Vizualizare sursă pentru „Simetrie de rotație”

[[Fișier:The armoured triskelion on the flag of the Isle of Man.svg|thumb|[[Triskelion]]ul care apare pe [[Drapelul Insulei Man]] are simetrie de rotație deoarece apare la fel când este rotit în jurul centrului său cu 120°. Deoarece aspectul său este identic în trei orientări distincte, simetria sa de rotație este cu trei poziții.]]
În [[geometrie]] '''simetria de rotație'''<ref name=IGD><!-- Conf.dr. -->Iosif-Grigore Deac, [https://phys.ubbcluj.ro/~iosif.deac/courses/FCS/curs1_3.pdf ''Fizica corpului solid''] (curs), [[Universitatea Babeș-Bolyai]], accesat 2024-05-17</ref><ref name=MG>Marius Grigorescu, [http://imar.ro/~increst/2013/1_2013.pdf ''Simetrii dinamice''] (preprint nr. 1/2013), [[Institutul de Matematică „Simion Stoilow” al Academiei Române]], p.&nbsp;46, accesat 2024-05-17</ref>, cunoscută și ca '''simetrie radială''',<ref name=DZ><!-- Prof.dr. -->Daniela Zaharie, [https://staff.fmi.uvt.ro/~daniela.zaharie/dm2018/RO/Curs/Curs10/dm2018_curs10.pdf ''Data Mining''] (curs, 2018), [[Universitatea de Vest din Timișoara]], accesat 2024-05-17</ref> este proprietatea pe care o [[formă]] o are atunci când arată la fel după o [[rotație (matematică) |rotație]] parțială. Gradul de simetrie rotațională al unui obiect este numărul de orientări distincte în care arată exact la fel pentru fiecare poziție.

Anumite obiecte geometrice sunt parțial simetrice atunci când sunt rotite cu anumite unghiuri, cum ar fi [[pătrat]]ele rotite cu 90°, totuși singurele obiecte geometrice care sunt complet simetrice rotite cu orice unghi sunt  [[cerc]]urile, [[sferă |sferele]] și alte [[sferoid]]e.<ref>{{en icon}} [https://arxiv.org/pdf/1807.09654.pdf Rotational symmetry of Weingarten spheres in homogeneous three-manifolds. By Jos ́e A. G ́alvez, Pablo Mira]</ref><ref>{{en icon}} [https://www.researchgate.net/profile/Dmitrii-Maksimov/publication/317939298_Topological_Bound_States_in_the_Continuum_in_Arrays_of_Dielectric_Spheres/links/5a58a612aca2725b780773f5/Topological-Bound-States-in-the-Continuum-in-Arrays-of-Dielectric-Spheres.pdf Topological Bound States in the Continuum in Arrays of Dielectric Spheres. By Dmitrii N. Maksimov, LV Kirensky Institute of Physics, Krasnoyarsk, Russia]</ref>

== Descriere formală ==
{{Articol principal|Invarianță rotațională}} 
Formal, simetria de rotație este [[simetrie |simetria]] în raport cu unele sau toate [[rotație (matematică) |rotațiile]] din [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] {{mvar|m}}-dimensional. Rotațiile sunt {{ill-wd| Q852195||izometrii directe}}, adică [[izometrie |izometrii]] care conservă [[orientare (geometrie) |orientarea]]. Prin urmare, un [[grup de simetrie]] rotațională este un subgrup de {{math|''E''<sup> +</sup>(''m'')}}).

Simetria față de toate rotațiile în jurul oricărui [[punct (geometrie) |punct]] implică [[simetrie de translație |simetria de translație]] față de orice translație, deci spațiul este omogen, iar grupul de simetrie este tot grupul {{math|''E''(''m'') }}. Cu noțiunea modificată de simetrie pentru [[câmp vectorial |câmpurile vectoriale]] grupul de simetrie poate fi și {{math|''E''<sup> +</sup>(''m'') }}.

Pentru simetria în raport cu rotațiile în jurul unui punct putem lua acel punct ca origine. Aceste rotații formează [[grup ortogonal |grupul ortogonal]] {{math|SO(''m'')}}, grupul [[matrice |matricilor]] ortogonale {{math|''m'' × ''m''}} cu [[determinant (matematică) |determinantul]] 1. Pentru {{math|1=''m'' = 3}} acesta este grupul de rotație {{math|[[SO(3)]]}}.

În altă formulare a definiției, grupul de rotație ''al unui obiect'' este grupul de simetrie din {{math|''E''<sup> +</sup>(''n'')}}, grupul de izometrii directe; cu alte cuvinte, [[intersecție (matematică) |intersecția]] întregului grup de simetrie și a grupului de izometrii directe. Pentru obiectele [[chiralitate (matematică) |chirale]] este același cu grupul de simetrie completă.

[[Lege fizică |Legile fizicii]] sunt [[izotropie |SO(3)-invariante]] dacă nu disting direcții diferite în spațiu. Datorită {{ill-wd| Q578555||teoremei lui Noether}}, simetria de rotație a unui sistem fizic este echivalentă cu [[lege de conservare |legea de conservare]] a [[moment cinetic |momentului cinetic]].

=== Simetrie de rotație discretă ===
'''Simetria de rotație de ordinul&nbsp;{{mvar|n}}''', numită și '''simetrie de rotație cu {{mvar|n}} poziții''', în raport cu un anumit punct (în [[bidimensional]]) sau axă (în [[tridimensional]]) înseamnă că rotația cu un unghi de {{math|360°/''n''}} (180°, 120°, 90°, 72°, 60°, 51&nbsp;{{frac|3|7}}° etc.) nu modifică obiectul. O simetrie „1-poziție” nu este simetrie (toate obiectele arată la fel după o rotație de 360°).

Notațiile folosite în [[sistem cristalin |sistemul cristalin]] pentru simetria cu {{mvar|n}} poziții este {{mvar|'''C<sub>n</sub>'''}} sau pur și simplu {{mvar|n}}. Grupul de simetrie real este specificat de punctul sau axa de simetrie, împreună cu {{mvar|n}}. Pentru fiecare punct sau axă de simetrie, tipul de grup abstract este {{ill-wd| Q245462||grupul ciclic}} de ordin&nbsp;{{mvar|n}}, {{mvar|Z<sub>n</sub>}}. Deși pentru acesta din urmă se folosește și notația {{mvar|C<sub>n</sub>}}, trebuie să se facă distincția între grupul {{mvar|C<sub>n</sub>}} geometric și cel abstract: există alte grupuri de simetrie din același tip de grup abstract care sunt diferite din punct de vedere geometric.

[[Domeniu fundamental |Domeniul fundamental]] este un [[sector de cerc |sector]] al {{math|360°/''n''.}}

Exemple fără [[simetrie de reflexie]] suplimentară:
* {{math|1=''n'' = 2}}, 180°: ''diadă'',<ref>{{Dexonline|diadă}}</ref> literele Z, N, S; contururile, deși nu și culorile, ale simbolului [[Yin și Yang]] sau ale [[drapelul Regatului Unit |drapelului Regatului Unit]] (nu are simetrie de reflexie);
* {{math|1=''n'' = 3}}, 120°: ''triadă'',<ref>{{Dexonline|triadă}}</ref> [[triskelion]];
* {{math|1=''n'' = 4}}, 90°: ''tetradă'',<ref>{{Dexonline|tetradă}}</ref> [[svastică]];
* etc.

Dacă există, de exemplu, simetria de rotație față de un unghi de 100°, atunci există și față de 20° ([[cel mai mare divizor comun]] al 100° și 360°).

Un obiect tridimensional tipic cu simetrie de rotație dar fără simetrie în oglindă este o [[elice]].

=== Exemple ===
{| class="wikitable" width=600
|- 
! {{math|''C''{{sub|2}}}} ([[:c:Category:2-fold rotational symmetry|mai multe]])
! {{math|''C''{{sub|3}}}} ([[:c:Category:3-fold rotational symmetry|mai multe]])
! {{math|''C''{{sub|4}}}} ([[:c:Category:4-fold rotational symmetry|mai multe]])
! {{math|''C''{{sub|5}}}} ([[:c:Category:5-fold rotational symmetry|mai multe]])
! {{math|''C''{{sub|6}}}} ([[:c:Category:6-fold rotational symmetry|mai multe]])
|- valign=top
|[[Fișier:Double_pendulum_flips_graph.png|120px]]<br/>[[Fractal]] haotic dublu
|[[Fișier:Finland road sign 166 (1995–2020).svg|120px]]<br/>[[Indicator rutier]] „[[sens giratoriu]]”
|[[Fișier:Cyclic symmetry 4.png|120px]]
|[[Fișier:United States Bicentennial star 1976 (geometry).svg|120px]]<br/>Steaua [[Bicentenarul Statelor Unite ale Americii |bicentenarului SUA]]
|[[Fișier:Cyclic symmetry 6.png|120px]]
|- valign=top
|[[Fișier:En-300px-Shogi.png|120px]]<br/>Poziția inițială la [[shogi]]
|[[Fișier:Snoldelev-three-interlaced-horns.svg|120px]]<br/>[[Corn de băut |Cornuri de băut]] interblocate,<br/>desen pe [[Piatra din Snoldelev]]
|[[Fișier:Op-art-4-sided-spiral-tunnel-7.svg|120px]]
|[[Fișier:15crossings-decorative-knot.svg|120px]]
|[[Fișier:Olavsrose.svg|120px]]
|}

=== Simetrie față de mai multe axe concurente în același punct ===
La simetria discretă cu mai multe axe de simetrie concurente în același punct, există următoarele posibilități:
* În afară axelor de simetrie pentru cele {{mvar|n}} poziții, exită {{mvar|n}} axe perpendiculare pentru cele două poziții: [[grup diedral |grupurile diedrale]] {{mvar|D<sub>n</sub>}} de ordin&nbsp;{{math|2''n''}} ({{math|''n'' ≥ 2}}). Acesta este grupul de rotație al unei [[prismă (geometrie) |prisme]] regulate sau a unei [[bipiramidă |bipiramide]] regulate. Deși se folosește aceeași notație, {{mvar|D<sub>n</sub>}} geometrice și abstracte ar trebui să fie percepute distinct: există și alte grupuri de simetrie de același tip de grup abstract care sunt diferite din punct de vedere geometric, v. [[Grup diedral#Grupul_diedral_ca_grup_de_simetrie_în_spațiul_bidimensional_și_grup_de_rotație_în_spațiul_tridimensional |grupuri de simetrie diedrală în spațiul tridimensional]].
* Axe pentru 4×3 și 3×2 poziții: grupul de rotație {{mvar|T}} de ordinul&nbsp;12 al unui [[tetraedru]] regulat. Grupul este [[izomorf]] cu {{ill-wd| Q438814||grupul altern}} {{math|''A''<sub>4</sub>}}.
* Axe pentru 3×4, 4×3 și 6×2 poziții: grupul de rotație&nbsp;''O'' de ordinul&nbsp;24 al unui [[cub]] și al unui [[octaedru]] regulat. Grupul este izomorf cu {{ill-wd| Q849512||grupul simetric}} {{math|''S''<sub>4</sub>}}.
* Axe pentru 6×5, 10×3 și 15×2 poziții: grupul de rotație&nbsp;{{mvar|I}} de ordinul&nbsp;60 al [[dodecaedru]]lui și al [[icosaedru]]lui regulat. Grupul este izomorf cu grupul altern&nbsp;{{math|''A''<sub>5</sub>}}. Grupul conține 10 versiuni ale {{math|''D''<sub>3</sub>}} și 6 versiuni ale {{math|''D''<sub>5</sub>}} (simetrii de rotație ca ale prismelor și [[antiprismă |antiprismelor]]).

În cazul [[poliedru platonic |poliedrelor platonice]], axele pentru două poziții trec prin punctele din mijloc ale laturilor opuse, iar numărul acestora este jumătate din numărul laturilor. Celelalte axe trec prin vârfuri opuse și prin centre ale fețelor opuse, cu excepția cazului tetraedrului, unde axele pentru trei poziții trec fiecare printr-un vârf și centrul unei fețe.

=== Simetrie de rotație față de orice unghi ===
Simetria de rotație față de orice unghi este, în bidimensional, simetria circulară. Domeniul fundamental este o [[semidreaptă]].

În tridimensional există ''simetria cilindrică'' și ''simetria sferică'' (nicio schimbare la rotirea în jurul unei axe, pentru orice rotație). Adică, nicio dependență de unghi folosind coordonate cilindrice, respectiv nicio dependență de niciun unghi folosind [[coordonate sferice]]. Domeniul fundamental este un semiplan prin axă, respectiv o semidreaptă radială. ''Axisimetric'' și ''axial simetric'' sunt [[adjectiv]]e care se referă la un obiect cu simetrie cilindrică, de exemplu un [[tor]]. Un exemplu de simetrie sferică aproximativă este [[Pământ]]ul.

În [[cvadridimensional]] simetria de rotație continuă sau discretă în jurul unui plan corespunde simetriei de rotație bidimensionale corespunzătoare în fiecare plan perpendicular, în jurul punctului de intersecție. Un obiect poate avea și simetrie de rotație în jurul a două plane perpendiculare, de exemplu dacă este [[produs cartezian |produsul cartezian]] al două figuri bidimensionale cu simetrie de rotație, de exemplu la [[duocilindru]] și diverse [[duoprismă |duoprisme]] regulate.

=== Simetrie de rotație cu simetrie de translație ===
{| class=wikitable align=right width=300
|- valign=top
|[[Fișier:Wallpaper group diagram p4.png|120px]]<br/>Aranjament într-o celulă primitivă cu centre de rotație cu 2 și 4 poziții. Un [[domeniu fundamental]] este indicat cu galben.
|[[Fișier:Wallpaper group diagram p6.png|180px]]<br/>Aranjament într-o celulă primitivă cu centre de rotație cu 2, 3 și 6 poziții, singure sau în combinație; în cazul simetriei cu două poziții, forma [[paralelogram]]ului poate fi diferită. Pentru cazul cu 6 poziții, un domeniu fundamental este indicat cu galben.
|}
Simetria de rotație cu două poziții împreună cu o singură simetrie de translație este una dintre [[grup de friză |grupurile de friză]]. Un centru de rotație este [[punct fix (matematică) |punctul fix sau invariant]] al unei rotații.<ref>{{en icon}} Loeb, A.L. (1971). ''Color and Symmetry'', Wiley-Interscience, New York, p.2. {{isbn|9780471543350}}, {{oclc|163904}}</ref> În acest caz există două centre de rotație per ''celulă primitivă'' (o ''celulă primitivă'' conține exact un punct al unei latice). 

Împreună cu simetria de translație dublă, grupurile de rotație sunt următoarele {{ill-wd| Q906867||grupuri de tapet}}, cu axe per celulă primitivă:
* p2 (2222): 4×2 poziții; grup de rotație al unei [[rețea (geometrie) |rețele]] [[dreptunghi]]ulare sau [[romb]]ice.
* p3 (333): 3×3 poziții; ''nu'' este grupul de rotație al unei rețele oarecare (fiecare rețea este identică dacă este privită susul în jos, dar asta nu se aplică pentru această simetrie); este de exemplu grupul de rotație al [[pavare triunghiulară |pavării triunghiulare]] cu [[triunghi echilateral |triunghiurile echilaterale]] colorate alternativ.
* p4 (442): 2×4 și 2×2 poziții; grupul de rotație al unei rețele [[pătrat]]e.
* p6 (632): 1×6, 2×3  și 3×2 poziții; grupul de rotație al unei rețele [[hexagon]]ale.
* Centrele de rotație cu două poziții (inclusiv posibil cu 4 și 6 poziții), dacă sunt prezente, formează translația unei rețele egale cu rețeaua de translație, scalată cu un factor de 1/2. În cazul simetriei de translație în [[unidimensional]], se aplică o proprietate similară, deși termenul de „rețea” nu se aplică.
* Centrele de rotație cu trei poziții (inclusiv posibil cu 6 poziții), dacă sunt prezente, formează o rețea hexagonală regulată egală cu rețeaua de translație, rotită cu 30° (sau echivalent cu 90°) și scalată cu un factor de <math>\sqrt3/3.</math>
* Centrele de rotație cu patru poziții, dacă sunt prezente, formează o rețea pătrată egală cu rețeaua de translație, rotită cu 45° și scalată cu un factor de <math>\sqrt2/2.</math>
* Centrele de rotație cu șase poziții, dacă sunt prezente, formează o rețea hexagonală care este o translație a rețelei de translație.

Scalarea unei rețele împarte numărul de puncte per unitatea de suprafață la pătratul factorului de scară. Prin urmare, numărul de centre de rotație cu 2, 3, 4 și 6 poziții per celulă primitivă este de 4, 3, 2 și, respectiv, 1, incluzând cazul cu 4 poziții ca un caz particular al celui cu 2 poziții etc.

Simetria de rotație cu trei poziții într-un punct și cu două în altul (sau la fel în tridimensional față de axele paralele) implică grupul de rotație p6, adică simetrie dublă de translație și simetrie de rotație cu șase poziții în unele puncte (sau, în tridimensional, în axa paralelă). Distanța de translație pentru simetria generată de o astfel de pereche de centre de rotație este de <math>2\sqrt3</math> ori distanța dintre ele.
{| class=wikitable width=480
!Plan euclidian
!Plan hiperbolic
|- valign=top
|[[Fișier:Tile V46b.svg|240px]]<br/>[[Pavare triunghiulară hexakis]], un exemplu de p6, [6,3]<sup>+</sup>, (632) (cu culori) și p6m, [6,3], (*632) (fără culori); dreptele sunt axe de reflexie dacă culorile sunt ignorate și un tip special de axă de simetrie dacă culorile nu sunt ignorate: reflexia comută culorile. Pot fi observate grile formate din drepte perpendiculare, cu trei orientări.
|[[Fișier:Order-3 heptakis heptagonal tiling.png|240px]]<br/>[[Pavare kisrombică de ordinul 3-7]], un exemplu de simetrie [7,3]<sup>+</sup> (732) și [7,3], (*732) (fără culori)
|}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book |title=Symmetry |last=Weyl |first=Hermann |author-link=Hermann Weyl |year=1982 |orig-year=1952 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton |isbn=0-691-02374-3 |ref=Weyl 1982}}

== Vezi și ==
* [[Simetrie de reflexie]]
* [[Simetrie de translație]]
* [[Simetrie față de centru]]
* {{ill-wd| Q852195||Grup euclidian}}

== Legături externe ==
{{Commons category-inline}}
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://www.mathsisfun.com/geometry/symmetry-rotational.html Rotational Symmetry Examples] la ''Math Is Fun''

[[Categorie:Geometrie elementară]]
[[Categorie:Simetrie|rotație]]