Vizualizare sursă pentru „Simetrie (geometrie)”

[[Fișier:10,000 convex and nonconvex regular polygons cropped.png|thumb|Diferite tipuri de simetrii, [[simetrie de reflexie |de reflexie]], rotație sau translație]]
În [[geometrie]], un obiect este '''[[simetrie |simetric]]''' dacă există o [[Operație (matematică) |operație]] sau [[transformare geometrică|transformare]] (cum ar fi o [[Translație (geometrie) |translație]],  [[Scalare (geometrie) |scalare]], [[Rotație (matematică) |rotație]] sau [[Reflexie (matematică) |reflexie]]) care aplică figura/obiectul pe sine însuși (adică obiectul are o [[Invarianță (matematică) |invarianță]] în urma transformării).<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=https://mathvault.ca/math-glossary/#invariance|title=The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Invariance|date=2019-08-01|website=Math Vault|language=en-US|access-date=2019-12-06}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite book | author=Martin, G. | year=1996 | title=Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry | publisher=Springer | page=28}}</ref> Astfel, o simetrie poate fi concepută ca o imunitate la schimbare.<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite web|url=https://undergroundmathematics.org/thinking-about-geometry/symmetry|title=Symmetry {{!}} Thinking about Geometry {{!}} Underground Mathematics|website=undergroundmathematics.org|access-date=2019-12-06}}</ref> De exemplu, un cerc rotit în jurul centrului său va avea aceeași formă și dimensiune ca și cercul original, întrucât toate punctele sale nu ar putea fi deosebite înainte și după transformare. Se spune astfel că un cerc este ''simetric față de rotație'' sau că are ''simetrie de rotație''. Dacă izometria este o reflexie a unei figuri plane față de o dreaptă, atunci se spune că figura are ''[[simetrie de reflexie]]'', sau ''simetrie față de o axă''.<ref name=":1">{{en icon}} {{Cite web|url=https://mathbitsnotebook.com/Geometry/Transformations/TRTransformationSymmetry.html|title=Symmetry - MathBitsNotebook(Geo - CCSS Math)|website=mathbitsnotebook.com|access-date=2019-12-06}}</ref> Este posibil ca o figură/obiect să aibă mai multe astfel de simetrii.<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Freitag, Mark | year=2013 | title=Mathematics for Elementary School Teachers: A Process Approach | publisher=Cengage Learning | page=721}}</ref>

Tipurile de simetrii care sunt posibile pentru un obiect geometric depind de setul de transformări geometrice disponibile și de ce proprietăți ale obiectului ar trebui să rămână neschimbate după o transformare. Deoarece compunerea a două transformări este, de asemenea, o transformare, iar fiecare transformare are, prin definiție, o transformare inversă care o anulează, [[mulțime]]a de transformări pentru care un obiect este simetric formează un [[grup (matematică) |grup]] [[matematică |matematic]], [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] al obiectului.<ref>{{en icon}} {{cite book | last=Miller | first=Willard Jr. | year=1972 | title=Symmetry Groups and Their Applications | publisher=Academic Press | location=New York | oclc=589081 | url=http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html | access-date=2009-09-28 | url-status=dead | archive-url=https://web.archive.org/web/20100217091244/http://www.ima.umn.edu/~miller/symmetrygroups.html | archive-date=2010-02-17 }}</ref>

== Simetriile euclidine în general ==
Cel mai comun grup de transformări aplicate obiectelor este [[grup euclidian |grupul euclidian]] al „[[izometrie |izometriilor]]”, care sunt transformări de conservare a distanței în spațiu denumite în mod obișnuit [[bidimensional]]e sau [[tridimensional]]e (adică în [[geometrie plană |geometria plană]] sau [[geometrie în spațiu |geometria în spațiu]] [[spațiu euclidian |euclidiană]]). Aceste izometrii constau din reflexii, rotații, translații și compuneri  ale acestor operații de bază.<ref name="Higher dimensional group theory'">{{en icon}} {{cite web | url=http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm| title=Higher Dimensional Group Theory | access-date=2013-04-16 | url-status=dead | archive-url=https://archive.is/20120723235509/http://www.bangor.ac.uk/r.brown/hdaweb2.htm | archive-date=2012-07-23 }}</ref> În cazul unei transformări izometrice se spune că un obiect geometric este simetric dacă după transformare el nu se distinge de cel dinaintea transformării.<ref>{{en icon}} {{Cite web|url=https://www.ck12.org/book/CK-12-Interactive-Geometry-for-CCSS/section/2.6/|title=2.6 Reflection Symmetry|website=CK-12 Foundation|access-date=2019-12-06}}</ref> Un obiect geometric este de obicei simetric numai pentru un subset sau „[[subgrup]]” al tuturor izometriilor. Tipurile de [[grup de izometrie|subgrupuri de izometrii]] sunt descrise mai jos, urmate de alte tipuri de grupuri de transformare și de tipurile de invarianță a obiectelor care sunt posibile în geometrie.

Conform [[teorema Cartan–Dieudonné |teoremei Cartan–Dieudonné]], o [[transformare ortogonală]] în spațiul ''n''-dimensional poate fi reprezentat prin compunerea a cel mult ''n'' reflexii.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Izometrii de bază în funcție de dimensiuni
|-
|
!colspan=2|1D
!colspan=2|2D
!colspan=2|3D
!colspan=2|4D
|-
!Reflexii
!Punct||Afină
!Punct||Afină
!Punct||Afină
!Punct||Afină
|-
!1
|BGCOLOR="#eeeeff" colspan=2|Reflexie
|colspan=2|Reflexie
|BGCOLOR="#eeeeff" colspan=2|Reflexie
|colspan=2|Reflexie
|-
!2
|BGCOLOR="#eeeeff"| ||BGCOLOR="#eeeeff"|Translație
| Rotație ||Translație
|BGCOLOR="#eeeeff"| Rotație ||BGCOLOR="#eeeeff"|Translație
| Rotație ||Translație
|-
!3
| colspan=2|
| 
| Translație–<br/>reflexie
| BGCOLOR="#eeeeff"|Rotație–<br/>reflexie
| BGCOLOR="#eeeeff"|Translație–<br/>reflexie
| Rotație–<br/>reflexie
| Translație–<br/>reflexie
|-
!4
| colspan=4| 
|BGCOLOR="#eeeeff"| ||BGCOLOR="#eeeeff"| Rotație–<br/>translație
| Rotație<br/>dublă || Rotație–<br/>translație
|-
!5
| colspan=6| 
| || Rotație–<br/>translație–<br/>reflexie
|}

== Simetrie de reflexie ==
{{Articol principal|Simetrie de reflexie}}
'''Simetria de reflexie'''<!-- bold deoarece există redirecționare aici --> sau ''simetria în oglindă'' este simetria dată de o [[reflexie (matematică) |reflexie]].<ref>{{en icon}} {{cite book |title=Symmetry |last=Weyl |first=Hermann | year=1982 |orig-year=1952 |publisher=Princeton University Press |location=Princeton | isbn=0-691-02374-3 |ref=Weyl 1982}}</ref>

Într-un [[spațiu unidimensional]] simetria poate fi față de un punct, într-unul [[bidimensional]] și față de o [[axă de simetrie]] (dreaptă), iar în [[tridimensional]] și față de un [[plan de simetrie]].<ref name=":1" /><ref>{{en icon}} {{cite book |last1=Cowin |first1=Stephen C. |last2=Doty |first2=Stephen B. |year=2007 |title=Tissue Mechanics |url=https://archive.org/details/tissuemechanics00cowi_776 |url-access=limited |publisher=Springer |page=[https://archive.org/details/tissuemechanics00cowi_776/page/n162 152]}}</ref> O figură pentru care fiecare punct are o aplicație biunivocă pe alta, [[echidistant]]ă de ea și pe partea opusă a unui plan comun se numește [[imagine în oglindă]].

Axa de simetrie a unei figuri bidimensionale este o dreaptă. Dacă este construită o [[perpendicularitate |perpendiculară]] pe axă, oricare două puncte situate pe perpendiculară la distanțe egale de axa de simetrie sunt simetrice („în oglindă”). Un alt mod de a imagina asta este că dacă forma ar fi pliată în două pe axă, cele două jumătăți ar fi identice. De exemplu, un [[pătrat]] are patru axe de simetrie, deoarece există patru moduri diferite de a-l plia suprapunându-i [[latură (geometrie) |laturile]]. Un alt exemplu ar fi cel al unui [[cerc]], care, din același motiv, are infinit de multe axe de simetrie, care trec prin centrul său.<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Caldecott, Stratford  | year=2009 | title=Beauty for Truth's Sake: On the Re-enchantment of Education | publisher=Brazos Press |page=70}}</ref>

Dacă litera T este reflectată față de o axă verticală, apare la fel. Aceasta se numește uneori simetrie verticală. Astfel, se poate descrie acest fenomen fără echivoc spunând că „T are o axă de simetrie verticală” sau că „T are simetrie stânga-dreapta”.

[[Triunghi]]urile cu simetrie de reflexie sunt [[isoscel]]e, [[patrulater |patrulaterele]] cu această simetrie sunt [[romboid |romboizi]] sau [[trapez]]e isoscele.<ref>{{en icon}} {{cite book | title=Mathematics for Elementary School Teachers | author=Bassarear, Tom  |edition=5 | publisher=Cengage Learning | year=2011 |page =499}}</ref>

Pentru fiecare linie sau plan de reflexie, [[grup de simetrie |grupul de simetrie]] este [[izomorfism |izomorf]] cu C<sub>s</sub>, unul dintre trei tipuri de ordinul doi ([[involuție (matematică) |involuții]]), deci algebric izomorf cu C<sub>2</sub>. [[Domeniu fundamental |Domeniul fundamental]] este un [[semiplan]] sau un [[semispațiu]].<ref>{{en icon}} {{cite book | author=N. W. Johnson | title=Geometries and Transformations | year=2018 | chapter=11: Finite symmetry groups | publisher=Cambridge University Press}}</ref>

== Simetria față de un punct și alte izometrii involutive ==
[[Fișier:Point Reflection.jpg|thumb|În 2 dimensiuni o simetrie față de un punct este o rotație de 180°]]
<!-- {{Articol principal|Simetrie față de un punct}} -->
Simetria de reflexie poate fi generalizată la alte [[izometrie |izometrii]] dintr-un spațiu ''m''-dimensional, fiind [[involuție (matematică)|involuții]], cum ar fi
:{{math|(''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub>) ↦ (−''x''<sub>1</sub>, ..., −''x''<sub>''k''</sub>, ''x''<sub>''k''+1</sub>, ..., ''x''<sub>''m''</sub>)}}
într-un sistem de [[coordonate carteziene]]. Acestea reflectă spațiul față de un subspațiu afin {{math|(''m''−''k'')}}-dimensional.<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Hertrich-Jeromin, Udo | year=2003 | title=Introduction to Möbius Differential Geometry | publisher=Cambridge University Press}}</ref> Dacă {{mvar|k}}&nbsp;=&nbsp;{{mvar|m}}, atunci o asemenea transformare este cunoscută ca ''[[simetrie față de un punct]]'' sau ''[[inversiune față de un punct]]''. Într-un [[plan (geometrie) |plan]] ({{mvar|m}}&nbsp;=&nbsp;2), o simetrie față de un punct este „o jumătate de rotație” (180°). ''Simetrie antipodală'' este o altă expresie pentru simetria față de un punct (sau față de origine).<ref>{{en icon}} {{cite book |last=Dieck |first=Tammo |title=Algebraic Topology |url=https://archive.org/details/algebraictopolog00diec |url-access=limited |year=2008 |publisher=European Mathematical Society |isbn=9783037190487 |pages=[https://archive.org/details/algebraictopolog00diec/page/n273 261]}}</ref>

O astfel de „reflexie” conservă [[orientare (geometrie) |orientarea]] [[dacă și numai dacă]] {{mvar|k}} este un [[număr par]].<ref>{{en icon}} William H. Barker, Roger Howe ''Continuous Symmetry: From Euclid to Klein (Google eBook)'' American Mathematical Soc</ref> Aceasta implică faptul că pentru un [[spațiu tridimensional]] ({{mvar|m}}&nbsp;=&nbsp;3), ca și pentru alte spații cu dimensiuni {{mvar|m}}impare, o reflexie a punctului modifică orientarea spațiului, ca o simetrie în oglindă. Asta explică de ce în fizică, termenul ''P-[[simetrie (fizică) |simetrie]]'' (P înseamnă [[paritate (fizică) |paritate]]) este folosit atât pentru reflexia punctelor, cât și pentru simetria în oglindă. Deoarece o reflexie punctuală în tridimensional schimbă un [[sistem de coordonate pe stânga]] într-un [[sistem de coordonate pe dreapta]], simetria față de un punct se numește și simetrie stânga-dreapta.<ref name=Gibson1980>{{en icon}} {{cite book |author1=W.M. Gibson |author2=B.R. Pollard  |name-list-style=amp |title=Symmetry principles in elementary particle physics |year=1980 |publisher=Cambridge University Press |isbn=0 521 29964 0 |pages=120–122}}</ref>

== Simetrie de rotație ==
{{Articol principal|Simetrie de rotație}}
[[File:The armoured triskelion on the flag of the Isle of Man.svg|thumb|Un [[triskelion]] are o simetrie de rotație trilobată]]
[[Simetrie de rotație |Simetria de rotație]] este o simetrie față de unele, sau chiar toate rotațiile din spațiul euclidian ''m''-dimensional. Rotațiile sunt [[SE(n)|izometrii directe]], care sunt izometrii care păstrează [[orientare (geometrie) |orientarea]].<ref>{{en icon}} Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2005) ''Natural Biodynamics'' World Scientific</ref> Prin urmare, un grup de simetrie al simetriilor de rotație este un subgrup al grupului euclidian special SE(3) (sau E<sup>+</sup>(''m'')&nbsp;).

Simetria față de toate rotațiile față de toate punctele implică simetria de translație față de toate translațiile (deoarece translațiile sunt compuneri de rotații față de puncte diferite),<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Singer, David A. | year=1998 | title=Geometry: Plane and Fancy | url=https://archive.org/details/geometryplanefan0000sing | url-access=registration | publisher=Springer Science & Business Media}}</ref> iar grupul de simetrie este întregul E<sup>+</sup>(''m''). Acest lucru nu se aplică obiectelor, deoarece presupune un spațiu omogen, dar se poate aplica legilor fizice.

Pentru simetria rotațiilor față de un punct se poate lua acel punct ca origine. Aceste rotații formează [[grup ortogonal |grupul ortogonal special]] SO(''m''), care poate fi reprezentat de grupul {{ill-wd| Q333871||matricilor ortogonale}} {{math|''m''&nbsp;×&nbsp;''m''}} cu [[determinant (matematică) |determinant]]&nbsp;1. Pentru ''m''&nbsp;=&nbsp;3, acesta este [[grup de rotație |grupul de rotație SO(3)]].<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Joshi, A. W. | title=Elements of Group Theory for Physicists | year=2007 | publisher=New Age International | pages=111ff.}}</ref>

Spus puțin diferit, grupul de rotație al unui obiect este grupul de simetrie din cadrul E<sup>+</sup>(''m''), grupul mișcărilor rigide;<ref>{{en icon}} {{cite book | author=Hartshorne, Robin | year=2000 | title=Geometry: Euclid and Beyond | publisher=Springer Science & Business Media}}</ref> adică intersecția grupului de simetrie completă și a grupului de mișcări rigide. Pentru obiectele [[chiralitate (matematică)|chirale]], este la fel ca grupul de simetrie completă.

Legile fizicii sunt invariante față de SO(3) dacă nu disting direcții diferite în spațiu. Datorită {{ill-wd| Q578555||teoremei lui Noether}}, simetria de rotație a unui sistem fizic este echivalentă cu conservarea [[moment cinetic|momentului cinetic]].<ref name=Noether>{{en icon}} {{Cite book | last = Kosmann-Schwarzbach | first = Yvette | title = The Noether theorems: Invariance and conservation laws in the twentieth century | publisher = [[Springer Science+Business Media]] (Springer-Verlag) | series = Sources and Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences | year = 2010 | isbn = 978-0-387-87867-6}}</ref>

== Simetrie de translație  ==
[[File:Frieze hop.png|thumb|Un model de [[friză]] cu simetrie de translație]]
{{Articol principal|Simetrie de translație}}
Simetria de translație lasă un obiect invariant față de un [[grup discret]] sau continuu de [[translație (geometrie) |translații]] <math>\scriptstyle T_a(p) \;=\; p \,+\, a</math>.<ref>{{en icon}} Stenger, Victor J. (2000) and Mahou Shiro (2007). ''Timeless Reality''. Prometheus Books. Especially chapter 12. Nontechnical.</ref> Ilustrația din dreapta arată patru figuri congruente generate de translații. Dacă linia figurilor s-ar extinde până la infinit în ambele direcții, atunci ar avea o simetrie de translație discretă; orice translație care a aplicat o figură pe alta ar lăsa întreaga linie neschimbată.

== Simetrie de reflexie translată ==
[[File:Frieze step.png|thumb|Un model de [[friză]] cu simetrie de reflexie translată]]
<!-- {{Articol principal|Simetrie de reflexie translată}} -->
În bidimensional o '''simetrie de [[reflexie translată]]''' este o reflexie din plan față de o axă compusă cu o translație lungul axei. Are ca rezultat același obiect.<ref name=":0" /><ref>{{en icon}} {{citation |title=Transformation Geometry: An Introduction to Symmetry |series=[[Undergraduate Texts in Mathematics]] |first=George E. |last=Martin |publisher=Springer |year=1982 |isbn=9780387906362 |page=64|url=https://books.google.com/books?id=KW4EwONsQJgC&pg=PA64}}.</ref> Compunerea a două reflexii translate are ca rezultat o simetrie de translație cu dublul vectorului de translație. Grupul de simetrie care cuprinde reflexiile și translațiile asociate este [[grup de frize |grupul de frize]] '''p11g''' și este izomorf cu grupul ciclic infinit '''Z'''.

=== Simetrie de rotație–reflexie ===
[[File:Rotoreflection example antiprism.png|thumb|O [[antiprismă pentagonală]] cu laturile marcate prezintă o simetrie de rotație–reflexie de ordinul 10]]

În tridimensional 3D, o '''rotație–reflexie''', este o rotație în jurul unei axe cumpusă cu o reflexie față de un plan perpendicular pe acea axă.<ref>{{en icon}} Robert O. Gould, Steffen Borchardt-Ott (2011)''Crystallography: An Introduction'' Springer Science & Business Media</ref> Grupurile de simetrie asociate cu rotația–reflexia:
* Dacă rotație nu este un [[multiplu]] de 360°, grupul de simetrie nu este unul discret.
* Dacă rotația–reflexia are un număr de 2''n'' rotații cu un unghi de 180°/''n'', grupul de simetrie este ''S''<sub>2''n''</sub> de ordinul 2''n'' (a nu se confunda cu grupurile de simetrie la care se folosesc aceleași notații; grupul abstract este ''C''<sub>2''n''</sub>). Un caz particular este ''n''&nbsp;=&nbsp;1, o inversiune față de un punct, deoarece nu depinde de axă și plan, fiind caracterizat doar de punctul de inversiune.
* Grupul ''C<sub>nh</sub>'' (unghi de 360°/''n''); pentru ''n'' impar, acesta este generat de o singură simetrie, iar grupul abstract este ''C''<sub>2''n”</sub>, pentru ''n'' par. Aceasta nu este o simetrie de bază, ci o compunere.

== Simetrie elicoidală ==
[[Fișier:Helix.svg|thumb|Curba unei [[elice (matematică) |elice]]]]
În geometria tridimensională și dimensiuni superioare, o axă elicoidală (sau translație rotativă) este o compunere dintre o rotație și o translație de-a lungul axei de rotație.<ref>{{en icon}} Bottema, O, and B. Roth, ''Theoretical Kinematics,'' Dover Publications (September 1990)</ref>

Simetria [[elice (matematică) |elicoidală]] este tipul de simetrie văzut în obiecte ca [[Arc (organ de mașină) |arcuri]] sau [[burghiu |burghie]]. Conceptul de simetrie elicoidală poate fi văzut ca traiectoria în spațiul tridimensional a unui obiect rotit cu [[viteză unghiulară]] constantă, în timp ce este translat cu o [[viteză liniară]] constantă de-a lungul axei sale de rotație. În orice moment, aceste două mișcări se compun pentru a da un „unghi de înfășurare” care ajută la definirea proprietăților elicei trasate.<ref>{{en icon}} George R. McGhee (2006) ''The Geometry of Evolution: Adaptive Landscapes and Theoretical Morphospaces'' Cambridge University Press p.64</ref> Când obiectul în discuție se rotește rapid și se translează încet, unghiul de înfășurare va fi aproape de 0°. În schimb, dacă obiectul se rotește încet și se translează rapid, unghiul de înfășurare se va apropia de 90°.

[[Fișier:Triangular helix.png|thumb|[[Apeirogon]]ul elicoidal din imagine, prezentat într-o [[proiecție]] în [[perspectivă]] are o simetrie elicoidală discretă (aici cu 3 poziții)]]
[[Fișier:Coxeter helix 3 colors.png|thumb|[[Elice Boerdijk–Coxeter]], formată din tetraedre regulate augmentate, este un exemplu de simetrie elicoidală neperiodică]]
Se pot distinge trei clase principale de simetrie elicoidală, bazate pe unghiul de înfășurare și simetriile de translație de-a lungul axei:

* ''Simetrie elicoidală infinită'': Dacă nu există trăsături distinctive pe lungimea elicei sau a unui obiect asemănător unei elice, obiectul va avea o simetrie infinită la fel ca aceea a unui cerc, dar cu cerința de translație de-a lungul axei obiectului pentru a se obține aspectul inițial.<ref>{{en icon}} Anna Ursyn(2012) ''Biologically-inspired Computing for the Arts: Scientific Data Through Graphics'' IGI Global Snippet p.&nbsp;209</ref> Un obiect asemănător unei elice este cel care are în fiecare punct unghiul regulat de înfășurare al unei elice, dar care poate avea și o [[Secțiune plană |secțiune transversală]] de o complexitate arbitrară (chiar și ridicată), cu condiția doar ca secțiunea să se conserve după rotație în fiecare punct de pe lungimea obiectului. Exemple simple sunt arcuri și burghie. Mai precis, un obiect are simetrii elicoidale infinite dacă pentru orice rotație mică a obiectului în jurul axei sale centrale, există un punct în apropiere (distanța de translație) pe acea axă, în care obiectul va apărea exact așa cum a fost înainte. Această simetrie elicoidală infinită dă naștere la iluzia de mișcare de-a lungul unui filet care este rotit. De asemenea, oferă proprietatea, utilă mecanic, a unor astfel de dispozitive de a deplasa materiale de-a lungul lungimii lor, cu condiția ca acestea să fie combinate cu o forță precum gravitația sau frecarea, care permite materialelor să nu se rotească împreună cu dispozitivul.

* ''simetrie elicoidală cu „n” poziții'': Dacă condiția ca fiecare secțiune transversală a obiectului elicoidal să fie identică este relaxată, atunci ar fi posibile simetriile elicoidale mai mici. De exemplu, secțiunea transversală a obiectului elicoidal se poate schimba, dar se poate repeta în mod regulat de-a lungul axei obiectului elicoidal. În consecință, obiectele de acest tip vor prezenta o simetrie după o rotație cu un unghi fix&nbsp;''θ'' și o translație cu o anumită distanță fixă, dar în general nu vor fi invariante pentru niciun unghi de rotație. Dacă unghiul de rotație la care apare simetria se împarte uniform într-un cerc complet (360°), atunci rezultatul este echivalentul elicoidal al unui poligon regulat. Acest caz se numește ''simetrie elicoidală cu „n” poziții'', unde ''n''&nbsp;=&nbsp;360°. Acest concept poate fi generalizat în continuare pentru a include cazuri în care ''mθ'' este un multiplu de 360°, adică ciclul se repetă la un moment dat, dar numai după mai mult de o rotație completă a obiectului elicoidal.

* ''Simetrie elicoidală care nu se repetă'': Acesta este cazul în care unghiul de rotație&nbsp;''θ'' pentru care apare simetria este [[număr irațional |irațional]]. Unghiul de rotație nu se repetă niciodată exact, indiferent de câte ori este rotită elicea. Astfel de simetrii sunt create utilizând un [[grup de puncte]] în două dimensiuni care nu se repetă. [[ADN]], cu aproximativ 10,5 [[pereche de baze |perechi de baze]] pe rotație, este un exemplu de acest tip de simetrie elicoidală.<ref>{{en icon}} {{cite book |last=Sinden |first=Richard R. |title=DNA structure and function |year=1994 |publisher=Gulf Professional Publishing |isbn=9780126457506 |page=101}}</ref>

== Simetria rotațiilor duble ==
[[Fișier:Torus vectors oblique.jpg|thumb|O proiecție stereografică în 3D a unui [[tor Clifford]] cvadridimensional arată ca un [[tor]]. O rotație dublă poate fi văzută ca o mișcare elicoidală pe acel tor]]
În [[spațiu cvadridimensional |spațiul cvadridimensional]] o simetrie a unei [[Rotație în spațiul euclidian cvadridimensional#Rotații_duble |rotații duble]] poate fi generată ca o compunere a două rotații ortogonale.<ref>{{en icon}} Charles Howard Hinton
 (1906) ''The Fourth Dimension (Google eBook)'' S. Sonnenschein & Company p.223</ref> Este similară cu simetria elicoidală din [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]], fiind o compunere a unei rotații cu o translație ortogonală.

== Simetrii neizometrice ==
O definiție mai largă a simetriei geometrice permite operații dintr-un grup mai mare decât grupul euclidian de izometrii. Exemple de grupuri geometrice mai mari de simetrie sunt:
* Grupul transformărilor de [[similaritate]];<ref>[[Coxeter |H.S.M. Coxeter]] (1961,9) ''Introduction to Geometry'', §5 Similarity in the Euclidean Plane, pp.&nbsp;67–76, §7 Isometry and Similarity in Euclidean Space, pp 96–104, John Wiley & Sons.</ref> adică [[transformare afină |transformări afine]] reprezentate de o [[matrice]]&nbsp;{{mvar|A}} care este produsul dintre un scalar și o [[matrice ortogonală]]. Astfel se adaugă [[omotetie |omotetiile]], autosimilitudinea este considerată o simetrie.
* Grupul de transformări afine reprezentat de o matrice&nbsp;{{mvar|A}} cu determinantul&nbsp;1 sau&nbsp;&minus;1; adică transformările care conservă aria.<ref>{{en icon}} William Thurston. ''Three-dimensional geometry and topology. Vol. 1''. Edited by Silvio Levy. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x+311 pp. {{isbn|0-691-08304-5}}</ref> Asta adaugă, de exemplu, simetria de reflexie oblică.
* Grupul tuturor transformărilor afine bijective.
* Grupul [[transformare Möbius |transformărilor Möbius]] care conservă [[raport anarmonic |raporturile anarmonice]]. Aceasta adaugă, de exemplu, reflexii cum ar fi reflexia [[cercului]] pe plan.

În [[programul Erlangen]] al lui [[Felix Klein]], fiecare grup de simetrii posibil definește o geometrie în care obiectele care sunt legate de un membru al grupului de simetrie sunt considerate echivalente.<ref>{{de icon}} [[Felix Klein]], 1872. "Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen", Mathematische Annalen, 43 (1893) pp.&nbsp;63–100 (Also: Gesammelte Abh. Vol. 1, Springer, 1921, pp.&nbsp;460–497)</ref> De exemplu, grupul euclidian definește [[geometria euclidiană]], în timp ce grupul transformărilor Möbius definește [[geometria proiectivă]].

== Simetria de scalare și fractalii==
[[Fișier:JSr07885.gif|thumb|O [[mulțime Julia]] are simetrie de scalare]]
Simetria de scalare înseamnă că, dacă un obiect este extins sau redus în dimensiune, noul obiect are aceleași proprietăți ca și cel inițial.<ref>{{en icon}} Tian Yu Cao ''Conceptual Foundations of Quantum Field Theory'' Cambridge University Press p.154-155</ref> Acest lucru ''nu'' este adevărat pentru majoritatea sistemelor fizice, martor al diferenței fiind forma picioarelor unui [[elefant]] respectiv a unui [[șoarece]]. Similar, dacă o lumânare din ceară ar fi mărită la dimensiunea unui copac înalt, s-ar prăbuși imediat sub propria greutate. (Forțele cresc cu volumul, iar secțiunile cu suprafața, deci solicitările cresc liniar cu dimensiunea.)

O formă mai subtilă a simetrie de scalare este demonstrată de [[fractal]]i. Așa cum au fost concepuți de [[Benoît Mandelbrot]], fractalii sunt un concept matematic în care structura unei forme complexe arată similar la orice grad de mărire,<ref name="Gouyet">{{en icon}} {{cite book | last = Gouyet | first = Jean-François | title = Physics and fractal structures | publisher = Masson Springer | location = Paris/New York | year = 1996 | isbn = 978-0-387-94153-0 }}</ref> aspect bine ilustrat de [[mulțimea lui Mandelbrot |mulțimile Mandelbrot]]. O [[coastă (formă de relief) |coastă]] maritimă este un exemplu de fractal care apare în mod natural, deoarece păstrează o complexitate similară la fiecare nivel, de la o vedere din satelit la o examinare microscopică a modului în care apa erodează granulele de nisip. Un alt exemplu sunt ramurile copacilor, care permit ca mici crenguțe să stea în locul copacilor în [[dioramă |diorame]].

Deoarece fractalii pot genera apariția tiparelor în natură, ei au o frumusețe și un aspect familiar care nu se văd de obicei la funcțiile generate matematic. Fractalii și-au găsit un loc în [[grafică digitală |grafica digitală]], unde capacitatea lor de a crea curbe complexe cu simetrii fractale are ca rezultat [[lume virtuală |lumi virtuale]] mai realiste.

== Simetrie abstractă ==
=== Abordarea Klein ===
[[Felix Klein]] a asociat fiecărei geometrii un [[grup de simetrie |grup de simetrii]] subiacent. Ierarhia geometriilor este astfel reprezentată matematic ca o ierarhie a acestor [[grup (matematică) | grupuri]] și [[invariant (matematică) |invarianților]] acestora. De exemplu, lungimile, unghiurile și ariile sunt conservate în raport cu [[geometrie euclidiană |grupul euclidian]] al simetriilor, în timp ce pentru cele mai generale [[geometrie proiectivă |transformări proiective]] sunt conservate numai [[structura incidenței]] și [[raport anarmonic |raporturile anarmonice]]. Noțiunea de [[paralelism (geometrie) |paralelism]], care este conservată în [[geometrie afină |geometria afină]], nu este semnificativă în [[geometrie proiectivă |geometria proiectivă]]. Apoi, prin abstractizarea [[grup de simetrie |grupurilor de simetrie]] din geometrii, relațiile dintre ele pot fi restabilite la nivel de grup. Deoarece grupul geometriei afine este un [[subgrup]] al grupului geometriei proiectivi, orice noțiune invariantă în geometria proiectivă este ''a priori'' semnificativă în geometria afină, dar nu și invers. Dacă se adaugă simetriile necesare, se obține o teorie mai puternică, dar cu mai puține concepte și teoreme (care însă vor fi mai profunde și mai generale).

=== Abordarea Thurston ===
[[William Thurston]] a introdus o versiune similară a simetriilor în geometrie. O ''geometrie model'' este o varietate netedă [[spațiu simplu conex|simplu conexă]] ''X'' împreună cu o acțiune tranzitivă a unui [[grup Lie]] ''G'' pe ''X'' cu stabilizatoare compacte. Grupul Lie poate fi considerat ca fiind grupul de simetrii ale geometriei.

Un model de geometrie se numește ''maximal'' dacă ''G'' este maxim între grupurile care acționează neted și tranzitiv pe ''X'' cu stabilizatori compacți, adică dacă este grupul maxim de simetrii. Uneori această condiție este inclusă în definiția unei geometrii model.

O ''structură geometrică'' pe o varietate ''M'' este un difeomorfism al ''M'' pe ''X''/Γ pentru o anumită geometrie model ''X'', unde Γ este un subgrup discret al ''G'' care acționează liber pe ''X''. Dacă o varietate dată admite o structură geometrică, atunci admite una al cărei model este maxim.

O geometrie model tridimensională ''X'' este relevantă pentru conjectura de geometrizare dacă este maximală și dacă există cel puțin o varietate compactă cu o structură geometrică modelată pe ''X''. Thurston a clasificat cele 8 geometrii model care îndeplinesc aceste condiții.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe ==
* {{commonscat-inline|Symmetry by type|Simetrii matematice}}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20141111041507/http://www.teachersnetwork.org/teachnet/westchester/symmetry.htm Calotta: A World of Symmetry]
* {{en icon}} [http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/2DPTGRP.HTM Dutch: Symmetry Around a Point in the Plane] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20040102035006/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/2DPTGRP.HTM |date=2004-01-02 }}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Simetrie]]