Vizualizare sursă pentru „Punct fix (matematică)”

[[Fișier:Fixed point example.svg|thumb|right|O funcție cu trei puncte fixe]]
În [[matematică]], un '''punct fix''' (uneori '''punct invariant''') al unei [[funcție |funcții]] este un element din [[Domeniu de definiție |domeniul de definiție]] al funcției în care [[valoare (matematică) |valoarea]] funcției este egală cu valoarea argumentului funcției. Adică ''c'' este un punct fix al funcției
''f'' dacă ''f''(''c'') = ''c''. Asta înseamnă că ''f''(''f''(...''f''(''c'')...)) = ''f''(''c'') = ''c'', o considerație de terminare importantă atunci când se calculează recursiv „f”. O [[mulțime]] de puncte fixe este uneori numită ''mulțime fixă''.

De exemplu, dacă ''f'' este definită pe [[număr real |<math> \mathbb{R}\ </math>]] prin

:<math> f(x) = x^2 - 3 x + 4,</math>

atunci 2 este un punct fix al ''f'', deoarece ''f''(2) = 2.

Nu toate funcțiile au puncte fixe: de exemplu, dacă ''f'' este o funcție definită pe <math> \mathbb{R}\ </math> ca <math>f(x) = x + 1</math>, atunci nu are puncte fixe, deoarece x nu este niciodată egal cu x + 1 pentru orice număr real. În termeni grafici, un punct fix ''x'' înseamnă punctul (''x'', ''f''(''x'')) este pe linia ''y''&nbsp;=&nbsp;''x'', sau cu alte cuvinte, [[Graficul unei funcții |graficul]] lui ''f'' are un punct comun cu acea linie.

Punctele care revin la aceeași valoare după un număr finit de iterații ale funcției se numesc ''[[punct periodic |puncte periodice]]''. Un ''punct fix'' este un punct periodic cu o perioadă egală cu unu. În [[geometrie proiectivă |geometria proiectivă]], un punct fix al unei [[proiecție |proiecții]] a fost numit ''punct dublu''.<ref>{{en icon}} {{cite book |first=H. S. M. |last=Coxeter |year=1942 |title=Non-Euclidean Geometry |page=36 |publisher=University of Toronto Press }}</ref><ref>{{en icon}} G. B. Halsted (1906) ''Synthetic Projective Geometry'', page 27</ref>

== Puncte fixe de convergență ==
[[Fișier:Cosine fixed point.svg|250px|thumb|Iterații în jurul punctului fix ''x''<sub>''n''+1</sub>&nbsp;=&nbsp;cos ''x''<sub>''n''</sub> când valoarea inițială a lui ''x''<sub>1</sub> = −1]]

Un ''punct fix de convergență'' al unei funcții ''f'' este un punct fix ''x''<sub>0</sub> al ''f'' astfel încât pentru orice valoare a lui ''x'' dintr-un interval din domeniul de definiție care este suficient de apropiat de ''x''<sub>0</sub>, secvența iterativă

:<math>x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))), \dots</math>

converge în ''x''<sub>0</sub>. O expresie a premiselor și a dovezii existenței unei astfel de soluții este dată de [[teorema punctului fix Banach]].

Funcția de [[cosinus]] natural („natural” înseamnă în [[radian]]i, nu în grade sau alte unități) are exact un punct fix, care este de convergență. În acest caz, „suficient de aproape” nu este deloc un criteriu strict — pentru a demonstra acest lucru se începe cu ''orice'' număr real și se apasă în mod repetat tasta ''cos'' pe un calculator (verificând mai întâi că calculatorul este în modul „radiani”). În cele din urmă rezultatul va converge la aproximativ 0,739085133, care este un punct fix. Acolo este graficul funcției cosinus care intersectează dreapta <math>y = x</math>.<ref name="wolfram">{{en icon}} {{cite web|last1=Weisstein|first1=Eric W.|title=Dottie Number|url=http://mathworld.wolfram.com/DottieNumber.html|website=Wolfram MathWorld|publisher=Wolfram Research, Inc.|access-date=23 July 2016}}</ref>

Nu toate punctele fixe sunt puncte de convergență. De exemplu, '' x '' = 0 este un punct fix al funcției <math>f(x)-2x</math>, dar iterațiile aplicate acestei funcții pentru orice altă valoare decât zero sunt rapid divergente. Totuși, dacă funcția ''f'' este [[funcție continuă |continuă]] și [[funcție derivabilă |derivabilă]] într-o vecinătate deschisă a punctului fix ''x''<sub>0</sub> și <math>|f\,'(x_0)|<1</math>, atunci convergența este asigurată.

== Aplicații ==
În multe domenii, echilibrul sau stabilitatea sunt concepte fundamentale care pot fi descrise în termeni de puncte fixe. Urmează câteva exemple.
* În [[economie]], [[echilibru Nash |echilibrul Nash]] din [[teoria jocurilor]] este un punct fix privind răspunsul optim. 
* În [[fizică]], mai exact în [[transformare de fază |teoria transformărilor de fază]], ''liniarizarea'' în jurul unui punct fix ''instabil'' i-a adus lui [[Kenneth G. Wilson]] [[Premiul Nobel]] pentru inventarea [[grup de renormalizare |grupurilor de renormalizare]] și a explicării matematice a termenului de „[[fenomen critic]]”.<ref>{{en icon}} Kenneth G. Wilson, [https://journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.4.3174 ''Renormalization Group and Critical Phenomena I''], ''Physical Review B'', vol.&nbsp;4, no.&nbsp;9, 1 November 1971, pp.&nbsp;3174–3183</ref><ref>{{en icon}} Kenneth G. Wilson, [https://journals.aps.org/prb/pdf/10.1103/PhysRevB.4.3174 ''Renormalization Group and Critical Phenomena II''], ''Physical Review B'', vol.&nbsp;4, no.&nbsp;9, 1 November 1971, pp.&nbsp;3184–3205</ref>
* [[Compilator |Compilatoarele]] [[Limbaj de programare |limbajelor de programare]] folosesc la analiza programelor punctele fixe.<ref>{{en icon}} Patrick Cousot, Radhia Cousot, [https://www.di.ens.fr/~cousot/COUSOTpapers/publications.www/CousotCousot-POPL-77-ACM-p238--252-1977.pdf Abstract Interpretation: A Unified Lattice Model for Static Analysis of Programs by Construction or Approximation of Fixpoints''], ''Fourth ACM Symposium on Principes of Programming Languages. Los Angeles, 17–19 January 1977</ref> Și alte aplicații de analiză folosesc punctele fixe.

== Note ==
<references responsive/>

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} [http://www.osaka-ue.ac.jp/zemi/nishiyama/math2010/fixedpoint.pdf An Elegant Solution for Drawing a Fixed Point]

[[Categorie:Puncte fixe (matematică)| ]]
[[Categorie:Teoria jocurilor]]