Vizualizare sursă pentru „Sector hiperbolic”

[[Fișier:Hyperbolic sector.svg|thumb|Un sector hiperbolic (cu galben)]]
Un '''sector hiperbolic''' este o zonă din [[coordonate carteziene |planul cartezian]] {(''x'',''y'')} mărginit de [[rază |raze]] din [[origine (matematică) |origine]] până la două [[punct (geometrie) |puncte]] (''a'', 1/''a'') și (''b'', 1/''b'') și [[hiperbolă |hiperbola]] ''xy'' = 1 (sau zona corespondentă dacă hiperbola este [[scalare (geometrie) |scalată]] sau/și [[orientare (geometrie) |orientarea]] sa este schimbată, lăsând centrul la origine, la fel ca la [[hiperbolă unitate |hiperbola unitate]]).

Un sector hiperbolic în poziția standard are ''a'' = 1 și ''b'' > 1 .

Sectoarele hiperbolice sunt baza [[funcție hiperbolică |funcțiilor hiperbolice]].

== Arie ==
[[Fișier:Hyperbolic sector squeeze mapping.svg|thumb|Aria sectorului hiperbolic se conservă în urma unei {{ill-wd| Q7582218||rotații hiperbolice}}; se prezintă dreptunghiurile (cu verde și albastru) și sectorul hiperbolic (cu violet) înainte și după rotația hiperbolică]]
[[Arie |Aria]] unui sector hiperbolic în poziție standard este [[logaritm natural |logaritmul natural]] al lui ''b''.

''Demonstrație'': Se integrează funcția 1/''x'' (a cărei [[primitivă]] este {{math|ln ''x''}}, [[/Logaritm_hiperbolic |v. mai jos]]) de la 1 la ''b'', se adună triunghiul {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} și se scade triunghiul {(0, 0), (''b'', 0), (''b'', 1/''b'')}.<ref>{{ru icon}} V.G. Ashkinuse & [[Isaak Yaglom]] (1962) ''Идеи и методы аффинной и проективной геометрии'' (în {{ro|Idei și metode în geometriile afină și proiectivă}}), p.&nbsp;151, Ministerul Educației, Moscova</ref>

Când se află în poziție standard, un sector hiperbolic corespunde unui {{ill-wd|Q1003216||unghi hiperbolic}} pozitiv în origine, măsura acestuia din urmă fiind definită ca aria sectorului.

== Triunghi hiperbolic ==
[[Fișier:Cartesian hyperbolic triangle.svg|thumb|Triunghi hiperbolic (portocaliu) și sector hiperbolic (roșu) corespunzătoare unghiului hiperbolic ''u'', pentru hiperbola ''y'' = 1/''x''. Catetele triunghiului sunt de {{radic|2}} ori mai mari decât [[funcții hiperbolice |cosinusul, respectiv sinusul hiperbolic]].]]
Când este în poziția standard, un sector hiperbolic determină un ''[[triunghi hiperbolic]]'', [[triunghi dreptunghic]] cu un [[vârf (geometrie) |vârf]] în origine, cu o catetă pe raza diagonală ''y''&nbsp;=&nbsp;''x'' și al treilea vârf pe hiperbola
:<math>xy=1,\,</math>
cu ipotenuza fiind [[segment (geometrie) |segmentul]] de la origine la punctul (''x,y'') de pe hiperbolă. Lungimea bazei acestui triunghi este
:<math>\sqrt 2 \cosh u,\,</math>
iar {{ill-wd| Q339495||înălțimea}} sa este 
:<math>\sqrt 2 \sinh u,\,</math> 
unde ''u'' este unghiul hperbolic corespunzător.

Analogia dintre funcțiile trigonometrice și cele hiperbolice a fost descrisă de [[Augustus De Morgan]] în ''Trigonometria și algebra dublă'' (1849).<ref>{{en icon}} Augustus De Morgan (1849) [https://books.google.com/books?id=7UwEAAAAQAAJ ''Trigonometry and Double Algebra''], Chapter VI: "On the connection of common and hyperbolic trigonometry"</ref> În articolul său, ''Notă asupra teoremei adunării pentru funcțiile hiperbolice'', [[William Burnside]] a folosit astfel de triunghiuri, proiectând un punct de pe hiperbola ''xy''&nbsp;=&nbsp;1 pe diagonala principală.<ref>{{en icon}} William Burnside (1890) ''Messenger of Mathematics'' 20:145–8, see diagram page 146</ref>

== Logaritm hiperbolic ==
[[Fișier:hyperbola E.svg|thumb|Aria unitate când ''b'' = ''e'' cum a fost folosită de Euler]]
{{Articol principal|Logaritm natural}}
Se știe că funcția f(''x'') = ''x''<sup>''p''</sup> are o primitivă algebrică, cu excepția cazului ''p'' = &minus;1 corespunzător [[cvadratură (matematică) |cvadraturii]] hiperbolei. În timp ce cvadratura parabolei a fost realizată de [[Arhimede]] în secolul al III-lea î.Hr. (în ''[[Cvadratura parabolei]]''), cvadratura hiperbolică a necesitat invenția în 1647 a unei noi funcții: [[Gregoire de Saint-Vincent]] a abordat problema calculării suprafețelor delimitate de o hiperbolă. Descoperirile sale au condus la funcția de logaritm natural, numită inițial '''logaritm hiperbolic''', deoarece se obține prin integrare sau calculul ariei zonei de sub hiperbolă.<ref>{{en icon}} Martin Flashman [http://users.humboldt.edu/flashman/Presentations/HSU%20Colloquia/colloq2_4_99.html The History of Logarithms] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20181214090323/http://users.humboldt.edu/flashman/Presentations/HSU%20Colloquia/colloq2_4_99.html |date=2018-12-14 }} from Humboldt State University</ref>

Înainte de 1748 și publicarea ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (în {{ro|Introducere în analiza infinitului}}), logaritmul natural era cunoscut în legătură cu aria unui sector hiperbolic. [[Leonhard Euler]] a schimbat asta când a introdus [[funcție transcendentă |funcțiile transcendente]], cum ar fi 10<sup>x</sup>. Euler a identificat [[e (constantă matematică) |''e'']] ca valoarea ''b'' producând o unitate de arie (sub hiperbolă sau într-un sector hiperbolic în poziție standard). Apoi logaritmul natural a putut fi recunoscut ca [[funcție inversă |funcția inversă]] la funcția transcendentă ''e<sup>x</sup>''.

== Geometrie hiperbolică ==
{{Articol principal|Geometrie hiperbolică}}
Când [[Felix Klein]] și-a scris în 1928 cartea despre [[geometrie neeuclidiană |geometria neeuclidiană]], el a oferit acestui subiect o bază prin referirea la [[geometrie proiectivă |geometria proiectivă]]. Pentru a stabili măsura hiperbolică a unei drepte, el a arătat că aria unui sector hiperbolic a furnizat o ilustrare vizuală a conceptului.<ref>{{en icon}} [[Felix Klein]] (1928) ''Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie'', p.&nbsp;173, fig.&nbsp;113, [[Julius Springer]], Berlin</ref>

Sectoarele hiperbolice pot fi legate și de hiperbola <math>y = \sqrt{1 + x^2}</math>. Aria unor astfel de sectoare hiperbolice a fost utilizată pentru a defini în manualele de geometrie distanța hiperbolică.<ref>{{en icon}} Jürgen Richter-Gebert (2011) ''Perspectives on Projective Geometry'', p. 385, {{ISBN|9783642172854}} ''Mathematical Reviews'' 2791970</ref>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Mellen W. Haskell]] (1895) [https://www.ams.org/journals/bull/1895-01-06/S0002-9904-1895-00266-9/S0002-9904-1895-00266-9.pdf On the introduction of the notion of hyperbolic functions] Bulletin of the American Mathematical Society 1(6):155–9.

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Suprafață]]
[[Categorie:Geometrie elementară]]
[[Categorie:Calcul integral]]
[[Categorie:Logaritmi]]