Vizualizare sursă pentru „Poligon”

{{note de subsol|date=ianuarie 2020}}{{altesensuri}}
[[Fișier:Assorted polygons.svg|thumb|300px|Poligoane de diferite tipuri: deschis (fără contur), doar conturul (fără interior), închis (incluzând atât conturul, cât și interiorul) și cu autointersectare și autosuprapunere (cu diferite densități în diferite regiuni)]]
În [[Geometrie euclidiană|geometria euclidiană]], un '''poligon''' (gr.: ''polys'' = multe și ''gonos'' = unghi) este o [[figură geometrică]] plană, închisă, formată prin reuniunea unui număr finit de [[segment]]e de linii [[dreaptă|drepte]], numite laturi. Lungimea totală a tuturor laturilor unui poligon se numește [[perimetru]].

=== Linie poligonală ===
; Definiție: Fiind date <math>\ n</math> puncte distincte ''M<sub>1</sub>'',''M<sub>2</sub>'', ''M<sub>3</sub>'',..., ''M<sub>n</sub>'' <math> (n \in \mathbb{N}, n \ge 3)</math>, se numește ''linie poligonală'' o [[reuniune (matematică)|reuniune]] de segmente de forma  ''[M<sub>1</sub> M<sub>2</sub>] <math>\cup</math> [M<sub>2</sub> M<sub>3</sub>] <math>\cup</math> ... <math>\cup</math> [M<sub>n-1</sub> M<sub>n</sub>] '' care nu sunt unul în prelungirea celuilalt. Punctele ''M<sub>1</sub>'',''M<sub>2</sub>'', ''M<sub>3</sub>'',..., ''M<sub>n</sub>'' se numesc vârfurile liniei poligonale, iar segmentele ''[M<sub>1</sub> M<sub>2</sub>]'',...,''[M<sub>n-1</sub> M<sub>n</sub>]'' se numesc laturile liniei poligonale. Laturile ''[M<sub>1</sub> M<sub>2</sub>]'' și ''[M<sub>2</sub> M<sub>3</sub>]'' sau ''[M<sub>2</sub> M<sub>3</sub>]'' și ''[M<sub>3</sub> M<sub>4</sub>]'' sau, în general, ''[M<sub>k-1</sub> M<sub>k</sub>]'' și ''[M<sub>k</sub> M<sub>k+1</sub>]'' se consideră că sunt „laturi vecine”, iar punctele ''M<sub>1</sub>'' și ''M<sub>n</sub>'' se numesc „capetele liniei poligonale”. Dacă cele două capete ale unei linii poligonale coincid, linia poligonală se numește închisă.
; Definiție: Dacă într-o linie poligonală închisă numai laturile vecine au câte un punct comun și oricare două laturi nu sunt una în prelungirea celeilalte, atunci linia poligonală închisă se numește ''poligon''. Vârfurile liniei poligonale închise care determină poligonul se numesc vârfurile poligonului, iar laturile liniei poligonale închise se numesc laturile poligonului. Unghiurile formate de laturi vecine se numesc unghiurile poligonului. Segmentele care au ca extremități două vârfuri ale poligonului, care nu sunt vecine, se numesc diagonalele poligonului. Suma lungimilor tuturor laturilor poligonului este perimetrul poligonului.
; Definiție: Un poligon se numește ''[[poligon convex]]'' dacă, oricare ar fi o latură a sa, toate vârfurile nesituate pe latura considerată se află de aceeași parte a dreptei în care este inclusă latura respectivă.
; Teoremă: Suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu <math>\ n</math> laturi este: <math> (n-2)\cdot 180^{\circ}</math>.

=== Poligoane regulate ===
; Definiție: Se numește ''poligon regulat'' un poligon convex cu toate laturile sale congruente și toate unghiurile sale congruente. Dacă, printr-un procedeu oarecare, am împărțit un [[cerc]] în <math>\ n</math> [[arc de cerc|arce]] congruente <math> (n \ge 3)</math> și ducem [[coardă|coardele]] care le subîntind pe fiecare dintre ele, atunci, unind punctele de diviziune succesive, obținem un poligon regulat. Laturile acestui poligon sunt congruente, deoarece subîntind arce de cerc de aceeași măsură: <math> \left(\frac{360}{n}\right)^{\circ}</math>, iar unghiurile poligonului sunt de asemenea congruente, deoarece sunt [[unghi înscris|unghiuri înscrise]] în cerc și cuprind între laturile lor arce de măsuri egale cu  <math> \left[\frac{180}{n}\cdot (n-2)\right]^{\circ}</math>.

=== Latura și apotema unui poligon regulat înscris în cerc ===
* <math>\ l_n=2R \sin \frac{180^{\circ}}{n};</math> <math>\ a_n=R \cos \frac{180^{\circ}}{n}.</math> (unde <math>\ R</math> este raza [[cerc circumscris|cercului circumscris]] poligonului și <math>\ n</math> numărul de laturi).
Prin [[apotemă]] înțelegem distanța de la centrul poligonului la fiecare dintre laturile lui.
* <math>\ l_3=R \sqrt{3}; </math> <math>\ a_3= \frac{R}{2};</math> <math>\ a_3=\frac{l \sqrt{3}}{6};</math>
* <math>\ l_4=R \sqrt{2}; </math> <math>\ a_4=\frac{R \sqrt{2}}{2};</math>
* <math>\ l_6=R; </math>  <math>\ a_6=\frac{R \sqrt{3}}{2};</math>

=== Aria unui poligon regulat ===
Aria suprafeței delimitate de linia poligonală închisă este în funcție de numărul n al laturilor:

* <math>\ A_n= \frac{l_n \cdot a_n}{2} \cdot n; </math>  <math>\ A_n=\frac{P_n \cdot a_n}{2}; </math> (semiprodusul dintre perimetrul și apotema poligonului).
<math>\ A_n=n R^2 \sin \frac{180^{\circ}}{n} \cos \frac{180^{\circ}}{n}; </math> (unde <math>\ R</math> este raza cercului circumscris poligonului și <math>\ n</math> numărul de laturi).
* <math>\ A_3=\frac{l^2 \sqrt{3}}{4}; </math> <math>\ A_3=\frac{3R^2 \sqrt{3}}{4}; </math> <math>\ A_4=2R^2; </math> <math>\ A_6=\frac{3R^2 \sqrt{3}}{2}. </math>

== Poligoane stelate ==
Poligoanele stelate sunt acele poligoane în care laturile lor nu se intersectează doar în capete.

== Denumirea poligoanelor în funcție de numărul laturilor ==
{| class="wikitable"
|-
|+ '''Numele poligoanelor'''
|-
! Nume !! Laturi
|-
| [[monogon]] || 1
|-
| [[digon]] || 2
|-
| [[triunghi]]<ref>{{Dexonline|triunghi}}</ref> || 3
|-
| [[patrulater]]<ref>{{Dexonline|patrulater}}</ref> ([[tetragon]]<ref>{{Dexonline|tetragon}}</ref>) || 4
|-
| [[pentagon]]<ref>{{Dexonline|pentagon}}</ref> || 5
|-
| [[hexagon]]<ref>{{Dexonline|hexagon}}</ref> || 6
|-
| [[heptagon]]<ref>{{Dexonline|heptagon}}</ref> || 7
|-
| [[octogon]]<ref>{{Dexonline|octogon}}</ref><ref name=CR114>[http://legislatie.just.ro/Public/DetaliiDocument/222512 Reglementare Tehnică din 21 septembrie 2012: Cod de proiectare. Evaluarea acțiunii vântului asupra construcțiilor, indicativ CR 1-1-4/2012], legislatie.just.ro, accesat 2021-10-14</ref> || 8
|-
| [[eneagon]]<ref>{{Dexonline|eneagon}}</ref> || 9
|-
| [[decagon]]<ref>{{Dexonline|decagon}}</ref> || 10
|-
| [[endecagon]]<ref>{{Dexonline|endecagon}}</ref> || 11
|-
| [[dodecagon]]<ref>{{Dexonline|dodecagon}}</ref> || 12
|-
| [[tridecagon]] || 13
|-
| [[tetradecagon]] || 14
|-
| [[pentadecagon]]<ref>{{Dexonline|pentadecagon}}</ref> || 15
|-
| [[hexadecagon]] || 16
|-
| [[heptadecagon]] || 17
|-
| [[octodecagon]]<ref name=CR114/> || 18
|-
| [[eneadecagon]] || 19
|-
| [[icosagon]] || 20
|-
| [[icosienagon]] || 21
|-
| [[icosidigon]] || 22
|-
| [[icositrigon]] || 23
|-
| [[icositetragon]] || 24
|-
| [[icosipentagon]] || 25
|-
| [[icosihexagon]] || 26
|-
| [[icosiheptagon]] || 27
|-
| [[icosioctogon]] || 28
|-
| [[icosieneagon]] || 29
|-
| [[triacontagon]] || 30
|-
| [[tetracontagon]] || 40
|-
| [[pentacontagon]] || 50
|-
| [[pentacontaenagon]] || 51
|-
| [[hexacontagon]] || 60
|-
| [[heptacontagon]] || 70
|-
| [[octocontagon]] || 80
|-
| [[eneacontagon]] || 90
|-
| [[eneacontaeneagon]] || 99
|-
| [[hectogon]] || 100
|-
| [[257-gon]] || 257
|-
| [[chiliagon]] || 1000
|-
| [[miriagon]] || 10&nbsp;000
|-
| [[65537-gon]] || 65&nbsp;537
|-
| [[megagon]] || 1&nbsp;000&nbsp;000
|}

== Note ==
<references/>

== Bibliografie ==
* Dan Brânzei, Anton Negrilă, Maria Negrilă. ''MATE 2000+9/10'', Clasa 7, partea a II-a, Editura Paralela 45, 2009.
* Dumitru Săvulescu, Marius Perianu. ''Matematica pentru clasa a VII-a'', semestrul II, Editura Art, Colecția Clubul matematicienilor, 2010.
==Vezi și==
* [[Număr poligonal]]
* [[Număr centrat poligonal]]

{{Poligoane}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Poligoane| ]]