Vizualizare sursă pentru „Proprietatea lui Darboux”

În [[analiza matematică]], o funcție definită pe un [[Interval (matematică)|interval]] al mulțimii [[Număr real|numerelor reale]] și cu valori în aceasta are '''proprietatea lui Darboux'''<ref>Nicolescu et al, p. 225</ref> atunci când nu poate trece de la o [[valoare (matematică) |valoare]] la alta fără a trece prin ''toate'' valorile intermediare. O astfel de funcție se mai numește și '''funcție Darboux'''. Denumirea reprezintă un omagiu adus matematicianului francez [[Jean Gaston Darboux]], cel care a demonstrat că există funcții cu ''proprietatea lui Darboux'' care sunt [[Discontinuitate|discontinue]]<ref>Darboux</ref>. Funcțiile Darboux pot fi chiar discontinue în orice punct<ref>Bruckner, Ceder</ref>.

==Definiție, rezultate fundamentale==

O funcție <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math>, unde <math>I\subseteq\mathbb{R}</math> este un interval nevid, are ''proprietatea lui Darboux'' dacă pentru orice numere <math>a,\,b\in I</math>, cu <math>a\leq b</math>, și <math>y\in\left[\min\left\{f(a),f(b)\right\},\max\left\{f(a),f(b)\right\}\right]</math> există (cel puțin) un număr <math>x\in[a,b]</math> astfel încât <math>f(x) = y</math>.

Orice [[funcție continuă]], definită pe un interval, are proprietatea lui Darboux<ref>Nicolescu et al, p. 224</ref>. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de [[Teorema valorii intermediare|teorema valorii intermediare]].

O funcție <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math>, unde <math>I\subseteq\mathbb{R}</math> este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux [[dacă și numai dacă]] transformă orice subinterval <math>J\subseteq I</math> într-un interval, <math>f(J)</math><ref>Nicolescu et al, p. 226</ref>.

O funcție are proprietatea lui Darboux dacă și numai dacă transformă orice submulțime [[Mulțime conexă|conexă]] a intervalului său de [[Domeniu de definiție|definiție]] într-o mulțime conexă<ref>Nicolescu et al, p. 227</ref>.  

O funcție <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math>, unde <math>I\subseteq\mathbb{R}</math> este un interval nevid, care este [[Bijecție|bijectivă]] și are proprietatea lui Darboux este strict [[Monotonie|monotonă]]<ref>Nicolescu et al, ibid.</ref>.

Dacă o funcție Darboux este discontinuă, atunci discontinuitățile sale sunt de [[Discontinuitate|speța a doua]]. Un exemplu de funcție Darboux discontinuă este dat de <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}</math>, cu formula <math>f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\sin\frac{1}{x},&x\neq0,\\0,&x=0,\end{array}\right.</math> unde <math>x\in\mathbb{R}</math>.

Derivata <math>f^{\prime}</math> a unei funcții [[Derivată|derivabile]] <math>f:I\rightarrow\mathbb{R}</math>, unde <math>I\subseteq\mathbb{R}</math> este un interval nevid, are proprietatea lui Darboux<ref>Nicolescu et al, p. 291</ref>. Rezultatul este întâlnit în literatură și sub denumirea de [[Teorema lui Darboux|teorema lui Darboux]]. 

Dacă o funcție admite [[Primitivă|primitive]], atunci ea este funcție Darboux.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
{{Refbegin}}
* {{Citation
 | last = Darboux
 | first = G.
 | authorlink = Jean Gaston Darboux
 | date = 1875
 | title = Memoire sur les fonctions discontinues
 | journal = Ann. Sci. Scuola Norm. Sup.
 | volume = 4
 | pages = 161-248
}}
* {{Citation
 | last = Bruckner
 | first = A. M.
 | last2 = Ceder
 | first2 = J. C.
 | date = 1965
 | title = Darboux continuity
 | journal = Jahresber. Deutsch. Math. Ver.
 | volume = 67
 | pages = 93-117
}}
* {{Citation
 | last = Nicolescu
 | first = M.
 | author1-link = Miron Nicolescu
 | last2 = Dinculeanu
 | first2 = N.
 | author2-link = Nicolae Dinculeanu
 | last3 = Marcus
 | first3 = S.
 | author3-link = Solomon Marcus
 | date = 1971
 | title = Analiză matematică, Volumul I
 | place = București
 | publisher = Editura Didactică și Pedagogică
 | edition = a IV-a
}}
* {{Citation
 | url = https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Darboux_property
 | title = Darboux property
 | website = Encyclopedia of Mathematics 
}}
{{Refend}}

[[Categorie:Analiză matematică]]