Vizualizare sursă pentru „Rotație”

{{Mecanică clasică |expanded=rotational}}
[[Fișier:Rotating Sphere.gif|thumb|right|200px|[[Sferă]] care se rotește în jurul [[axă de rotație|axei]]]]
'''Rotația''' sau '''mișcarea de rotație'''<ref name = "Radoi" /> este mișcarea circulară a unui obiect în jurul unui [[centru (geometrie)|centru]] (sau punct) de rotație sau axă de rotație, în cazul [[corp (fizică) |corpurilor]] [[tridimensional]]e. Cu alte cuvinte, traiectoria mișcării este descrisă de un punct rotitor în jurul unui centru de rotație plasat într-un [[Sistem de referință|sistem de referință inerțial]], cu rază variabilă.

În cazul în care centrul (axa de rotație) nu trece prin [[centru de masă|centrul de masă]] al corpului, procesul se mai numește și ''mișcare de revoluție''. Exemple: [[rotația Pământului]] în jurul propriei axe, [[mișcarea de revoluție a Pământului]] în jurul [[Soare]]lui.

Un caz particular al mișcării de rotație este '''mișcarea circulară''' având ca traiectorie a mișcării un [[cerc]]. <br> Un alt caz particular al mișcării de rotație este [[Rotație|rotația]] unui corp sau [[sistem de puncte materiale]] în jurul unei axe de rotație.

În mecanică traiectoria poate fi traiectoria unui [[punct material]], sau traiectoria unui corp ca [[sistem de puncte materiale]].

== În matematică ==
În [[matematică]], noțiunea de rotație are un caracter teoretic, general.
Astfel, în spațiul bidimensional, un punct de coordonate <math> x,y, </math> în urma unei rotații de unghi <math> \phi </math> în sens trigonometric (antiorar), ajunge în punctul de coordonate:

::<math> x' = x \cos \phi - y \sin \phi </math>

::<math> y' = x \sin \phi + y \cos \phi. </math>

Se poate spune că o rotație este o [[funcție (matematică)|funcție]], <math> f: \mathcal E_2 \to \mathcal E_2, </math> ce asociază fiecărui vector <math> \vec U (x,y) </math> un vector <math> V(x', y') </math> după legea:

::<math> \vec V = \begin{pmatrix} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix}*\vec U ,</math>

unde [[matrice]]a <math> \begin{pmatrix} \cos \phi & - \sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{pmatrix} </math>
se numește [[matrice de rotație]].

Formula anterioară mai poate fi scrisă și cu ajutorul [[număr complex|numerelor complexe]]:

::<math> x'+ i y' = (x+ iy) \cdot (\cos \phi + i \sin \phi) </math>

sau:

::<math> z'= x' + i y' =  (x+ iy)  \cdot e^{i \phi} = z \cdot e^{i \phi}.</math>

== Fizică ==
În [[fizică]], mișcarea de rotație este carcterizată de [[mărime fizică|mărimi]] legate de [[timp]] ca: [[perioadă de rotație|perioadă]], [[frecvență]], [[viteză unghiulară]], [[accelerație unghiulară]].

=== Comparație cu mișcarea de translație ===
{| class="wikitable"
! style="width:50%; background:lightblue; color:black" | Mișcare de [[translație]]
!  style="width:50%; background:lightblue; color:black" | Mișcare de rotație
|-
| [[Vector de poziție]]: <math>\vec r</math>
| Unghi de rotație <math>\varphi</math> resp. [[matrice de rotație]]: <math>A</math>
|-
| [[Viteză]]: <math>\vec v=\dot{\vec r}</math>
| [[Viteză unghiulară]]: <math>\vec \omega = \dot\psi \vec{\mathbf{u}}_1+\dot\theta \vec{\mathbf{u}}_2+\dot\phi \vec{\mathbf{u}}_3</math>
|-
| [[Accelerație]]: <math>\vec a=\dot{\vec v}=\ddot{\vec r}</math>
| [[Accelerație unghiulară]]: <math>\vec\alpha=\dot{\vec\omega}</math>
|}

== Sistem de referință rotativ ==
In fizică si mecanica teoretică si analitică, mișcarea de rotație este studiată într-un '''sistem de referință rotativ neinerțial'''. <br> In mod general, mișcarea de rotație este o mișcare olonomă, având constrângeri prin legături si reonomă, depinzând in mod explicit de timp. (<ref name = "Radoi" /> pag. 518)

== Ecuația analitică a mișcării ==
Descriind mișcarea de rotație pe un cerc cu raza constantă '''r''' într-un sistem de referință  inerțial: 
:- într-un sistem de coordonate ortogonale {x, y} avem: 
::<math> r(x, y) = x^2 + \sqrt{r^2 - x^2} = const </math>
:- într-un sistem de coordonate polare: 
::<math> r(\phi(t), t) = r _0 = const </math>
::<math> \phi(t) = \phi _0 + \phi '(t)*t + \phi ''(t)*t^2 /2 </math>

== Ecuația vectorială a mișcării ==
Descriind mișcarea de rotație într-un sistem de referință inerțial cu un [[vector de poziție]] al punctului care descrie traiectoria mișcării:
:- într-un sistem vectorial de coordonate ortogonale cu [[versor]]ii {<math> \vec i, \vec j </math>} avem: 
::<math> \vec r(\phi(t), t) = r(t)*(cos(\phi(t))* \vec i + y*sin(\phi(t))* \vec j) </math>
:- într-un sistem vectorial de coordonate polare tridimensional, cu versorii unitar:
::<math> \vec e _R </math> - versorul vectorului de poziție dat
::<math> \vec e _T = 1/ \omega * d  \vec e _R (\phi) /dt </math>
::<math> \vec e _{\omega} = \vec e _R \times \vec e _T </math> 
:- se obține:
::<math> \vec r (r(t), \phi (t), \phi '(t)) = r(t)* \vec u _r (\phi(t)) </math>
::<math> \phi(t) = \phi _0 + \phi '(t)*t + \phi ''(t)*t^2 /2 </math>

== Parametrii cinematici ==
Parametri cinematici ale mișcării, viteza radială, viteza tangențială la traiectoria mișcării, viteza unghiulară si accelerația unghiulară, <br> se obțin prin derivare vectorială  matematică a '''Vectorului de poziție''' a punctului care descrie traiectoria mișcării. <br> Folosind regulile de derivare a [[Vector]]ilor pentru [[versor]]i, cu: <math> \vec e _R, \vec e _T, d \phi /dt = \omega </math>
::<math> d  \vec e _R (\phi) /dt = \omega* \vec e _T(\phi) </math>
::<math> d  \vec e _T /dt (\phi) = - \omega* \vec e _R(\phi) </math>
:- se obțin ecuațiile:
::<math> \vec r = r(t)* \vec e _R (\phi) </math>  - vectorul variabil de poziție rotativ cu viteza unghiulară <math> \omega = d \phi /dt </math> 
::<math> \vec v = d\vec r/dt = dr/dt* \vec e _R + \omega*r* \vec e _T = \vec v _R + \vec v _T </math> - viteza 
::<math> \vec a = d^2 \vec r / dt^2 = (d^2r/dt^2 - r*\omega^2)* \vec e _R + r* d\omega/dt* \vec e _T + 2*\omega*dr/dt* \vec e _T = \vec a _R + \vec a _T + \vec a _c </math> - accelerația
: - se obțin parametrii cinematici:
::<math> \vec \omega </math> - vitezei unghiulară vectorială
::<math> \vec v _R </math> - viteza radială
::<math> \vec v _T </math> - viteza tangențială la traiectoria mișcării
::<math> \vec a _R </math> - accelerația radială
::<math> \vec a _T </math> - accelerația tangențială la traiectoria mișcării
::<math> \vec a _c </math> - accelerația Coriolis

Aceste ecuații sânt condițiile necesare si suficiente pentru ca mișcarea să fie determinată. <br> Necesare, pentru ca punctul material sau corpul să descrie traiectoria impusă. <br> Suficiente, pentru a deduce din ele univoc ecuația traiectoriei de mișcare, când sânt date in [[Problema Cauchy]] de integrare, [[condiție inițială |condițiile inițiale]].

== Parametrii dinamici ==
Parametrii dinamici definiți in mecanică sânt:
:<math> m </math> - masa corpului, întotdeauna o mărime scalară
:<math> J = J _0 + m*r^2 </math> - momentul de inerție al masei, la raza ''' ''r'' '''
:<math> \vec p = m* \vec v </math> - impulsul
:<math> \vec L = \vec r \times \vec p = J* \vec \omega = m* \omega *r^2 * \vec e _{\omega} </math> - momentul cinetic

== Forțe și momente ==
Forțele și momentele în sistemul de referință rotativ se obțin corespunzătoare accelerațiilor conform [[Legile lui Newton|legilor lui Newton]], ca:

- în sistemul de referință rotativ:
:<math> \vec F _{cp} = - m*r*\omega ^2* \vec e _R </math> - Forța centripetă, de atracție 
:<math> \vec F _{cf} = m*r* \omega ^2* \vec e _R </math> - Forța centrifugă 
:<math> \vec F _c = - 2*m* \omega *dr/dt* \vec e _T </math> - Forța Coriolis

- în sistemul de referință inerțial:
:<math> \vec F _T = m*r* d \omega/dt* \vec e _T </math> - Forța tangențială  
:<math> \vec M = m* \vec r \times \vec a = d \vec L /dt </math> - momentul forței

== Câmpul forței centrifuge ==
Parametrizarea vectorului forței centrifuge generează un [[câmp vectorial]] centrifug.
:<math> \vec F _{cf}(r(t), \phi(t)) = m*r* \omega ^2* \vec e _R </math>

== Potențialul câmpului centrifug ==
Se arată in matematică, când [[Câmp vectorial|câmpul vectorial]] al forței provine dintr-un gradient al unui câmp scalar, [[rotor]]ul câmpului vectorial este egal cu zero, <br> deoarece pentru orice [[Câmp vectorial|câmpul vectorial]]: 
:<math> rot \; \vec {\nabla U} = 0 </math>
În mod reciproc, datotită simetriei de rotație, rotorul câmpului vectorial al forței centrifuge este egal cu zero:  
:<math> rot \; \vec F _{cf} = \nabla \times \vec F _{cf} = 0 </math> 
există atunci un câmp scalar, câmpul potențial scalar, a cărui gradient generează forța:
:<math> \vec F _{cf} = - \vec {\nabla U} </math>
Câmpul vectorial centrifug posedă așadar un potențial scalar <ref name = "Feyman" /> :
:<math> U _{cf}(r(t), \omega(t)) = - 1/2*r^2 * \omega ^2 = - 1/2*(L/m)^2* 1/ r^2 </math>

== Energia potențială  ==
Energia potențială se determină ca:
:<math> E _{pot} = m*(U(R) - U(r)) </math> cu <math> R > r </math>

== Energia cinetică ==
[[Energie cinetică de rotație |Energia cinetică a mișcării de rotație]] se determină ca:
:<math> E _{rot} = \frac 12 J \omega ^2 = \frac 12 L \omega</math>
Din această relație, energia cinetică este constantă când ''momentul cinetic'' si ''viteza unghiulară'' sunt constante și în ''mecanica corpului rigid'' când momentul de inerție este contant, putând concluziona aparent, că energia cinetică a mișcării de rotație nu se conservată în general.<ref name = "Sands" /><sup>cap. 19-7</sup> 
<br> Privind însă variația temporală a energiei cinetice in raport cu raza, la o viteză unghiulară constantă, cu <math> \omega ' = 0 </math>:
:<math> \frac {dE _{rot}}{dt} = m \omega r (\omega r + \omega r') </math>
se observă că mai există și un aport a variației energiei cinetice in dependență cu viteza radială <math> r' = v _{radial} </math>, deși ''momemtul cinetic'' rămâne  constant, adicä:
:<math> \frac {\vec dL}{dt} = \vec M = 0 </math>
neexistând deci un moment de antrenare, deoarece [[produsul cartezian]] a doi vectori coliniar est egal cu zero:
:<math> \vec L(r') = \vec r \times \vec v _{radial} = 0 </math> 
Energia cinetică a mișcării de rotație se poate modifica si fără existența unui moment de antrenare, atunci când există o viteză radială diferită de zero, la o mișcare cu viteză unghiulară constantă.
Această modificare a energiei cinetice de rotație la variația razei se datorează [[Forța Coriolis|''forței Coriolis'']], fiind deci responsabilă pentru acumularea uriașă a energiei cinetice de rotație in fenomene meteorologice cum ar fi uragane, unde variația razei datorită vitezei radiale este produsă de gradientul radial simetric a presiunii atmosferice crescând de la margine la centru, chiar atunci când momentul cinetic nu se modifică, neexistând un moment de antrenare.
Modificarea energie cinetice de rotație la variația razei se produce in contextul conservării energie totale, crescând energia cinetică in detrimentul scăderii energie potențiale centrifuge, așa încât energia totală a sistemului este conservată, in deplină concordanță cu legile naturii.

== Energia totală ==
Energia totală a mișcării de rotație este:
:<math> W = E _{kin} + E _{pot} </math>

Energia totală este o mărime importantă in [[Ecuația Euler-Lagrange]] aplicată in metoda [[Formalismul Lagrange]] simplificând in multe cazuri speciale găsirea ecuațiilor traiectoriei de mișcare.

Ecuația Euler-Lagrange:

:<math> \frac{d}{dt}\frac{\partial W}{\partial\dot q}-\frac{\partial W}{\partial q}=0 </math>

==Note==
<references>
<ref name = "Radoi" >M. Rădoi, E. Deciu: ''Mecanica'' / Editura didactică si pedagogică, București 1977, cap. 8.2.3, pag. 183</ref>
<ref name = "Feyman">R.P. Feynman: ''Fizica Modernă'', Vol.I / Editura Tehnică 1970</ref>
<ref name = "Sands">R.P. Feynman, R.B Leighton, M. Sands: ''Lectures on Physics'' / Adison and Wesley 1963</ref>
</references>
<references/>

== Bibliografie ==
* M. Rădoi, E. Deciu: ''Mecanica'' / Editura didactică si pedagogică, București 1977, cap. 8.2.3, pag. 183
* S.E.Friș, A.V.Timoreva: ''Curs de fizică generală'' / Editura Tehnică 1965
* V. Vălcovici, R. Bălan, R. Voinea: ''Mecanica Teoretică'' / Editura Tehnică 1968
* E. Rebhan: ''Theoretische Physik'' / Spektrum Akademischer Verlag 1999, ISBN 3-8274-0246-8
* R.P. Feynman: ''Fizica Modernă'', Vol.I / Editura Tehnică 1970
* R.P. Feynman, R.B Leighton, M. Sands: ''Lectures on Physics'' / Adison and Wesley 1963
* V. Postelnicu, S. Coatu: ''Mică enciclopedie matematică'' / Editura tehnică
* S. Gottwald: ''Kleine Enzyklopädie der Mathematik'' / Meyers Lexikonverlage, Wien 1995
{{Portal|Fizică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Mecanică clasică]]
[[Categorie:Rotație]]
[[Categorie:Cinematică]]
[[Categorie:Geodezie]]
[[Categorie:Navigație]]
[[Categorie:Sisteme de coordonate]]
[[Categorie:Orientare (geometrie)]]