altă proprietate a spațiilor Hausdorff este că fiecare [[Spațiu compact|mulțime compactă]] este o mulțime închisă. Pentru spațiile non-Hausdorff, se poate ca fiecare mulțime compactă să fie o mulțime închisă (de exemplu, [[Topologie numărabilă|topologia conumărabilă]] pe o mulțime nenumărabilă) sau nu (de exemplu, [[topologie cofinită|topologia cofinită]] pe o mulțime infinită și [[spațiu Sierpiński|spațiul Sierpiński]]).

Definiția unui spațiu Hausdorff spune că punctele pot fi separate prin vecinătăți. Se dovedește că acest lucru implică ceva care este aparent mai puternic: într-un spațiu Hausdorff fiecare pereche de mulțimi compacte disjuncte poate fi de asemenea separată prin vecinătăți,<ref>{{Harvnb|Willard|2004|pp=124}}</ref> cu alte cuvinte există o vecinătate a unei mulțimi și o vecinătate a celeilalte astfel încât cele două vecinătăți să fie disjuncte. Acesta este un exemplu de regulă generală conform căreia mulțimile compacte se comportă adesea ca puncte.

Condițiile de compactitate împreună cu preregularitatea implică adesea axiome de separare mai puternice. De exemplu, orice spațiu preregulat [[spațiu local compact|local compact]] este [[spațiu Tihonov|complet regulat]].{{Sfn|Schechter|1996|loc=17.14(d), p. 460}}<ref>{{Citat web|url=https://math.stackexchange.com/questions/4503299|titlu=Locally compact preregular spaces are completely regular|lucrare=math.stackexchange.com}}</ref> Spațiile preregulate [[Spațiu compact|compacte]] sunt [[spațiu normal|normale]],{{Sfn|Schechter|1996|loc=17.7(g), p. 457}} ceea ce înseamnă că ele satisfac [[lema lui Urysohn]] și [[teorema de extindere a lui Tietze]] și au [[Partiție a unității|partiții ale unității]] subordonate [[Învelitoare (topologie)|învelitorilor deschise]] local finite. Versiunile Hausdorff ale acestor afirmații sunt: orice spațiu Hausdorff local compact este [[spațiu Tychonoff|Tychonoff]], și orice spațiu Hausdorff compact este Hausdorff normal.

Următoarele rezultate sunt câteva proprietăți tehnice privind aplicațiile ([[Funcție continuă|continue]] sau nu) către și dinspre spațiile Hausdorff.

Fie ''<math>f: X \to Y</math>'' o funcție continuă și presupunem că <math>Y</math> este Hausdorff. Atunci [[Graficul unei funcții|graficul]] lui ''<math>f</math>'', <math>\{(x,f(x)) \mid x\in X\}</math>, este o submulțime închisă a lui ''<math>X \times Y</math>''.

Fie ''<math>f: X \to Y</math>'' o funcție și fie <math>\ker(f) \triangleq \{(x,x') \mid f(x) = f(x')\}</math> [[Nucleu (teoria mulțimilor)|nucleul]] său considerat ca un subspațiu al lui ''<math>X \times X</math>''.

* Dacă ''<math>f</math>'' este continuă și ''<math>Y</math>'' este Hausdorff, atunci ''<math>\ker(f)</math>'' este o mulțime închisă.
* Dacă ''<math>f</math>'' este o surjecție [[aplicații deschise și închise|deschisă]] și ''<math>\ker(f)</math>'' este o mulțime închisă, atunci ''<math>Y</math>'' este Hausdorff.
* Dacă ''<math>f</math>'' este o [[Funcție surjectivă|surjecție]] continuă, deschisă (adică o aplicație factor deschisă) atunci ''<math>Y</math>'' este Hausdorff [[dacă și numai dacă]] ''<math>\ker(f)</math>'' este o mulțime închisă.

Dacă ''<math>f, g : X \to Y</math>'' sunt aplicații continue și ''<math>Y</math>'' este Hausdorff, atunci [[Egalizator (matematică)|egalizatorul]] <math>\mbox{eq}(f,g) = \{x \mid f(x) = g(x)\}</math> este o mulțime închisă ''<math>X</math>''. Rezultă că dacă ''<math>Y</math>'' este Hausdorff, iar ''<math>f</math>'' și ''<math>g</math>'' sunt egale pe o submulțime [[Mulțime densă|densă]] a lui ''<math>X</math>'', atunci ''<math>f = g</math>''. Cu alte cuvinte, funcțiile continue în spațiile Hausdorff sunt determinate de valorile lor pe submulțimi dense.

Fie ''<math>f\colon X \to Y</math>'' o surjecție [[aplicații deschise și închise|închisă]] astfel încât ''<math>f^{-1} (y)</math>'' este [[Spațiu compact|compact]] pentru orice ''<math>y \in Y</math>''. Atunci dacă ''<math>X</math>'' este Hausdorff, la fel este și ''<math>Y</math>''.

Fie ''<math>f\colon X \to Y</math>'' o [[spațiu factor topologic|aplicație factor]] cu ''<math>X</math>'' un spațiu Hausdorff compact. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

* ''<math>Y</math>'' este Hausdorff.
* ''<math>f</math>'' este o [[aplicații deschise și închise|aplicație închisă]].
* ''<math>\ker(f)</math>'' este o mulțime închisă.

== Preregularitate versus regularitate ==
Toate [[spațiu regulat|spațiile regulate]] sunt preregulate, la fel ca toate spațiile Hausdorff. Există multe rezultate pentru spații topologice care sunt valabile atât pentru spațiile regulate, cât și pentru spațiile Hausdorff. De cele mai multe ori aceste rezultate sunt valabile pentru toate spațiile preregulate; ele au fost enumerate separat pentru spații regulate și Hausdorff, deoarece ideea de spații preregulate a apărut mai târziu. Pe de altă parte, acele rezultate care sunt cu adevărat despre regularitate nu se aplică în general și spațiilor Hausdorff neregulate.

Există multe situații în care o altă condiție a spațiilor topologice (cum ar fi [[spațiu paracompact|paracompactitatea]] sau [[spațiu local compact|compactitatea locală]]) va implica regularitate dacă preregularitatea este satisfăcută. Astfel de condiții vin adesea în două versiuni: o versiune regulată și o versiune Hausdorff. Deși spațiile Hausdorff nu sunt în general regulate, un spațiu Hausdorff care este și (de exemplu) local compact va fi regulat, deoarece orice spațiu Hausdorff este preregulat. Astfel, dintr-un anumit punct de vedere, este preregularitatea, mai degrabă decât regularitatea, cea care contează cu adevărat în aceste situații. Cu toate acestea, definițiile sunt de obicei formulate în termeni de regularitate, deoarece această condiție este mai cunoscută decât preregularitatea.

== Variante ==
Termenii „Hausdorff”, „separat” și „preregulat” pot fi aplicați și unor astfel de variante ale spațiilor topologice precum [[spațiu uniform|spații uniforme]], [[Spațiu Cauchy|spații Cauchy]] și [[Spațiul de convergență|spații de convergență]]. Caracteristica care unește conceptul în toate aceste exemple este aceea că limitele șirurilor generalizate și filtrelor (atunci când există) sunt unice (pentru spații separate) sau unice până la nedistingerea topologică (pentru spații preregulate).

După cum se dovedește, spațiile uniforme și, în general, spațiile Cauchy, sunt întotdeauna preregulate, deci condiția Hausdorff în aceste cazuri se reduce la condiția T<sub>0</sub>. Acestea sunt totodată spațiile în care [[Spațiu complet|completitudinea]] are sens, iar condiția Hausdorff este un însoțitor firesc al completitudinii în aceste cazuri. Mai exact, un spațiu este complet dacă și numai dacă fiecare șir generalizat Cauchy are cel ''puțin'' o limită, în timp ce un spațiu este Hausdorff dacă și numai dacă fiecare șir generalizat Cauchy are ''cel mult'' o limită (deoarece numai șirurile generalizate Cauchy pot avea limite în primul rând).

== Algebre de funcții ==
Algebra funcțiilor continue (reale sau complexe) pe un spațiu Hausdorff compact este o [[C*-algebră]] comutativă și, reciproc, din [[teorema Banach-Stone]] se poate recupera topologia spațiului din proprietățile algebrice ale algebrei sale de funcții continue. Acest lucru conduce la [[Geometrie necomutativă|geometria necomutativă]], unde se consideră C*-algebrele necomutative ca reprezentând algebre de funcții într-un spațiu necomutativ.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{Citat carte|nume=Arkhangelskii|prenume=A.V.|prenume2=L.S.|nume2=Pontryagin|legătură-autor2=L.S. Pontryagin|titlu=General Topology I|editură=[[Springer Science+Business Media|Springer]]|dată=1990|isbn=3-540-18178-4}}
* {{Citat carte|legătură-autor=Nicolas Bourbaki|nume=Bourbaki|titlu=Elements of Mathematics: General Topology|editură=[[Addison-Wesley]]|dată=1966|isbn=}}
* {{Springer|title=Hausdorff space}}
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}}
* {{Citat carte|nume=Willard|prenume=Stephen|titlu=General Topology|editură=[[Dover Publications]]|an=2004|isbn=0-486-43479-6|url=https://books.google.com/books?id=-o8xJQ7Ag2cC&q=%22Hausdorff+space%22}}

{{Topology}}
{{DEFAULTSORT:Hausdorff Space}}



[[Categorie:Proprietăți ale spațiilor topologice]]
[[Categorie:Axiome de separare]]