Vizualizare sursă pentru „Simetria derivatei a doua”

În [[matematică]], '''simetria derivatei a doua''' se referă la posibilitatea interschimbării ordinii de [[Derivată parțială|derivare parțială]] a unei funcții f. Fie funcția f de ''n'' variabile.

:<math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math> 
::<math>f (x_1,x_2,....,x_n)</math>

atunci funcția derivată intr-un punct X<sub>0</sub> din R se notează cu

::<math>f\prime\ (\overrightarrow{X_0}) </math>

sau

::<math>f\prime\ (x_1, x_2, ... , x_n ) </math>

fiindcă

::<math>\overrightarrow{X} = \overrightarrow{(x_1, x_2, ... , x_n)} \in \, \mathbb{R}^n</math>

Dacă derivata parțială în raport cu ''X''<sub>''i''</sub> a lui f se notează cu indicele ''i'', atunci simetria presupune că există două derivate parțiale de ordinul doi, notate <math>f = f \prime\prime (X_i)= f\prime (\overrightarrow{f\prime\ (\overrightarrow{X_i})}) </math> ce satisfac [[egalitate (matematică) |egalitatea]] următoare:

::<math>f\prime\prime _{ij} = f\prime\prime _{ji}</math>

Observație: se ințelege că acestea sunt de asemenea funcții de variabilă <math>\overrightarrow{x_0} = \overrightarrow{(x_1, x_2, ... , x_n)}</math> definită ca mai sus.

==Teorema lui Clairaut==

Matricea având ca elemente valorile [[derivată de ordinul al doilea|derivatei de ordinul II]] a funcției, se numește [[matricea hessiană]] sau '''matrice Hess''' asociată lui ''f''. Elementele din afara diagonalei principale a acestei matrice sunt ''derivate mixte'', obținute prin derivarea de ordinul doi a funcției în raport cu două variabile diferite.

Matricea Hesse este o [[matrice simetrică]], iar [[Analiza matematică|matematic]] acest lucru se exprimă prin faptul că ''f'' are mai mult de o derivată parțială într-un punct. Adică cel puțin două. Teorema lui Clairaut dă o condiție suficientă pentru ca ''f'' să aibă o matrice Hesse într-un punct, adică să aibă toate derivatele de rand doi de pe diagonala principala diferite de 0.

==Exprimarea matematică==

Simetria înseamnă că

:<math>\frac {\partial}{\partial x} \left( \frac { \partial f }{ \partial y} \right) =
       \frac {\partial}{\partial y} \left( \frac { \partial f }{ \partial x} \right)</math>

Această egalitate se poate scrie și ca

:<math>\partial_{xy} f = \partial_{yx} f.</math>

Alfel, simetria poate fi scrisă ca o formulă algebrică folosind [[operatorul diferențial]] ''D''<sub>''i''</sub> care primește derivata parțială în raport cu ''x''<sub>''i''</sub>:

:''D''<sub>''i''</sub> . ''D''<sub>''j''</sub> = ''D''<sub>''j''</sub> . ''D''<sub>''i''</sub>.

Din relație se deduce că [[Inel (matematică)|inelul]] operatorilor diferențiali cu coeficienți constanți, generați de ''D''<sub>''i''</sub>, este [[comutativ]]. Dar trebuie să fie specificat un domeniu pentru acești operatori. Este ușor de verificat că simetria se aplică la [[monom|monoame]], deci putem lua [[polinom]]ele în ''x''<sub>''i''</sub> ca domeniul funcției f(x).

==Teorema lui Clairaut==
În [[analiza matematică]], ''teorema lui Schwarz-Clairaut'', numită după [[Alexis Clairaut]] și [[Hermann Schwarz]], spune că

:<math>f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</math>

sunt [[derivate parțiale]] de ordinul doi [[Funcție continuă|continue]] în orice punct dat <math> \mathbb{R}^n </math>, notat cu, <math> (a_1, \dots, a_n),</math> atunci pentru <math>1 \leq i,j \leq n,</math>

:<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).</math>

Altfel spus, derivatele parțiale de ordinul doi ale acestei funcții [[comutativitate|comută]] în acest punct.

[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Teoreme de calcul diferențial și integral]]