Vizualizare sursă pentru „Rep-dală”

[[Fișier:Self-replication of sphynx hexidiamonds.svg|thumb|Rep-dala [[poliamant]] „[[pavare sfinx |sfinx]]”. Patru copii ale sfinxului pot fi puse împreună, așa cum se arată pentru a face un sfinx mai mare]]
În [[pavare |pavările]] [[geometrie |geometrice]] o '''rep-dală'''{{Efn|Joc de cuvinte intraductibil. În {{en|rep-tile}}, provine de la ''replicate'' (a se replica) și ''tile'' (dală) și a fost inventat ca un [[calambur]] de la [[reptilă |reptile]] de către [[matematică recreativă |matematicianul recreativ]] [[Solomon W. Golomb]] și popularizat de [[Martin Gardner]] în rubrica sa ''Mathematical Games'' din numărul din mai 1963 al revistei ''[[Scientific American]]''.<ref>{{en icon}} [http://www.martin-gardner.org/SciAm12.html A Gardner's Dozen—Martin's Scientific American Cover Stories]</ref>}} este o formă care poate fi divizată în copii mai mici de aceeași formă. În 2012, [[Lee Sallows]] a publicat în ''Mathematics Magazine'' o generalizare a rep-dalelor numită „[[set de dale care se autopavează |seturi de dale care se autopavează]]”.{{sfnp|Sallows|2012}}

[[Fișier:A selection of rep-tiles.gif|thumb|upright=2|O selecție de rep-dale, inclusiv [[pavare sfinx |sfinxul]], doi pești și 5-[[triunghi]]uri]]

== Terminologie ==
[[Fișier:L_substitution_tiling.svg|thumb|Substituția de tip scaun (stânga) și o porțiune din [[pavare scaun |pavarea scaun]] (dreapta)]]
O rep-dală este etichetată rep-''n'' dacă divizarea utilizează ''n'' copii. O astfel de [[formă]] formează în mod necesar [[dală |dala]] pentru o pavare a planului, în multe cazuri o {{ill-wd| Q741518||pavare aperiodică}}. O divizare a rep-dalei folosind diferite dimensiuni ale formei inițiale se numește rep-dală neregulată sau '''irrep-dală'''. Dacă divizarea folosește ''n'' copii, se spune că forma este irrep-''n''. Dacă toate aceste subdale sunt de dimensiuni diferite, atunci pavarea este descrisă în plus ca fiind perfectă. O formă care este rep-''n'' sau irrep-''n'' este trivial și irrep-(''kn''&nbsp;&minus;&nbsp;''k''&nbsp;+&nbsp;''n'') pentru orice ''k''&nbsp;>&nbsp;1, prin înlocuirea celei mai mici dale din divizare rep-''n'' cu ''n'' dale mai mici. Ordinul unei forme, indiferent dacă se utilizează rep-dale sau irrep-dale, este cel mai mic număr posibil de dale care ar fi suficient.{{sfnp|Gardner|2001}}

== Exemple ==
[[Fișier:pinwheel 2.gif|thumb|Definirea unei pavări aperiodice ([[pavare morișcă]]) prin divizarea și [[scalare (geometrie) |scalarea]] repetată a unei rep-dale]]
Orice [[pătrat]], [[dreptunghi]], [[paralelogram]], [[romb]] sau [[triunghi]] este rep-4. [[Poliamant]]ul Sfinx (ilustrat mai sus) este rep-4 și rep-9 și este unul dintre puținele pentagoane care se poate autoreplica. [[Curba Gosper |Insula Gosper]] este rep-7. {{ill-wd| Q223137||Fulgul lui Koch}} este irrep-7: șase fulgi mici de aceeași dimensiune, împreună cu un alt fulg cu suprafața de trei ori mai mare decât cei mici, se pot combina pentru a forma un singur fulg mai mare.

Un [[triunghi dreptunghic]] cu raportul [[catetă |catetelor]] de 1:2 este rep-5, iar divizarea sa rep-5 formează baza unei pavări aperiodice. Conform [[teorema lui Pitagora |teoremei lui Pitagora]], [[ipotenuză |ipotenuza]] are o lungime de {{radic|5}}.

Standardul internațional [[ISO 216]] definește dimensiunile foilor de hârtie folosind raportul [[latură (geometrie) |laturilor]] de {{radic|2}}. Dreptunghiurile în această formă sunt rep-2. Un dreptunghi (sau paralelogram) este rep-''n'' dacă raportul său de aspect este {{radic|''n''}}:1. Un triunghi dreptunghic [[triunghi isoscel |isoscel]] este, de asemenea, rep-2.

== Rep-dale și simetrie ==
Unele rep-dale, ca pătratul și [[triunghi echilateral |triunghiul echilateral]], sunt [[simetrie |simetrice]] și rămân identice atunci când se [[reflexie (matematică) |reflectă]] într-o [[oglindă]]. Altele, precum sfinxul, sunt asimetrice și există în [[chiralitate (matematică) |două forme distincte]] legate prin reflexia în oglindă. Divizarea sfinxului și a altor rep-dale asimetrice necesită utilizarea atât a formei originale, cât și a imaginii în oglindă.

== Rep-dale și poliforme ==
Unele rep-dale se bazează pe [[poliformă |poliforme]], cum ar fi [[poliamant]]ele și [[poliomino]]urile, sau forme create prin așezarea triunghiurilor echilaterale și a pătratelor latură la latură.
{{-}}
=== Pătrate ===
[[Fișier:Rep-tiles constructed from rectifiable octominoes.gif|thumb|upright=2|Rep-dale formate din  octominouri rectificabile]]
Daca un poliomino este rectificabil, adica capabil sa paveze un dreptunghi, atunci va fi și rep-dală, deoarece dreptunghiul va avea un raport intreg între lungimile laturilor și astfel se va pava ca pătratul. Acest lucru poate fi văzut la [[octomino]]uri, care sunt create din opt pătrate. Două copii ale unor octominouri vor pava un pătrat; prin urmare aceste octominouri sunt și dale rep-16.

Patru copii ale unor [[nonomino]]uri și [[pseudo poliomono]]uri vor pava un pătrat, prin urmare aceste poliforme sunt și dale rep-36.
[[Fișier:Nonominoes.gif|thumb|upright=3.5|left|Rep-dale create din nonominouri rectificabile și 9-pseudo poliominouri]]
{{-}}
=== Triunghiuri echilaterale ===
Similar, dacă un poliamant pavează un triunghi echilateral, va fi și o rep-dală.
[[Fișier:Equilateral triangle reptiles.gif|thumb|upright=3.5|left|Rep-dale create din triunghiuri echilaterale]]
{|
| [[Fișier:Equilateral triangle fish rep-tile.gif|thumb|upright=1.45|O rep-dală „pește” formată din trei triunghiuri echilaterale<br/>&nbsp;]]
| [[Fișier:Equilateral triangle rocket.gif|thumb|O rep-dală „rachetă” formată dintr-un dodeciamant (din 12 triunghiuri echilaterale)]]
|}

=== Triunghiuri dreptunghice===
Un [[triunghi dreptunghic]] este un triunghi care are un unghi drept (de 90°). Două forme particulare de triunghi dreptunghic au atras atenția cercetătorilor rep-dalelor, triunghiul 45°-90°-45° și triunghiul 30°-60°-90°.

====Triunghiuri 45°-90°-45° ====
Poliformele formate din [[triunghi dreptunghic |triunghiuri dreptunghice]] [[triunghi isoscel |isoscele]], cu laturile în raportul 1&nbsp;:&nbsp;1&nbsp;:&nbsp;{{sqrt|2}}, sunt cunoscute ca [[poliabolo]]uri. Un număr infinit dintre ele sunt rep-dale. Într-adevăr, cel mai simplu dintre toate rep-dalele este triunghiul dreptunghic isoscel. Este rep-2 când este divizat cu o singură dreaptă care bisectează unghiul drept. Rep-2 rep-dalele sunt, de asemenea, rep-2<sup>n</sup>, iar triunghiurile rep-4,8,16+ produc rep-dale în continuare. Acestea sunt generate eliminând jumătate din subcopii și permutând restul până când sunt simetrice în oglindă într-un triunghi dreptunghic. Cu alte cuvinte, două copii vor pava un triunghi dreptunghic. Unul dintre aceste noi rep-dale amintește de peștele format din trei triunghiuri echilaterale.
[[Fișier:Rep-tiles based on right triangles.gif|thumb|left|upright=3|Rep-dale formate din triunghiuri dreptunghice]]
[[Fișier:Right triangle fish rep-tile.gif|thumb|left|O rep-dală asemănătoare cu un pește formată din patru triunghiuri dreptunghiulare isoscele]]
{{-}}
==== Triunghiuri 30°-60°-90° ====
Poliformele formate din triunghiuri dreptunghice 30°-60°-90°, cu laturile în raportul 1&nbsp;:&nbsp;{{sqrt|3}}&nbsp;:&nbsp;2, sunt cunoscute ca [[polidrafter]]e. Unele sunt identice cu poliamantele.<ref name=polydrafters>{{en icon}} [http://www.recmath.org/PolyCur/drirrep/index.html Polydrafter Irreptiling]</ref>
{|
|[[Fișier:Tridrafter as triangles.gif|thumb|Un tridrafter, format din trei triunghiuri 30°-60°-90°]]
|[[Fișier:Tridrafter.gif|thumb|Același tridrafter ca o rep-dală</br>&nbsp;]]
|-
|[[Fișier:Tetradrafter as triangles.gif|thumb|Un tetradrafter, format din patru triunghiuri 30°-60°-90°]]
|[[Fișier:Tetradrafter.gif|thumb|Același tetradrafter ca rep-dală</br>&nbsp;]]
|-
|[[Fișier:Hexadrafter2 as triangles.gif|thumb|Un hexadrafter, format din șase triunghiuri 30°-60°-90°]]
|[[Fișier:Hexadrafter2.gif|thumb|Același hexadrafter ca rep-dală</br>&nbsp;]]
|}

== Rep-dale multiple și variante ==
Multe dintre rep-dalele obișnuite sunt rep-{{math|''n''<sup>2</sup>}} pentru toate valorile întregi pozitive ale&nbsp;{{mvar|n}}. Acest lucru este valabil în special pentru trei [[trapez]]e, inclusiv cel format din trei triunghiuri echilaterale, pentru trei hexagoane paralele cu axele (L-[[triomino]], L-[[tetromino]] și P-[[pentomino]]) și sfinxul hexiamant.{{sfnp|Nițică|2003}} În plus, multe rep-dale, în special cele cu rep-''n'' mai mare, pot fi autopavate în diferite moduri. De exemplu, rep-9 L-tetramino are cel puțin paisprezece astfel de pavări diferite. Sfinxul rep-9 hexiamant poate fi, de asemenea, pavat în diferite moduri.
{| width=600px 
|- valign=top
|[[Fișier:L-tetrominoes rep9.gif|thumb|upright=2.2|Variante de pavare a rep-9 dalei L-tetromino]]
|[[Fișier:Sphinx rep9 various.gif|thumb|Variante de pavare a rep-9 dalei sfinx hexiamant]]
|}

== Rep-dale cu infinite laturi ==
[[Fișier:Horned triangle or teragonic triangle.gif|thumb|Triunghi cu coarne sau triunghi teragonic]]
[[Fișier:Scherer double-pyramid.gif|thumb|O rep-dală pentagonală descoperită de Karl Scherer]]
Cele mai cunoscute rep-dale sunt poligoane cu un număr finit de laturi, dar unele forme cu un număr infinit de laturi pot fi și ele rep-dale. De exemplu, triunghiul [[teragon]]ic (triunghiul cu coarne), este rep-4. Este, de asemenea, un exemplu de [[fractal]] rep-dală.
===Alte exempli===
<gallery widths="155px" heights="120px">

File:Frattali_Rep-3_01.gif|Rep-3<ref name=fiori>{{it icon}}{{citat web|url=http://www.maecla.it/tartapelago/frattali/index2.htm|titlu=Mostra di rep-3, rep-5, rep-7 frattali che si fanno in tre, cinque e perfino in sette per la loro prole|publisher=Maecla,Tartapelago|year=2009}}</ref>
File:Frattale_Rep-5.gif|Rep-5<ref name=fiori/>
File:Frattali_Rep-7.gif|Rep-7, Insula Gosper <ref name=fiori/>
File:Fiocco_irrep-7.gif|Irrep-7,Fulgul lui Koch
File:Frattale_infinito_rep-tile.gif|Irrep-<math>\infty</math>, Siamez <ref name=falena/>
File:FalenafrattaleGiorgioPietrocola_09.gif|Irrep-<math>\infty</math>,Molie <ref name=falena>{{it icon}}{{citat web|url=https://www.afsu.it/wp-content/uploads/2025/01/Periodico-di-Matematica-IV-Vol.-VI-4-Online.pdf#page=117|titlu=Affinità tra figure frattali.Algoritmi combinatori alla scoperta delle coppie drago, farfalla e falena,siamese|autor=Giorgio Pietrocola| publisher=Periodico di matematica, AFSU|year=2024}}</ref>
</gallery>

== Rep-dale pentagonale ==
Rep-dalele triunghiulare și patrulatere sunt comune, dar rep-dalele pentagonale sunt rare. Pentru o lungă perioadă de timp, sfinxul a fost considerat a fi singurul exemplu cunoscut, dar matematicianul [[Germania |germano]]-[[Noua Zeelandă |neo zeelandez]] Karl Scherer și cel american George Sicherman au găsit mai multe exemple, inclusiv o piramidă dublă și o versiune alungită a sfinxului. Totuși, sfinxul și versiunile sale extinse sunt singurele pentagoane cunoscute care pot fi pavate cu copii de forma lor, egale.<ref>{{en icon}} Klarke, Andrew, [http://www.recmath.com/PolyPages/PolyPages/Reptiles.htm ''Reptiles''], recmath.com, accesat 2024-04-26</ref><ref>

== Note explicative ==
{{Notelist}}

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{citation
 | last = Gardner | first = M. | author-link = Martin Gardner
 | contribution = Rep-tiles
 | location = New York
 | pages = 46–58
 | publisher = W. W. Norton
 | title = The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems
 | year = 2001}}
*{{en icon}} {{citation|last=Gardner|first=M.|authorlink=Martin Gardner|contribution=Chapter 19: Rep-tiles, Replicating Figures on the Plane|title=The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions|location=Chicago, IL|publisher=Chicago University Press|pages=222–233|year=1991}} 
*{{en icon}}  {{citation |last1=Langford |first1=C. D. |title=Uses of a Geometric Puzzle |journal=The Mathematical Gazette |date=1940 |volume=24 |issue=260 |pages=209–211 |doi=10.2307/3605717}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Nițică | first = Viorel
 | contribution = Rep-tiles revisited
 | location = Providence, RI
 | mr = 2027179
 | pages = 205–217
 | publisher = American Mathematical Society
 | title = MASS selecta
 | year = 2003}}
*{{en icon}} {{citation
 | last = Sallows | first = Lee
 | doi = 10.4169/math.mag.85.5.323
 | issue = 5
 | journal = Mathematics Magazine
 | mr = 3007213
 | pages = 323–333
 | title = On self-tiling tile sets
 | volume = 85
 | year = 2012}}
*{{en icon}} {{citation|last=Scherer|first=Karl|title=A Puzzling Journey to the Reptiles and Related Animals|year=1987}}
*{{en icon}} {{citation|last=Wells|first=D.|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry|location=London|publisher=Penguin|pages=213–214|year=1991}}

== Legături externe ==
{{Commons category-inline}}
;Rep-dale
*{{en icon}} [http://mathematicscentre.com/taskcentre/sphinx.htm Mathematics Centre Sphinx Album]
*{{en icon}} {{mathworld|title=Rep-Tile|urlname=Rep-Tile}}
*{{en icon}} [https://ifstile.com IFStile] - program for finding rep-tiles

;Irrep-dale
{{Portal|Matematică}}
*[https://erich-friedman.github.io/mathmagic/1002.html Math Magic - Problem of the Month 10/2002] 
*[http://blog.tanyakhovanova.com/?p=226 Tanya Khovanova - L-Irreptiles]
{{Teselări|state=expanded}}

[[Categorie:Pavări| ]]