Vizualizare sursă pentru „Politop”

[[Fișier:Assorted polygons.svg|thumb|400px|right|Un poligon este un politop [[spațiu bidimensional|bidimensional]]. Poligoane de diferite tipuri: deschis (fără contur), doar conturul (fără interior), închis (incluzând atât conturul, cât și interiorul) și cu autointersectare și autosuprapunere (cu diferite densități în diferite regiuni)]]
În [[geometrie |geometria]] elementară, un '''politop''' este un obiect geometric cu fețe ''plane''. Este o generalizare pentru oricâte dimensiuni a [[poliedru |poliedrelor]] [[spațiu tridimensional|tridimensionale]]. Un politop poate exista în orice număr de dimensiuni ''n'' ca politop ''n''-dimensional (sau '''''n''-politop'''). ''Fețe plane'' înseamnă că fețele unui (''k''+1)-politop sunt formate din ''k''-politopuri care au (''k''&minus;1)-politopuri în comun. De exemplu, un [[poligon]] [[spațiu bidimensional|bidimensional]] este un 2-politop iar un poliedru tridimensional este un 3-politop.

Unele teorii generalizează în continuare ideea de a include aici și obiecte nelimitate, [[Apeirotop|apeirotopuri]] și [[teselare |teselări]], descompuneri sau învelișuri ale varietăților curbate, inclusiv [[Poliedru sferic|poliedre sferice]], și politopuri abstracte teoretice.

Politopurile în mai mult de trei dimensiuni au fost descoperite de [[Ludwig Schläfli]]. Termenul [[Limba germană |german]] ''polytop'' a fost inventat de matematicianul [[Reinhold Hoppe]] și a fost introdus ca atare în literatura matematică engleză de [[Alicia Boole Stott]].

== Abordări ale definiției ==
Astăzi termenul ''politop'' este unul comun, care cuprinde o gamă largă de obiecte, iar în literatura matematică se găsesc diverse definiții. Multe dintre aceste definiții nu sunt echivalente între ele, rezultând mulțimi diferite de obiecte care ar fi ''politopuri''. Acestea au diferite abordări, cu scopul generalizării [[Politop convex|politopurilor convexe]] pentru a include și alte obiecte cu proprietăți similare.

Abordarea inițială de către Ludwig Schläfli, [[Thorold Gosset]] și alții a pornit de la extinderea în patru sau mai multe dimensiuni a relației dintre poligonul în două dimensiuni și poliedrul în trei.<ref name="coxeter1973">Coxeter (1973)</ref>

Încercările de generalizare ale [[caracteristică Euler |caracteristicii Euler]] ale poliedrelor la politopurile cu un număr mai mare de dimensiuni a condus la dezvoltarea [[topologie]]i și la tratarea descompunerilor sau a {{ill-wd| Q189061||CW complexelor}} analog politopurilor.<ref>{{en icon}} {{cite book|authorlink=David Richeson|last=Richeson|first=D.|title=Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology|title-link= Euler's Gem|publisher=Princeton University Press|year=2008}}</ref> În această abordare, un politop poate fi privit ca o teselare sau descompunere a unor [[formă|forme]] date. Un exemplu de astfel de abordare definește un politop ca o [[mulțime]] de [[punct (geometrie) |punct]]e care admit o [[Complex simplicial|descompunere simplicială]]. În această definiție, un politop este o reuniune a unui număr finit de [[simplex |simplexuri]], cu proprietatea suplimentară că pentru oricare două simplexuri care au o [[Intersecție (matematică) |intersecție]] nevidă, acestă intersecție este un vârf, latură, sau o față ''n''-dimensională a acestora.<ref name="Grünbaum2003">Grünbaum (2003)</ref> Această definiție nu acoperă politopurile stelate cu structuri interne, fiind limitativă în unele domenii ale matematicilor.

Descoperirea [[Poliedru stelat|poliedrelor stelate]] și a altor construcții neobișnuite a condus la considerarea unui poliedru ca o suprafață de delimitare, ignorând interiorul său.<ref>{{en icon}} Cromwell, P.; ''Polyhedra'', CUP (ppbk 1999) pp 205 ff.</ref> În această interpretare, politopurile convexe în ''p''-spațiu sunt echivalente cu [[pavare]]a suprafețelor (''p''&minus;1)-sferelor, iar altele pot fi pavate cu (''p''&minus;1)-suprafețe în alt fel de spații: plane, [[Geometrie eliptică|eliptice]] sau [[toroid]]ale, (v. {{ill-wd|Q7249474||poliedru proiectiv}} și [[poliedru toroidal]]). Un poliedru este văzut ca o suprafață ale cărei fețe sunt poligoane, un [[4-politop]] ca o [[hipersuprafață]] ale cărei fețe sunt poliedre ș.a.m.d.

Ideea de a construi un politop cu un număr de dimensiuni mai mare din cele cu un număr de dimensiuni mai mic a fost extinsă „în jos”, laturile fiind considerate drept [[1-politop]]uri, mărginite de o pereche de puncte, iar aceste puncte (vertexuri) drept 0-politopuri. Această abordare este folosită, de exemplu, în teoria {{ill-wd|Q4669958||politopurilor abstracte}}.

În unele domenii ale matematicilor, termenii de "politop" și "poliedru" au alt sens: un ''poliedru'' este un obiect generic, în oricâte dimensiuni (ceea ce în articolul de față este numit ''politop'') iar sensul termenului ''politop'' este de poliedru împreună cu elementele (suprafețe în cazul spațiului tridimensional) care îl delimitează.<ref>{{en icon}} Nemhauser and Wolsey, "Integer and Combinatorial Optimization," 1999, {{isbn|978-0471359432}}, Definition 2.2.</ref> Acestă terminologie particulară este tipică pentru politopurile și poliedrele convexe. Cu această terminologie un poliedru convex este intersecția unui număr finit de {{ill-wd|Q644719||semispații}}și este definit de fețele sale, în timp ce un [[politop convex]] este [[anvelopă convexă |anvelopa convexă]] a unui număr finit de puncte și este definit de vârfurile sale.

Politopurile cu un număr mic de dimensiuni au nume standard:
{|class="wikitable"
!Dimensiuni<br/>ale politopului
!Descriere<ref>{{en icon}} [[Norman Johnson|Johnson, Norman W.]], ''Geometries and Transformations'', Cambridge University Press, 2018, p. 224</ref>
|-
|align=center|&minus;1
|Politop nul
|-
|align=center|0
|[[Hipercub#Elemente|Monon]]
|-
|align=center|1
|[[Hipercub#Elemente|Dion]]
|-
|align=center|2
|[[Poligon]]
|-
|align=center|3
|[[Poliedru]]
|}

== Elemente ==
Un politop are elemente diferit dimensionale: vârfuri, laturi, fețe, celule ș.a.m.d. Terminologia acetora nu este identică la toți autorii. De exemplu, unii autori spun ''față'' când se referă la elementele (''n''&minus;1)-dimensionale, în timp ce alții spun ''față'' exclusiv la elementele bidimensionale (elemente de tip 2-față). Alți autori folosesc expresii ca ''j''-față sau ''j''-[[fațetă (geometrie) |fațetă]] pentru a indica un element cu ''j'' dimensiuni (terminologia folosită și pe Wikipedia în limba română). Unii spun ''frontiere'' când se referă la muchii, în timp ce [[Harold Scott MacDonald Coxeter |H.S.M. Coxeter]] spune ''celule'' la elementele (''n''&minus;1)-dimensionale.<ref>{{en icon}} Regular polytopes, p. 127 ''The part of the polytope that lies in one of the hyperplanes is called a cell''</ref>

Termenii folosiți în acest articol sunt cei din tabelul următor:

{|class="wikitable"
!Dimensiunea<br/>elementului
!Termen<br/>(pt. un ''n''-politop)
|-
|align=center|&minus;1
|Politop nul (necesar în teoria politopurilor abstracte)<ref name="johnson224">{{en icon}} Johnson, Norman W.; ''Geometries and Transformations'', Cambridge University Press, 2018, p.224.</ref>
|-
|align=center|0
|[[Vârf (geometrie)|Vârf]]
|-
|align=center|1
|[[latură (geometrie)|Latură]]
|-
|align=center|2
|[[Față (geometrie)|Față]]
|-
|align=center|3
|[[Celulă (geometrie)|Celulă]]
|-
|align=center|<math>\vdots</math>
|&nbsp;<math>\vdots</math>
|-
|align=center|''j''
|''j''-față – element de ordinul ''j'' = −1, 0, 1, 2, 3,&nbsp;..., ''n''
|-
|align=center|<math>\vdots</math>
|&nbsp;<math>\vdots</math>
|-
<!-- |align=center|''n'' &minus; 3
|[[Pisc (geometrie)|Pisc]] – (''n''&minus;3)-față
|-
|align=center|''n'' &minus; 2
|[[Muchie (matematică)|Muchie]] – (''n''&minus;2)-față
|-
|align=center|''n'' &minus; 1
|[[Fațetă (matematică)|Fațetă]] – (''n''&minus;1)-față
|-
-->
|align=center|''n''
|Politopul propriu-zis
|}

Un politop ''n''-dimensional este mărginit de un număr de ''fațete'' (''n''&minus;1)-dimensionale. Aceste fațete sunt ele însele politopuri, care sunt mărginite de [[muchie (geometrie) |muchii]] (''n''&minus;2)-dimensionale ale politopului original. Fiecare muchie apare la intersecția a două fațete (dar intersecția a două fațete nu este în mod necesar o muchie). Muchiile, și ele, sunt politopuri ale căror fațete sunt frontiere (''n''&minus;3)-dimensionale ale politopului original ș.a.m.d. Aceste politopuri de frontieră pot fi numite ''fațete'', sau, mai specific, ''j''-fețe. O față 0-dimensională este numită ''vârf'' și este formată dintr-un singur [[punct]]. O față 1-dimensională este numită „latură” și este formată dintr-un [[segment]]. O față 2-dimensională este formată dintr-un [[poligon]] și o față 3-dimensională, uneori numită ''[[Celulă (geometrie) |celulă]]'', este formată dintr-un [[poliedru]].

== Clase importante de politopuri ==
=== Politopuri convexe ===
{{Articol principal |Politop convex}}
Un politop poate fi ''convex''. Politopurile convexe sunt cele mai simple tipuri de politopuri și formează baza câtorva generalizări ale conceptului de politop. Un politop convex este uneori definit ca intersecția unei mulțimi de semispații. Această definiție permite unui politop să nu fie mărginit sau finit. Politopurile sunt definite în acest mod de exemplu în [[programare liniară |programarea liniară]]. Un politop este ''mărginit'' dacă există o sferă cu rază finită care îl înconjură (conține). Se spune despre un politop că este ''ascuțit'' dacă are cel puțin un vârf. Orice politop mărginit și care nu este gol este ascuțit. Un exemplu de politop neascuțit este mulțimea <math>\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid x \geq 0\}</math>. Un politop este ''finit'' dacă este definit printr-un număr finit de obiecte, de exemplu drept intersecția unui număr finit de semispații.
Se spune despre un politop că este ''{{ill-wd|Q5166519||întreg}}'' dacă toate coordonate vârfurilor sale sunt numere întregi (în <math>\mathbb{Z}</math>).

O clasă de politopuri convexe sunt ''politopurile reflexive''. Un <math>d</math>-politop întreg <math>\mathcal{P}</math> este reflexiv dacă pentru unele {{ill-wd|Q6042601}} <math>\mathbf{A}</math>, <math>\mathcal{P} = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^d : \mathbf{Ax} \leq \mathbf{1}\}</math>, unde <math>\mathbf{1}</math> este un vector al tuturor, iar inegalitatea este adevărată pentru toate componentele. Din această definiție reiese că <math>\mathcal{P}</math> este reflexivă [[dacă și numai dacă]] <math>(t+1)\mathcal{P}^\circ \cap \mathbb{Z}^d = t\mathcal{P} \cap \mathbb{Z}^d</math> oentru toate <math>t \in \mathbb{Z}_{\geq 0}</math>. În alte cuvinte, o <math>(t + 1)</math>-dilatare a <math>\mathcal{P}</math> diferă, în termenii punctelor laticii de întregi, de <math>t</math>-dilatarea <math>\mathcal{P}</math> numai prin puncte de rețea în plus de pe frontieră. Echivalent, <math>\mathcal{P}</math> este reflexivă dacă și numai dacă [[Poliedru dual|politopul său dual]] <math>\mathcal{P}^*</math> este un politop întreg.<ref>{{en icon}} Beck, Matthias; Robins, Sinai (2007), ''[[Computing the Continuous Discretely|Computing the Continuous Discretely: Integer-point enumeration in polyhedra]]'', [[Undergraduate Texts in Mathematics]], New York: Springer-Verlag, {{ISBN|978-0-387-29139-0}}, MR 2271992</ref>

=== Politopuri regulate ===
{{Articol principal|Politop regulat}}
[[Politop regulat|Politopurile regulate]] au cel mai mare număr de [[simetrie (geometrie)|simetrii]] dintre toate politopurile. Grupul de simetrii ale unui politop regulat este tranzitiv pentru grafurile sale, ca urmare politopul dual al unui politop regulat este și el regulat.

Există trei clase principale de politopuri regulate care există în orice număr de dimensiuni:
* [[Simplex]]uri, incluzând [[triunghi echilateral |triunghiul echilateral]] și and the [[tetraedru |tetraedrul regulat]].
* [[Hipercub]]uri, incluzând [[pătrat]]ul și [[cub]]ul.
* [[Ortoplex |Ortoplecși]], incluzând [[pătrat]]ul și [[octaedru |octaedrul regulat]].

Cele două, trei și patru dimensiuni includ figuri regulate 5-simetrice, inclusiv unele stelate, care nu sunt convexe, iar în două dimensiuni există o infinitate de poligoane regulate ''n''-simetrice, și, pentru cele cu mai mult de patru laturi, stelate. Dar pentru mai multe dimensiuni nu există alte politopuri regulate.<ref name="coxeter1973"/>

În trei dimensiuni există cinci [[poliedru regulat |poliedre regulate]] convexe, inclusiv [[dodecaedru]]l și [[icosaedru]]l și patru stelate ([[Poliedru Kepler–Poinsot|poliedrele Kepler-Poinsot]]) 5-simetrice, în total nouă poliedre regulate.

În patru dimensiuni [[4-politop regulat|4-politopurile regulate]] includ un corp adițional convex 4-simetric și două 5-simetrice. Există zece 4-politopuri Schläfli-Hess stelate, toate 5-simetrice, dând un total de șaisprezece 4-politopuri regulate.

=== Politopuri stelate ===
{{Articol principal |Politop stelat}}
Un politop care nu este convex se poate autointersecta; această clasă de politopuri include politopurile stelate. Unele politopuri regulate sunt stele.<ref name="coxeter1973"/>

== Proprietăți ==
=== Caracteristica Euler ===
Deoarece un politop convex închis (plin) ''P'' în <math>d</math> dimensiuni este {{ill-wd|Q230689||contractil}} până într-un punct, [[caracteristică Euler |caracteristica Euler]] <math>\chi</math> a frontierelor sale ∂P este dată de suma:
:<math>\chi = n_0 - n_1 + n_2 - \cdots \plusmn n_{d-1} = 1 + (-1)^{d-1}</math>, &nbsp; &nbsp; unde <math>n_j</math> este numărul fețelor <math>j</math>-dimensionale.

Asta este generalizarea formulei Euler pentru poliedre.<ref name="pands">{{en icon}} M.A. Perles and G.C. Shephard. 1967. "Angle sums of convex politopuri". ''Math. Scandinavica'', Vol 21, No 2. March 1967. pp. 199–218.</ref>

=== Unghiurile interne ===
Similar, [[teorema Gram–Euler]] generalizează suma [[unghi interior |unghiurilor interioare]] <math display="inline"> \sum \varphi</math> a poliedrelor convexe la politopuri cu mai multe dimensiuni:<ref name="pands"/>

: <math>\sum \varphi = (-1)^{d-1}</math>

== Generalizări ale politopurilor ==
=== Politopuri infinite ===
{{Articol principal|Apeirotop}}
Nu toate formele sunt finite. Când un politop este văzut ca o [[teselare]] sau descompunere a unei forme, ideea poate fi extinsă la forme infinite. Teselări, umpleri ale spațiului cu [[fagure (geometrie) |faguri]] și {{ill-wd|Q7885120||teselările uniforme în planele hiperbolice}} sunt, în acest sens, politopuri, numite de obicei ''[[apeirotop]]uri'' (de la ''[[apeiron]]'') deoarece au un număr infinit de celule.

Între acestea există forme regulate, ca {{ill-wd|Q7309619||poliedrele strâmbe regulate}} și serii de teselări infinite reprezentate de [[apeirogon |apeirogoane]], teselări pătrate, faguri cubici etc.

=== Politopuri abstracte ===
{{Articol principal|Politop abstract}}
Teoria politopurilor abstracte încearcă să detașeze noțiunea de ''politop'' de cea de ''spațiu'', ocupându-se pur de proprietățile lor combinatorice. Asta permite ca definiția termenului de „politop” să fie extinsă pentru a cuprinde obiecte, ca de exemplu [[11-celule]], pentru care este dificil de a defini un spațiu intuitiv care să le cuprindă.

Un politop abstract este o {{ill-wd|Q474715}} de elemente sau membri, care respectă nuște reguli. Este o [[structură algebrică |structură pur algebrică]], iar teoria a fost dezvoltată pentru a evita o serie de aspecte greu de împăcat cu diverse noțiuni geometrice într-un cadru matematic consistent. Un politop geometric este considerat o materializare în spațiul real al politopului abstract asociat.<ref>{{en icon}} {{citation | last1 = McMullen | first1 = Peter | author1-link = Peter McMullen | first2 = Egon | last2 = Schulte | title = Abstract Regular Polytopes | edition = 1st | publisher = [[Cambridge University Press]] | isbn = 0-521-81496-0 | date = December 2002 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/abstractregularp0000mcmu }}</ref>

=== Politopuri complexe ===
{{Articol principal|Politop complex}}
Structuri analoage politopurilor există în [[spațiu Hilbert ||spațiul Hilbert]] complex <math> \Complex^n</math>, unde ''n'' dimensiuni reale sunt însoțite de ''n'' dimensiuni [[număr imaginar |imaginare]]. Politopurile regulate complexe sunt tratate mai adecvat drept {{ill-wd|Q49001005||configurații}}.<ref>Coxeter, H.S.M.; ''Regular Complex Polytopes'', 1974</ref>

== Dualitate ==
Fiecare ''n''-politop are o structură duală, obținută prin interschimbarea vârfurilor sale cu fațetele, a laturilor sale cu muchiile și așa mai departe schimbând în general elementele sale (''j''&nbsp;−&nbsp;1)-dimensionale cu elementele (''n''&minus;''j'')-dimensionale (pentru ''j''&nbsp;=&nbsp;1,…,''n''&minus;1), conservând în același timp conectivitatea sau incidența dintre elemente.

Pentru un politop abstract, aceasta inversează pur și simplu ordinea mulțimii. Această inversare este văzută în [[simbol Schläfli |simbolurile Schläfli]] pentru politopurile regulate, unde simbolul pentru politopul dual este pur și simplu inversul originalului. De exemplu, {4, 3, 3} este dualul lui {3, 3, 4}.

În cazul unui politop geometric, este necesară o regulă geometrică pentru dualizare, a se vedea, de exemplu, regulile descrise pentru [[poliedru dual|poliedrele duale]]. În funcție de circumstanțe, politopul dual poate fi sau nu un alt politop geometric.

Dacă dualul este inversat, se obține politopul original. Astfel, politopurile există în perechi duale.

=== Politopuri autoduale ===
[[Fișier:Schlegel wireframe 5-cell.png|thumb|4-simplexul ([[5-celule]]) este autodual, cu 5 vârfuri și 5 celule tetraedrice]]
Dacă un politop are același număr de vârfuri, fețe, laturi etc. și aceleași conectivități, atunci varianta duală va fi similară cu originalul iar politopul este ''autodual''.

Exemple de politopuri autoduale:
* Toate ''n''-simplexurile regulate, în orice număr de dimensiuns, cu simbolul Schläfli {3<sup>''n''</sup>}. Acestea includ [[triunghi echilateral |triunghiul echilateral]] (simbol {3}), [[tetraedru regulat |tetraedrul regulat]] (simbol {3,3}) și [[5-celule]] (simbol {3,3,3}).
* Toți [[Fagure hipercubic|fagurii hipercubici]], în orice număr de dimensiuni. Aceștia înclul apeirogonul (simbol {∞}), teselarea pătrată (simbol {4,4}) și [[Fagure cubic|fagurele cubic]] (simbol {4,3,4}).
* Numeroase teselări hiperbolice compacte, paracompacte și necompacte, cum ar fi {{ill-wd|Q5986731||fagurele icosaedric}} (simbol {3,5,3}) și {{ill-wd|Q7100401||teselarea pentagonală de ordin-5}} (simbol {5,5}).
* În 2 dimensiuni, toate [[poligon regulat |Poligoanele regulate]] (2-politopuri regulate).
* În 3 dimensiuni, {{ill-wd|Q1152398||forma canonică}} [[piramidă |piramidele]] {{ill-wd|Q1152398||canonice}} și [[Piramidă alungită|alungite]], precum și {{ill-wd|Q17085917||dodecaedrul trunchiat tetraedric}}.
* În 4 dimensiuni, [[24-celule]] (simbol {3,4,3}), [[marele 120-celule]] (simbol {5,5/2,5}) și [[marele 120-celule stelat]] (simbol {5/2,5,5/2}).

== Mersul istoric ==
Poligoanele și poliedrele au fost cunoscute din antichitate.

O primă mențiune despre o dimensiune superioară a fost făcută în 1827, când [[August Ferdinand Möbius]] a descoperit că două corpuri în oglindă pot fi suprapuse prin rotirea unuia într-o a patra dimensiune matematică. Până în anii 1850, câțiva matematicieni, ca [[Arthur Cayley]] și [[Hermann Grassmann]], au luat în considerare dimensiunile superioare.

[[Ludwig Schläfli]] a fost primul care a tratat analogii acestor poligoane și poliedre în aceste hiperspații. El a descris cele șase [[4-politop regulat|policoruri regulate]] în 1852, dar lucrarea sa n-a fost publicată până în 1901, la șase ani după decesul său. Din 1854, [[Bernhard Riemann]], în ''Habilitationsschrift'' ({{ro|Lucrare de abilitare}} = teză de doctorat) cu titlul ''Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen'' ({{ro|Despre ipotezele pe care se bazează geometria}}) susținută în 1854 la Göttingen a stabilit geometria în spațiile cu dimensiuni superioare, ca urmare conceptul de politopuri ''n''-dimensionale a devenit unul acceptabil. Politopurile Schläfli au fost redescoperite de mai multe ori în deceniile următoare, chiar în timpul vieții sale.

În 1882 [[Reinhold Hoppe]], scriind în limba germană, a introdus termenul de „polytop” referitor la un concept mai general asupra poligoanelor și poliedrelor. La timpul oportun, [[Alicia Boole Stott]], fiica logicianului [[George Boole]], a introdus termenul „polytop” în limba engleză.<ref name="coxeter1973"/>{{rp|vi}}

În 1895 [[Thorold Gosset]] nu numai că a redescoperit politopurile regulate ale lui Schläfli, ci a examinat ideea {{ill-wd|Q3895007||politopurilor semiregulate}} și teselările în dimensiuni superioare. Politopurile au început să fie studiate în spații neeuclidiene, cum ar fi spațiul hiperbolic.

Un moment important a fost în 1948, când [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H.S.M. Coxeter]] a strâns în cartea sa, ''{{ill-wd|Q127661}}'', materialele anterioare, adăugând propriile sale descoperiri.

Între timp, matematicianul francez [[Henri Poincaré]] a dezvoltat ideea [[topologie |topologică]] despe politop ca parte a unei descompuneri (ex. [[CW-complex]]) a unei forme topologice. [[Branko Grünbaum]] a publicat influenta sa lucrare despre politopurile convexe în 1967.

În 1952 [[Geoffrey Colin Shephard]] a generalizat ideea de politop complex în spațiul complex, în care fiecare dimensiune reală este însoțită de una imaginară. În continuare Coxeter a dezvoltat teoria.

Problemele conceptuale apărute la tratarea politopurilor complexe, neconvexe, duale și a altor fenomene i-au determinat pe Grünbaum și pe alții la un studiu mai general al proprietăților abstracte combinatorice cu privire șa vârfuri, fețe, laturi etc. O idee înrudită a fost studiul conexiunilor diferitelor elemente între ele. Aceste cercetări au dus în final la teoria politopurilor abstracte drept mulțimi parțial ordonate de elemente. [[Peter McMullen]] și Egon Schulte și-au publicat cartea ''Abstract Regular Polytopes'' ({{ro|Politopuri regulate abstracte}} în 2002.

Enumerarea politopurilor uniforme, convexe și neconvexe, în patru sau mai multe dimensiuni este o problemă nefinalizată.

Actual, politopurile și noțiunile asociate lor și-au găsit aplicații în [[grafică digitală |grafica digitală]], [[optimizare]], [[motor de căutare |motoare de căutare]], [[cosmologie]], [[mecanică cuantică]] și numeroase alte domenii. În 2013 s-a descoperit că modelul {{ill-wd|Q14928243||amplituedrului}} simplifică unele calcule din fizica teoretică.

== Aplicații ==
În domeniul optimizării, al programării liniare, unde se  studiază [[Maxim și minim|maximele și minimele]] funcțiilor liniare, aceste maxime și minime apar la frontierele unui politop ''n''-dimensional. În programarea liniară politopurile apar la folosirea {{ill-wd|Q738422||coordonatelor baricentrice}} generalizate și a {{ill-wd|Q1765718||variabilelor slabe}}.

În {{ill-wd|Q279082}} o ramură a [[fizică teoretică |fizicii teoretice]], amplituedrul este folosit pentru a calcula amplitudinile dispersiilor particulelor subatomice atunci când acestea se ciocnesc. Politopul este pur teoretic, fără o reprezentare fizică, dar se spune că simplifică mult unele calcule.<ref>{{en icon}} {{cite journal|last1=Arkani-Hamed |first1=Nima |last2=Trnka |first2=Jaroslav |year=2013 |arxiv=1312.2007 |title=The Amplituhedron |ref=harv |doi=10.1007/JHEP10(2014)030 |volume=2014 |journal=Journal of High Energy Physics|bibcode=2014JHEP...10..030A }}</ref>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{Citation |last=Coxeter |first=Harold Scott MacDonald |authorlink=Harold Scott MacDonald Coxeter |title=Regular Polytopes |publisher=[[Dover Publications]] |location=New York |isbn=978-0-486-61480-9 |year=1973}}.
* {{en icon}} {{Citation |last=Grünbaum |first=Branko |authorlink=Branko Grünbaum |title=Convex polytopes| location=New York & London |publisher=[[Springer-Verlag]] |year=2003 |isbn=0-387-00424-6 |edition=2nd |editor1-first=Volker |editor1-last=Kaibel |editor2-first=Victor |editor2-last=Klee |editor2-link=Victor Klee |editor3-first=Günter M. |editor3-last=Ziegler |editor3-link=Günter M. Ziegler}}.
* {{en icon}} {{Citation |last=Ziegler |first=Günter M. |authorlink=Günter M. Ziegler |title=Lectures on Polytopes |publisher=[[Springer-Verlag]] |location=Berlin, New York |series=[[Graduate Texts in Mathematics]] |year=1995 |volume=152}}.

== Legături externe ==
{{commonscat-inline|polytope}}
* [https://mathworld.wolfram.com/Polytope.html Polytope] la WolframMathWworld
* [https://web.archive.org/web/20030818121038/http://presh.com/hovinga/regularandsemiregularconvexpolytopesashorthistoricaloverview.html Regular and semi-regular convex polytopes a short historical overview:]

{{Portal|matematică}}
{{Politopuri}}
{{Casetă de navigare geometrie dimensională}}

[[Categorie:Politopuri| ]]