Vizualizare sursă pentru „Sinus”

[[Fișier:Sine one period.svg|miniatura|dreapta|Graficul funcției sinus]]

'''Sinus''' ('''sin''') este o [[funcție trigonometrică]] periodică, definită în contextul unui triunghi dreptunghic ca fiind raportul dintre [[catetă|cateta opusă]] și [[ipotenuză]]. Este o funcție impară. <ref> [http://www.scribd.com/doc/48336165/Proprietățile-și-graficul-funcției-sinus Proprietățile și graficul funcției sinus] Accesat pe 12 martie 2015</ref> Curba care reprezintă grafic valorile funcției sinus se numește [[sinusoidă]].

Definirea pentru valori ale unghiurilor mai mari de 180 de grade sau π radiani se face cu ajutorul [[Cerc trigonometric|cercului trigonometric]].
== Istoric ==
Nu era cunoscut în Antichitate. Atunci se folosea ca funcție trigonometrică [[coardă (geometrie)|coarda geometrică]] pentru un [[cerc]] cu raza unitate, exprimabilă ca sinus al semiunghiului opus coardei. Valori ale coardelor au fost tabelate de [[Hiparh]] și [[Ptolemeu]]<ref>Mihăileanu, op. cit. vol I, p. 86-87</ref>. 

Denumirea de sinus provine din traducerea (cu erori a denumirii arabe pentru coarde) și apare în 1150 la [[Gerardo din Cremona]]<ref>Mihăileanu, op.cit., vol I, p. 177</ref>. Notația ''sin'' din prezent se datorează lui [[Pierre Herigonne]]<ref>Mihăileanu, vol I, p. 177</ref>.

== Obținerea unor funcții iraționale prin compunere ==
Prin compunerea cu arccosinusul și arctangenta se obțin expresii algebrice iraționale.

== Derivata și primitive ==
[[Derivată|Derivata]] funcției sinus este funcția cosinus:
:<math>f'(x) = \cos(x) </math>

Primitivele (antiderivatele) sunt:
:<math>\int f(x)\,dx = -\cos(x) + C </math>

unde ''C'' este o [[constantă de integrare |constantă de integrare]].

O [[primitivă]] este, considerând o constantă de integrare nedefinită de valoare zero, negativul funcției cosinus.

=== Demonstrație ===
Pentru obținerea derivatei sunt necesare unele rezultate privind calculul unor limite cu funcțiile sinus și cosinus.

:<math>\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 
 1 \, . </math>

:<math> \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}
\ =\ 
\lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} 
\ =\ 
\left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) 
\ =\ 
(-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \, . </math>

Se calculează derivata pe baza definiției limită a raportului:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0}  \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . </math>

Folosind [[identități trigonometrice|sinusul sumei unghiurilor]] {{nowrap|1=sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α}}, limita raportului ca raport al limitelor și rezultatul de la limita anterioară se obține:

:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
\lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} 
 =
\lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta 
+ \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right) . </math>

Folosind limitele pentru sinus and cosinus se obține în final:
:<math> \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta 
 =
(1)\cos\theta + (0)\sin\theta 
 =
\cos\theta \, . </math>

== Lungimea de arc ==
Lungimea de arc a curbei sinusului între punctele <math>a</math> and <math>b</math> e 

<math display="inline"> \int_a^b\!\sqrt{1+\cos^2(x)}\, dx </math> 

care constitue o [[integrală eliptică]] de tipul al doilea.

== Note ==
<references />

==Bibliografie==
* [[Nicolae N. Mihăileanu]], ''Istoria matematicii'', vol. 1, vol. 2, Editura Științifică și enciclopedică; București, 1974, 1981

== Vezi și ==
{{Commonscat|Sine function}}
* [[Tabelul valorilor funcțiilor sinus și cosinus]]
* [[Versin]]
* [[Coardă (geometrie)]]

[[Categorie:Trigonometrie]]