Vizualizare sursă pentru „Proiecție stereografică”

 [[Fișier:Stereographic projection in 3D.svg|thumb|Ilustrare 3D a unei proiecții stereografice de la ''polul nord'' pe un plan sub sferă]]
În [[geometrie]], '''proiecția stereografică''' este un caz particular de aplicație ([[funcție (matematică) |funcție]]) care proiectează o [[sferă]] pe un [[plan (geometrie) |plan]]. Proiecția este definită pe întreaga sferă, cu excepția unui punct: punctul de proiecție. Unde este definit, aplicația este o [[funcție netedă]] și [[bijecție |bijectivă]]. Ea este și conformă, ceea ce înseamnă că păstrează [[unghi]]urile sub care se întâlnesc curbele. Nu este nici [[izometrie|izometrică]], nici nu conservă ariile: adică nu conservă nici distanțele, nici suprafețele figurilor.

Intuitiv, proiecția stereografică este un mod de a reprezenta sfera pe un plan, cu unele compromisuri inevitabile. Deoarece sfera și planul apar în multe zone ale [[matematică |matematicii]] și ale aplicațiilor sale, la fel și proiecția stereografică își găsește utilizări în diverse domenii, inclusiv [[analiză complexă |analiza complexă]], [[cartografie]], [[geologie]] și [[fotografie]]. În practică, proiecția este realizată cu un [[calculator]], sau manual folosind un tip special de [[hârtie milimetrică]] numită ''rețea stereografică'', ale cărei prescurtări în limba engleză sunt ''stereonet'' sau ''Wulff net''.

== Istoric ==
[[Fișier:RubensAguilonStereographic.jpg|thumb|Ilustrație de [[Peter Paul Rubens |Rubens]] pentru ''Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles'', de François d'Aguilon, cu principiul unei proiecții generale, a cărui proiecție stereografică este un caz particular]]
Proiecția stereografică era cunoscută de [[Hiparh]], [[Ptolemeu]] și probabil și mai devreme, de [[Egiptul Antic |egiptenii din antichitate]]. A fost inițial cunoscut sub numele de proiecția planisferei.<ref name="Snyder1993">Snyder (1993).</ref> ''[[Planisphaerium]]'' de Ptolemeu este cel mai vechi document care a supraviețuit și care o descrie. Una dintre cele mai importante utilizări a fost reprezentarea [[Harta cerului |hărții cerului]].<ref name="Snyder1993" /> Termenul de ''[[planisferă]]'' continuă să fie folosit pentru astfel de hărți.

În secolele al XVI-lea și al XVII-lea, aspectul [[ecuator]]ial al proiecției stereografice a fost utilizat în mod frecvent pentru hărțile din [[emisfera estică]] și [[emisfera vestică |vestică]]. După Snyder, deși el recunoaște că nu a văzut-o personal, se crede că deja harta creată în 1507 de [[Gualterius Lud]] a fost în proiecție stereografică, la fel ca și hărțile lui [[Jean Roze]] (1542), [[Rumold Mercator]] (1595) și multe altele.<ref name="Snyder1989">Snyder (1989)</ref> În hărțile astronomice acest aspect ecuatorial fusese folosit deja de către astronomi antici ca Ptolemeu.<ref>{{en icon}} Brown, Lloyd Arnold : [https://books.google.com/books?id=Qh7nDfGm7BkC&pg=PA40&dq=equator+greek+astronomy&hl=es&ei=HCj_S8qGOYH58Aaq27DEDQ&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=9&ved=0CEsQ6AEwCDgU#v=onepage&q=equator%20greek%20astronomy&f=false ''The story of maps'', p.&nbsp;59].</ref>

[[François d'Aguilon]] a dat proiecției stereografice numele actual în lucrarea sa din 1613 ''Opticorum libri sex philosophis juxta ac mathematicis utiles'' ({{ro|Șase cărți de optică, utile atât filosofilor, cât și matematicienilor}}).<ref> Elkins, 1988, care-l citează pe {{de icon}} Eckert, ''Die Kartenwissenschaft'', Berlin 1921, pp&nbsp;121–123</ref>

În 1695 [[Edmond Halley]], motivat de interesul său pentru hărți ale cerului, a publicat prima demonstrație matematică că acesată hartă este una conformă.<ref>{{en icon}} Timothy Feeman. 2002. "Portraits of the Earth: A Mathematician Looks at Maps". [[American Mathematical Society]]</ref> El a folosit metodele de calcul recent inventate de prietenul său [[Isaac Newton]].

== Definiție ==
=== Proiecția ecuatorială ===
[[Fișier:Stereoprojzero.svg|thumb|[[Secțiune]] printr-o sferă unitate ilustrând principiul proiecției stereografice de la ''polul nord'' pe planul ''z''&nbsp;=&nbsp;0]]
În spațiul tridimensional <math>\mathbb{R}^3 \,</math>[[Sferă unitate |sfera unitate]] {{mvar|S'}} este mulțimea punctelor ({{mvar|''x'', ''y'', ''z''}}) care satisfac relația <math>x^2+y^2+z^2=1. \,</math> Fie punctul <math>N=(0, 0, 1) \,</math> ''polul nord'' și <math>\mathcal{M}</math> restul sferei. Planul <math>z=0 \,</math> trece prin centrul sferei, iar ''ecuatorul'' este intersecția sferei cu acest plan.

Pentru orice punct {{mvar|P}} de pe <math>\mathcal{M}</math> dreapta {{mvar|NP}} intersectează planul <math>z=0 \,</math> în punctul {{mvar|P′}}, care este ''proiecția stereografică'' a punctului {{mvar|P}} pe acest plan.

În [[coordonate carteziene |coordonatele carteziene]] ({{mvar|x, y, z}}) pe sferă și ({{mvar|X, Y}}) pe plan, proiecția și inversa sa sunt date de formulele:
:<math>\begin{align}(X, Y) &= \left(\frac{x}{1 - z}, \frac{y}{1 - z}\right),\\
(x, y, z) &= \left(\frac{2 X}{1 + X^2 + Y^2}, \frac{2 Y}{1 + X^2 + Y^2}, \frac{-1 + X^2 + Y^2}{1 + X^2 + Y^2}\right).\end{align}</math>

În [[coordonate sferice |coordonatele sferice]], ({{mvar|φ, θ}}) pe sferă (cu unghiul zenital {{math|0 ≤ ''φ'' ≤ π}}, și [[azimut]]ul {{math|0 ≤ ''θ'' ≤ 2π}}) și [[coordonate polare |coordonatele polare]] ({{mvar|(R, Θ}}) pe plan, proiecția și inversa sa sunt date de formulele:
:<math>\begin{align}(R, \Theta) &= \left(\frac{\sin \varphi}{1 - \cos \varphi}, \theta\right) = \left(\cot\frac{\varphi}{2}, \theta\right),\\
(\varphi, \theta) &= \left(2 \arctan \frac{1}{R}, \Theta\right).\end{align}</math>

Aici se consideră că <math>\varphi=\pi \,</math> când {{mvar|R}} = 0. Folosind identitățile trigonometrice aceste relații pot avea și alte forme.

În [[coordonate cilindrice |coordonatele cilindrice]] ({{mvar|r, θ, z}}) pe sferă și coordonatele polare ({{mvar|R, Θ}}) pe plan, proiecția și inversa sa sunt date de formulele:
:<math>\begin{align}(R, \Theta) &= \left(\frac{r}{1 - z}, \theta\right),\\
(r, \theta, z) &= \left(\frac{2 R}{1 + R^2}, \Theta, \frac{R^2 - 1}{R^2 + 1}\right).\end{align}</math>

=== Alte proiecții ===
[[Fișier:Stereoprojnegone.svg|thumb|Secțiune printr-o sferă unitate ilustrând proiecția stereografică a sferei unitate din ''polul nord'' pe planul ''z''&nbsp;=&nbsp;−1]]
Unii autori<ref>Cf. Apostol (1974) p.&nbsp;17.</ref> definesc proiecția stereografică din ''polul nord'' (0,&nbsp;0,&nbsp;1) pe planul {{mvar|z}}&nbsp;=&nbsp;−1, care este [[tangentă (geometrie)|
tangent]] la sfera unitate în ''polul sud'' (0,&nbsp;0,&nbsp;−1). Valorile {{mvar|X}} și {{mvar|Y}} rezultate din această proiecție sunt exact duble față de cele rezultate din proiecția ecuatorială. De exemplu, în această proiecție ecuatorul apare ca un cerc cu raza 2 și centrul în polul sud. În timp ce proiecția ecuatorială nu produce nicio distorsiune a zonei infinitezimale de-a lungul ecuatorului, această proiecție tangentă la pol nu produce nicio distorsiune a zonei infinitezimale de la polul sud.

Alți autori<ref name=Gelfand_M_S>{{harvnb|Gelfand|Minlos|Shapiro|1963}}</ref> folosesc o sferă cu raza {{sfrac|1|2}} și un plan {{mvar|z}}&nbsp;=&nbsp;−{{sfrac|1|2}}. În acest caz relațiile devin:
:<math>\begin{align}(x,y,z) \rightarrow (\xi, \eta) &= \left(\frac{x}{\frac{1}{2} - z}, \frac{y}{\frac{1}{2} - z}\right),\\
(\xi, \eta) \rightarrow (x,y,z) &= \left(\frac{\xi}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{\eta}{1 + \xi^2 + \eta^2}, \frac{-1 + \xi^2 + \eta^2}{2 + 2\xi^2 + 2\eta^2}\right).\end{align}</math>

[[Fișier:StereographicGeneric.svg|thumb|Secțiune printr-o sferă unitate ilustrând proiecția stereografică a sferei unitate din punctul ''Q'' pe planul ''E'']]
În general, se poate defini o proiecție stereografică din orice punct {{mvar|Q}} de pe sferă pe orice plan {{mvar|E}} astfel încât:
* {{mvar|E}} este perpendicular pe diametrul care trece prin {{mvar|Q}} și
*{{mvar|E}} nu-l conține pe {{mvar|Q}}.
Cât timp {{mvar|E}} satisface aceste condiții, orice punct {{mvar|P}} altul decât {{mvar|Q}} se poate proiecta de-a lungul dreptei <math>\overline{QP} \,</math> pe {{mvar|E}} în punctul {{mvar|P′}}, care este prin definiție proiecția stereografică a lui {{mvar|P}} pe {{mvar|E}}.<ref>Cf. Pedoe (1988).</ref>

=== Generalizări ===
Mai general, proiecția stereografică poate fi aplicată unei [[n-sferă|''n''-sfere]] unitate {{mvar|S<sup>''n''</sup>}} în [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] (''n''+1)-dimensional '''E'''<sup>''n''+1</sup>. Dacă {{mvar|Q}} este un punct al {{mvar|S<sup>n</sup>}} și {{mvar|E}} un [[hiperplan]] în '''E'''<sup>''n''+1</sup>, atunci proiecția stereografcă a punctului <math>P \in S^n-\{ Q \} \,</math> este punctul {{mvar|P′}} al intersecției dintre dreapta <math>\overline{QP} \,</math> cu {{mvar|E}}. În coordonatele carteziene (<math>x_i, i=1,\ldots,n \,</math>) pe {{mvar|S<sup>n</sup>}} și <math>X_i, i=1,\ldots,n \,</math>) pe {{mvar|E}}, proiecția din <math>Q=(1,0,0,\ldots,0) \in S^n \,</math> este dată de:
:<math>X_i = \frac{x_i}{1 - x_0} \quad (i\text{ de la }1\text{ la }n)</math>.
Notând
:<math>s^2=\sum_{j=1}^n X_j^2=\frac{1+x_0}{1-x_0}</math>,
inversa este dată de
:<math>x_0 = \frac{s^2-1}{s^2+1} \quad\text{ și }\quad x_i = \frac{2 X_i}{s^2+1} \quad (i\text{ de la }1\text{ la }n)</math>.

Mai general, fie {{mvar|S}} o [[hipersuprafață]] cuadrică (nesingulară) în [[spațiu proiectiv |spațiul proiectiv]] '''P'''<sup>''n''+1</sup>, adică {{mvar|S}} este locul zerourilor formei cvadratice nesingulare <math>f(x_0,\ldots,x_{n+1}) \,</math> în [[coordonate omogene |coordonatele omogene]] {{mvar|x}}<sub>''i''</sub>. Se alege un punct {{mvar|Q}} pe {{mvar|S}} și un hiperplan {{mvar|E}} în '''P'''<sup>''n''+1</sup> fără {{mvar|Q}}. Atunci proiecția stereografică a punctului {{mvar|P}} de pe {{mvar|S}}&nbsp;− &#123;{{mvar|Q}}&#125; este intersecția dreptei <math>\overline{QP} \,</math> cu {{mvar|E}}. Ca și în cazurile precedente, proiecția stereografică este una conformă și inversabilă cu excepția unui set mic de puncte. Proiecția stereografică prezintă hipersuprafața cuadrică ca o [[varietate rațională |hipersuprafață rațională]].<ref>Cf. Shafarevich (1995).</ref> Această construcție are aplicații în [[geometrie algebrică |geometria algebrică]] și [[geometrie conformă |geometria conformă]].

== Proprietăți ==
Proiecția ecuatorială plasează polul sud (0,&nbsp;0,&nbsp;−1) a sferei unitate pe planul de proiecție la (0,&nbsp;0), ecuatorul pe [[cercul unitate]], emisfera sudică în [[interior (topologie) |interiorul]] cercului iar cea nordică în exteriorul cercului.

Pentru punctul de proiecție {{mvar|N}}&nbsp;=&nbsp;(0,&nbsp;0,&nbsp;1) proiecția nu este definită. Vecinătățile apropiate ale acestui punct sunt proiectate în zone ale planului departe de (0,&nbsp;0). Cu cât un punct din {{mvar|P}} este mai aproape de (0,&nbsp;0,&nbsp;1), cu atât imaginea sa este mai îndepărtată de (0,&nbsp;0) în plan. Din acest motiv se spune că (0,&nbsp;0,&nbsp;1) este proiectat în plan „la infinit”, și despre sferă ca o completare a planului prin adăugarea acestui [[punct de la infinit]]. Această noțiune își găsește aplicații în [[geometrie proiectivă |geometria proiectivă]] și analiza complexă. La un nivel [[topologie |topologic]], acesta ilustrează modul în care sfera prin [[extensia Alexandroff |compactarea cu un punct]] devine [[homeomorfism |homeomorfă]] cu planul.

În coordonate carteziene un punct {{mvar|P}}(''x'', ''y'', ''z'') de pe sferă și imaginea sa {{mvar|P'}}(''X'', ''Y'') din plan sunt sau ambele [[punct rațional |puncte raționale]] sau ambele nu:
: <math>P \in \mathbb Q^3 \iff P' \in \mathbb Q^2</math>
{{imagine multiplă
| direction = vertical
| width = 300
| image1 = CartesianStereoProj.png
| caption1 = O grilă carteziană din plan apare distorsionată pe sferă. Liniile grilei sunt încă perpendiculare, dar zonele pătratelor grilei se micșorează pe măsură ce se apropie de polul nord.
| image2 = PolarStereoProj.png
| caption2 = O grilă polară din plan apare distorsionată pe sferă. Curbele rețelei sunt încă perpendiculare, dar zonele sectoarelor rețelei se micșorează pe măsură ce se apropie de polul nord.
}}
Proiecția stereografică este conformă, ceea ce înseamnă că conservă unghiurile la care curbele se intersectează (vezi figurile). Pe de altă parte, proiecția stereografică nu conservă aria; în general, aria unei regiuni a sferei nu este egală cu aria proiecției sale pe plan. Elementul de zonă este dat la coordonatele ({{mvar|X, Y}}) de
:<math>dA = \frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; dX \; dY.</math>

De-a lungul cercului unitate, unde <math>X^2+Y^2=1, \,</math> nu există o deformare a zonei alăturate, oferind un [[factor de scară]] de 1. Aproape de (0,&nbsp;0) zonele sunt deformate (micșorate) cu un factor de 4, iar zonele apropiate de infinit sunt deformate cu factori arbitrar de mici.

Metrica este dată la coordonatele ({{mvar|X, Y}}) de
:<math> \frac{4}{(1 + X^2 + Y^2)^2} \; ( dX^2 + dY^2),</math>
care este unica formulă care există în ''Habilitationsschrift'' ({{ro|Lucrare de abilitare}} = teză de doctorat) a lui [[Bernhard Riemann]] despre fundamentele geometriei, cu titlul ''Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen'' ({{ro|Despre ipotezele pe care se bazează geometria}}) susținută în 1854 la Göttingen.

Nicio hartă a unei sfere pe un plan nu poate fi atât conformă, cât și să conserve ariile. Dacă ar fi, atunci ar fi o [[izometrie]] locală și ar păstra [[curbură Gaussiană |curbura Gaussiană]]. Sfera și planul au curburi gaussiene diferite, deci acest lucru este imposibil.

Cercurile de pe sferă care nu trec prin punctul de proiecție sunt proiectate ca cercuri și în planul de proiecție. Cercurile care trec prin punctul de proiecție sunt proiectate în planul de proiecție ca drepte. Uneori aceste drepte sunt considerate cercuri care trec printr-un punct la infinit, adică cercuri cu rază infinită.

Atunci când sunt transformate în cercuri pe sferă prin inversa proiecției stereografice, toate dreptele din plan se întâlnesc în punctul de proiecție. Dreptele paralele, care nu se intersectează în plan, sunt transformate în cercuri tangente în punctul de proiecție. [[Drepte concurente|Dreptele care se intersectează]] în plan sunt transformate în cercuri care se intersectează în două puncte ale sferei, dintre care unul este punctul de proiecție. (Observații similare sunt valabile pentru planul proiectiv real, dar relațiile de intersecție sunt diferite acolo.)

== Rețeaua Wulff ==
[[Fișier:Sphere-stgrpr-wn.svg|400px|thumb|Generarea unei rețele Wulff (în cercul roșu) printr-o proiecție stereografică cu centrul „C” și planul de proiecție <math>\pi</math>]]
[[Fișier:Wulffnet.svg|thumb|Rețeaua Wulff folosită pentru proiecții stereografice executate manual]]
Proiecțiile stereografice pot fi realizate cu un calculator folosind formulele explicite de mai sus. Însă pentru trasarea manuală aceste formule sunt laborioase. Practic se utilizează o hârtie cu un caroiaj conceput special pentru această sarcină. Această hârtie milimetrică specială este numită în literatura în limba engleză ''stereonet'' sau ''Wulff net'', după mineralogul rus [[George Wulff]].<ref>{{de icon}} Wulff, George, Untersuchungen im Gebiete der optischen Eigenschaften isomorpher Kristalle: Zeits. Krist.,36, 1–28 (1902)</ref>

Rețeaua Wulff prezentată este proiecția stereografică a [[latitudine |paralelelor]] și [[meridian geografic |meridianelor]] de pe o [[Emisferă (geografie) |emisferă]] a [[Pământ]]ului, centrată într-un punct de pe ecuator și poate reprezenta o emisferă, cum ar fi cea estică sau cea vestică.

Pe figură se pot vedea distorsiunile ariilor într-o proiecție stereografică prin compararea unui pătrat al grilei din apropierea centrului rețelei cu unul în extrema dreaptă sau stânga. Cele două pătrate reprezintă zone egale pe sferă. Pe disc, cele de pe margini au de aproape patru ori suprafața celor din mijloc. Cu cât grila este mai fină, cu atât acest raport se apropie de 4.

În rețeaua Wulff imaginile paralelelor și meridianelor se intersectează în unghi drept. Această proprietate de ortogonalitate este o consecință a proprietății de conservare a unghiuor într-o proiecție stereoscopică. (În proiecția stereoscopică proprietatea de conservare a unghiurilor este mai generală decât intersecția perpendiculară a liniilor acestui caroiaj. Nu toate proiecțiile care păstrează ortogonalitatea acestui caroiaj conservă toate unghiurile.)

[[Fișier:Wulffnetanimation.gif|thumb|Pașii 1-4 la reprezentarea unui punct într-o rețea Wulff]]
La reprezentarea manuală se folosesc două exemplare identice ale rețelei Wulf una deasupra celeilalte, cea de deasupra fiind (semi)transparentă și aliniate cu un ac în centrul lor. Fie {{mvar|P}} un punct ale cărui coordonate sferice sunt (140°,&nbsp;60°) și ale cărui coordonate carteziene sunt (0,321,&nbsp;0,557,&nbsp;–0,766). Acest punct se află pe o linie orientată 60° în sens invers acelor de ceasornic de la axa pozitivă ''x'' (sau 30° în sensul acelor de ceasornic de la axa pozitivă ''y'') și 50° sub planul orizontal {{mvar|z}}&nbsp;=&nbsp;0. Odată ce aceste unghiuri sunt cunoscute, se fac patru pași pentru trasarea {{mvar|P}}:

# Utilizând liniile de rețea, care în figurile de aici sunt distanțate la 10°, se marchează punctul de pe marginea rețelei de sus, care este la 60° în sens invers acelor de ceasornic de la punctul (1,&nbsp;0) (sau la 30° în sensul acelor de ceasornic de la punctul (0,&nbsp;1)).
# Se rotește rețeaua de sus până când acest punct este aliniat cu (1,&nbsp;0) de pe rețeaua de jos.

# Folosind liniile de pe rețeaua de jos, se marchează punctul care este la 50° spre centru din acel punct.
# Se rotește rețeaua de sus invers decât la pasul 2 pentru a o alinia cu rețeaua inferioară. Punctul marcat la pasul 3 este proiecția dorită.

Pentru a trasa alte puncte, ale căror unghiuri nu sunt numere rotunde precum 60° și 50°, se face o interpolare vizuală între cele mai apropiate linii ale grilei. Uzual se folosesc rețele caroiate mai fin de 10°, frecvent la 2°.
{{-}}
== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite book|author=Apostol, Tom|title=Mathematical Analysis|edition=2|publisher=Addison-Wesley|year=1974|isbn=0-201-00288-4}}
* {{en icon}} {{cite conference | first = Daniel  | last = German |author2=Burchill, L. |author3=Duret-Lutz, A. |author4=Pérez-Duarte, S.  |author5=Pérez-Duarte, E. |author6=Sommers, J.
  | title = Flattening the Viewable Sphere. Proceedings of Computational Aesthetics
  | pages = 23&ndash;28
  | publisher = Eurographics
  | date = June 2007
  | location = Banff}}
* {{en icon}} {{citation|first1=I.M.|last1=Gelfand|first2=R.A.|last2=Minlos|first3=Z.Ya.|last3=Shapiro|title=Representations of the Rotation and Lorentz Groups and their Applications|publisher=Pergamon Press|location=New York|year=1963|author-link1=Israel Gelfand|author-link2=Robert Adolfovici Minlos}}
* {{en icon}} {{cite journal | author=Elkins, James | title = Did Leonardo Develop a Theory of Curvilinear Perspective?: Together with Some Remarks on the 'Angle' and 'Distance' Axioms | year=1988 | pages =190&ndash;196 | journal=Journal of the Warburg and Courtauld Institutes | volume = 51 | doi=10.2307/751275 | jstor=751275 | publisher=The Warburg Institute}}
* {{en icon}} {{cite book|author=Pedoe, Dan | title=Geometry|publisher=Dover|year=1988|isbn=0-486-65812-0}}
* {{en icon}} {{cite book|author=Shafarevich, Igor|title=Basic Algebraic Geometry I|publisher=Springer|year=1995|isbn=0-387-54812-2|url-access=registration|url=https://archive.org/details/basicalgebraicge00irsh}}
* {{en icon}} {{cite book
  | last = Snyder
  | first = John P.
  | title = Map Projections − A Working Manual, Professional Paper 1395
  | publisher = US Geological Survey
  | year = 1987}}
* {{en icon}} {{cite book
  | last = Snyder
  | first = John P.
  | title = An Album of Map Projections, Professional Paper 1453
  | publisher = US Geological Survey
  | year = 1989}}
* {{en icon}} {{cite book  | last = Snyder | first = John P. | author-link = John P. Snyder| title = Flattening the Earth | publisher = University of Chicago | year = 1993 | isbn = 0-226-76746-9}}

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} {{cite book|author1=Brown, James  |author2=Churchill, Ruel  |name-list-style=amp |title=Complex variables and applications | location=New York | publisher=McGraw-Hill | year=1989 |isbn=0-07-010905-2}}
* {{en icon}} {{citation|last=Casselman|first=Bill|year=2014|title=Feature column February 2014:Stereographic Projection|publisher=[[American Mathematical Society|AMS]]|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fc-2014-02|access-date=2014-12-12}}
* {{en icon}} {{cite book|author1=Do Carmo |author2=Manfredo P. |title=Differential geometry of curves and surfaces | location=Englewood Cliffs, New Jersey | publisher=Prentice Hall | year=1976 |isbn=0-13-212589-7}}
*{{cite book|author=Oprea, John |title=Differential geometry and applications | location=Englewood Cliffs, New Jersey | publisher=Prentice Hall | year=2003 |isbn=0-13-065246-6}}
*{{cite book|author=Spivak, Michael |title=A comprehensive introduction to differential geometry, Volume IV | location=Houston, Texas | publisher=Publish or Perish | year=1999 |isbn=0-914098-73-X}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Stereographic projection|Proiecție stereografică}}
* {{en icon}} {{Youtube|QqxNpYQYTFA|Proof}} Demonstrație că în proiecția stereografică cercurile de pe sferă se proiectează în plan tot ca cercuri.
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = StereographicProjection | title = Stereographic projection}}
* {{en icon}} [http://planetmath.org/encyclopedia/StereographicProjection.html Stereographic Projection] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20130310054530/http://planetmath.org/encyclopedia/StereographicProjection.html |date=2013-03-10 }} la ''PlanetMath''
* {{en icon}} [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/StereoProAndInversion.shtml Stereographic Projection and Inversion] la ''Cut-the-Knot''
* {{en icon}} [http://www.doitpoms.ac.uk/tlplib/stereographic/index.php DoITPoMS Teaching and Learning Package - "The Stereographic Projection"]

;Software
* {{en icon}} [https://code.google.com/p/transformation-crystallography-lab/ Free and open source python program for stereographic projection - PTCLab]
* {{en icon}} [http://sourceforge.net/projects/sphaerica Sphaerica software is capable of displaying spherical constructions in stereographic projection]
* {{en icon}} [http://torus.math.uiuc.edu/jms/java/stereop/ Three dimensional Java Applet] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210126034317/http://torus.math.uiuc.edu/jms/java/stereop/ |date=2021-01-26 }}

{{Portal|Matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Geometrie proiectivă]]
[[Categorie:Proiecții conforme]]
[[Categorie:Proiecții cartografice]]