Vizualizare sursă pentru „Principiul Cantor-Dedekind”

'''Principiul Cantor-Dedekind''' pune în evidență o proprietate importantă de ordonare a [[număr real|numerelor reale]], fiind la baza multor [[teoremă|teoreme]] fundamentale ale [[analiză matematică|analizei matematice]].
Mai este denumit și '''principiul de localizare al lui Cantor'''.

Este asociat cu numele [[matematician|matematicienilor]] [[Georg Cantor]] și [[Richard Dedekind]].

== Enunț ==
Pentru orice familie numărabilă de [[interval (matematică)|intervale]] [[mulțime închisă|închise]] <math>I_n= [a_n, b_n] \!</math> cu <math>I_{n+1} \subset I_n \!</math>  avem că <math>\bigcap_{n \in \mathbb N} I_n \neq \varnothing. \!</math>

== Demonstrație ==
Din <math>I_{n+1} \subset I_n \!</math> se deduc inegalitățile:

::<math>a_1 < a_2 < \ldots < a_n < \ldots < b_m < \ldots < b_2 < b_1, \!</math>

deoarece în caz contrar, adică dacă ar exista <math>n_0, m_0 \!</math> [[număr natural|numere naturale]] cu <math>b_{m0}< a_{n0} \!</math> atunci luând <math>k = \max \{ n_0, m_0 \} \!</math> s-ar obține <math>b_{m0}< a_{n0}< a_k < b_k \!</math> absurd pentru <math>m_0 < k. \!</math>

Mulțimea <math>A= \{ a_n, \; n \in \mathbb N  \} \!</math>este majorată superior deci există <math>\alpha = \sup A. \!</math>

Avem că <math>\alpha < b_m, \; \forall m \in \mathbb N. \!</math>
Într-adevăr, în caz contrar ar exista un <math>m_0 \in \mathbb N \!</math> cu <math>b_{m0}< \alpha \!</math> și în consecință există și un <math>a_{n1} \!</math> cu <math>b_{m0}< a_{n1}< \alpha \!</math> ceea ce contravine faptului că cele două familii de numere reale sunt [[mulțimi disjuncte|disjuncte]].

Mulțimea <math>B = \{ b_m, \; m \in \mathbb N \} \!</math> este minorată inferior deci există <math>\beta = \inf B. \!</math>
Urmând același raționament rezultă că <math>a_n < \beta, \; \forall n \in \mathbb N. \!</math>

Se arată prin [[reducere la absurd]] că <math>\alpha < \beta. \!</math>

Dacă <math>\beta \le \alpha \!</math> atunci există <math>a_n \!</math> cu <math>\beta < a_n < \alpha \!</math> și având în vedere prima inegalitate rezultă că există un <math>b_m \!</math> cu <math>\beta < b_m < a_n \!</math> fapt care conduce tot la o contradicție.
Așadar <math>\alpha \!</math> și <math>\beta \!</math> sunt două numere reale cu proprietatea că <math>a_n< \alpha < \beta< b_n \!</math> pentru orice <math>n \in \mathbb N \!</math> și în consecință rezultă că intersecția familiei de intervale este nevidă conținând intervalul <math>[\alpha, \beta]. \!</math>

== Consecințe ==
Teorema poate fi utilizată pentru demonstrarea [[teorema Weierstrass-Bolzano|teoremei Weierstrass-Bolzano]].

== Legături externe ==
* {{en icon}} [http://mathworld.wolfram.com/CantorsIntersectionTheorem.html Wolfram MathWorld]

{{Ciot-matematică}}

[[Categorie:Analiză matematică]]