Vizualizare sursă pentru „Serie Taylor”

[[Fișier:sintay.svg|thumb|Seriile Taylor se apropie din ce în ce mai mult de funcția corectă, cu cât crește gradul. Această imagine arată <span style="color:#333333;"><math>\sin x</math></span> și aproximările Taylor, cu polinom de [[gradul unui polinom|grad]] <span style="color:red;">1</span>, <span style="color:orange;">3</span>, <span style="color:yellow;">5</span>, <span style="color:green;">7</span>, <span style="color:blue;">9</span>, <span style="color:indigo;">11</span> și <span style="color:violet;">13</span>.]]

În [[matematică]], o '''serie Taylor''' este o reprezentare a unei [[Funcție|funcții]] ca o [[sumă]] infinită de termeni calculați din valorile [[Derivare|derivatelor]] acelei funcții într-un punct. Poate fi privită ca [[Limită (matematică)|limită]] a polinoamelor Taylor. Seriile Taylor au fost numite astfel după matematicianul [[Englezi|englez]] [[Brook Taylor]]. Dacă seria folosește derivatele în zero, atunci ea se numește '''serie Maclaurin''', denumită astfel după matematicianul [[Scoțieni|scoțian]] [[Colin Maclaurin]].

==Definiție==

Seria Taylor a unei funcții [[Număr real|reale]] sau [[Număr complex|complexe]] ''f'' care este [[funcție derivabilă|funcție indefinit derivabilă]] pe o [[Vecinătate (matematică)|vecinătate]] a unui [[număr real]] sau [[Număr complex|complex]] ''a'', este [[Serie de puteri|seria de puteri]]
:<math>
f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots
</math>
care poate fi scrisă în formă mai compactă ca
:<math>
\sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}\,,
</math>
unde ''n''! este [[factorial]]ul lui ''n'' și ''f''<sup>&nbsp;(''n'')</sup>(''a'') este a ''n''-a [[derivată]] a lui ''f'' în punctul ''a''; derivata zero a lui ''f'' este prin definiție ''f'' însăși și (''x''&nbsp;−&nbsp;''a'')<sup>0</sup> și 0! sunt amândouă prin definiție 1.

Adesea ''f''(''x'') este egală cu seria sa Taylor evaluată în ''x'' pentru orice ''x'' suficient de apropiat de ''a''. Acesta este motivul principal pentru care sunt importante seriile Taylor.

==Exemple==

Seria Maclaurin pentru orice [[polinom]] este polinomul însuși.

Seria Maclaurin pentru <math>(1-x)^{-1}</math> este [[Serie (matematică)|seria]] geometrică
:<math>1+x+x^2+x^3+\cdots</math>
deci seria Taylor pentru <math>x^{-1}</math> în <math>a=1</math> este
:<math>1+(1-x)+(1-x)^2+(1-x)^3+\cdots .</math>

Integrând seria Maclaurin de mai sus se obține seria Maclaurin pentru <math>-\log(1- x)</math>, unde cu log s-a notat [[Logaritm natural|logaritmul natural]]:
:<math>x+\frac{x^2}2+\frac{x^3}3+\frac{x^4}4+\cdots</math>
și seria Taylor corespunzătoare pentru <math>\log (x)</math> în <math>a=1</math> este
:<math>(x-1)-\frac{(x-1)^2}2+\frac{(x-1)^3}3-\frac{(x-1)^4}4+\cdots.</math>

Seria Maclaurin pentru [[funcția exponențială]] <math> e^x</math> în <math> a=0</math> este
:<math>1 + \frac{x^1}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!}+ \cdots 
\qquad = \qquad 
1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + \cdots\ .</math>

Dezvoltarea de mai sus este valabilă deoarece derivata lui <math>e^x</math> este chiar <math>e^x</math> iar <math>e^0</math> este 1. Aceasta lasă termenii <math>(x-0)^n</math> la [[numărător]] și n! la [[numitor]] la fiecare termen al sumei infinite.

Seria MacLaurin pentru funcția logaritmică ln(x+1) este 
:<math>\frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots .</math>

[[Categorie:Analiză matematică]]
[[Categorie:Analiză complexă]]
[[Categorie:Serii matematice]]