Vizualizare sursă pentru „Prima stelare a dodecaedrului rombic”

{{imagine multiplă
| align = right
| direction = vertical
| width = 198
| header = '''Poliedrul lui Escher'''
| header_align = center
| image1 = Three flattened octahedra compound.png
| caption1  = Această imagine nu descrie [[stelare]]a, deoarece diferitele părți vizibile ale unei fețe hexagonale a stelării au culori diferite. Colorarea este o reprezentare a [[compus poliedric |compusului poliedric]] a trei [[octaedru |octaedre]] [[aplatizare |aplatizate]].
| image2 = Disdyakis_dodecahedron_3color.png
| caption2  = Din punct de vedere topologic poliedrul este echivalent cu [[dodecaedru disdiakis |dodecaedrul disdiakis]], care poate fi considerat un [[dodecaedru rombic]] cu piramide rombice mai scurte adăugate pe fiecare față.
}}
[[Fișier:first_rhombic_dodecahedron_stellation.stl|thumb|Model 3D al primei stelări a dodecaedrului rombic, divizat]]

În [[geometrie]] '''prima stelare a dodecaedrului rombic''' este un [[poliedru]] care se autointersectează, cu 12 [[față (geometrie) |fețe]], fiecare dintre ele fiind un [[hexagon]] [[poligon convex |neconvex]]. Este o [[stelare]] a [[dodecaedru rombic |dodecaedrului rombic]] și are aceeași [[formă]] exterioară și același aspect vizual ca și alte două forme: '''poliedrul lui Escher''', care are 48 de fețe [[triunghi]]ulare și [[compus de trei octaedre |compusul de trei octaedre]] care are 24 de fețe triunghiulare care se intersectează.

Poliedrul lui Escher poate [[teselare |tesela]] spațiul pentru a forma [[fagure dodecaedric rombic stelat |fagurele dodecaedric rombic stelat]].

== Stelare, poliedru și compus ==
Prima stelare a dodecaedrului rombic are 12 fețe, fiecare dintre ele fiind un hexagon neconvex.<ref name=grunbaum>{{en icon}} {{cite book
| last = Grünbaum | first = Branko | authorlink = Branko Grünbaum
| editor1-last = Garfunkel | editor1-first = Sol
| editor2-last = Nath | editor2-first = Rishi
| contribution = Can every face of a polyhedron have many sides?
| contribution-url = https://digital.lib.washington.edu/researchworks/bitstream/handle/1773/4593/Large_faces.pdf
| mr = 2512345
| pages = 9–26
| publisher = Comap, Inc., Bedford, MA
| title = Geometry, games, graphs and education: the Joe Malkevitch Festschrift
| year = 2008}}</ref> Este o stelare a dodecaedrului rombic, ceea ce înseamnă că fiecare dintre fețele sale se află în același plan cu una dintre fețele [[romb]]ice ale dodecaedrului rombic, fiecare față conținând rombul în același plan și că are aceleași [[simetrie |simetrii]] ca și dodecaedrul rombic. Este prima stelare, ceea ce înseamnă că niciun alt poliedru care se intersectează cu aceleași fețe și aceleași simetrii nu are fețe mai mici. Dacă se cere ca fețele să fie [[poligon simplu |poligoane simple]], extinderea lor în afară și mai departe în aceleași plane duce la încă două stelări.<ref name=luke>{{en icon}} {{cite journal
| last = Luke | first = Dorman
| doi = 10.2307/3609190
| journal = The Mathematical Gazette
| mr = 97015
| pages = 189–194
| title = Stellations of the rhombic dodecahedron
| volume = 41
| year = 1957}}</ref>

Pentru poliedre formate folosind numai fețe în aceleași 12 plane și cu aceleași simetrii, dar permițând ca fețele să nu fie simple, sau cu fețe multiple într-un singur plan, apar posibilități suplimentare.<ref name=luke/> În special prin îndepărtarea rombului interior de pe fiecare față hexagonală a stelării rămân patru triunghiuri, iar sistemul rezultat de 48 de triunghiuri formează un poliedru diferit, [[concavitate |concav]], fără autointersectări, care formează [[frontieră (topologie) |frontiera]] unei forme în spațiu, numită uneori ''poliedrul lui Escher''. Această formă apare în lucrările lui [[M. C. Escher]] ''{{ill-wd| Q2635126|Cascada (M. C. Escher)|Cascada}}'' și ''Studiu pentru Stele'' (deși ''{{ill-wd| Q7602298|Stele (M. C. Escher)|Stele}}'') în sine prezintă o formă diferită, [[compus de trei octaedre |compusul de trei octaedre]]).<ref name="hart">{{en icon}} {{cite web |url=http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/escher.html |last=Hart |first=George W. |authorlink=George W. Hart |title=The Polyhedra of M.C. Escher |work=Virtual Polyhedra |year=1996}}</ref> Deoarece stelarea și poliedrul concav au același aspect vizual, nu este posibil să se determine pe care dintre cele două a intenționat Escher să-l înfățișeze în ''Cascada''. În ''Studiu pentru stele'' Escher descrie poliedrul într-o formă scheletică care are laturi care fac parte din forma scheletică a poliedrului lui Escher, dar nu fac parte din stelare. (În stelare aceste [[segment (geometrie) |segmente]] sunt formate din încrucișări ale fețelor, nu din laturi.) Totuși, o interpretare alternativă pentru aceeași formă de schelet este că descrie o a treia formă, cu un aspect similar, [[compus poliedric |compusul poliedric]] de trei [[octaedru |octaedre]] aplatizate cu 24 de fețe triunghiulare suprapuse.<ref>{{en icon}} {{cite journal
| last = Zefiro | first = Livio
| journal = Visual Mathematics
| title = The compound of three octahedra and a remarkable compound of three square dipyramids, the Escher's solid
| url = https://eudml.org/doc/256951
| volume = 47
| year = 2010}}</ref>

Cele 48 de fețe triunghiulare ale poliedrului sunt [[triunghi isoscel |isoscele]]; dacă cea mai lungă latură a acestor triunghiuri este <math>a</math>, atunci celelalte două sunt <math>\tfrac{\sqrt{3}}{2}a</math>, [[arie |aria]] poliedrului este <math>12\sqrt{2}a^2</math> iar volumul poliedrului este <math>4a^3</math>.

== Vârfuri, laturi și fețe ==
Vârfurile primei stelări a dodecaedrului rombic sunt cele 12 vârfuri ale [[cuboctaedru]]lui, împreună cu opt vârfuri suplimentare (vârfurile de gradul 3 ale dodecaedrului rombic). Poliedrul lui Escher are șase vârfuri suplimentare, în punctele centrale ale fețelor pătrate ale cuboctaedrului (vârfurile de gradul 4 ale dodecaedrului rombic). În prima stelare a dodecaedrului rombic aceste șase puncte nu sunt vârfuri, ci sunt punctele de mijloc ale perechilor de laturi care se intersectează în unghi drept în aceste puncte.

Prima stelare a dodecaedrului rombic are 12 fețe hexagonale, 36 de laturi și 20 de vârfuri, dând o [[caracteristică Euler]] de {{nowrap|1=20 &minus; 36 + 12 = &minus;4.<ref name=grunbaum/>}} Poliedrul lui Escher, care are 48 de fețe triunghiulare, 72 de laturi și 26 de vârfuri, are o caracteristică Euler de {{nowrap|1=26 &minus; 72 + 48 = 2.}}

== Teselare ==
[[Fișier:HC R1-1stellation.png|thumb|Teselarea spațiului cu poliedrul lui Escher]]
Poliedrul lui Escher poate [[teselare |tesela]] spațiul ca [[fagure dodecaedric rombic stelat]].<ref name=mihăilă>{{en icon}} {{cite conference | first=Ioana|last=Mihăilă | contribution-url = http://t.archive.bridgesmathart.org/2005/bridges2005-329.pdf| contribution = Tessellations from group actions and the mystery of Escher’s solid |year=2005|title=Bridges: Mathematical Connections in Art, Music, and Science}}</ref> În fiecare vârf se întâlnesc șase poliedre. Acest fagure este [[figură izoedrică|tranzitiv pe celule]], [[figură izotoxală |laturi]] și [[figură izogonală |vârfuri]].

== Note ==
<references responsive />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = EschersSolid| title = First stellation of rhombic dodecahedron}}
* {{en icon}} George Hart, [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-info.html Stellations]

[[Categorie:Poliedre stelate]]
[[Categorie:Poliedre care umplu spațiul]]