Vizualizare sursă pentru „Proiecție ortogonală”

'''Proiecția ortogonală''' este un mijloc de reprezentare a obiectelor [[Spațiu tridimensional |tridimensionale]] în [[Spațiu bidimensional |spațiul cu două dimensiuni]]. Este o formă de [[proiecție paralelă]], în care toate liniile de proiecție sunt [[ortogonalitate |ortogonale]] față de [[plan de proiecție |planul de proiecție]],<ref name="maynard">{{en icon}} {{Cite book | last = Maynard | first = Patric | title = Drawing distinctions: the varieties of graphic expression | publisher = Cornell University Press | year = 2005 | pages = 22 | url = https://books.google.com/books?id=4Y_YqOlXoxMC&q=axonometric%20orthographic&pg=PA22 | isbn = 0-8014-7280-6}}</ref><ref>Moncea ș.a., ''Geometrie…'', p.&nbsp;39</ref> rezultând ca fiecare plan al scenei să apară în [[transformare afină]] pe suprafața de vizionare.

Dacă planul pe care se face proiecția paraleă nu este perpendicular pe direcția de proiectare, [[proiecție oblică |proiecția este oblică]] și este cunoscută uneori sub denumirea de '''proiecție ortografică'''. Termenul ''ortografic'' este uneori rezervat în mod specific pentru descrieri de obiecte în care axele sau planurile principale ale obiectului sunt, de asemenea, paralele cu planul de proiecție.<ref name = "maynard"/> dar acestea sunt mai cunoscute drept ''proiecții cu vederi multiple''<ref>Moncea ș.a., ''Geometrie…'', p.&nbsp;47</ref> ({{en|multiview projections}}). Proiecția oblică este folosită pentru a reprezenta mai multe laturi ale obiectului, caz în care proiecția este numită [[proiecție axonometrică]].<ref name=G50>Moncea ș.a., ''Geometrie…'', p.&nbsp;50</ref> Proiecția axonometrică poate fi [[proiecție izometrică |''izometrică'']], ''dimetrică'' sau ''trimetrică'' (''anizometrică'').<ref name=G51>Moncea ș.a., ''Geometrie…'', pp.&nbsp;51–53</ref>

== Geometrie ==
[[Fișier:Graphical projection comparison.png|thumb|300px|Compararea mai multor tipuri de proiecție grafică]]
[[Fișier:Various projections of cube above plane.svg|thumb|300px|Diferite proiecții și modul în care sunt produse]]
O [[proiecție (algebră liniară) |proiecție]] ortografică simplă pe un [[plan (matematică) |plan]] ''z''&nbsp;=&nbsp;0 poate fi definită de următoarea matrice:
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
</math>

Pentru fiecare punct ''v'' = (''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>), transformata punctului ''Pv'' va fi
:<math>
Pv = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0  \\
0 & 1 & 0  \\
0 & 0 & 0  \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ 0
\end{bmatrix}
</math>

Adesea, este mai util să se folosească [[coordonate omogene]]. Transformarea de mai sus poate fi reprezentată în coordonate omogene ca
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

Pentru fiecare vector omogen ''v'' = (''v''<sub>''x''</sub>, ''v''<sub>''y''</sub>, ''v''<sub>''z''</sub>, 1), transformata vectorului ''Pv'' va fi
:<math>
Pv = 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1
\end{bmatrix}
</math>

În [[grafică digitală |grafica digitală]], una dintre cele mai frecvente matrice utilizate pentru proiecția ortografică poate fi definită de un [[n-tuplu |6-tuplu]], (''stânga'', ''dreapta'', ''jos'', ''sus'', ''față'', ''spate''), care definește planele. Într-un sistem de axe ortogonale ''pe dreapta'', aceste plane formează o casetă cu colțul „minim” în (''stânga'', ''jos'', &minus;''față'') și colțul „maxim” în (''dreapta'', ''sus'', &minus;''spate'').

Caseta este [[translație (geometrie) |translatată]] astfel încât centrul său să fie în origine, apoi este redusă la cubul unității care este definit prin având un colț minim la (&minus;1,&nbsp;&minus;1,&nbsp;&minus;1) și un colț maxim la (1,&nbsp;1,&nbsp;1).

Transformarea ortografică poate fi dată de următoarea matrice:
:<math>
P = 
\begin{bmatrix}
\frac{2}{dreapta-stanga} & 0 & 0 & -\frac{dreapta+stanga }{dreapta-stanga} \\
0 & \frac{2}{sus-jos} & 0 & -\frac{sus+jos}{sus-jos} \\
0 & 0 & \frac{-2}{spate-fata} & -\frac{spate+fata}{spate-fata} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

care poate fi adusă prin [[scalare (geometrie)|scalarea]] ''S'' urmată de translația ''T'' la forma
:<math>
P = ST = 
\begin{bmatrix}
\frac{2}{dreapta-stanga} & 0 & 0 & 0 \\
0 & \frac{2}{sus-jos} & 0 & 0 \\
0 & 0 & \frac{2}{spate-fata} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & -\frac{stanga+dreapta}{2} \\
0 & 1 & 0 & -\frac{sus+jos}{2} \\
0 & 0 & -1 & -\frac{spate+fata}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

Inversa matricei de proiecție ''P''<sup>−1</sup>, care poate fi utilizată ca matrice de inversare a proiecției este:
<math>
P^{-1} = 
\begin{bmatrix}
\frac{dreapta-stanga}{2} & 0 & 0 & \frac{stanga+dreapta}{2} \\
0 & \frac{sus-jos}{2} & 0 & \frac{sus+jos}{2} \\
0 & 0 & \frac{spate-fata}{-2} &  -\frac{spate+fata}{2} \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
</math>

== Subtipuri ==
[[Fișier:Convention placement vues dessin technique.svg|thumb|300px|Indicații privind plasarea vederilor: obiectul plasat în primul cvadrant (stânga) respectiv într-al treilea (dreapta)]]
[[File:comparison_of_graphical_projections.svg|thumb|300px|Comparație a diferitelor tipuri de proiecții]] 
{{Articol principal|Desen tehnic|Proiecție axonometrică}}
În [[desen tehnic |desen tehnic]] se pot folosi mai multe proiecții „vederi”, din care 6 pot fi paralele cu axele de coordonate, dar se pot face proiecții și în alte direcții, după necesități. Există două sisteme de amplasare a vederilor: cel în care obiectul este plasat în „primul cvadrant” („în fața foii de hârtie”), folosit în special în [[Europa]], inclusiv în [[România]], și cel în care obiectul este plasat în „al treilea cvadrant” („în spatele foii de hârtie”), folosit în special în [[SUA]]. De obicei trei dintre vederi (uneori chiar doar două) sunt suficiente pentru descrierea obiectului, vederile respective numindu-se „vederea din față” (sau „proiecția principală”), „vederea de sus”, respectiv „vederea laterală” (de obicei „vederea din stânga”, plasată în dreapta vederii din față).<ref>Moncea ș.a., ''Geometrie…'', pp.&nbsp;46–49</ref> În desen mai pot să apară proiecții ale ''secțiunilor'', sau alte „vederi”, din diferite direcții.

Termenul de ''proiecție axonometrică'' este folosit pentru a descrie un tip de proiecție paralelă în care planele axelor obiectului proiectat nu sunt paralele cu planele pe care este proiectat, astfel încât într-o vedere sunt vizibile mai multe laturi ale obiectului.<ref name=G50/><ref>{{en icon}} {{Cite book | last = Mitchell | first = William |author2=Malcolm McCullough | title = Digital design media | publisher = John Wiley and Sons | date = 1994 | pages = 169 | url = https://books.google.com/books?id=JrZoGgQEhKkC&q=axonometric+orthographic&pg=PA169 | isbn = 0-471-28666-4}}</ref> Proiecția axonometrică poate fi ''izometrică'', ''dimetrică'' sau ''trimetrică'' (''anizometrică'') în funcție de unghiul pe care-l fac axele obiectului față de sistemul ortogonal de coordonate.<ref name="maynard"/><ref name=G51/><ref name="mcreynolds">{{en icon}} {{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=H4eYq7-2YhYC&q=axonometric+orthographic&pg=PA502|title=Advanced graphics programming using openGL|last=McReynolds|first=Tom|date=2005|publisher=Elsevier|isbn=1-55860-659-9|pages=502|author2=David Blythe}}</ref> O caracteristică obișnuită a proiecției axonometrice (și a altor imagini) este că una dintre axele obiectului este plasată vertical.

== Cartografie ==
{{Articol principal|Proiecție cartografică}}
[[Fișier:Orthographic projection SW.jpg|thumb|Proiecție ortografică ecuatorială a emisferei estice 30°V&ndash;150°E]]
O hartă în proiecție ortografică este o [[proiecție cartografică]]. La fel ca [[proiecție stereografică |proiecțiile stereografică]] și [[proiecție gnomonică |gnomonică]], proiecția ortografică este o [[perspectivă |proiecție în perspectivă]] (sau azimutală), în care o [[sferă]] este proiectată pe un [[plan tangent]] sau [[plan secant]]. ''Centrul de perspectivă'' pentru proiecția ortografică este la [[infinit]]. Harta prezintă o [[Sferă|emisferă]] a [[Pământ]]ului așa cum apare din [[spațiul cosmic]], unde [[orizont]]ul este un [[cerc mare]]. Formele și zonele sunt distorsionate, în special în apropierea marginilor.<ref name="SnyderWorkingManual">{{en icon}} {{Cite book | author=Snyder, J. P.| title=Map Projections—A Working Manual (US Geologic Survey Professional Paper 1395) | publisher=US Government Printing Office | location=Washington, D.C.| year=1987 | pages=145–153}}</ref><ref name="Snyder16">{{en icon}} Snyder, John P. (1993). ''Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections'' pp. 16–18. Chicago and London: The University of Chicago Press. {{ISBN|0-226-76746-9}}.</ref>

Proiecția ortografică este cunoscută încă din antichitate, utilizările sale cartografice fiind bine documentate. [[Hiparh]] a folosit proiecția în secolul al II-lea&nbsp;î.Hr. În jurul anului 14&nbsp;î.Hr., inginerul roman [[Vitruviu]] a folosit proiecția pentru a construi [[Ceas solar |ceasuri solare]] și pentru a calcula pozițiile solare.<ref name="Snyder16"/> Se pare că Vitruviu ar fi fost cel ce ar fi conceput termenul „ortografic”, din {{gr|ορθο}}&nbsp;= ''corect'' și ''γραφή''&nbsp;= "scriere". Totuși, denumirea comună până în 1613 a fost ''[[analemma]]'', care însemna și un ceas solar care arată latitudinea și longitudinea, denumirea actuală fiind promovată de [[François d'Aguilon]] din [[Anvers]].<ref name="Snyder16"/>

Cele mai vechi hărți în asemenea proiecție care au supraviețuit apar pe gravuri în lemn ale globurilor terestre din 1509 (anonim), 1533 și 1551 (Johannes Schöner) și 1524 și 1551 (Apian).<ref name="Snyder16"/>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* Jean Moncea, Alexandtru Săucan (coord.), Teodor Tacorian, Alexandru Tomuța, ''Geometrie descriptivă și desen tehnic: Partea a II-a Desen industrial'', Ed. a II-a, București: Ed. Didactică și Pedagogică, 1970

== Vezi și ==
* [[Vedere secționată]]
* [[vedere expandată]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
{{Portal|Industrie}}
* {{Commonscat-inline|Orthographic projections}}
* {{de icon}} [http://www.3doro.de/axon.htm Normale (orthogonale) Axonometrie]
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20160402021438/http://www.globmaritime.com/martech/marine-navigation/general-concepts/6573-orthographic-projection Orthographic Projection Video and mathematics]

[[Categorie:Geometrie euclidiană]]
[[Categorie:Proiecții grafice|ortogonală]]
[[Categorie:Algebră liniară]]