Vizualizare sursă pentru „Romboedru”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Romboedru
| image_up = Rhombohedron.svg
| caption =
| type = [[Prismă (geometrie) |prismă]]
| euler = 2
| faces = 6 [[romb]]uri
| edges = 12
| vertices = 8
| vertex_config =
| face_config = V3.3.3.3
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter =
| conway =
| symmetry = [[Simetrie ciclică în spațiul tridimensional|''C''<sub>''i''</sub>]] , [2<sup>+</sup>,2<sup>+</sup>], (×), ordin 2
| rotsymmetry =
| dual =
| properties = [[Poliedru convex |convex]], [[zonoedru]]
| net =
}}
În [[geometrie]] un '''romboedru'''<ref>{{Dexonline|romboedru}}</ref> este un [[poliedru]] cu șase [[față (geometrie) |fețe]] care sunt [[romb]]uri. Este un caz particular al unui [[paralelipiped]] în care toate [[latură (geometrie) |laturile]] (muchiile) au aceeași lungime. Poate fi folosit pentru a defini [[sistem cristalin hexagonal |sistemul cristalin hexagonal]], un [[fagure (geometrie) |fagure]] cu [[celulă (geometrie) |celule]] romboedrice. Un [[cub]] este un caz particular al unui romboedru, având toate fețele [[pătrat]]e.

În general, un ''romboedru'' poate avea până la trei tipuri de fețe rombice în perechi opuse congruente, simetrie ''C<sub>i</sub>'' de [[ordin (teoria grupurilor) |ordinul]] 2.

Patru puncte care formează vârfuri neadiacente ale unui romboedru sunt în mod necesar cele patru vârfuri ale unui [[tetraedru]] ortocentric și toate tetraedrele ortocentrice pot fi formate în acest fel.<ref>{{en icon}} {{citation|last=Court|first=Nathan Altshiller|title=Notes on the orthocentric tetrahedron|journal=American Mathematical Monthly|date=October 1934|volume=41|issue=8|pages=499–502|jstor=2300415|doi=10.2307/2300415}}.</ref>

== Sistemul cristalin hexagonal ==
[[Fișier:Rhombohedral.svg|thumb|120px|left]]
{{Articol principal|Sistem cristalin hexagonal}}
Sistemul cristalin hexagonal are celule romboedrice, cu 6 fețe rombice congruente, formând un [[trapezoedru]] trigonal.
{{-}}
== Cazuri particulare de simetrie ==
[[Fișier:Special_cases_of_rhombohedron.svg|lang=ro|thumb|240px|Cazuri particulare ale romboedrului]]
{| class=wikitable style="text-align:center;"
!Formă
![[Cub]]
!Trapezoedru trigonal
!Prismă rombică dreaptă
!Prismă rombică oblică
|-
!Condiții pt.<br/>unghiuri
|<math>\alpha=\beta=\gamma=90^\circ</math>
|<math>\alpha=\beta=\gamma</math>
|<math>\alpha=\beta=90^\circ</math>
|<math>\alpha=\beta</math>
|-
!Simetrie
|[[Simetrie octaedrică |O<sub>h</sub>]]<br/>ordin 48
|[[Simetrie diedrală în spațiul tridimensional |D<sub>3d</sub>]]<br/>ordin 12
|[[Simetrie diedrală |D<sub>2h</sub>]]<br/>ordin 8
|[[Simetrie ciclică în spațiul tridimensional |C<sub>2h</sub>]]<br/>ordin 4
|-
!Fețe
|6 pătrate
|6 romburi congruente
|2 romburi, 4 pătrate
|6 romburi
|}


* ''[[Cub]]'': cu simetrie [[simetrie octaedrică|O<sub>h</sub>]] de ordinul 48. Toate fețele sunt pătrate.
* ''[[Trapezoedru trigonal]]'' (numit și  ''romboedru izoedric''):<ref name=":0">{{en icon}} {{Cite book|title=Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals|last=Lines|first=L|publisher=Dover Publications|year=1965}}</ref> cu simetrie D<sub>3d</sub> de ordinul 12. Toate unghiurile interne neobtuze ale fețelor sunt egale (toate fețele sunt romburi congruente). Acest lucru poate fi observat la [[scalare (geometrie) |scalarea]] unui cub în direcția unei diagonale lungi a sa. De exemplu, un [[octaedru]] regulat cu două [[tetraedru |tetraedre]] regulate atașate pe fețe opuse formează un ''trapezoedru trigonal” cu unghiuri de 60°.
* ''[[Prismă]] rombică dreaptă'': cu simetrie D<sub>2h</sub> de ordinul 8. Este format din două romburi și patru pătrate. Acest lucru poate fi observat la scalarea unui cub în direcția unei diagonale a unei fețe a sa. De exemplu, două prisme drepte cu baze triunghiulare regulate atașate împreună formează o ''prismă rombică dreaptă'' cu unghiuri de 60°.
* ''Prismă rombică oblică'': cu simetrie C<sub>2h</sub> de ordinul 4. Are un singur plan de simetrie, prin patru vârfuri, și șase fețe rombice.

== Geometrie în spațiu ==
La un romboedru izoedric cu lungimea laturii 1,<ref name=":0" /> cu unghiul ascuțit al romburilor <math>\theta~</math>, cu un vârf în origine (0, 0, 0) și cu o latură situată de-a lungul axei ''x'', cei trei [[versor|vectori generatori]] sunt
:'''''e<sub>1</sub>''''' : <math>\biggl(1, 0, 0\biggr),</math>
:'''''e<sub>2</sub>''''' : <math>\biggl(\cos\theta, \sin\theta, 0\biggr),</math>
:'''''e<sub>3</sub>''''' : <math>\biggl(\cos\theta, {\cos\theta-\cos^2\theta\over \sin\theta}, {\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \over \sin\theta} \biggr).</math>

Alte coordonate se obțin prin adunarea vectorilor <ref>{{en icon}} {{Cite web|url=http://mathworld.wolfram.com/VectorAddition.html|title=Vector Addition|date=17 May 2016|publisher=Wolfram|access-date=17 May 2016}}</ref> din cele trei direcții: '''''e<sub>1</sub>''''' + '''''e<sub>2</sub>''''' , '''''e<sub>1</sub>''''' + '''''e<sub>3</sub>''''' , '''''e<sub>2</sub>''''' + '''''e<sub>3</sub>''''' și '''''e<sub>1</sub>''''' + '''''e<sub>2</sub>''''' + '''''e<sub>3</sub>''''' .

[[Volum]]ul <math>V</math> al unui romboedru izoedric cu latura de lungimea <math>a</math> și unghiul ascuțit al romburilor <math>\theta~</math> se obține pe baza formulei pentru [[paralelipiped]]:
:<math>V = a^3(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} = a^3\sqrt{(1-\cos\theta)^2(1+2\cos\theta)} = a^3\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta}~.</math>

Altă relație:
:<math>V = 2\sqrt{3} ~ a^3 \sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)  \sqrt{1-\frac{4}{3}\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}~.</math>

Deoarece aria bazei (rombice) este dată de <math>a^2\sin\theta~</math>, iar înălțimea unui romboedru este dată de volumul său împărțit la aria bazei sale, înălțimea <math>h</math> a unui romboedru izoedric cu lungimea laturii <math>a</math> și unghiul ascuțit al romburilor <math>\theta</math> este dată de:
:<math>h = a~{(1-\cos\theta)\sqrt{1+2\cos\theta} \over \sin\theta} = a~{\sqrt{1-3\cos^2\theta+2\cos^3\theta} \over \sin\theta}~.</math>

Notă: <math>h = a~z</math><sub>''3''</sub> , unde <math>z</math><sub>''3''</sub> este a treia coordonată a '''''e<sub>3</sub>''''' .

Diagonala corpului dintre vârfurile unde se întâlnesc unghiurile ascuțite ale fețelor este cea mai lungă. Prin simetrie de rotație în jurul acelei diagonale, celelalte trei diagonale ale corpului, dintre cele trei perechi de vârfuri opuse în care apar și câte două unghiuri obtuze, au toate aceeași lungime.

== Note ==
<references responsive />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Rhombohedron | title = Rhombohedron}}
* {{en icon}} [https://rechneronline.de/pi/truncated-rhombohedron.php Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php]

{{Poliedre convexe}}

[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Zonoedre]]
[[Categorie:Poliedre care umplu spațiul]]