Vizualizare sursă pentru „Simbol Schläfli”

[[Fișier:Dodecahedron.png|thumb|Dodecaedrul este un poliedru regulat cu simbolul Schläfli {5,3}, având 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf]]
În [[geometrie]], un '''Simbol Schläfli''' este o expresie de forma {''p'',''q'',''r'',...} care definește [[Lista politopurilor regulate |politopurile regulate și teselările]].

Simbolurile Schläfli sunt numite astfel după matematicianul elvețian [[Ludwig Schläfli]] din secolul al XIX-lea,<ref>Coxeter, ''Regular…'', p.&nbsp;143</ref> care a generalizat [[spațiu euclidian |geometria euclidiană]] pentru mai mult de trei dimensiuni și a descoperit toate politopurile convexe regulate, inclusiv cele șase care există în patru dimensiuni.

== Definiție ==
Un simbol Schläfli este o [[definiție recursivă |descriere recursivă]],<ref>Coxeter, ''Regular…'', p.&nbsp;129</ref> care începe cu {''p''} pentru un [[poligon convex]] [[Poligon regulat |regulat]] cu ''p'' laturi. De exemplu, {3} este un [[triunghi echilateral]], {4} este un [[pătrat]], {5} este un [[pentagon]] regulat ș.a.m.d.

[[Poligon stelat |poligoanele stelate]] regulate nu sunt convexe, iar simbolurile lor Schläfli {<sup>''p''</sup>/<sub>''q''</sub>} conțin [fracție ireductibilă |fracții ireductibile]] <sup>''p''</sup>/<sub>''q''</sub>, unde ''p'' este numărul de vârfuri, iar ''q'' este numărul de ocoliri împrejur al căii pentru a reveni într-un același vârf. Echivalent, {<sup>''p''</sup>/<sub>''q''</sub>} este dat de numărul de vârfuri {''p''}, conectate „din ''q'' în ''q''”. De exemplu, &#123;{{frac|5|2}}&#125; este o [[pentagramă]]; &#123;{{frac|5|1}}&#125; este un pentagon.

Un [[poliedru regulat]] care în jurul fiecărui [[Vârf (geometrie)#Pentru_un_politop|vârf]] are ''q'' [[Față (geometrie)|fețe]] regulate cu câte ''p'' [[Latură (geometrie) |laturi]] este notat {''p'',''q''}. De exemplu, un [[cub]] are 3 pătrate {4} în jurul fiecărui vârf și este notat {4,3}.

Un 4-[[politop]] (politop 4-dimensional), care în jurul fiecărui laturi are ''r'' [[Față (geometrie)# Celulă sau 3-față |celule poliedrice]] regulate {''p'',''q''} este notat {''p'',''q'',''r''}. De exemplu, un [[tesseract]] are 3 [[cub]]uri {4,3} în jurul unei laturi și este notat {4,3,3}.

În general, un [[politop regulat]] {''p'',''q'',''r'',...,''y'',''z''} are ''z'' {''p'',''q'',''r'',...,''y''} [[Fațetă (geometrie) |fațete]] în jurul fiecărui [[Față (geometrie)#Pisc_sau_(n&minus;3)-față |pisc]], unde un pisc este un vârf întru-un poliedru, o latură într-un 4-politop, o față într-un 5-politop, o celulă într-un 6-politop și o (''n''&minus;3)-față într-un ''n''-politop.

== Proprietăți ==
Un politop regulat are o [[figura vârfului |figură a vârfului]] regulată. Figura vârfului unui politop regulat {''p'',''q'',''r'',...,''y'',''z''} este {''q'',''r'',...,''y'',''z''}.

Politopurile regulate pot avea elemente de [[poligon stelat]], ca pentagrama, cu simbolul &#123;{{frac|5|2}}&#125;, reprezentată prin vârfurile unui pentagon, dar conectate din două în două.

Un simbol Schläfli poate reprezenta un poliedru convex finit, o [[teselare]] infinită a spațiului euclidian sau o teselare infinită a [[Spațiu hiperbolic|spațiului hiperbolic]], depinzând de [[deficit  unghiular |deficitul  unghiular]] al spațiului. Un [[excedent unghiular]], care apare în [[Trigonometrie sferică |trigonometria sferică]], permite figurii vârfului să se ''plieze'' într-o dimensiune superioară și să revină sub [[formă]] de politop. Un deficit nul teselează spații cu aceeași dimensiune ca și a fațetelor. Un deficit negativ nu poate exista în spațiul obișnuit, dar poate fi construit într-un spațiu hiperbolic.

Uzual se presupune că o fațetă sau o figură a vârfului este un politop finit, dar uneori poate fi considerată o teselare.

Pulitopul dual al unui politop regulat este reprezentat de simbolul Schläfli care are elementele în ordine inversă. Un politop regulat autodual are un simbol Schläfli simetric.

În afară de descrierea politopurilor euclidiene, simbolurile Schläfli pot fi folosite pentru a descrie politopuri sferice sau faguri sferici.<ref>Coxeter, ''Regular…'', p.&nbsp;138</ref>

== Istoric și variante ==
Lucrările lui Schläfli au fost aproape necunoscute în timpul vieții sale, iar notația sa pentru a descrie politopuri a fost redescoperită independent de mai mulți alții. În special, [[Thorold Gosset]] a redescoperit simbolul Schläfli, pe care l-a scris cu bare verticale: | ''p'' | ''q'' | ''r'' | ... | ''z'' | în loc de acolade, cum a făcut Schläfli.<ref>Coxeter, ''Regular…'', p.&nbsp;144</ref>

Forma lui Gosset este mai simetrică, numărul dimensiunilor este cel al barelor verticale, iar simbolul include exact subsimbolurile pentru fațetă și figura vârfului. Gosset a considerat | ''p'' drept un [[operator (matematică)|operator]], care poate fi aplicat la | ''q'' | ... | ''z'' | pentru a descrie un politop cu fețe ''p''-gonale, cu figura vârfurilor | ''q'' | ... | ''z'' |.

== Cazuri ==
=== Grupuri de simetrie ===
Simbolurile Schläfli sunt strâns legate de [[simetrie de reflexie|simetriile de reflexie]] ale [[grup de simetrie |grupurilor de simetrie]] (finite), care corespund exact [[Grup Coxeter|grupurilor Coxeter]] finite, care sunt descrise prin aceiași indicatori, dar folosind în loc paranteze drepte: [''p'',''q'',''r'',...]. Astfel de grupuri sunt denumite adesea după politopurile regulate care le generează. De exemplu, [3,3] este grupul Coxeter pentru reflexiile [[Simetrie tetraedrică|simetriei tetraedrice]], [3,4] este cel pentru reflexiile [[simetrie octaedrică|simetriei octaedrice]], iar [3,5] este cel pentru reflexiile [[Simetrie icosaedrică|simetriei icosaedrice]].

=== Poligoane regulate (plane) ===
[[Fișier:regular star polygons.svg|thumb|400px|Poligoane regulate convexe și stelate cu 3–12 vârfuri și simbolurile lor Schläfli]]
Simbolul Schläfli al unui poligon regulat (convex) cu ''p'' laturi este {''p''}. De exemplu, un pentagon regulat este notat prin {5}.

Pentru poligoanele stelate (neconvexe), este folosită notația &#123;{{frac|''p''|''q''}}&#125;, unde ''p'' este numărul vârfurilor iar ''q''&nbsp;–&nbsp;1 este numărul vârfurilor pete care se sare când se trasează laturile stelei. De exemplu, &#123;{{frac|5|2}}&#125; reprezintă pentagrama.

=== Poliedre regulate (tridimensionale) ===
Simbolul Schläfli al unui poliedru regulat ale cărui fețe sunt ''p''-goane, iar în fiecare vârf se întâlnesc ''q'' fețe este {''p'',''q''} (figura vârfurilor este un ''q''-gon).

De exemplu, {5,3} este [[dodecaedru]]l regulat. El are fețe pentagonale (cu 5 laturi) și câte 3 pentagoane în jurul fiecărui vârf.

A se vedea cele 5 [[poliedru regulat |poliedre regulate]] și cele 4 [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedre Kepler–Poinsot]] [[poliedru stelat |stelate]] (neconvexe).

Topologic, o teselare bidimensională poate fi privită ca un poliedru [[spațiu tridimensional|tridimensional]], dar astfel încât deficitul unghiular este nul. Astfel, simbolurile Schläfli pot fi definite pentru teselări regulate a spațiilor euclidian și hiperbolic la fel ca pentru poliedre. Analogia funcționează și pentru dimensiuni superioare.

De exemplu, [[Pavare hexagonală |Pavarea hexagonală]] este reprezentată de {6,3}.

=== 4-politopuri (în 4 dimensiuni) regulate ===
Simbolul Schläfli al unui [[4-politop]] regulat este de forma {''p'',''q'',''r''}. Fețele sale (bidimensionale) sunt ''p''-goane ({''p''}), celulele sunt poliedre regulate de tip {''p'',''q''}, figurile vârfurilor sunt poliedre regulate de tip {''q'',''r''}, iar fețele celulelor sunt ''r''-goane regulate (de tip {''r''}).

A se vedea cele șase 4-politopuri regulate convexe și cele zece 4-politopuri regulate stelate (neconvexe).

De exemplu, [[120-celule]] este reprezentat de {5,3,3}. Este format din celule dodecaedrice {5,3}, și are câte 3 celule în jurul fiecărei laturi.

Există o teselare regulată a spațiului tridimensuonal euclidian, [[fagure cubic |fagurele cubic]], cu simbolul Schläfli {4,3,4}, format din celule cubice, câte 4 cuburi în jurul fiecărei laturi.

Există și patru teselări hiperbolice regulate compacte, inclusiv {5,3,4}, {{ill-wd|Q7100396||fagurele dodecaedric de ordinul 4}}, care umple spațiul cu celule dodecaedrice.

=== ''n''-politopuri regulatr (în dimensiuni superioare) ===
La politopurile regulate din dimensiuni superioare simbolul Schläfli este definit recursiv drept {''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>,...,''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sub>} unde fațetele au simbolul Schläfli {''p''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>,...,''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;2</sub>} iar figura vârfurilor are simbolul Schläfli {''p''<sub>2</sub>,''p''<sub>3</sub>,...,''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sub>}.

Simbolurile figurii vârfului unui politop și a figurii vârfului unei fațete a aceluiași politop sunt identice: {''p''<sub>2</sub>,''p''<sub>3</sub>,...,''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;2</sub>}.

Există doar trei politopuri regulate 5-dimensionale și în dimensiuni superioare: [[simplex]]ul, {3,3,3,...,3}, [[hiperoctaedru]]l, {3,3, ..., 3,4} și [[hipercub]]ul, {4,3,3,...,3}. Nu există politopuri regulate neconvexe în mai mult de 4 dimensiuni.

=== Politopuri duale ===
Dacă un politop dintr-o dimensiune n ≥ 2 are simbolul Schläfli {''p''<sub>1</sub>,''p''<sub>2</sub>, ..., ''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sub>} atunci el este dualul celui cu simbolul Schläfli {''p''<sub>''n''&nbsp;−&nbsp;1</sub>, ..., ''p''<sub>2</sub>,''p''<sub>1</sub>}.

Dacă secvența este [[palindrom]]ică, politopul este ''autodual''. Orice politop regulat din spațiul bidimensional (poligon) este autodual.

=== Politopuri prismatice ===
Politopurile prismatice uniforme pot fi definite drept un [[produs cartezian]] (cu operatorul „×”) al unor politopuri regulate din dimensiuni inferioare.
* În 0D, un [[Punct (geometrie) |punct]] este reprezentat prin ( ). [[Diagramă Coxeter–Dynkin|Diagrama sa Coxeter]] este vidă. [[Notația Coxeter|Notația simetriei Coxeter]] este ][.
* În 1D, un [[segment (geometrie) |segment]] este reprezentat prin { }. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_1}}. Simetria sa este [ ].
* În 2D, un [[dreptunghi]] este reprezentat prin { } × { }. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_1|2|node_1}}. Simetria sa este [2].
* În 3D, o [[Prismă (geometrie) |prismă]] ''p''-gonală este reprezentată prin { } × {''p''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_1|2|node_1|p|node}}. Simetria sa este [2,''p''].
* În 4D, o prismă {''p'',''q''}-edrică uniformă este reprezentată prin { } × {''p'',''q''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_1|2|node_1|p|node|q|node}}. Simetria sa este [2,''p'',''q''].
* În 4D, o [[duoprismă]] uniformă ''p''-''q'' este reprezentată prin {''p''} × {''q''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_1|p|node|2|node_1|q|node}}. Simetria sa este [''p'',2,''q''].

Dualele prismatice, sau [[Bipiramidă|bipiramide]], pot fi reprezentate prin simboluri compuse, folosind operatorul "+".
* În 2D, un [[romb]] este reprezentat prin { } + { }. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_f1|2x|node_f1}}. Simetria sa este [2].
* În 3D, o bipiramidă ''p''-gonală este reprezentată prin { } + {''p''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_f1|2x|node_f1|p|node}}. Simetria sa este [2,''p''].
* În 4D, o bipiramidă {''p'',''q''}-edrică este reprezentată prin { } + {''p'',''q''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_f1|2x|node_f1|p|node|q|node}}. Simetria sa este [''p'',''q''].
* În 4D, o [[duopiramidă]] ''p''-''q'' este reprezentată prin {''p''} + {''q''}. Diagrama sa Coxeter este {{CDD|node_f1|p|node|2x|node_f1|q|node}}. Simetria sa este [''p'',2,''q''].

Politopurile piramidale care conțin vârfuri decalate ortogonal pot fi reprezentate folosind un operator de reuniune (lipire), "∨". Fiecare pereche de vârfuri aflate între figurile lipite este conectată prin laturi.
* În 2D, un [[triunghi isoscel]] poate fi reprezentat prin ( ) ∨ { } = ( ) ∨ [( ) ∨ ( )].
* În 3D:
** Un ''[[bisfenoid |bisfenoid digonal]]'' poate fi reprezentat prin { } ∨ { } = [( ) ∨ ( )] ∨ [( ) ∨ ( )].
** O [[Piramidă (geometrie) |''piramidă p-gonală'']] este reprezentată prin ( ) ∨ {''p''}.
* În 4D:
** O ''piramidă p-q-edrică'' este reprezentată prin ( ) ∨ {''p'',''q''}.
** Un ''[[4-politop]]'' este reprezentat prin ( ) ∨ [( ) ∨ {3}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {3} = { } ∨ {3}.
** O ''piramidă pătrată piramidală''<!-- sic! --> este reprezentată prin ( ) ∨ [( ) ∨ {4}] sau [( ) ∨ ( )] ∨ {4} = { } ∨ {4}.
Când există mai mulți operatori, [[ordinea operațiilor]] de la cel mai prioritar la ultimul este ×, +, ∨.

Politopurile axiale care conțin vârfuri pe [[hiperplan]]e paralele pot fi reprezentate prin operatorul „||”. O [[prismă (geometrie) |prismă]] uniformă este {''n''}||{''n''} iar [[antiprismă |antiprisma]] {''n''}||''r''{''n''}.

== Extensii ale simbolurilor Schläfli ==
=== Pavări ale poligoanelor și cercurilor ===
Prin ''[[trunchiere (geometrie)|trunchiere]]'' un poligon regulat își dublază numărul de laturi. La un poligon regulat cu un număr par de laturi, acestea pot împărțite în două jumătăți disjuncte. Un 2n-gon regulat generează o figură stelată compusă, 2{n}.
{| class=wikitable
!Forma
!Simbolul Schläfli
! Simetrii
!colspan=2|[[diagramă Coxeter]]
!colspan=3|Exemple pentru {6}
|- align=center
! Regulat
|{p}
|[p]
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node}}
|[[Fișier:Regular polygon 6 annotated.svg|60px]]||hexagon||{{CDD|node_1|6|node}}
|- align=center
! Trunchiat
|t{p} = {2p}||<nowiki>[[</nowiki>p]] = [2p]
|colspan=2| {{CDD|node_1|p|node_1}} = {{CDD|node_1|2x|p|node}}
|[[Fișier:Regular polygon 12 annotated.svg|60px]]||hexagon trunchiat<br/>(dodecagon)||{{CDD|node_1|6|node_1}} = {{CDD|node_1|12|node}}
|- align=center
! Alternat și<br/>stelat
|a{2p} = β{p}||[2p]
|colspan=2| {{CDD|node_h3|p|node_h3}} = {{CDD|node_h3|2x|p|node}}
|[[Fișier:Hexagram.svg|60px]]||hexagon modificat<br>([[hexagramă]])||{{CDD|node_h3|3|node_h3}} = {{CDD|node_h3|6|node}}
|- align=center
! Înjumătățit
|h{2p} = s{p} = {p} ||[1<sup>+</sup>,2p] = [p]
|colspan=2| {{CDD|node_h|2x|p|node}} = {{CDD|node_h|p|node_h}} = {{CDD|node_1|p|node}}
|[[Fișier:Regular polygon 3 annotated.svg|60px]]||jumătate de hexagon<br>(triunghi)||{{CDD|node_h|6|node}} = {{CDD|node_h|3|node_h}} = {{CDD|node_1|3|node}}
|}

=== Poliedre și pavări ===
Coxeter a extins folosirea simbolurilor Schläfli la [[Poliedru cvasiregulat|poliedre cvasiregulate]] prin adăugarea la simbol a unei dimensiuni verticale. A fost punctul de pornire pentru diagrame Coxeter mai generale. [[Norman Johnson]] a simplificat notația pentru simbolurile verticale prin prefixul ''r''. ''t''-notația este cea mai generală și coresponde direct cercurilor din diagramele Coxeter. Simbolurile indică [[Alternare (geometrie)|alternarea]], înlocuirea ''cercurilor'' cu ''găuri'' în diagramele Coxeter iar prefixul ''h'' însemnând ''half'' ({{ro|jumătate}}), construcții limitate de cerința ca ramurile învecinate să fie ordonate par, și reduc ordinul de simetrie la jumătate. Operatorul asociat ''a'', de la ''alternat'', este indicat de două găuri imbricate, reprezintă un poliedru compus cu ambele componente înjumătățite și alternate, conservând simetriile originare. Operația ''[[snub]]'' este o trunchiere înjumătățită, iar cea ''holosnub'' este o trunchiere înjumătățită și alternată.

{| class=wikitable
!Forma
!colspan=3|Simbolurile Schläfli
!Simetrii Coxeter
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Exemple pentru {4,3}
|- align=center
! Regulat
|<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>||{p,q}||t<sub>0</sub>{p,q}
|rowspan=7|[p,q]<br/>sau<br/>[(p,q,2)]
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
|[[Fișier:Hexahedron.png|40px]]||[[cub]]||{{CDD|node_1|4|node|3|node}}
|- align=center
![[Trunchiere (geometrie)|Trunchiat]]
| <math>t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>||t{p,q}||t<sub>0,1</sub>{p,q}
|colspan=2| {{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
|[[Fișier:Truncated hexahedron.png|40px]]||[[cub trunchiat]]||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}
|- align=center
!Bitrunchiat<br/>(Trunchiat dual)
| <math>t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>||2t{p,q}||t<sub>1,2</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|q|node_1|p|node}}||{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
|[[Fișier:Truncated octahedron.png|40px]]||octaedru trunchiat||{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}
|- align=center
![[Rectificare (geometrie)|Rectificat]]<br/>(Cvasiregulat)
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||r{p,q}||t<sub>1</sub>{p,q}
||{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}|| {{CDD|node|p|node_1|q|node}}
|[[Fișier:Cuboctahedron.png|40px]]||[[cuboctaedru]]||{{CDD|node|4|node_1|3|node}}
|- align=center
!Birectificat<br/>(Regulat dual)
|<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>||2r{p,q}||t<sub>2</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|q|node|p|node}}||{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|[[Fișier:Octahedron.png|40px]]||octaedru||{{CDD|node|4|node|3|node_1}}
|- align=center
!Teșit<br/>(Rectificat rectificat)
| <math>r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||rr{p,q}||t<sub>0,2</sub>{p,q}
||{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}|| {{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
|[[Fișier:Small rhombicuboctahedron.png|40px]]||rombcuboctaedru||{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}
|- align=center
!Omnitrunchiat<br/>(Trunchiat rectificat)
| <math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||tr{p,q}||t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
||{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}|| {{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
|[[Fișier:Great rhombicuboctahedron.png|40px]]||[[cuboctaedru trunchiat]]||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}
|}

==== Alternări, sferturi și snuburi ====
Alternările au pe jumătate din simetriile grupurilor Coxeter și sunt reprezentate prin cerculețe goale. Există două posibilități de alegere a jumătății de vârfuri reținute, dar simbolul nu precizează care este cea aleasă. Formele sfert sunt reprezentate prin cerculețe cu „+” în ele și însemnaă două alternări independente.

{| class=wikitable
|+ Alternări
!Forma
!colspan=3|Simbolurile Schläfli
!Simetrii Coxeter
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Example pentru {4,3}
|- align=center
!Alternat regulat
| <math>h \begin{Bmatrix} 2p , q \end{Bmatrix}</math>||h{2p,q}||ht<sub>0</sub>{2p,q}||[1<sup>+</sup>,2p,q]
|colspan=2| {{CDD|node_h1|2x|p|node|q|node}} = {{CDD|labelp|branch_10ru|split2-qq|node}}
|[[Fișier:Tetrahedron.png|40px]]||semicub<br/>(tetraedru)||{{CDD|node_h1|4|node|3|node}}
|- align=center
!Regulat snub
| <math>s\begin{Bmatrix} p , 2q \end{Bmatrix}</math>||s{p,2q}||ht<sub>0,1</sub>{p,2q}||[p<sup>+</sup>,2q]
|colspan=2| {{CDD|node_h|p|node_h|2x|q|node}}
||| ||
|- align=center
!Regulat dual snub
| <math>s \begin{Bmatrix} q , 2p \end{Bmatrix}</math>||s{q,2p}||ht<sub>1,2</sub>{2p,q}||[2p,q<sup>+</sup>]
|{{CDD|node_h|q|node_h|2x|p|node}}||{{CDD|node|2x|p|node_h|q|node_h}}
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-h01.svg|40px]]||octaedru snub<br/>(icosaedru)||{{CDD|node|4|node_h|3|node_h}}

|- align=center
!Alternat rectificat<br/>(p și q la fel)
| <math>h \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||hr{p,q}||ht<sub>1</sub>{p,q}||[p,1<sup>+</sup>,q]
||{{CDD|node_h1|split1-pq|nodes}}|| {{CDD|node|p|node_h1|q|node}}
| || ||
|- align=center
!Alternat rectificat rectificat<br/>(p și q la fel)
| <math>hr \begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||hrr{p,q}||ht<sub>0,2</sub>{p,q}||[(p,q,2<sup>+</sup>)]
||{{CDD|node|split1-pq|branch_hh|label2}}|| {{CDD|node_h|p|node|q|node_h}}
| || ||
|- align=center
!Sfert<br/>(p și q sunt la fel)
| <math>q\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||q{p,q}||ht<sub>0</sub>ht<sub>2</sub>{p,q}||[1<sup>+</sup>,p,q,1<sup>+</sup>]
||{{CDD|node|split1-pq|nodes_h1h1}}|| {{CDD|node_h1|p|node|q|node_h1}}
| || ||
|- align=center
!Rectificat snub<br/>(cvasiregulat snub)
| <math>s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||sr{p,q}||ht<sub>0,1,2</sub>{p,q}||[p,q]<sup>+</sup>
||{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}|| {{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|[[Fișier:Snub hexahedron.png|40px]]||cuboctaedru snub<br/>([[cub snub]])||{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}
|}

==== Alternate și holosnuburi ====
Formele alternate și holosnub au simetria completă a grupului Coxeter, și sunt reprezentate prin două cerculețe goale, dar pot fi reprezentate prin compuși.
{| class=wikitable
|+ Alternate și holosnuburi
!Forma
!colspan=3|Simbolurile Schläfli
!Simetrii Coxeter
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Exemple pentru {4,3}
|- align=center
!Regulat alternat
| <math>a \begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>||a{p,q}||at<sub>0</sub>{p,q}||[p,q]
|colspan=2| {{CDD|node_h3|p|node|q|node}} = {{CDD|labelp-2|branch_10ru|split2-qq|node}} ∪ {{CDD|labelp-2|branch_01rd|split2-qq|node}}
|[[Fișier:Compound of two tetrahedra.png|40px]]||[[octaedru stelat]]||{{CDD|node_h3|4|node|3|node}}
|- align=center
!Regulat dual holosnub
| {{math|ß}}<math>a \begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>||ß{q,p}||at<sub>0,1</sub>{q,p}||[p,q]
|{{CDD|node_h3|q|node_h3|p|node}}||{{CDD|node|p|node_h3|q|node_h3}}
|[[Fișier:UC46-2 icosahedra.png|40px]]||compus de două icosaedre||{{CDD|node|4|node_h3|3|node_h3}}
|}

: [[ß]], având aspectul literei grecești „beta” (β), este de fapt litera germană „eszett”.

=== 4-politopuri și faguri ===
{| class="wikitable"
|+ Familii liniare
|-
!Forma
!colspan=3|Simbolul Schläfli
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Example pentru {4,3,3}
|- align=center
!Regulat
| <math>\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>||{p,q,r}
|t<sub>0</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel wireframe 8-cell.png|40px]]||tesseract||{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!Trunchiat
| <math>t\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math> ||t{p,q,r}
|t<sub>0,1</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid truncated tesseract.png|40px]]||tesseract trunchiat||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node|3|node}}
|- align=center
!Rectificat
| <math>\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\}</math>
||r{p,q,r}
|t<sub>1</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node_1|q|node|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid rectified 8-cell.png|40px]]||tesseract rectificat||{{CDD|node|4|node_1|3|node|3|node}} = {{CDD|node_1|split1-43|nodes|3b|nodeb}}
|- align=center
!Bitrunchiat
| ||2t{p,q,r}
|t<sub>1,2</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node_1|q|node_1|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid bitruncated 16-cell.png|40px]]||tesseract bitrunchiat||{{CDD|node|4|node_1|3|node_1|3|node}}
|- align=center
!Birectificat<br/>(dual rectificat)
|<!--<math>\begin{Bmatrix} q , p \\ r \end{Bmatrix}</math><br/>--><math>\left\{\begin{array}{l}q,p\\r\end{array}\right\}</math>
||2r{p,q,r} = r{r,q,p}
|t<sub>2</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid rectified 16-cell.png|40px]]||16-celule rectificat||{{CDD|node|4|node|3|node_1|3|node}} = {{CDD|node_1|split1|nodes|4a|nodea}}
|- align=center
!Tritrunchiat<br/>(dual trunchiat)
| <math>t\begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix}</math> ||3t{p,q,r} = t{r,q,p}
|t<sub>2,3</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node|q|node_1|r|node_1}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid truncated 16-cell.png|40px]]||tesseract bitrunchiat||{{CDD|node|4|node|3|node_1|3|node_1}}
|- align=center
!Trirectificat<br/>(dual)
| <math>\begin{Bmatrix} r, q , p \end{Bmatrix}</math>||3r{p,q,r} = {r,q,p}
|t<sub>3</sub>{p,q,r} = {r,q,p}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node|q|node|r|node_1}}
|[[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|40px]]||16-celule||{{CDD|node|4|node|3|node|3|node_1}}
|- align=center
!Teșit
| <math>r\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\}</math> ||rr{p,q,r}
|t<sub>0,2</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|q|node_1|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid cantellated 8-cell.png|40px]]||tesseract teșit||{{CDD|node_1|4|node|3|node_1|3|node}} = {{CDD|node|split1-43|nodes_11|3b|nodeb}}
|- align=center
!Teșit trunchiat
| <math>t\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\}</math> ||tr{p,q,r}
|t<sub>0,1,2</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid cantitruncated 8-cell.png|40px]]||tesseract teșit trunchiat||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node}} = {{CDD|node_1|split1-43|nodes_11|3b|nodeb}}
|- align=center
![[Runcinare |Runcinat]]<br/>(expandat)
| <math>e_3\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>|| e<sub>3</sub>{p,q,r}
|t<sub>0,3</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|q|node|r|node_1}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid runcinated 8-cell.png|40px]]||tesseract runcinat||{{CDD|node_1|4|node|3|node|3|node_1}}
|- align=center
!Runcitrunchiat
| || 
|t<sub>0,1,3</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node|r|node_1}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid runcitruncated 8-cell.png|40px]]||tesseract runcitrunchiat||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node|3|node_1}}
|- align=center
!Omnitrunchiat
| || 
|t<sub>0,1,2,3</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1|r|node_1}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid omnitruncated 8-cell.png|40px]]||tesseract omnitrunchiat||{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1|3|node_1}}
|}

==== Alternări, sferturi și snuburi ====
{| class="wikitable"
|+ Alternări
|-
!Forma
!colspan=3|Simbolul Schläfli
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Exemple pentru {4,3,3}
|- align=center
|- align=center
!colspan=10|Alternări
|- align=center
!Jumătate<br/>(p par)
| <math>h\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>||h{p,q,r}
|ht<sub>0</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_h1|p|node|q|node|r|node}}
|[[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|40px]]||16-celule||{{CDD|node_h1|4|node|3|node|3|node}}
|- align=center
!Sfert<br/>(p și r la fel)
| <math>q\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>||q{p,q,r}
|ht<sub>0</sub>ht<sub>3</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_h1|p|node|q|node|r|node_h1}}
| || || 
|- align=center
!Snub<br/>(q par)
| <math>s\begin{Bmatrix} p, q , r \end{Bmatrix}</math>||s{p,q,r}
|ht<sub>0,1</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_h|p|node_h|q|node|r|node}}
|[[Fișier:Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png|40px]]||Snub 24-celule||{{CDD|node_h|3|node_h|4|node|3|node}}
|- align=center
!Rectificat snub<br/>(r par)
| <math>s\left\{\begin{array}{l}p\\q,r\end{array}\right\}</math>||sr{p,q,r}
|ht<sub>0,1,2</sub>{p,q,r}
|colspan=2|{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h|r|node}}
|[[Fișier:Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png|40px]]||24-celule rectificat snub||{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h|4|node}} = {{CDD|node_h|split1|nodes_hh|4a|nodea}}
|- align=center
!Duoprismă alternată
| || s{p}s{q}
|ht<sub>0,1,2,3</sub>{p,2,q}
|colspan=2|{{CDD|node_h|p|node_h|2x|node_h|q|node_h}}
|[[Fișier:Great duoantiprism.png|40px]]||duoantiprismă minunată||{{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_h|5|rat|3x|node_h}}
|}

==== Familii bifurcate ====
{| class="wikitable"
|+ Familii bifurcate
|-
!Forma
!colspan=3|Simbolul Schläfli extins
!colspan=2|Diagramă Coxeter
!colspan=3|Exemple
|- align=center
!Cvasiregulat
| <math>\left\{p,{q\atop q}\right\}</math>||{p,q<sup>1,1</sup>}
|t<sub>0</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|split1-qq|nodes}}
|[[Fișier:Schlegel wireframe 16-cell.png|40px]]||16-celule||{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes}}
|- align=center
!Trunchiat
| <math>t\left\{p,{q\atop q}\right\}</math>||t{p,q<sup>1,1</sup>}
|t<sub>0,1</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|split1-qq|nodes}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid truncated 16-cell.png|40px]]||16-celule trunchiat||{{CDD|node_1|3|node_1|split1|nodes}}
|- align=center
!Rectificat
| <math>\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\}</math>||r{p,q<sup>1,1</sup>}
|t<sub>1</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node|p|node_1|split1-qq|nodes}}
|[[Fișier:Schlegel wireframe 24-cell.png|40px]]||24-celule||{{CDD|node|3|node_1|split1|nodes}}
|- align=center
!Teșit
| <math>r\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\}</math>||rr{p,q<sup>1,1</sup>}
|t<sub>0,2,3</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node|split1-qq|nodes_11}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid cantellated 16-cell.png|40px]]||16-celule teșit||{{CDD|node_1|3|node|split1|nodes_11}}
|- align=center
!Teșit trunchiat
| <math>t\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\}</math>||tr{p,q<sup>1,1</sup>}
|t<sub>0,1,2,3</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node_1|p|node_1|split1-qq|nodes_11}}
|[[Fișier:Schlegel half-solid cantitruncated 16-cell.png|40px]]||[[16-celule teșit trunchiat||{{CDD|node_1|3|node_1|split1|nodes_11}}
|- align=center
!Rectificat snub
| <math>s\left\{\begin{array}{l}p\\q\\q\end{array}\right\}</math>||sr{p,q<sup>1,1</sup>}
|ht<sub>0,1,2,3</sub>{p,q<sup>1,1</sup>}
|colspan=2|{{CDD|node_h|p|node_h|split1-qq|nodes_hh}}
|[[Fișier:Ortho solid 969-uniform polychoron 343-snub.png|40px]]||24-celule snub||{{CDD|node_h|3|node_h|split1|nodes_hh}}
|- align=center
!Cvasiregulat
| <math>\left\{r,{p\atop q}\right\}</math>||{r,/q\,p}
| t<sub>0</sub>{r,/q\,p}
|colspan=2|{{CDD|node_1|r|node|split1-pq|nodes}}
| || || {{CDD|node_1|3|node|split1-43|nodes}}
|- align=center
!Trunchiat
| <math>t\left\{r,{p\atop q}\right\}</math>|| t{r,/q\,p}
| t<sub>0,1</sub>{r,/q\,p}
|colspan=2|{{CDD|node_1|r|node_1|split1-pq|nodes}}
| || || {{CDD|node_1|3|node_1|split1-43|nodes}}
|- align=center
!Rectificat
| <math>\left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\}</math>|| r{r,/q\,p}
| t<sub>1</sub>{r,/q\,p}
|colspan=2|{{CDD|node|r|node_1|split1-pq|nodes}}
| || || {{CDD|node|3|node_1|split1-43|nodes}}
|- align=center
!Teșit
| <math>r\left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\}</math>|| rr{r,/q\,p}
| t<sub>0,2,3</sub>{r,/q\,p}
|colspan=2|{{CDD|node_1|r|node|split1-pq|nodes_11}}
| || || {{CDD|node_1|3|node|split1-43|nodes_11}}
|- align=center
!Teșit trunchiat
| <math>t\left\{\begin{array}{l}r\\p\\q\end{array}\right\}</math>|| tr{r,/q\,p}
| t<sub>0,1,2,3</sub>{r,/q\,p}
|colspan=2|{{CDD|node_1|r|node_1|split1-pq|nodes_11}}
| || || {{CDD|node_1|3|node_1|split1-43|nodes_11}}
|- align=center
!Rectificat snub
| <math>s\left\{\begin{array}{l}p\\q\\r\end{array}\right\}</math>|| sr{p,/q,\r}
| ht<sub>0,1,2,3</sub>{p,/q\,r}
|colspan=2|{{CDD|node_h|r|node_h|split1-pq|nodes_hh}}
| || || {{CDD|node_h|3|node_h|split1-43|nodes_hh}}
|}

== Teselări ==
[[Poliedru sferic|Sferice]]
{{Col-begin}}{{col-break}}
* [[Hosoedru|{2,n}]]
* [[Antiprismă|s{2,2n}]]
* [[Trapezoedru|???]]
{{col-break}}
* [[Prismă (geometrie)|t{2, n}]]
* [[Bipiramidă|{ } + {n}]]
{{Col-end}}

Regulate
{{Col-begin}}{{col-break}}
* [[Hosoedru apeirogonal|{2,∞}]]
* [[Pavare triunghiulară|{3,6}]]
{{col-break}}
* [[Pavare pătrată|{4,4}]]
* [[Pavare hexagonală|{6,3}]]
{{Col-end}}

Semiregulate
{{Col-begin}}{{col-break}}
* [[Pavare pătrată snub|s{4,4}]]
* [[Pavare triunghiulară alungită|e{3,6}]]
* [[Antiprismă apeirogonală|sr{2,∞}]]
* [[Pavare trihexagonală snub|sr{6,3}]]
* [[Pavare rombtrihexagonală|rr{6,3}]]
{{col-break}}
* [[Pavare trihexagonală|r{6,3}]]
* [[Pavare hexagonală trunchiată|t{6,3}]]
* [[Prismă apeirogonală|t{2,∞}]]
* [[Pavare trihexagonală trunchiată|tr{6,3}]]
* [[Pavare pătrată trunchiată|tr{4,4}]]
{{Col-end}}

[[Pavare uniformă în planul hiperbolic|Hiperbolice]]
{{Col-begin}}{{col-break}}
* [[Pavare tetrapentagonală snub|sr{5,4}]]
* [[Pavare tetrahexagonală snub|sr{6,4}]]
* [[Pavare tetraheptagonală snub|sr{7,4}]]
* [[Pavare tetraoctogonală snub|sr{8,4}]]
* [[Pavare tetraapeirogonală snub|sr{∞,4}]]
* [[Pavare pentapentagonală snub|s{5,4}]]
* [[Pavare pentahexagonală snub|sr{6,5}]]
* [[Pavare hexahexagonală snub|s{6,4}]]
* [[Pavare hexaoctogonală snub|sr{8,6}]]
* [[Pavare heptaheptagonală snub|sr{7,7}]]
* [[Pavare octaoctogonală snub|s{8,4}]]
* [[Pavare pătrată snub de ordinul 6|s{4,6}]]
* [[Pavare apeiroapeirogonală snub|sr{∞,∞}]]
* [[Pavare triheptagonală snub|sr{7,3}]]
* [[Pavare trioctogonală snub|sr{8,3}]]
* [[Pavare triapeirogonală snub|sr{∞,3}]]
{{col-break}}
* [[Pavare triunghiulară snub de ordinul 8|s{3,8}]]
* [[Pavare triunghiulară de ordinul 7|{3,7}]]
* [[Pavare triunghiulară de ordinul 8|{3,8}]]
* [[Pavare triunghiulară de ordin infinit|{3,∞}]]
* [[Pavare octogonală alternată|h{8,3}]]
* [[Pavare hexagonală alternată de ordinul 4|h{6,4}]]
* [[Pavare pătrată sfert de ordinul 6|q{4,6}]]
* [[Pavare rombtriheptagonală|rr{7,3}]]
* [[Pavare rombtrioctogonală|rr{8,3}]]
* [[Pavare rombtriapeirogonală|rr{∞,3}]]
* [[Pavare octogonală teșită|h<sub>2</sub>{8,3}]]
* [[Pavare triheptagonală|r{7,3}]]
* [[Pavare trioctogonală|r{8,3}]]
* [[Pavare heptagonală trunchiată|t{7,3}]]
* [[Pavare octogonală trunchiată|t{8,3}]]
* [[Pavare triapeirogonală|r{∞,3}]]
{{col-break}}
* [[Pavare apeirogonală de ordinul 3|t{∞,3}]]
* [[Pavare rombtetrapentagonală|rr{5,4}]]
* [[Pavare rombtetrahexagonală|rr{6,4}]]
* [[Pavare rombtetraheptagonală|rr{7,4}]]
* [[Pavare rombtetraoctogonală|rr{8,4}]]
* [[Pavare rombtetraapeirogonală|rr{∞,4}]]
* [[Pavare pătrată de ordinul 5|{4,5}]]
* [[Pavare pătrată de ordinul 6|{4,6}]]
* [[Pavare pătrată de ordinul 7|{4,7}]]
* [[Pavare pătrată de ordinul 8|{4,8}]]
* [[Pavare pătrată de ordin infinit|{4,∞}]]
* [[Pavare tetrapentagonală|r{5,4}]]
* [[Pavare tetrahexagonală|r{6,4}]]
* [[Pavare trihexagonală trunchiată|tr{6,3}]]
* [[Pavare triheptagonală trunchiată|tr{7,3}]]
* [[Pavare kisromblle de ordinul 3-7 |???]]
{{col-break}}
* [[Pavare trioctogonală trunchiată|tr{8,3}]]
* [[Pavare kisromblle de ordinul 3-8|???]]
* [[Pavare triapeirogonală trunchiată|tr{∞,3}]]
* [[Pavare tetraheptagonală|r{7,4}]]
* [[Pavare tetraoctogonală|r{8,4}]]
* [[Pavare tetrapentagonală trunchiată|tr{5,4}]]
* [[Pavare kisromblle de ordinul 4-5|???]]
* [[Pavare tetrahexagonală trunchiată|tr{6,4}]]
* [[Pavare tetraheptagonală trunchiată|tr{7,4}]]
* [[Pavare tetraoctogonală trunchiată|tr{8,4}]]
* [[Pavare tetraapeirogonală trunchiată|tr{∞,4}]]
* [[Pavare pentagonală trunchiată de ordinul 4|t{5,4}]]
* [[Pavare pentahexagonală trunchiată|tr{6,5}]]
* [[Pavare hexagonală trunchiată de ordinul 4|t{6,4}]]
* [[Pavare hexaoctogonală trunchiată|tr{8,6}]]
* [[Pavare heptagonală trunchiată de ordinul 4|t{7,4}]]
{{col-break}}
* [[Pavare octogonală trunchiată de ordinul 4|t{8,4}]]
* [[Pavare apeirogonală trunchiată de ordinul 4|t{∞,4}]]
* [[Pavare tetraapeirogonală|r{∞,4}]]
* [[Pavare pentagonală de ordinul 4|{5,4}]]
* [[Pavare pentagonală de ordinul 5|{5,5}]]
* [[Pavare pentagonală de ordinul 6|{5,6}]]
* [[Pavare pentagonală de ordin infinit|{5,∞}]]
* [[Pavare Rombpentahexagonală|rr{6,5}]]
* [[Pavare Pentahexagonală|r{6,5}]]
* [[Pavare pătrată trunchiată de ordinul 5|t{4,5}]]
* [[Pavare pentagonală trunchiată de ordinul 5|t{5,5}]]
* [[Pavare hexagonală trunchiată de ordinul 5|t{6,5}]]
* [[Pavare Pentaapeirogonală|r{∞,5}]]
* [[Pavare hexagonală de ordinul 4|{6,4}]]
* [[Pavare hexagonală de ordinul 5|{6,5}]]
* [[Pavare hexagonală de ordinul 6|{6,6}]]
{{Col-break}}
* [[Pavare hexagonală de ordinul 8|{6,8}]]
* [[Pavare rombhexaoctogonală|rr{8,6}]]
* [[Pavare hexaoctogonală|r{8,6}]]
* [[Pavare pătrată trunchiată de ordinul 6|t{4,6}]]
* [[Pavare pentagonală trunchiată de ordinul 6|t{5,6}]]
* [[Pavare hexagonală trunchiată de ordinul 6|t{6,6}]]
* [[Pavare octogonală trunchiată de ordinul 6|t{8,6}]]
* [[Pavare heptagonală|{7,3}]]
* [[Pavare heptagonală de ordinul 4|{7,4}]]
* [[Pavare heptagonală de ordinul 7|{7,7}]]
* [[Pavare triunghiulară de ordinul 7|t{3,7}]]
* [[Pavare pătrată de ordinul 7|t{4,7}]]
* [[Pavare heptagonală trunchiată de ordinul 7|t{7,7}]]
* [[Pavare octogonală|{8,3}]]
* [[Pavare octogonală de ordinul 4|{8,4}]]
* [[Pavare octogonală de ordinul 6|{8,6}]]
* [[Pavare octogonală de ordinul 8|{8,8}]]
{{col-break}}
* [[Pavare hexagonală trunchiată de ordinul 8|t{6,8}]]
* [[Pavare triunghiulară trunchiată de ordinul 8|t{3,8}]]
* [[Pavare octogonală trunchiată de ordinul 8|t{8,8}]]
* [[Pavare apeirogonală de ordinul 3|{∞,3}]]
* [[Pavare apeirogonală de ordinul 4|{∞,4}]]
* [[Pavare apeirogonală de ordinul 5|{∞,5}]]
* [[Pavare apeirogonală de ordin infinit|{∞,∞}]]
* [[Pavare triunghiulară trunchiată de ordin infinit|t{3,∞}]]
* [[Pavare pătrată de ordin infinit|t{4,∞}]]
{{Col-end}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book
|author-link = Harold Scott MacDonald Coxeter
|last = Coxeter
|first = H. S. M.
|title = Regular Polytopes
|edition = 3rd
|publisher = Dover Publications
|year = 1973
|pages = [https://archive.org/details/regularpolytopes0000coxe/page/122 122-123]
|location = §7.2. see illustration Fig. 7-2<small>C</small>
|isbn = 0-486-61480-8
}} p.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in ''n'' dimensions (''n''&nbsp;≥&nbsp;5)

== Lectură suplimentară ==
*{{en icon}} {{cite book |editor-first=F. Arthur |editor-last=Sherk |editor2-first=Peter |editor2-last=McMullen |editor3-first=Anthony C. |editor3-last=Thompson |editor4-first=Asia Ivic |editor4-last=Weiss |title=Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter |publisher=Wiley |year=1995 |isbn=978-0-471-01003-6 |url=https://archive.org/details/kaleidoscopessel0000coxe |url-access=registration }}
** (Paper 22) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA251 pp. 251–278] {{cite journal |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi Regular Polytopes I |journal=Math. Zeit. |volume=46  |pages=380–407 |year=1940 |doi=10.1007/BF01181449 |zbl=0022.38305}} MR 2,10
** (Paper 23) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA279 pp. 279–312] {{cite journal |author-mask=1 |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi-Regular Polytopes II |journal=Math. Zeit. |volume=188 |issue=4 |pages=559–591 |year=1985 |doi=10.1007/BF01161657 |zbl=0547.52005}}
** (Paper 24) [https://books.google.com/books?id=fUm5Mwfx8rAC&pg=PA313 pp. 313–358] {{cite journal |author-mask=1 |first=H.S.M. |last=Coxeter |title=Regular and Semi-Regular Polytopes III |journal=Math. Zeit. |volume=200 |issue=1 |pages=3–45 |year=1988 |doi=10.1007/BF01161745 |zbl=0633.52006}}

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [https://mathworld.wolfram.com/SchlaefliSymbol.html Schlaefli Symbol], ({{ro|Simbol Schläfli}}) la Mathworld

[[Categorie:Politopuri]]
[[Categorie:Notații matematice]]