Vizualizare sursă pentru „Polinom”

În [[matematică]], un '''polinom''' este o [[Expresie matematică|expresie]] construită dintr-una sau mai multe [[Variabilă|variabile]] și [[Constantă matematică|constante]], folosind doar operații de [[adunare]], [[scădere]], [[Înmulțire (matematică)|înmulțire]] și ridicare la putere cu exponent întreg pozitiv. Un exemplu de polinom într-o singură variabilă este <math>x^2 - 4x + 7\,</math>, iar un exemplu de polinom în trei variabile este <math>x^3+2xyz^2-yz+1</math>.

== Generalități ==
Polinoamele sunt construite din [[Termen (matematică)|termeni]] numiți [[Monom|monoame]], care sunt alcătuite dintr-o constantă (numită [[coeficient]]) înmulțită cu una sau mai multe [[Variabilă|variabile]]. Fiecare variabilă poate avea un [[exponent]] constant întreg pozitiv. Exponentul unei variabile dintr-un monom este egal cu [[Gradul unui polinom|gradul]] acelei variabile în acel monom. Pentru că <math>x=x^1</math>, gradul unei variabile fără exponent este unu. Un monom fără variabile se numește ''monom constant'', sau doar ''constantă''. Gradul unui [[termen constant]] este 0. Coeficientul unui monom poate fi orice număr, inclusiv fracții, numere iraționale sau negative. Un polinom construit cu o singură variabilă se numește ''univariat''.

De exemplu,
: <math> -5x^2y\,</math>
este un monom. Are coeficientul -5, variabilele sunt ''x'' și ''y'', gradul lui ''x'' este doi, iar gradul lui ''y'' este unu.

Gradul întregului monom este suma gradelor tuturor variabilelor din el. În exemplul de mai sus, gradul este 2 + 1 = 3.

Un polinom este o sumă de unul sau mai multe monoame. De exemplu, următoarea expresie este un polinom:

: <math> 3x^2 - 5x + 4\,.</math>

El constă din trei monoame: primul are gradul doi, al doilea are gradul unu, iar al treilea are gradul zero.

Când un polinom este dispus în ordinea naturală, el are termenii de grad mai mare înaintea celor de grad mai mic. În primul termen, coeficientul este 3, variabila este ''x'', iar exponentul este doi. În al doilea termen, coeficientul este -5. Al treilea termen este o constantă. ''[[Gradul unui polinom]]'' este cel mai mare grad al unui termen al său. În acest exemplu, polinomul are gradul doi.

Un polinom de gradul unu este numit ''liniar'', unul de gradul doi este ''pătratic'', iar unul de gradul trei este un polinom ''[[cub (algebră)|cubic]]''. Mai rar, polinoamele de gradul patru se numesc ''cuartice'' iar cele de grad cinci ''quintice''.

Un polinom cu un singur termen este numit ''[[monom]]'', unul cu doi termeni ''[[binom]]'', iar unul cu trei termeni ''[[trinom]]''.

Un polinom care are coeficientul 1 pentru termenul de grad maxim se numește ''[[polinom monic |monic]]''.

O [[expresie algebrică]] ce poate fi adusă la o formă polinomială prin aplicarea secvențială a unor operații [[comutativitate|comutative]], [[asociativitate|asociative]], și [[distributivitate|distributive]] este în general considerată tot un polinom.

De exemplu
:<math>\frac{x^3}{12}</math>
este un polinom pentru că este echivalent cu <math>\tfrac{1}{12}x^3</math>. Coeficientul este <math>\tfrac{1}{12}</math>.

Dar împărțirea printr-o expresie ce conține o variabilă nu este permisă în polinoame.<ref>Peter H. Selby, Steve Slavin, ''Practical Algebra: A Self-Teaching Guide, 2nd Edition'', Wiley, ISBN-10 0471530123 ISBN-13 978-0471530121</ref> De exemplu,
: <math> {1 \over x^2 + 1} \,</math>
nu este polinom.

La fel și expresia
: <math>( 5 + y ) ^ x \,</math>
nu este un polinom deoarece are o variabilă la exponent.

Deoarece scăderea poate fi tratată ca o adunare cu [[element opus|termenul opus]], și deoarece ridicarea la o putere întreagă pozitivă și constantă poate fi tratată ca înmulțire repetată, polinoamele se pot construi din constante și variabile folosind doar două operații: adunarea și înmulțirea.

O ''funcție polinomială'' este o [[funcție]] definită ca [[Expresie matematică|evaluând]] un polinom. De exemplu, funcția ''f'' definită prin
: <math> f(x) = x^3 - x \,</math>
este o funcție polinomială. Funcțiile polinomiale sunt o clasă importantă de [[Funcție derivabilă|funcții derivabile]].

O ''[[ecuație polinomială]]'' este o [[ecuație]] în care un polinom este considerat egal cu un alt polinom.
: <math> 3x^2 + 4x -5 = 0 \,</math>
este o ecuație polinomială.

== Proprietăți elementare ale polinoamelor ==
# [[Sumă|Suma]] a două polinoame este un polinom
# [[Înmulțire (matematică)|Produsul]] a două polinoame este un polinom
# [[Derivata]] unui polinom este un polinom
# [[Primitiva]] unui polinom este un polinom

Polinoamele folosesc și la aproximarea altor funcții, cum ar fi [[sinus]], [[cosinus]], și [[Funcție exponențială|exponențiala]].

Toate polinoamele au o formă extinsă, în care proprietatea de [[distributivitate]] a fost folosită pentru a elimina toate parantezele. Toate polinoamele au și o formă factorizată în care polinomul este scris ca produs de polinoame liniare. De exemplu, polinomul
:<math>x^2 - 2x - 3</math>
este forma extinsă egală cu polinomul
:<math>(x - 3)(x + 1)</math>,
care este scris în forma factorizată. Constantele polinoamelor liniare (în exemplul de mai sus -3 și +1) pot fi în anumite cazuri imaginare.

Toate polinoamele de o variabilă sunt echivalente cu un polinom de forma
:<math>a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0</math>.
Această forma este considerată forma generală a polinoamelor de o singură variabilă.

== Note ==
<references responsive/>

{{Portal|matematică}}
{{Polinoame}}

[[Categorie:Polinoame| ]]