Vizualizare sursă pentru „Sferă unitate”

{{Alte sensuri|Disc}}
[[Fișier:Vector norms.svg|thumb|150px|[[N-sferă |1-sferă]]; <math>\|\boldsymbol{x}\|_2</math> este [[normă (matematică) |norma]] [[spațiu euclidian |spațiului euclidian]]]]
În [[matematică]] o '''sferă unitate''' este o [[sferă]] cu [[rază |raza]] 1 cu [[centru (geometrie) |centrul]] dat. Mai general, este [[mulțime]]a [[punct (geometrie) |punctelor]] ([[loc geometric |locul geometric]] al punctelor) aflate la [[metrică |distanța]] 1 de punctul fix din centru, de unde se pot folosi diferite [[normă (matematică) |norme]] ca generalizări ale „distanței”. O '''bilă unitate''' este [[mulțime închisă |mulțimea închisă]] a punctelor aflate la o distanță mai mică sau egală cu 1 de punctul fix din centru. Uzual centrul este [[origine (matematică) |originea]] spațiului, astfel că se poate vorbi despre „sfera unitate” sau „bila unitate” (unice). [[Cerc trigonometric|Cercul unitate]] și [[disc (geometrie) |discul unitate]] sunt cazuri particulare.

Importanța sferei unitate este că orice sferă poate fi transformată într-o sferă unitate printr-o combinație de [[translație (geometrie) |translație]] și [[scalare (geometrie) |scalare]]. În acest fel, proprietățile sferelor în general pot fi reduse la studiul sferei unitate.

== Sfere și bile unitate în spațiul euclidian ==
În [[spațiul euclidian]] ''n''-[[dimensiune (matematică) |dimensional]], sfera unitate ''n''&minus;1 dimensională este mulțimea tuturor punctelor <math>(x_1, \ldots, x_n)</math> care satisfac ecuația
:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 = 1.</math>

Bila deschisă ''n''-dimensională este mulțimea tuturor punctelor care satisfac inegalitatea
:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 < 1,</math>

iar bila închisă ''n''-dimensională este mulțimea tuturor punctelor care satisfac inegalitatea
:<math> x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n ^2 \le 1.</math>

=== Formule generale pentru suprafață și volum ===
Ecuația clasică a unei sfere unitate este cea a [[elipsoid]]ului cu raza 1 și fără modificări ale axelor ''x'', ''y'' sau ''z'':
:<math>f(x,y,z) =  x^2 + y^2 + z^2 = 1</math>

Volumul bilei unitate din spațiul euclidian ''n''-dimensional și suprafața sferei unitate apar în multe formule importante din [[analiza matematică]]. Volumul bilei unitate ''n''-dimensionale, notat ''V''<sub>''n''</sub>, poate fi exprimat utilizând [[funcția gamma]]:
:<math>V_n = \frac{\pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \begin{cases}
{\pi^{n/2}}/{(n/2)!} & \mathrm{daca~}n \ge 0\mathrm{~este~par,} \\
~\\
{\pi^{\lfloor n/2 \rfloor}2^{\lceil n/2 \rceil}}/{n!!} & \mathrm{daca~}n \ge 0\mathrm{~este~impar,}
\end{cases} </math>
unde ''n''<nowiki>!!</nowiki> este {{ill-wd| Q13520655||dublul factorial}}.

Hipervolumul sferei unitate (''n''&minus;1)-dimensionale (adică ''aria'' [[frontieră (topologie) |frontierei]] bilei unitate ''n''-dimensionale), notată ''A''<sub>''n''</sub>, se poate exprima ca
:<math>A_n = n V_n = \frac{n \pi ^ {n/2}}{\Gamma(1+n/2)} = \frac{2 \pi ^ {n/2}}{\Gamma(n/2)}\,,</math>
unde ultima [[egalitate (matematică) |egalitate]] este valabilă doar pentru {{nowrap|''n'' > 0}}. De exemplu, <math>A_1 = 2</math> este "aria" frontierei bilei unitate <math>[-1,1] \subset \mathbb{R}</math>, care este formată din doar două puncte. Apoi <math>A_2 = 2\pi</math> este "aria" frontierei discului unitate, care este circumferința cercului unitate. <math>A_3 = 4\pi</math> este "aria" frontierei bilei unitate <math>\{ x \in \R^3 : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 \leq 1 \}</math>, care este aria suprafeței sferei unitate <math>\{ x \in \R^3 : x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 1 \}</math>.

Suprafețele și volumele pentru unele valori ale lui <math>n</math> sunt:
{| class="wikitable" style="text-align:center"
! <math>n</math>
! colspan=2|<math>A_n</math> (aria suprafeței)
! colspan=2|<math>V_n</math> (volumul)
|-
! 0
| <math>0(1/0!)\pi^0 </math> || 0 || <math>(1/0!)\pi^0 </math> || 1 
|-
! 1
| <math>1(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2 || <math>(2^1/1!!)\pi^0 </math> || 2 
|-
! 2
| <math>2(1/1!)\pi^1 = 2 \pi </math> || 6.283 || <math>(1/1!)\pi^1 = \pi </math> || 3.141 
|-
! 3
| <math>3(2^2/3!!)\pi^1  = 4 \pi </math> || 12.57 || <math>(2^2/3!!)\pi^1  = (4/3)\pi </math> || 4.189 
|-
! 4
| <math>4(1/2!)\pi^2 = 2 \pi^2 </math> || 19.74 || <math>(1/2!)\pi^2 = (1/2)\pi^2 </math> || 4.935 
|-
! 5
| <math>5(2^3/5!!)\pi^2 = (8/3)\pi^2 </math> || 26.32 || <math>(2^3/5!!)\pi^2 = (8/15)\pi^2 </math> || 5.264 
|-
! 6
| <math>6(1/3!)\pi^3 = \pi^3 </math> || 31.01 || <math>(1/3!)\pi^3 = (1/6)\pi^3 </math> || 5.168 
|-
! 7
| <math>7(2^4/7!!) \pi^3 = (16/15)\pi^3 </math> || 33.07 || <math>(2^4/7!!) \pi^3 = (16/105)\pi^3 </math> || 4.725 
|-
! 8
| <math>8(1/4!)\pi^4 = (1/3)\pi^4 </math> || 32.47 || <math>(1/4!)\pi^4 = (1/24)\pi^4 </math> || 4.059 
|-
! 9
| <math>9(2^5/9!!) \pi^4 = (32/105)\pi^4 </math> || 29.69 || <math>(2^5/9!!) \pi^4 = (32/945)\pi^4 </math> || 3.299 
|-
! 10
| <math>10(1/5!)\pi^5 = (1/12)\pi^5 </math> || 25.50 || <math>(1/5!)\pi^5 = (1/120)\pi^5 </math> || 2.550 
|}
unde valorile zecimale pentru ''n''&nbsp;≥&nbsp;2 sunt rotunjite la precizia afișării.

==== Recursivitate ====
Valorile ''A''<sub>''n''</sub> satisfac relațiile recursive:

:<math>A_0 = 0</math>
:<math>A_1 = 2</math>
:<math>A_2 = 2\pi</math>
:<math>A_n = \frac{2 \pi}{n-2} A_{n-2}</math> &nbsp; pentru <math>n > 2</math>.

Valorile ''V''<sub>''n''</sub> satisfac relațiile recursive:

:<math>V_0 = 1</math>
:<math>V_1 = 2</math>
:<math>V_n = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}</math> &nbsp; pentru <math>n > 1</math>.

==== Dimensiuni fracționare ====
{{imagine multiplă
| align =right 
| direction = horizontal
| width = 200
| image1 = Sphere area in n dimensions.svg
| caption1 = Hipervolumul unei sfere unitate (''x''&minus;1)-dimensionale (''aria'' suprafeței bilei ''x''- dimensionale) în funcție de&nbsp;''x''
| image2 = Ball volume in n dimensions.svg
| caption2  = Volumul unei bile unitate ''x''-dimensionale în funcție de&nbsp;''x''
}}
Formulele pentru ''A''<sub>''n''</sub> și ''V''<sub>''n''</sub> pot fi calculate pentru orice număr real ''n''&nbsp;≥&nbsp;0, și pot fi împrejurări când este necesar să se calculeze aria sferei sau volumul bilei pentru cazul că ''n'' nu este un întreg nenegativ.

==== Alte raze ====
{{Articol principal|Sferă}}

Aria suprafeței unei sfere (''n''&minus;1)-dimensionale cu raza ''r'' este ''A''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''&minus;1</sup> iar volumul unei bile ''n''-dimensionale cu raza ''r'' este ''V''<sub>''n''</sub>&nbsp;''r''<sup>''n''</sup>. De exemplu aria este {{nowrap|''A'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;2</sup>}} pentru suprafața bilei [[tridimensional]]e de rază ''r'', iar volumul ei este {{nowrap|''V'' {{=}} 4''&pi;''&thinsp;''r''<sup>&thinsp;3</sup> / 3}}.

== Bile unitate în spații vectoriale normate ==
Mai exact, '''bila unitate deschisă''' într-un [[spațiu vectorial normat]] <math>V</math>, cu norma <math>\|\cdot\|</math>, este
:<math> \{ x\in V: \|x\|<1 \}</math>

Este [[interior (topologie)|interiorul]] '''bilei unitate închise''' (''V'',||·||):
:<math> \{ x\in V: \|x\|\le 1\}</math>

Aceasta din urmă este [[mulțimi disjuncte#Reuniuni_și_partiții_disjuncte|reuniunea disjunctă]] a noțiunii precedente și a frontierei lor comune, ''sfera unitate'' a (''V'',||·||):
:<math> \{ x\in V: \|x\| = 1 \}</math>

„[[Formă |Forma]]” ''bilei unitate'' depinde în totalitate de norma aleasă; poate avea „colțuri” și, de exemplu, în cazul normei maxime din ''R''<sup>''n''</sup>, poate arăta ca [&minus;1,1]<sup>''n''</sup>. Cu norma obișnuite a [[spațiu Hilbert |spațiului Hilbert]], bazată în cazul finit dimensional pe [[distanță euclidiană |distanța euclidiană]], se obține ca bilă unitate o „bilă rotundă”, naturală. Ceea ce se înțelege de obicei prin ''sfera unitate'' este frontiera sa.

Fie <math>x=(x_1,...x_n)\in \R^n.</math> Se definește norma <math>\ell_p</math> uzuală pentru ''p'' &ge; 1 drept:
:<math>\|x\|_p = (\sum_{k=1}^n |x_k|^p)^{1/p}</math>

Atunci <math>\|x\|_2</math> este norma uzuală a spațiului Hilbert. <math>\|x\|_1</math> este numită norma Hamming sau norma <math>\ell_1</math>. Condiția ''p''&nbsp;&ge;&nbsp;1 este necesară în definiția normei <math>\ell_p</math>, deoarece în orice spațiu normat bila unitate trebuie să fie [[convexitate |convexă]], ca o consecință a [[inegalitatea triunghiului |inegalității triunghiului]]. Notația pentru norma maximă (infinită) a lui ''x'' este <math>\|x\|_\infty</math>.

De notat că pentru circumferințele <math>C_p</math> ale bilelor unitate bidimensionale (n&nbsp;=&nbsp;2), există:
:<math>C_{1} = 4 \sqrt{2}</math> este [[valoare (matematică) |valoarea]] minimă.
:<math>C_{2} = 2 \pi \,.</math>
:<math>C_{\infty} = 8</math> este valoarea maximă.

== Generalizări ==
=== Spații metrice ===
Toate cele trei definiții de mai sus pot fi generalizate direct la un [[spațiu metric]], în raport cu o origine aleasă. Totuși, considerațiile topologice (interior, închidere, frontieră) nu trebuie să se aplice în același mod (de exemplu, în [[spațiu ultrametric |spațiile ultrametrice]], toate cele trei sunt simultan mulțimi deschise și închise), iar sfera unitară poate fi chiar goală în unele spații metrice.

=== Forme pătratice ===
Dacă ''V'' este un spațiu liniar cu o [[formă pătratică]] reală ''F'':''V'' → R, atunci { p ∈ ''V'' : ''F''(p) = 1 } poate fi numită sfera unitate<ref>{{en icon}} Takashi Ono (1994) ''Variations on a Theme of Euler: quadratic forms, elliptic curves, and Hopf maps'', chapter 5: Quadratic spherical maps, page 165, [[Plenum Press]], {{isbn|0-306-44789-4}}</ref><ref>{{en icon}} F. Reese Harvey (1990) ''Spinors and calibrations'', "Generalized Spheres", page 42, [[Academic Press]], {{isbn|0-12-329650-1}}</ref> sau [[hiperboloid |cvasisfera unitate]] a ''V''. De exemplu, când este egală cu 1, forma pătratică <math>x^2 - y^2</math> produce [[hiperbolă unitate |hiperbola unitate]], care joacă rolul ''cercului unitate'' în planul {{ill-wd| Q864145||numerelor complexe hiperbolice}}. Similar, forma pătratică ''x''<sup>2</sup> produce o pereche de [[dreaptă |drepte]] pentru sfera unitate în planul {{ill-wd| Q751048||numerelor duale}}.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Mahlon M. Day (1958) ''Normed Linear Spaces'', page 24, [[Springer-Verlag]].
* {{en icon}} {{citation|last1=Deza|first1=E.|first2=M.|last2=Deza|title=Dictionary of Distances|year=2006|publisher=Elsevier|isbn=0-444-52087-2}}. Reviewed in [https://www.scribd.com/doc/2668595/Newsletter-of-the-European-Mathematical-Society-20070664-featuring-Let-Platonism-Die ''Newsletter of the European Mathematical Society'' '''64''' (June 2007)], p.&nbsp;57. This book is organized as a list of distances of many types, each with a brief description.

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{mathworld | urlname = UnitSphere | title = Unit sphere}}

[[Categorie:Analiză funcțională]]
[[Categorie:Sfere]]
[[Categorie:1 (număr)]]