Vizualizare sursă pentru „Punct șa”

[[Fișier:Saddle point.png|thumb|Punctul în roșu al [[Graficul unei funcții|grafic]]ului funcției <math>(x,y)\mapsto x^2-y^2</math> asociat unicului punct șa al său {{math|(0;0)}}.]]

În [[matematică]], un '''punct șa''' (în {{en|saddle point}}) al unei [[Funcție|funcții]] {{mvar|f}} definite pe un [[produs cartezian]] {{math|''X'' × ''Y''}} a două mulțimi {{mvar|X}} și {{mvar|Y}} este un punct <math>(\bar{x},\bar{y})\in X\times Y</math> în așa fel încât:
* <math>y\mapsto f(\bar{x},y)</math> atinge un [[maxim și minim|maxim]] în <math>\bar{y}</math> pe {{mvar|Y}};
* iar <math>x\mapsto f(x,\bar{y})</math> atinge un [[maxim și minim|minim]] în <math>\bar{x}</math> pe {{mvar|X}}.

Unii autori inversează maximele și minimele (<math>f(\bar{x},\cdot)</math> cu un ''minim'' în <math>\bar{y}</math> și <math>f(\cdot,\bar{y})</math> cu un ''maxim'' în <math>\bar{x}</math>), dar aceasta nu schimbă cantitativ rezultatele (se poate reveni la cazul prezent prin schimbare de variabile).

Termenul ''punct șa'' se referă la forma de [[șa]] de cal pe care o ia graficul funcției când {{mvar|X}} și {{mvar|Y}} sunt intervale din <math>\mathbb R</math>. În terminologia din limba franceză se utilizează denumirea de ''punct trecătoare'', cu referire la imaginea unei [[Trecătoare (geografie)|trecători]] din munte.

Într-o dimensiune, un punct șa este un [[punct de inflexiune]] care este și [[punct staționar]].

Mai general, un punct șa pentru o funcție este un punct staționar în [[Vecinătate (matematică)|vecinătatea]] căreia curba nu se află doar pe o parte a [[hiperplan]]ului tangent. 

Noțiunea de punct șa intervine:
* în [[optimizare]], concept care permite enunțarea unor condiții care asigură existența unei soluții primare duale;
* în [[teoria jocurilor]], [[Teorema de minimax a lui von Neumann|puncte șa în matricile de câștig]];
* pentru determinarea unor soluții particulare ale unor ecuații care nu sunt de minim sau maxim.

==Definiție==
Iată o definiție destul de generală a noțiunii de punct șa a unei funcții definite pe un [[produs cartezian]] de mulțimi. Nicio structură nu este cerută pe aceste mulțimi. Funcția trebuie din contra să-și ia valorile în mulțimea numerelor reale <math>\R</math> (sau mai general în [[Dreaptă reală încheiată|dreapta reală încheiată]] <math>\bar{\R}</math>).

'''Teoremă'''<br>Punct șa<br>
Fie {{mvar|X}} și {{mvar|Y}} două mulțimi și <math>f : X\times Y\to\bar{\R}</math> o funcție care poate lua valorile <math>\pm\infty</math>. Se spune că <math>(\bar{x},\bar{y})\in X\times Y</math> este un '''punct-șa''' al {{mvar|f}} pe {{math|''X'' × ''Y''}} dacă
<center>
<math>
\forall\,(x,y)\in X\times Y:\qquad
f(\bar{x},y)\leqslant f(\bar{x},\bar{y})\leqslant f(x,\bar{y}).
</math>
</center>
În condițiile de mai sus,
<math>f(\bar{x},\bar{y})</math> este numită '''valoarea șa''' a {{mvar|f}}.

Altfel spus, <math>y\mapsto f(\bar{x},y)</math> atinge un maximum în <math>\bar{y}</math> pe {{mvar|Y}} și <math>x\mapsto f(x,\bar{y})</math> atinge un minimum în <math>\bar{x}</math> pe {{mvar|X}}. Nimic nu este cerut în afara ''crucii'' <math>(\{\bar{x}\}\times Y)\cup(X\times\{\bar{y}\})</math>,  astfel încât imaginea șeii să poată fi înșelătoare ca atunci când <math>f:\R^2\to\R</math> este definită de {{math|''f''(''x'',''y''){{=}}''x''<sup>2</sup>''y''<sup>2</sup>}} (toate punctele de pe axele de ordonate sunt puncte șa).

==Referințe și  note==
<references />
* {{en icon}} {{citation |last1=Gray |first1=Lawrence F.|last2=Flanigan|first2=Francis J.|last3=Kazdan|first3=Jerry L.|last4=Frank|first4=David H|last5=Fristedt|first5=Bert |title=Calculus two: linear and nonlinear functions |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin |year=1990 |page= 375|isbn=0-387-97388-5 |oclc= |doi=}}
* {{en icon}} {{Citation | last1=Hilbert | first1=David | author1-link=David Hilbert | last2=Cohn-Vossen | first2=Stephan | author2-link=Stephan Cohn-Vossen | title=Geometry and the Imagination | publisher=Chelsea | location=New York | edition=2nd | isbn=978-0-8284-1087-8 | year=1952 }}
* {{en icon}} {{citation|first=Tobias|last=von Petersdorff|url=http://www2.math.umd.edu/~petersd/246/stab.html|chapter=Critical Points of Autonomous Systems|year=2006|title=Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)}}
* {{en icon}} {{citation |last=Widder|first=D. V. |title=Advanced calculus |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1989 |page=128 |isbn=0-486-66103-2 |oclc= |doi=}}
* {{en icon}} {{citation |last=Agarwal|first=A. |title=Study on the Nash Equilibrium (Lecture Notes)|url=http://www.cse.iitd.ernet.in/~rahul/cs905/lecture3/nash1.html#SECTION00041000000000000000}}

==Bibliografie==
* {{fr icon}} [[Haïm Brezis|H. Brézis]] (1973), ''Opérateurs Maximaux Monotones et semi-groupes de contractions dans les espaces de Hilbert''. Mathematics Studies 5. North-Holland, Amsterdam. {{ISBN|978-0-7204-2705-9}}.
* {{en icon}} M. Sion (1958),  [http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1103040253 « ''On general minimax theorems'' »], ''Pacific Journal of Mathematics'' 8, 171-176.
{{Control de autoritate}}

==Legături externe==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commons category-inline}}

[[Categorie:Calcul diferențial și integral cu variabile multiple]]
[[Categorie:Geometrie analitică]]
[[Categorie:Teoria stabilității]]