Vizualizare sursă pentru „Rotor”

În [[Calcul vectorial|calculul vectorial]], '''rotorul''' este un [[Operator (matematică)|operator]] [[vector]]ial care scoate în evidență „rata de rotație” a unui [[câmp vectorial]], adică direcția axei de rotație și magnitudinea rotației. În lucrările de limbă română, operatorul rotor este notat cu '''''rot'''''.

Termenul de „rotație” este folosit aici ca proprietate a unei funcții vectoriale de poziție, independent de variația acesteia în timp, de exemplu în câmpurile gravitațional și electric.

== Definiție matematică ==
Din punct de vedere matematic, rotorul este definit prin următoarea formulă<ref name="mathworld">{{Citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/Curl.html|title=Rotor|author=Weisstein, Eric W.|work=MathWorld--A Wolfram Web Resource}}</ref>:

:<math>\mathbf{rot} F \cdot \hat{n} = \lim_{A \rightarrow 0}{\frac{\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{s}}{A}}</math>

unde <math>\hat{n}</math> este [[versor]]ul normal la suprafața de rotație.

Partea din dreapta este valoarea unei [[Integrală curbilinie|integrale pe conturul]] unei suprafețe care tinde la zero (se apropie oricât de mult de un punct).

== Notație ==
Operatorul rotor aplicat pe un câmp vectorial ''F'' se poate nota și cu <math>\nabla \times F</math>, făcând legătura cu operatorul [[nabla]]. Aceasta conduce la o notație mnemonică des folosită pentru reținerea expresiei rotorului unui câmp de vectori în [[coordonate carteziene]], și anume:

:<math>\nabla \times F\,=\,\mathbf{det} \begin{bmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\  \\
{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\
 \\  F_x & F_y & F_z \end{bmatrix}</math>

unde ''F<sub>x</sub>'', ''F<sub>y</sub>'', ''F<sub>z</sub>'' sunt componentele câmpului vectorial pe axele sistemului cartezian, ''Ox'', ''Oy'', respectiv ''Oz'', iar <math>\hat{i}</math>, <math>\hat{j}</math>, <math>\hat{k}</math> sunt, respectiv, [[Versor (fizică)|versorii]] direcțiilor celor trei axe.

Determinantul simbolic de mai sus se dezvoltă în mod obligatoriu după prima linie, cea cu versorii direcțiilor, și produce rezultatul:

:<math>\nabla \times \mathbf{F}\,=\,\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \right) \hat{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \hat{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{k}</math>

Această expresie este chiar definiția rotorului în coordonate carteziene.<ref name="mathworld"/>

== Semnificație concretă ==
Se consideră [[vector]]ul <math> \vec v </math> care reprezintă vectorul [[viteză unghiulară]] <math> \sqrt {p^2+q^2+r^2}, </math> în jurul unei axe <math> \frac {x-x_0}{p} = \frac {y-y_0}{q} = \frac {z-z_0}{r}.  </math>
Rotorul acestui vector are componentele <math> 2p, 2q, 2r; </math> deci este așadar dublul vectorului viteză de rotație.

Într-un mod mai general, se poate considera vectorul viteză <math> \vec v </math> într-un punct <math> (x, y, z) </math> oarecare al unui [[fluid]] și o [[sferă]] foarte mică cu centrul <math> (x,y,z). </math>
Dacă s-ar solidifica porțiunea de fluid care umple sfera, suprimând în același timp fluidul care înconjoară sfera, în așa fel încât sfera să fie lăsată numai sub influența vitezelor dobândite, în [[mecanica fluidelor]] se arată că mișcarea pe care o va adopta sfera se va compune dintr-o translație definită de viteza <math> \vec v </math> a punctului <math> (x,y,z) </math> și o [[rotație]] egală cu <math> \frac 12 rot \; \vec v. </math>

== Note ==
<references />

== Vezi și ==
* [[Laplacian]]
* [[Ecuație cu derivate parțiale]]

[[Categorie:Calcul vectorial]]