Vizualizare sursă pentru „Simetrie octaedrică”

{{Grupuri punctuale în 3D}}
[[Fișier:Full octahedral group; cycle graph.svg|thumb|330px|{{ill-wd| Q1012802}}<br/> Cele patru cicluri hexagonale au inversiunea (nodul negru de deasupra) în comun. Hexagoanele sunt simetrice, deci de exemplu 3 și 4 sunt în același ciclu.]]
'''Simetria octaedrică''' este cea a [[octaedru]]lui regulat, care are 24 de [[simetrie de rotație |simetrii de rotație]] (care conservă [[orientare (geometrie) |orientarea]]) și 48 de simetrii în total. Acestea includ transformări care combină o [[reflexie (matematică) |reflexie]] și o [[rotație (matematică) |rotație]]. Un [[cub]] are același set de simetrii, deoarece este [[poliedru dual|dualul]] octaedrului.

Grupul de simetrii care conservă orientarea este ''S''<sub>4</sub>, {{ill-wd| Q849512||grupul simetric}} sau grupul de [[permutare |permutări]] a patru obiecte, deoarece există exact o astfel de simetrie pentru fiecare permutare a patru [[diagonală |diagonale]] mari ale cubului.

== Detalii ==
'''Simetria octaedrică chirală''', respectiv '''completă''' (sau '''achirală''') sunt [[Grup punctual în spațiul tridimensional |simetrii de puncte discrete]] (sau, echivalent, simetrii pe sferă) cu cele mai mari [[grup de simetrie |grupuri de simetrie]] compatibile cu [[simetrie de translație |simetria de translație]]. Ele se numără printre [[clasă cristalografică |grupurile de puncte cristalografice]] ale [[Sistem cristalin cubic |sistemului cristalin cubic]].
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ {{ill-wd| Q1353233||Clase de conjugare}}
!colspan="2"|Elemente din O
!colspan="2"|Inversiuni ale elementelor din O
|-
|identitate
|style="background:#fff;"|'''0'''
|inversiune
|style="background:#ffffcc;"|'''0<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|3 &times; rotație de 180° în jurul axei cu 4 poziții
|style="background:#fff;"|'''7, 16, 23'''
|3 &times; reflexie în planul perpendicular pe o axă cu 4 poziții
|style="background:#ffffcc;"|'''7', 16', 23<nowiki>'</nowiki>'''
|-
|8 &times; rotație de 120° în jurul axei cu 3 poziții
|style="background:#fff;"|3, 4, 8, 11, 12, 15,  19, 20
|8 &times; rotație improprie de 60°
|style="background:#ffffcc;"|3', 4', 8', 11', 12', 15',  19', 20'
|-
|6 &times; rotație de 180° în jurul axei cu 2 poziții
|style="background:#ccffff;"|1', 2', 5', 6', 14', 21'
|6 &times; reflexie în planul perpendicular pe o axă cu 2 poziții
|style="background:#ccff33;"|1, 2, 5, 6, 14, 21
|-
|6 &times; rotație de 90° în jurul axei cu 4 poziții
|style="background:#ffcccc;"|9', 10', 13', 17', 18', 22'
|6 &times; rotație improprie de 90°
|style="background:#ffcc66;"|9, 10, 13, 17, 18, 22
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Exemple
|-
| [[Fișier:Cube permutation 0 0.svg|160px]]<br/><math>(0,0) = 0</math>
| [[Fișier:Cube permutation 3 0.svg|160px]]<br/><math>(3,0) = 7</math>
| [[Fișier:Cube permutation 0 3.svg|160px]]<br/><math>(0,3) = 3</math>
| [[Fișier:Cube permutation 7 1.svg|160px]]<br/><math>(7,1) = 1'</math>
| [[Fișier:Cube permutation 4 5.svg|160px]]<br/><math>(4,5) = 9'</math>
|-
| [[Fișier:Cube permutation 7 0.svg|160px]]<br/><math>(7,0) = 0'</math>
| [[Fișier:Cube permutation 4 0.svg|160px]]<br/><math>(4,0) = 7'</math>
| [[Fișier:Cube permutation 7 3.svg|160px]]<br/><math>(7,3) = 3'</math>
| [[Fișier:Cube permutation 0 1.svg|160px]]<br/><math>(0,1) = 1</math>
| [[Fișier:Cube permutation 3 5.svg|160px]]<br/><math>(3,5) = 9</math>
|}

Ca {{ill-wd| Q5958362}} de dimensiunea 3, grupul octaedric complet este {{ill-wd| Q1786640||produsul în coroană}} <math>S_2 \wr S_3 \simeq S_2^3 \rtimes S_3</math>,<br/>și un natural modalitatea de a-și identifica elementele este ca perechi <math>(m, n)</math> cu <math>m \in [0, 2^3)</math> și <math>n \in [0, 3! )</math>.<br/>Dar fiindcă este și {{ill-wd| Q2725924||produsul direct}} <math>S_4 \times S_2</math>, se pot identifica elementele subgrupului tetraedric '' T<sub>d</sub>'' ca <math>a \in [0, 4!)</math> și inversiunile lor ca <math>a'</math>.

Deci de exemplu identitatea <math>(0, 0)</math> este reprezentată ca <math>0</math> iar inversiunea <math>(7, 0)</math> ca <math>0'</math>.<br/>
<math>(3, 1)</math> este reprezentat ca <math>6</math> iar <math>(4, 1)</math> ca <math>6'</math>.

O [[rotație improprie]] este o compunere de rotație și reflexie.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Ilustrări de rotații improprii
|-
|
{{Imagine multiplă
 | align = left
 | image1 = Cube permutation 4 0.svg
 | width1 = 230
 | caption1 = Reflexia <math>7'</math>
 | image2 = Cube permutation 0 4.svg
 | width2 = 230
 | caption2 = aplicată rotației <math>4</math> de 120° 
 | image3 = Cube permutation 4 4.svg
 | width3 = 230
 | caption3 = dă rotația improprie <math>8'</math> de 60°.
}}
<br/><math>7' \circ 4 = 8'</math>
|-
|
{{Imagine multiplă
 | align = left
 | image1 = Cube permutation 4 0.svg
 | width1 = 230
 | caption1 = Reflexia <math>7'</math>
 | image2 = Cube permutation 1 1.svg
 | width2 = 230
 | caption2 = aplicată rotației <math>22'</math> de 90°
 | image3 = Cube permutation 5 1.svg
 | width3 = 230
 | caption3 = dă rotația improprie <math>17</math> de 90° <math>17</math>.
}}
<br/><math>7' \circ 22' = 17</math>
|}

=== Simetrie octaedrică chirală ===
'''O''', '''432''' sau [4,3]<sup>+</sup> de ordinul 24, este '''simetrie octaedrică chirală''' sau '''simetrie octaedrică de rotație'''. Acest grup este la fel cu cel al [[simetrie tetraedrică |simetriei tetraedrice]] chirale ''T'', dar axele C<sub>2</sub> sunt acum axe C<sub>4</sub> și, în plus, există 6 axe C<sub>2</sub>, prin punctele de mijloc ale laturilor (muchiilor) cubului. ''T<sub>d</sub>'' și ''O'' sunt izomorfe ca grupuri abstracte: ambele corespund lui ''S''<sub>4</sub>, [[grup simetric |grupul simetric]] de 4 obiecte. ''T<sub>d</sub>'' este reuniunea lui ''T'' cu mulțimea obținută prin compunerea fiecărui element al lui ''O'' \ ''T'' cu inversiunea. ''O'' este grupul de rotație al [[cub]]ului și al [[octaedru]]lui.
{| class=wikitable width=120 style="text-align:center;"
|- valign=top
!colspan=3|Axe de rotație
|-
!C<sub>4</sub><br/>[[Fișier:Monomino.png|12px]]||C<sub>3</sub><br/>[[Fișier:Nazi concentration camp Wehrmacht red triangle badge.svg|12px]]||C<sub>2</sub><br/>[[Fișier:Rhomb.svg|12px]]
|-
|3||4||6
|}
{| class=wikitable
|+ Simetrie octaedrică chirală
!Proiecție ortogonală
!colspan=3| Proiecție stereografică
|-
!cu 2 poziții
!cu 4 poziții
!cu 3 poziții
!cu 2 poziții
|-
|[[Fișier:Sphere_symmetry_group_o.png|150px]]
|[[Fișier:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D4_gyrations.png|150px]]
|[[Fișier:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D3_gyrations.png|150px]]
|[[Fișier:Disdyakis_dodecahedron_stereographic_D2_gyrations.png|150px]]
|}

=== Simetrie octaedrică completă (achirală) ===
'''O<sub>h</sub>''', '''*432''', [4,3], sau '''m3m''' de ordinul 48 - '''simetrie octaedrică completă''' (sau '''simetrie octaedrică achirală'''). Acest grup are aceleași axe de rotație ca și ''O'', dar cu planele de oglindire atât ale lui ''T<sub>d</sub>'', cât și ale lui ''T<sub>h</sub>''. Acest grup este izomorf cu ''S''<sub>4</sub>&middot;''C''<sub>2</sub> și este grupul de simetrie completă al cubului și octaedrului. Este {{ill-wd| Q5958362||grupul hiperoctaedric}} pentru ''n'' = 3.
{{Imagine multiplă
 | align = left
 | total_width = 450
 | image1 = Polyhedron pair 6-8.png |width1=4000|height1=4000
 | caption1 = [[Compus de cub și octaedru]]
 | image2 = Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png |width2=4000|height2=4000
 | caption2 = Fiecare față a [[dodecaedru disdyakis |dodecaedrului disdyakis]] este un domeniu fundamental.
| image3 = Sphere symmetry group oh.png |width3=649|height3=625
 | caption3 = Grupul octaedric ''O''<sub>h</sub> cu domeniul fundamental
}}

Cu axele cu 4 poziții ca axe de coordonate, un domeniu fundamental al lui '''O<sub>h</sub>''' este dat de 0 ≤ ''x'' ≤ ''y'' ≤ ''z''. Un obiect cu această simetrie este caracterizat de partea obiectului din domeniul fundamental, de exemplu cubul este dat de ''z'' = 1, iar octaedrul de ''x'' + ''y'' + ''z'' = 1 (sau inegalitățile corespunzătoare, pentru a obține poliedrul în loc de suprafața sa).
''ax'' + ''by'' + ''cz'' = 1 dă un poliedru cu 48 de fețe, de exemplu dodecaedrul disdyakis.

Cele 9 drepte de oglindire ale simetriei octaedrice complete pot fi împărțite în două subgrupuri de 3 și 6 (trasate cu violet și roșu), reprezentând două subsimetrii ortogonale: [[Simetrie diedrală în spațiul tridimensional|D<sub>2h</sub>]] și [[Simetrie tetraedrică|T<sub>d</sub>]]. Simetria D<sub>2h</sub> poate fi dublată la D<sub>4h</sub> prin restaurarea a 2 oglinzi dintr-una din cele trei orientări.
{{Clear}}
{| class="wikitable collapsible collapsed"
!colspan=2| Simetrie octaedrică și subgrupuri de reflexie
|- valign=top
|
{| class=wikitable
|-
!rowspan=2|[[Proiecție ortogonală |Proiecție<br/>ortogonală]]
!colspan=3|[[Proiecție stereografică]]
|-
!cu 4 poziții
!cu 3 poziții
!cu 2 poziții
|-
!colspan=4|O<sub>h</sub>, [4,3], {{CDD|node_c2|4|node_c1|3|node_c1}}, simetrie octaedrică completă (3+6 oglindiri)
|-
|[[Fișier:Sphere symmetry group oh.png|100px]]
|[[Fișier:Disdyakis dodecahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:Disdyakis dodecahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:Disdyakis dodecahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|T<sub>d</sub>, [3,3]=[1<sup>+</sup>,4,3], {{CDD|node_h0|4|node_c1|3|node_c1}} = {{CDD|nodeab_c1|split2|node_c1}}, subgrupul tetraedric (6 oglindiri)
|-
|[[Fișier:Sphere symmetry group td.png|100px]]
|[[Fișier:Tetrakis hexahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:Tetrakis hexahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:Tetrakis hexahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>3v</sub>, [3], {{CDD|node_c1|3|node_c1}}, subgrupul diedral (3 oglindiri)
|-
![[Fișier:Trigonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Fișier:trigonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:trigonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:trigonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|
{| class=wikitable
|-
!rowspan=2|Proiecție<br/>ortogonală
!colspan=3|[[Proiecție stereografică]]
|-
!cu 4 poziții
!cu 3 poziții
!cu 2 poziții
|-
!colspan=4|D<sub>4h</sub>, [4,2], {{CDD|node_c2|4|node_c1|2|node_c3}} subgrupul diedral (1+2+2 oglindiri)
|-
![[Fișier:Octagonal bipyramidal orthogonal.png|100px]]
|[[Fișier:octagonal bipyramidal stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:octagonal bipyramidal stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:octagonal bipyramidal stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|D<sub>2h</sub>, [2,2]=[4,3*], {{CDD|node_c2|2|node_c1|2|node_c3}} = subgrupul diedral (1+1+1 oglindiri)
|-
![[Fișier:Octahedron orthographic.png|100px]]
|[[Fișier:octahedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:octahedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:octahedron stereographic D2.png|100px]]
|-
!colspan=4|C<sub>4v</sub>, [4], {{CDD|node_c2|4|node_c1}}, subgrupul diedral (2+2 oglindiri)
|-
![[Fișier:Tetragonal_hosohedron_ortho.png|100px]]
|[[Fișier:Tetragonal hosohedron stereographic D4.png|100px]]
|[[Fișier:Tetragonal hosohedron stereographic D3.png|100px]]
|[[Fișier:Tetragonal hosohedron stereographic D2.png|100px]]
|}
|}

=== Matrici de rotație ===
Fie mulțimea tuturor [[matrice permutare |matricilor permutare]] 3×3 la care se atribuie un semn + sau − fiecăruia dintre cei trei 1. Există <math>3!=6</math> permutări și <math>2^3=8</math> combinații de semne pentru un total de 48 de matrici, dând grupul octaedric complet. 24 dintre aceste matrici au [[determinant (matematică) |determinantul]] +1; Acestea sunt matricile de rotație ale grupului octaedric chiral. Celelalte 24 de matrici au determinantul  −1 și corespund unei reflexii sau inversiuni.

Pentru simetria octaedrică sunt necesare trei generatori de reflexii, care reprezintă cele trei oglinzi ale unei [[diagramă Coxeter–Dynkin |diagrame Coxeter–Dynkin]]. Produsul reflexiilor produce 3 generatori de rotații.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ [4,3], {{CDD|node_n0|4|node_n1|3|node_n2}}
!
!colspan=3|Reflexii
!colspan=3|Rotații
![[Rotație improprie]]
|-
!Generatori
! R<sub>0</sub>
! R<sub>1</sub>
! R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>1</sub>
! R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>2</sub>
! R<sub>0</sub>R<sub>1</sub>R<sub>2</sub>
|-
!Grup
|{{CDD|node_n0}}
|{{CDD|node_n1}}
|{{CDD|node_n2}}
|{{CDD|node_h2|4|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|3|node_h2}}
|{{CDD|node_h2|2x|node_h2}}
| {{CDD|node_h2|6|node_h4|2x|node_h2}}
|-
![[Ordin de simetrie |Ordin]]
|2||2||2||4||3||2||6
|-
!Matrice
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0& 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|
<math>\left [\begin{smallmatrix}
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
-1 & 0 & 0 \\
\end{smallmatrix}\right ]
</math>
|}

=== Subgrupuri cu simetrie octaedrică completă ===
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
![[Notația Schoenflies |Schoenflies]]
!colspan=2|[[ Notația Coxeter |Coxeter]]
![[Notația orbifold |Orbifold]]
![[Notația Hermann–Mauguin |Herm.–Maug.]]
!Structură
!Ciclic
!Ordin
!Index
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|O<sub>h</sub> ||[4,3]||{{CDD|node|4|node|3|node}} ||*432||m{{overline|3}}m ||[[Grup simetric |S<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||||48||1
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|T<sub>d</sub> ||[3,3]||{{CDD|node|3|node|3|node}} ||*332 ||{{overline|4}}3m ||S<sub>4</sub>||[[Fișier:Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>4h</sub> ||[2,4]||{{CDD|node|2|node|4|node}} ||*224 ||4/mmm ||D<sub>2</sub>×D<sub>8</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2D8.svg|25px]]||16 ||3
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|D<sub>2h</sub>  ||[2,2]||{{CDD|node|2|node|2|node}} ||*222 ||mmm |||D<sub>2</sub><sup>3</sup>=D<sub>2</sub>×D<sub>4</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2x3.svg|25px]]||8 ||6
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>4v</sub> ||[4]||{{CDD|node|4|node}} ||*44 ||4mm ||[[Grup diedral |D<sub>8</sub>]]||[[Fișier:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>3v</sub> ||[3]||{{CDD|node|3|node}} ||*33 ||3m ||D<sub>6</sub>=S<sub>3</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6 ||8
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>2v</sub> ||[2]||{{CDD|node|2|node}} ||*22 ||mm2 ||D<sub>2</sub><sup>2</sup>=D<sub>4</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|- BGCOLOR="#e0f0f0"
|C<sub>s</sub>=C<sub>1v</sub> ||[&nbsp;]||{{CDD|node}} ||* ||{{overline|2}} or m ||D<sub>2</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|- BGCOLOR="#f0f0e0"
|T<sub>h</sub> ||[3<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|3|node_h2|4|node}} ||3*2 ||m{{overline|3}} ||[[Grup altern |A<sub>4</sub>]]×S<sub>2</sub>||[[Fișier:Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|- BGCOLOR="#f0f0e0"
|C<sub>4h</sub> ||[4<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|4|node_h2|2|node}} ||4* ||4/m ||[[Grup ciclic |Z<sub>4</sub>]]×D<sub>2</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2C4.svg|25px]]||8 ||6
|- BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>3d</sub> ||[2<sup>+</sup>,6]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|6|node}} ||2*3 ||{{overline|3}}m ||D<sub>12</sub>=Z<sub>2</sub>×D<sub>6</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD12.svg|25px]]||12 ||4
|- BGCOLOR="#f0f0e0"
|D<sub>2d</sub> ||[2<sup>+</sup>,4]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node}} ||2*2 ||{{overline|4}}2m ||D<sub>8</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|- BGCOLOR="#f0f0e0"
| C<sub>2h</sub> = D<sub>1d</sub> ||[2<sup>+</sup>,2]||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2|node}} ||2* ||2/m ||Z<sub>2</sub>×D<sub>2</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|- BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>6</sub> ||[2<sup>+</sup>,6<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|6|node_h2}} ||3× ||{{overline|3}} ||Z<sub>6</sub>=Z<sub>2</sub>×Z<sub>3</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC6.svg|25px]]||6 ||8
|- BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>4</sub> ||[2<sup>+</sup>,4<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|4|node_h2}} ||2× ||{{overline|4}} ||Z<sub>4</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4 ||12
|- BGCOLOR="#e0e0e0"
|S<sub>2</sub> ||[2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>]||{{CDD|node_h2|2x|node_h4|2x|node_h2}} ||× ||{{overline|1}} ||S<sub>2</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
| O ||[4,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2|3|node_h2}} ||432 ||432 ||S<sub>4</sub>||[[Fișier:Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg|40px]]||24 ||2
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|T ||[3,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2|3|node_h2}} ||332 ||23 ||A<sub>4</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniA4.svg|25px]]||12 ||4
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>4</sub> ||[2,4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|4|node_h2}} ||224 ||422 ||D<sub>8</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD8.svg|25px]]||8 ||6
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>3</sub> ||[2,3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|3|node_h2}} ||223 ||322 ||D<sub>6</sub>=S<sub>3</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD6.svg|25px]]||6 ||8
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|D<sub>2</sub> ||[2,2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2|2x|node_h2}} ||222 ||222 ||D<sub>4</sub>=Z<sub>2</sub><sup>2</sup>||[[Fișier:GroupDiagramMiniD4.svg|25px]]||4 ||12
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>4</sub> ||[4]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|4|node_h2}} ||44 ||4 ||Z<sub>4</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC4.svg|25px]]||4 ||12
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>3</sub> ||[3]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|3|node_h2}} ||33 ||3 ||Z<sub>3</sub>=A<sub>3</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC3.svg|25px]]||3 ||16
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
|C<sub>2</sub> ||[2]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2|2x|node_h2}} ||22 ||2 ||Z<sub>2</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC2.svg|25px]]||2 ||24
|- BGCOLOR="#f0e0f0"
| C<sub>1</sub> ||[&nbsp;]<sup>+</sup>||{{CDD|node_h2}} ||11 ||1 ||Z<sub>1</sub>||[[Fișier:GroupDiagramMiniC1.svg|25px]]||1 ||48
|}

{| style="text-align:center;"
|[[Fișier:Octahedral_symmetry_tree_conway.png|480px]]
|-
|Subrupuri octaedrice în [[notația Coxeter]]<ref>John Conway, ''The Symmetries of Things'', Fig 20.8, p280</ref>
|}
{{Imagine multiplă
 | align = left
 | total_width = 610
 | image1 = Subgroup of Oh; S4 blue red; cycle graph.svg
 | width1 =  1155 | height1 = 554
 | caption1 = <div style="text-align:center">O</div>
 | image2 = Subgroup of Oh; S4 green orange; cycle graph.svg
 | width2 = 1155 | height2 = 554
 | caption2 = <div style="text-align:center">T<sub>d</sub></div>
 | image3 = Subgroup of Oh; A4xC2; cycle graph.svg
 | width3 = 950 | height3 = 422
 | caption3 = <div style="text-align:center">T<sub>h</sub></div>
 | footer = &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Grafuri ciclice ale subgrupurilor de ordinul 24
}}
[[Fișier:Full octahedral group; subgroups Hasse diagram.svg|thumb|left|600px|<div style="text-align:center">Subgrupuri ordonate într-o diagramă Hasse</div>]]
{{Imagine multiplă
 | align = left
 | total_width = 610
 | image1 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; rotational.svg
 | width1 =  782 | height1 = 990
 | caption1 = <div style="text-align:center">Subgrupuri de rotații</div>
 | image2 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; reflective.svg
 | width2 = 861 | height2 = 1200
 | caption2 = <div style="text-align:center">Subgrupuri de reflexii</div>
 | image3 = Full octahedral group; subgroups Hasse diagram; inversion.svg
 | width3 =  1100 | height3 = 1300
 | caption3 = <div style="text-align:center">Subgrupuri care conțin inversiune</div>
}}
{{-}}
== Izometriile cubului ==
[[Fișier:48 элементов симметрии куба.gif|thumb|right|Cele 48 de elemente de simetrie (poziții simetrice) ale cubului]]
Cubul are 48 de izometrii (elemente de simetrie), formând [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] ''O''<sub>''h''</sub>, izomorf cu ''S''<sub>4</sub>&thinsp;×&thinsp;Z<sub>2</sub>. Ele pot fi clasificate după cum urmează:
* ''O'' (identitatea și 23 de rotații proprii) cu următoarele {{ill-wd| Q1353233||clase de conjugare}} (în paranteze sunt date permutările diagonalelor cubului și {{ill-wd| Q2634405||reprezentarea cuaternionului unitar}}):
:* identitatea (identitate; 1)
:* rotație în jurul unei axe de la centrul unei fețe la centrul feței opuse cu un unghi de 90°: 3 axe, 2 poziții per axă, în total 6 ((1 2 3 4) etc.; ((1&thinsp;±&thinsp;''i'')&thinsp;/&thinsp;{{radic|2}} etc.)
:* la fel cu un unghi de 180°: 3 axe, 1 poziție per axă, în total 3 ((1 2) (3 4) etc.; ''i'', ''j'', ''k'')
:* rotație în jurul unei axe de la centrul unei muchii până la centrul muchiei opuse cu un unghi de 180°: 6 axe, 1 poziție per axă, în total 6 ((1 2) etc.; ((''i''&thinsp;±&thinsp;''j'')&thinsp;/&thinsp;{{radic|2}} etc.)
:* rotație în jurul unei diagonale mari cu un unghi de rotație de 120°: 4 axe, 2 poziții per axă, în total 8 ((1 2 3) etc.; (1&thinsp;±&thinsp;''i''&thinsp;±&thinsp;''j''&thinsp;±&thinsp;''k'')&thinsp;/&thinsp;2)
* Același lucru cu [[simetrie față de centru |inversiune]] ('''x''' este aplicat pe −'''x''') (de asemenea, 24 de izometrii). De reținut că rotația cu un unghi de 180° în jurul unei axe combinată cu inversiunea este doar o reflexie în planul perpendicular. Compunerea inversiunii cu rotația în jurul diagonalei mari cu un unghi de 120° este o rotație în jurul diagonalei mari cu un unghi de 60°, compusă cu reflexia în planul perpendicular (rotația în sine nu aplică cubul pe el însuși; intersecția planului de reflexie cu cubul este un [[hexagon]] regulat).

O izometrie a cubului poate fi identificată în diferite moduri:
* prin trei fețe adiacente date (de exemplu 1, 2 și 3 pe un [[zar]]);
* prin imaginea unui cub cu un marcaj nesimetric pe o singură față: fața cu marcajul, fie că este normală sau o reflexie, și orientarea;
* printr-o permutare a celor patru diagonale ale corpului (este posibilă oricare dintre cele 24 de permutări), compusă sau nu cu o inversiune.

Pentru cuburile colorate sau marcate (cum ar fi zarurile), grupul de simetrie este un subgrup al ''O<sub>h</sub>''.

Exemple:
*''C''<sub>4''v''</sub>, [4], (*422): dacă o față are o culoare diferită (sau două fețe opuse au culori diferite una de cealaltă și față de celelalte patru), cubul are 8 izometrii, așa cum are un pătrat în [[spațiu bidimensional |spațiul bidimensional]].
*''D''<sub>2''h''</sub>, [2,2], (*222): dacă fețele opuse au aceleași culori, diferite pentru fiecare set de două, cubul are 8 izometrii, ca un [[paralelipiped]].
*''D''<sub>4''h''</sub>, [4,2], (*422): dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 16 izometrii, ca o [[prismă pătrată]].
*''C''<sub>2''v''</sub>, [2], (*22):
:* dacă două fețe adiacente au aceeași culoare și toate celelalte fețe au o culoare diferită, cubul are 4 izometrii.
:* dacă trei fețe, dintre care două opuse au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 4 izometrii.
:* dacă două fețe opuse au aceeași culoare și alte două fețe opuse de asemenea, iar ultimele două au culori diferite, cubul are 4 izometrii.
*''C''<sub>''s''</sub>, [&nbsp;], (*):
:* dacă două fețe adiacente au culori diferite, iar celelalte patru au o a treia culoare, cubul are 2 izometrii.
:* dacă două fețe opuse au aceeași culoare și toate celelalte fețe au culori diferite, cubul are 2 izometrii.
*''C''<sub>3''v''</sub>, [3], (*33): dacă trei fețe, dintre care niciuna opusa față de alta, au o culoare și celelalte trei o altă culoare, cubul are 6 izometrii.

Pentru unele subgrupuri mai mari, un cub cu acel grup ca grup de simetrie nu este posibil doar cu colorarea fețelor (o culoare pe întreaga față). Este necesară desenarea unui model pe fețe.

Exemple:
* ''D''<sub>2''d''</sub>, [2<sup>+</sup>,4], (2*2): dacă pe o față există un segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, iar pe fața opusă este un segment orientat perpendicular pe primul, cubul are 8 izometrii; există un plan de simetrie și o simetrie de rotație în două poziții cu o axă la un unghi de 45° față de acel plan și, ca urmare, există și un alt plan de simetrie, perpendicular pe primul, și o altă axă de simetrie de rotație cu două poziții, perpendiculară pe prima.
* ''T''<sub>''h''</sub>, [3<sup>+</sup>,4], (3*2): dacă pe fiecare față există segment care împarte fața în două dreptunghiuri egale, astfel încât segmentele de pe fețele adiacente ''nu'' se întâlnesc pe laturi (muchii), cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și aceleași permutări compuse cu inversiunea ('''x''' este aplicat pe &minus;'''x''').
* ''T''<sub>''d''</sub>, [3,3], (*332): dacă cubul este format din opt cuburi mai mici, patru albe și patru negre, puse alternativ în toate cele trei direcții standard, cubul are 24 de izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului și inversările ''celorlalte'' rotații (proprii).
* ''T'', [3,3]<sup>+</sup>, (332): dacă fiecare față are același model cu simetrie de rotație de două ori, să spunem litera S, astfel încât pe toate laturile un vârf al unui S întâlnește o laterală a altui S, cubul are 12 izometrii: permutările pare ale diagonalelor corpului.

Simetria completă a cubului, ''O<sub>h</sub>'', [4,3], (*432), este conservată [[dacă și numai dacă]] toate fețele au același model astfel încât să conserve simetria completă a [[pătrat]]ului, acesta având grupul de simetrie, [[simetrie diedrică|Dih<sub>4</sub>]], [4], de ordinul 8.

Simetria completă a cubului sub rotații proprii, ''O'', [4,3]<sup>+</sup>, (432), este conservată dacă și numai dacă toate fețele au același model cu {{ill-wd| Q245462||simetrie de rotație cu 4 poziții}}, Z<sub>4</sub>, [4]<sup>+</sup>.

== Simetria octaedrică a suprafeței Bolza ==
În teoria {{ill-wd| Q753035||suprafeței Riemann}}, {{ill-wd| Q3505269||suprafața Bolza}}, numită uneori ''curba Bolza'', este obținută ca acoperire dublă ramificată a [[sfera Riemann |sferei Riemann]], cu locul de ramificare la setul de vârfuri ale octaedrului regulat înscris. Grupul său de automorfism include involuția hipereliptică care inversează cele două straturi ale acoperirii. Involuția hipereliptică dă tocmai grupul de simetrii al octaedrului.

== Poliedre cu simetrie octaedrică chirală ==

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
!Clasă
! Nume
! Imagine
! Fețe
! Laturi
! Vârfuri
! Numele dualului
! Imagine
|- 
![[Poliedru arhimedic]]<br/>([[Poliedru Catalan]])
|[[cub snub]]|| [[Fișier:Polyhedron snub 6-8 right max.png|60px]]|| 38 || 60 || 24
|[[icositetraedru pentagonal]]||[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 right dual max.png|60px]]
|}

== Poliedre cu simetrie octaedrică completă ==

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
!Clasă
! Nume
! Imagine
! Fețe
! Laturi
! Vârfuri
! Numele dualului
! Imagine
|-
![[Poliedru platonic]]
|[[Cub]]||[[Fișier:Polyhedron 6 max.png|60px|Hexaedru (cub)]]||6||12||8
|[[Octaedru]]||[[Fișier:Polyhedron 8 max.png|60px|Octaedru]]
|-
!rowspan=5|[[Poliedru arhimedic]]<br/>(dual [[poliedru Catalan]])
| [[Cuboctaedru]]|| [[Fișier:Polyhedron 6-8 max.png|60px]]|| 14 || 24 || 12
| [[Dodecaedru rombic]]|| [[Fișier:Polyhedron 6-8 dual max.png|60px]]
|-
| [[Cub trunchiat]]|| [[Fișier:Polyhedron truncated 6 max.png|60px]]|| 14 || 36|| 24
| [[Octaedru triakis]]|| [[Fișier:Polyhedron truncated 6 dual max.png|60px]]
|-
| [[Octaedru trunchiat]]|| [[Fișier:Polyhedron truncated 8 max.png|60px]]|| 14 || 36 || 24
| [[Hexaedru tetrakis]]|| [[Fișier:Polyhedron truncated 8 dual max.png|60px]]
|-
| [[Rombicuboctaedru]]|| [[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|60px]]|| 26 || 48 || 24
| [[Icositetraedru romboidal]]|| [[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|-
| [[Cuboctaedru trunchiat]]|| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|60px]]|| 26 || 72 || 48
| [[Dodecaedru disdyakis]]|| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|60px]]
|-
!rowspan=2|Compus<br/>poliedric regulat
|[[Stella octangula]]||[[Fișier:Polyhedron stellated 8 max.png|60px]]||8 ||12 ||8||Autodual
|-
|[[Compus de cub și octaedru|Cub și octaedru]]
|[[Fișier:Polyhedron pair 6-8 max.png|60px]]
|14||24||14||Autodual
|}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Peter R. Cromwell, ''Polyhedra'' (1997), p.&nbsp;295
* {{en icon}}John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss (2008), ''The Symmetries of Things'', {{isbn|978-1-56881-220-5}}
* {{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
* {{en icon}} [[Norman Johnson]]: ''Geometries and Transformations'', (2018) {{ISBN|978-1-107-10340-5}} Chapter 11: ''Finite symmetry groups'', 11.5 Spherical Coxeter groups

== Vezi și ==
* [[Simetrie tetraedrică]]
* [[Simetrie icosaedrică]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = OctahedralGroup | title = Octahedral group }}
* {{en icon}} Groupprops: [http://groupprops.subwiki.org/wiki/Direct_product_of_S4_and_Z2 Direct product of S4 and Z2]

[[Categorie:Simetrie|Octaedrică]]
[[Categorie:Grupuri finite]]