Vizualizare sursă pentru „Sistem sexagesimal”

{{Cutie sistem numerație}}
'''Sistemul sexagesimal''' este un [[sistem de numerație pozițional]], având [[Bază de numerație |baza]] 60. A fost creat de vechii [[sumer]]ieni în mileniul III î.Hr., a fost transmis la vechiul [[Babilon]] și este încă folosit&nbsp;— într-o formă modificată&nbsp;— pentru măsurarea [[timp]]ului, [[unghi]]urilor și la [[coordonate geografice |coordonatele geografice]].

60 este un [[număr extrem compus superior]], având 12 [[divizor]]i: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60, dintre care 2, 3 și 5 sunt [[număr prim |numere prime]]. Cu așa de mulți divizori, multe [[fracție |fracții]] sexagesimale sunt simple. De exemplu o oră poate fi divizată în părți de 30 de minute, 20 de minute, 15 minute, 12 minute, 10 minute, 6 minute, 5 minute, 4 minute, 3 minute, 2 minute și 1 minut. 60 este cel mai mic număr divizibil cu toate numerele de la 1 la 6, adică este [[cel mai mic multiplu comun]] al lui 1, 2, 3, 4, 5 și 6.

:'' În acest articol toate cifrele sexagesimale sunt reprezentate ca numere zecimale, cu excepția cazului în care se menționează altfel. De exemplu ''10'' înseamnă numărul [[10 (număr)|zece]], iar ''60'' înseamnă numărul [[60 (număr) |șaizeci]].''

== Origine ==
[[Fișier:Proto-cuneiform sexagesimal type Sa.svg|thumb|Cifre proto-cuneiforme (mileniul al IV-lea î.Hr.) și cifre [[cuneiforme]] din sistemul sexagesimal (60, 600, 3600 etc.)]]
Folosind degetul mare ca indicator spre fiecare dintre cele trei falange ale degetelor la rând pe fiecare deget este posibil să se {{ill-wd| Q1417141||numere pe degete}} până la [[12 (număr) |12]] cu o singură mână. Un sistem tradițional de numărare încă utilizat în multe regiuni din Asia funcționează în acest fel și ar putea ajuta la explicarea apariției sistemelor numerice bazate pe 12 și 60 în afară de cele bazate pe 10, 20 și 5. În acest sistem, cealaltă mână a unei persoane ar număra de câte ori s-a ajuns la 12 de la prima lor mână. Cele cinci degete ar număra cinci seturi de 12, adică 60.<ref name=Ifrah>{{en icon}} {{Citation
 | last = Ifrah
 | first = Georges
 | author-link = Georges Ifrah
 | title = The Universal History of Numbers: From prehistory to the invention of the computer.
 | publisher = [[John Wiley and Sons]]
 | year= 2000
 | isbn = 0-471-39340-1
}}</ref><ref name=Macey>{{en icon}} {{citation|last=Macey|first=Samuel L.|title=The Dynamics of Progress: Time, Method, and Measure|year=1989|publisher=University of Georgia Press|location=Atlanta, Georgia|isbn=978-0-8203-3796-8|pages=92|url=https://books.google.com/books?id=xlzCWmXguwsC&pg=PA92}}</ref> Originile sexagesimale nu sunt la fel de simple. De-a lungul multor secole de utilizare, notațiile sexagesimale au conținut întotdeauna o componentă serioasă zecimală, cum ar fi modul în care sunt scrise cifrele sexagesimale. Sistemul sexagesimal babilonian s-a bazat pe șase grupuri de zece, nu pe cinci grupuri de 12.<ref name=Neugebauer>{{en icon}} {{citation|title=The Exact Sciences In Antiquity|last=Neugebauer|first=O.|journal=Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium|volume=9|publisher=Dover|year=1969|isbn=0-486-22332-9|pages=17–19|pmid=14884919}}</ref>

Cel mai serios motiv pentru utilizarea riguroasă și consistentă a sistemului sexagesimal au fost avantajele sale matematice pentru scrierea și calcularea fracțiilor. În textele antice sistemul sexagesimal a fost utilizat uniform și constant în tabelele de date matematice. Alt motiv practic care a determinat folosirea sistemului sexagesimal a fost comerțul, unde negocierea și împărțirea unor cantități mai mari de bunuri era astfel mai simplă.<ref name=Neugebauer/>

== Uz ==
=== În matematica babiloniană ===
[[Fișier:Babylonian numerals.svg|thumb|400px|Cifre babiloniene]]
Sistemul sexagesimal folosit în [[Mesopotamia]] antică n-a fost unul cu baza pur 60, în sensul că nu a folosit 60 de simboluri diferite pentru [[cifră |cifrele]] sale. Cifrele cuneiforme foloseau 10 ca bază intermediară: o cifră sexagesimală era compusă dintr-un grup de semne înguste reprezentând până la 9 unități ([[File:Babylonian 1.svg|20px]], [[File:Babylonian 2.svg|20px]], [[File:Babylonian 3.svg|20px]], [[File:Babylonian 4.svg|20px]], ..., [[File:Babylonian 9.svg|20px]]) și un grup de semne mai mari, reprezentând până la cinci zeci ([[File:Babylonian 10.svg|20px]], [[File:Babylonian 20.svg|20px]], [[File:Babylonian 30.svg|20px]], [[File:Babylonian 40.svg|20px]], [[File:Babylonian 50.svg|20px]]). Valoarea unei cifre era suma valorilor părților sale componente.

=== Alte utilizări istorice ===
În [[Calendarul chinezesc]] este folosit un ciclu sexagesimal asociat cu 5 elemente și 12 animale.

Tratatul de [[astronomie]] ''[[Almageste]]'' de [[Ptolemeu]], scris în secolul al II-lea d.Hr. folosește baza 60 pentru fracții și tabelele de coarde (echivalentul [[tabele trigonometrice |tabelelor trigonometrice]] moderne).

În jurul anului 1235 [[Johannes de Sacrobosco]] a continuat această tradiție, deși Nothaft a crezut că Sacrobosco a fost primul care a făcut acest lucru.<ref>{{en icon}} {{ Citation | last = Nothaft | first = C. Philipp E. | date = 2018 | title = Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe | publisher = Oxford University Press | place = Oxford | page = 126 | isbn = 9780198799559 | quote = Sacrobosco switched to sexagesimal fractions, but rendered them more congenial to computistical use by applying them not to the day but to the hour, thereby inaugurating the use of hours, minutes, and seconds that still prevails in the twenty-first century.}}</ref> Versiunea pariziană a [[tabelele alfonsine |tabelelor alfonsine]] (c. 1320) a folosit ziua ca unitate de timp de bază, înregistrând [[multiplu|multiplii]] și fracțiunile unei zile în notația cu baza 60.<ref>{{en icon}} {{Citation | last = Nothaft | first = C. Philipp E. | date = 2018 | title = Scandalous Error: Calendar Reform and Calendrical Astronomy in Medieval Europe | publisher = Oxford University Press | place = Oxford | page = 196 | isbn = 9780198799559 | quote = One noteworthy feature of the Alfonsine Tables in their Latin-Parisian incarnation is the strict 'sexagesimalization' of all tabulated parameters, as … motions and time intervals were consistently dissolved into base-60 multiples and fractions of days or degrees.}}</ref>

Până în 1671 sistemul sexagesimal a continuat să fie frecvent utilizat de astronomii europeni pentru efectuarea calculelor.<ref>{{en icon}} {{citation|last= Newton |first= Isaac |author-link= Isaac Newton |title= The Method of Fluxions and Infinite Series: With Its Application to the Geometry of Curve-lines. |year= 1671 |publication-date= 1736 |publisher= [[Henry Sampson Woodfall|Henry Woodfall]] |location= [[London]] |page= 146 |url= https://books.google.com/books?id=WyQOAAAAQAAJ&pg=PA146 |quote= The most remarkable of these is the Sexagenary or Sexagesimal Scale of Arithmetick, of frequent use among Astronomers, which expresses all possible Numbers, Integers or Fractions, Rational or Surd, by the Powers of ''Sixty'', and certain numeral Coefficients not exceeding fifty-nine.}}</ref> De exemplu, [[Jost Bürgi]] în ''[[Fundamentum Astronomiae]]'' (prezentat împăratului [[Rudolf al II-lea al Sfântului Imperiu Roman |Rudolf al II-lea]] în 1592), colegul său Ursus în ''Fundamentum Astronomicum'', și posibil și [[Henry Briggs]], pentru a calcula sinusurile au folosit până spre sfârșitul secolului al 16-lea [[tabla înmulțirii|tablele înmulțirii]] bazate pe sistemul sexagesimal.<ref name="folkerts">{{en icon}} {{citation
 | last1 = Folkerts | first1 = Menso
 | last2 = Launert | first2 = Dieter
 | last3 = Thom | first3 = Andreas
 | arxiv = 1510.03180
 | doi = 10.1016/j.hm.2016.03.001
 | issue = 2
 | journal = Historia Mathematica
 | mr = 3489006
 | pages = 133–147
 | title = Jost Bürgi's method for calculating sines
 | volume = 43
 | year = 2016| s2cid = 119326088
 }}</ref>

=== În prezent ===
Utilizările moderne ale sistemului sexagesimal cuprind măsurarea unghiurilor, coordonatele geografice, navigația electronică și timpul.<ref>{{en icon}} {{Citation|title=Sexagesimal System|work=SpringerReference|year=2011|place=Berlin/Heidelberg|publisher=[[Springer-Verlag]]|doi=10.1007/springerreference_78190}}</ref>

O [[oră]] se împarte în 60 de [[minut]]e, iar un minut se împarte în 60 de secunde. Astfel, o expresie ca 3:23:17 (3&nbsp;ore, 23&nbsp;minute și 17&nbsp;secunde) poate fi interpretată ca un adevărat număr sexagesimal, semnificând {{nowrap|3 × 60<sup>2</sup> + 23 × 60<sup>1</sup> + 17 × 60<sup>0</sup> secunde}}. Totuși, fiecare dintre cele trei cifre sexagesimale din acest număr (3,&nbsp;23&nbsp;și&nbsp;17) sunt scrise în [[sistemul zecimal]].

Similar, unitatea practică pentru măsura unghiurilor este [[grad sexagesimal |gradul sexagesimal]], un [[cerc]] având 360° (6&nbsp;×&nbsp;60). Un grad are 60 de minute de arc, iar un minut are 60 de secunde de arc..

== Fracții și numere iraționale ==
=== Fracții ===
În sistemul sexagesimal [[numitor]]ul oricărei fracții este un {{ill-wd|Q1826416}} (având ca divizori doar numerele 2, 3 și 5), putând fi exprimate exact.<ref>{{en icon}} {{citation
| title=Astronomical Cuneiform Texts
| last=Neugebauer
| first=Otto E.
| author-link=Otto E. Neugebauer
| year=1955
| publisher=Lund Humphries
| place=London
}}</ref> În continuare sunt prezentate toate fracțiile de acest tip în care numitorul este mai mic sau egal cu 60:

{{div col|colwidth=10em}}
:{{frac|2}} = 0;30
:{{frac|3}} = 0;20
:{{frac|4}} = 0;15
:{{frac|5}} = 0;12
:{{frac|6}} = 0;10
:{{frac|8}} = 0;7,30
:{{frac|9}} = 0;6,40
:{{frac|10}} = 0;6
:{{frac|12}} = 0;5
:{{frac|15}} = 0;4
:{{frac|16}} = 0;3,45
:{{frac|18}} = 0;3,20
:{{frac|20}} = 0;3
:{{frac|24}} = 0;2,30
:{{frac|25}} = 0;2,24
:{{frac|27}} = 0;2,13,20
:{{frac|30}} = 0;2
:{{frac|32}} = 0;1,52,30
:{{frac|36}} = 0;1,40
:{{frac|40}} = 0;1,30
:{{frac|45}} = 0;1,20
:{{frac|48}} = 0;1,15
:{{frac|50}} = 0;1,12
:{{frac|54}} = 0;1,6,40
:{{frac|60}} = 0;1
{{div col end}}

=== Numere iraționale ===
[[Fișier:Ybc7289-bw.jpg|right|thumb|Tabletă babiloniană (YBC 7289) cu numărul sexagesimal {{nowrap|1;24,51,10}}, care aproximează pe&nbsp;{{sqrt|2}}]]
În orice sistem numeric pozițional (inclusiv cel zecimal și cel sexagesimal) reprezentările [[număr irațional |numerelor iraționale]] nici nu se termină și nici „zecimalele” lor nu se repetă.

{{sqrt|2}}, lungimea [[diagonală |diagonalei]] [[pătrat unitate |pătratului unitate]] a fost aproximată de babilonienii antici (1900&nbsp;î.Hr.&nbsp;– 1650&nbsp;î.Hr.) ca<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Fowler | first1 = David | author1-link = David Fowler (mathematician)
 | last2 = Robson | first2 = Eleanor | author2-link = Eleanor Robson
 | doi = 10.1006/hmat.1998.2209
 | issue = 4
 | journal = [[Historia Mathematica]]
 | mr = 1662496
 | pages = 366–378
 | title = Square root approximations in old Babylonian mathematics: YBC 7289 in context
 | volume = 25
 | year = 1998| doi-access = free
 }}</ref>
:<math>1;24,51,10=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}=\frac{30547}{21600}\approx 1,41421296\ldots</math>

Fiind un număr irațional, {{sqrt|2}}&nbsp;≈&nbsp;1,41421356... nu poate fi exprimat exact în sistemul sexagesimal, dar dezvoltarea sa începe cu seria 1;24,51,10,7,46,6,4,44... <ref>{{OEIS|A070197}}</ref>

Valoarea lui [[pi|{{mvar|&pi;}}]] folosită de grecii antici și Ptolemeu era 3;8,30&nbsp;= {{nowrap|3 + {{sfrac|8|60}} + {{sfrac|30|60<sup>2</sup>}}}}&nbsp;= {{sfrac|377|120}}&nbsp;≈ 3,141666...<ref>{{en icon}} {{Citation | editor-last = Toomer | editor-first = G. J. | editor-link = Gerald J. Toomer | year = 1984 | title = Ptolemy's Almagest | publisher = Springer Verlag | place = New York | page = 302 | isbn = 0-387-91220-7 }}</ref> [[Jamshīd al-Kāshī]], un matematician [[Persia |persan]] din secolul al XV-lea, a calculat valoarea lui 2{{mvar|&pi;}} cu 9 cifre sexagesimale (adică cu o precizie de {{sfrac|1|60<sup>9</sup>}}); valoarea găsită de el pentru 2{{mvar|&pi;}} fiind 6;16,59,28,1,34,51,46,14,50.<ref>{{en icon}} {{citation|contribution=Al-Kashi|first=Adolf P.|last=Youschkevitch|editor-first=Boris A.|editor-last=Rosenfeld|page=256|title=Dictionary of Scientific Biography|title-link=Dictionary of Scientific Biography}}.</ref><ref>{{en icon}} {{harvtxt|Aaboe|1964}}, p. 125</ref> Ca și {{sqrt|2}}, 2{{mvar|&pi;}} este irațional, dezvoltarea sa cunoscută astăzi fiind 6;16,59,28,1,34,51,46,14,49,55,12,35...<ref>{{OEIS|A091649}}</ref>

== Note ==
<references responsive/>

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{citation
 | first = Georges
 | last = Ifrah
 | title = The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer
 | publisher = Wiley
 | year = 1999
 | isbn = 0-471-37568-3}}.
* {{en icon}} {{citation
 | first1 = Hans J.
 | last1 = Nissen
 | first2 = P.
 | last2 = Damerow
 | first3 = R.
 | last3 = Englund
 | title = Archaic Bookkeeping
 | publisher = University of Chicago Press
 | year = 1993
 | isbn = 0-226-58659-6}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Matematică]]
[[Categorie:Sisteme de numerație poziționale|sexagesimal]]