Vizualizare sursă pentru „Problema piesei de cinci lei”

{{Titlu cursiv}}
'''Problema piesei de cinci lei''' este o [[teoremă]] remarcabilă din [[geometrie plană|geometria plană]], descoperită de [[Gheorghe Țițeica]] în timp ce desena [[cerc]]uri cu o [[monedă]] de 5 lei (de unde și numele acesteia).

''Teoremă''.
Trei cercuri având razele egale se intersectează într-un punct. Luându-se două câte două, se obțin încă trei puncte de intersecție.
Cercul determinat de aceste trei puncte are raza egală cu raza cercurilor date.

''Demonstrație''.
Se consideră un [[triunghi]] '''ABC'''.
Fie <math>\mathcal C(I, r), \!</math> respectiv <math>\mathcal C(O, R), \!</math> [[cerc înscris într-un triunghi|cercul înscris]], respectiv [[cerc circumscris|cercul circumscris]] triunghiului '''ABC'''.
Se consideră [[inversiune (geometrie)|inversiunea]] <math>i_{I, -R^2 + OI^2}. \!</math>
Cercul <math>\mathcal C(O, R) \!</math> se va transforma prin '''i''' tot într-un cerc.

Fie <math>A', B', C' \!</math> punctele de intersecție ale bisectoarelor <math>[AI, [BI, [CI \!</math> cu cercul <math>\mathcal C(O, R). \!</math>
Folosind [[puterea unui punct față de un cerc|puterea punctului]] '''I''' față de cercul <math>\mathcal C(O, R), \!</math> rezultă relațiile:
:<math>IA \cdot IA' = IB \cdot IB' = IC \cdot IC' = R^2 - OI^2, \!</math>
de unde
:<math>A'=i(A), \; B'= i(B), \; C'=i(C). \!</math>

Aceste trei egalități arată că:
:<math>T(\mathcal C(O, R)) = \mathcal C(O, R). \!</math>

Dreapta '''BC''' (care nu trece prin polul de inversiune '''I''') se va transforma prin '''i''' într-un cerc care trece prin punctele <math>I, B', C', \!</math> astfel încât [[tangentă (geometrie)|tangenta]] în '''I''' la acest cerc este paralelă cu '''BC'''.
Fie '''D''' punctul de contact al cercului înscris cu latura '''[BC]'''.
Deoarece <math>ID \perp BC, \!</math> rezultă că <math>D'=i(D) \!</math> va fi punctul diametral opus lui '''I''' în cercul circumscris triunghiului <math>IB'C'. \!</math>
Atunci:
:<math>ID \cdot ID' =R^2- OI^2. \!</math>

Dacă se notează cu <math>2R_1 \!</math> lungimea diametrului <math>[ID'], \!</math> atunci, ultima [[egalitate (matematică) |egalitate]] se scrie:
:<math>r \cdot 2R_1 = R^2 - OI^2. \!</math>

Din această egalitate și din egalitatea lui Euler în triunghiul ''ABC'' &nbsp;<math> OI^2 = R^2 - 2 Rr, </math>&nbsp; se obține:
:<math> R_1 = R. </math>

== Vezi și ==
* [[Teorema lui Pompeiu]]

[[Categorie:Geometria triunghiului]]
[[Categorie:Teoreme de geometrie]]