Vizualizare sursă pentru „Poliedru uniform”

[[Fișier:Tetrahedron.jpg|thumb|Poliedru platonic: tetraedru]]
[[Fișier:Snub dodecadodecahedron.png|thumb|Poliedru stelat uniform: dodecadodecaedru snub]]
Un '''[[poliedru]] uniform''' are [[poligon regulat |poligoane regulate]] ca [[Față (geometrie) |fețe]] și este [[relație tranzitivă |tranzitiv]] pe [[vârf (geometrie) |vârfuri]] (adică, există o [[izometrie]] care aplică orice vârf pe oricare altul). Rezultă că toate vârfurile sunt [[congruență (geometrie) |congruente]].

Poliedrele uniforme pot fi [[poliedru regulat |regulate]] (dacă sunt și tranzitive pe fețe și muchii), [[Poliedru cvasiregulat |cvasiregulate]] (dacă sunt tranzitive pe muchii, dar nu și pe fețe) sau [[Poliedru semiregulat |semiregulate]] (dacă nu sunt tranzitive nici pe muchii, nici pe fețe). Fețele și vârfurile nu trebuie să fie [[convexitate |convexe]], așa că multe dintre poliedrele uniforme sunt și [[Poledru stelat |poliedre stelate]].

Există două clase infinite de poliedre uniforme, împreună cu alte 75 de poliedre:
* Clase infinite:
** [[Prismă (geometrie) |prisme]],
** [[Antiprismă |antiprisme]];
* Convexe:
** 5 [[Poliedru platonic |poliedre platonice]]: poliedre convexe regulate,
** 13 [[Poliedru arhimedic |poliedre arhimedice]]: 2 poliedre convexe cvasiregulate și 11 semiregulate;
* Stelate (neconvexe):
** 4 [[Poliedru Kepler–Poinsot |poliedre Kepler–Poinsot]]: poliedre neconvexe regulate,
** 53 [[Poliedru stelat uniform |poliedre stelate uniforme]]: 5 poliedre cvasiregulate și 48 semiregulate.

Există, de asemenea, multe poliedre uniforme [[degenerare (matematică)|degenerate]], cu perechi de muchii care coincid, inclusiv unul găsit de John Skilling numit [[marele dirombidodecaedru disnub]] (figura lui Skilling).

[[Poliedru dual |Poliedrele duale]] ale poliedrelor uniforme sunt tranzitive pe fețe ([[figură izoedrică |izoedrice]]) și au [[figura vârfului |figurile vârfurilor]] regulate, și sunt în general clasificate în paralel cu poliedrul lor dual (uniform). Dualul unui poliedru regulat este regulat, în timp ce dualul unui poliedru arhimedic este un [[poliedru Catalan]].

Conceptul de poliedru uniform este un caz special al conceptului de [[politop uniform]], care se aplică și formelor din spațiile din [[dimensiune (matematică) |dimensiuni]] superioare (sau din dimensiuni inferioare).

== Definiție ==
{| class="wikitable" width=300 align=right
|''Păcatul originar din teoria poliedrelor începe cu Euclid și prin Kepler, Poinsot, Cauchy și mulți alții continuă să afecteze toate lucrările pe această temă (inclusiv cele ale autorului de față). Provine din faptul că utilizarea tradițională a termenului „poliedre regulate” a fost, și este, contrară sintaxei și logicii: cuvintele par să sugereze că avem de-a face cu obiecte pe care le numim „poliedre”, cu acele cazuri particulare care merită să fie numite „regulate”. Dar în fiecare etapă&nbsp;— Euclid, Kepler, Poinsot, Hess, Brückner,&nbsp;...&nbsp;— autorii nu au reușit să definească ce sunt „poliedrele” printre care se găsesc cele „regulate”.''

Branko Grünbaum (1994)
|}
{{harvtxt|Coxeter|Longuet-Higgins|Miller|1954}} definesc poliedrele uniforme drept poliedre tranzitive pe vârfuri, cu fețe regulate. Ei definesc un poliedru ca fiind o mulțime finită de poligoane astfel încât fiecare latură a unui poligon să fie o latură a doar unui alt poligon, astfel încât nicio submulțime proprie nevidă a poligoanelor să aibă aceeași proprietate. Prin poligon se înțelege implicit un poligon în [[spațiu euclidian|spațiul euclidian]] [[spațiu tridimensional|tridimensional]]; acestora le este permis să fie dispuse într-o formă neconvexă și să se intersecteze unul cu altul.

Există câteva generalizări ale conceptului de poliedru uniform. Dacă se renunță la presupunerea de conectivitate, atunci se obțin compuși uniformi, care pot fi considerați ca o reuniune de poliedre, cum ar fi [[compus de cinci cuburi |compusul de cinci cuburi]]. Dacă se renunță la condiția ca realizarea poliedrului să nu fie degenerată, atunci se obține așa-numitul poliedru degenerat uniform. Acestea necesită o definiție mai generală a poliedrelor. {{harvtxt|Grünbaum|1994}} a dat o definiție destul de complicată a unui poliedru, în timp ce {{harvtxt|McMullen|Schulte|2002}} a dat o definiție mai simplă și mai generală a unui poliedru: în terminologia lor, un poliedru este un [[politop abstract]] bidimensional cu o realizare tridimensională nedegenerată. Aici un politop abstract este o poziție a „fețelor” sale care îndeplinește diferite condiții, o realizare este o funcție a vârfurilor sale într-un anumit spațiu, iar realizarea se numește nedegenerată dacă oricare două fețe distincte ale politopului abstract au realizări distincte.

Unele dintre modalitățile prin care pot degenera sunt următoarele:
* Fețe ascunse. Unele poliedre au fețe ascunse, în sensul că niciun punct al interiorului lor nu poate fi văzut din exterior. Acestea nu sunt considerate de obicei poliedre uniforme.
* Compuși degenerați. Unele poliedre au muchii multiple și fețele lor sunt fețele a două sau mai multe poliedre, deși acestea nu sunt compuși în sensul anterior, deoarece poliedrele au muchii comune.
* Acoperiri duble. Există unele poliedre neorientabile care au acoperiri duble care satisfac definiția unui poliedru uniform. Acolo acoperirile duble au fețe, laturi și vârfuri dublate. De obicei nu sunt considerate poliedre uniforme.
* Fețe duble. Există mai multe poliedre cu fețe duble produse prin [[construcția Wythoff]]. Mulți autori nu admit fețele duble și le elimină din construcție.
* Margini duble. Figura Skilling are proprietatea că are margini duble (ca în poliedrele uniforme degenerate), dar fețele sale nu pot fi notate ca o reuniune a două poliedre uniforme.

== Istoric ==
=== Poliedre convexe regulate ===
* Poliedrele platonice datează din timpul [[Grecia clasică |grecilor clasici]] și au fost studiate de [[pitagoricieni]]i, [[Platon]] (c. 424–348 î.Hr.), [[Theaetetus]] (c. 417–369 î.Hr.), [[Timaeus din Locri]] (c. 420–380 î.Hr.) și [[Euclid]] (323–285 î.Hr.). [[Etrusci]]i au descoperit dodecaedrul regulat înainte de 500 î.Hr.<ref>Coxeter, ''Regular Polytopes'', p.&nbsp;13</ref>

=== Poliedre convexe uniforme neregulate ===
* [[Cuboctaedru]]l a fost cunoscut de Platon.
* [[Arhimede]] (287–212 î.Hr.) a descoperit toate cele 13 poliedre arhimedice. Lucrarea sa originală despre acest subiect s-a pierdut, dar [[Pappus din Alexandria]] (c. 290–350) a menționat o listă a lui Arhimede cu cele 13 poliedre.
* [[Piero della Francesca]] (1415–1492) a redescoperit cinci poliedre [[trunchiere (geometrie) |trunchiate]] ale poliedrelor platonice: tetraedrul, octaedrul trunchiat, cubul trunchiat, dodecaedrul trunchiat și icosaedrul trunchiat, și a inclus ilustrări și calcule ale proprietăților lor metrice în cartea sa ''De quinque corporibus regularibus'' ({{ro|Despre cele cinci corpuri regulate}}). În altă carte a scris despre cuboctaedru.<ref>{{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/piero.html Piero della Francesca's Polyhedra], georgehart.com, accesat 2021-02-19</ref>
* [[Luca Pacioli]] a plagiat în ''De divina proportione'' ({{ro|Proporția divină}}) din 1509 lucrarea lui della Francesca, adăugând [[rombicuboctaedru]]l, pe care l-a numit ''icosihexaedru'' după cele 26 de fețe ale sale, și care a fost desenat de [[Leonardo da Vinci]].
* [[Johannes Kepler]] (1571–1630) a fost primul care a publicat în 1619 lista completă a poliedrelor arhimedice și a identificat familiile infinite de [[Poliedru uniform prismatic |prisme și antiprisme uniforme]].

=== Poliedre stelate regulate ===
* Kepler a descoperit în 1619 două din poliedrele Kepler–Poinsot regulate iar [[Louis Poinsot]] a descoperit alte două în 1809. [[Augustin Cauchy]] (1789–1857) a demonstrat că acestea sunt toate, iar numele lor a fost dat de [[Arthur Cayley]] (1821–1895).

=== Celelalte 53 de poliedre stelate neregulate ===
* Din restul de 53, [[Edmund Hess]] (1878) a descoperit două, Albert Badoureau (1881) a descoperit încă 36 și, independent, Pitsch (1881) a descoperit 18, din care 3 nu fuseseră descoperite înainte. Împreună acestea erau 41 de poliedre.
* [[Coxeter|H.S.M. Coxeter]] a descoperit restul de 12 în colaborare cu [[J. C. P. Miller]] (1930–1932) dar nu le-a publicat. [[Michael S. Longuet-Higgins|M.S. Longuet-Higgins]] și [[H.C. Longuet-Higgins]] au descoperit independent 11 din ele. Lesavre și Mercier au descoperit 5 din ele în 1947. 
* {{harvtxt|Coxeter|Longuet-Higgins|Miller|1954}} a publicat lista poliedrelor uniforme.
* {{harvtxt|Sopov|1970}} a demonstrat conjectura lor că lista era completă.
* În 1974 [[Magnus Wenninger]] a publicat în cartea sa ''Polyhedron models'' ({{ro|Modele de poliedre}}), lista celor 75 de poliedre uniforme neprismatice, cu mai multe denumiri nepublicate anterior date de [[Norman Johnson]].
* {{harvtxt|Skilling|1975}} a demonstrat independent completitudinea listei și a arătat că dacă definiția poliedrului uniform este relaxată pentru a permite muchiilor să coincidă, atunci există doar o singură posibilitate suplimentară.
* În 1987, [[Edmond Bonan]] a trasat toate poliedrele uniforme și dualele lor în 3D, cu un program Turbo Pascal numit ''Polyca'': aproape toate acestea au fost prezentate în cadrul Congresului Uniunii Stereoscopice Internaționale desfășurat la Congress Theatre, Eastbourne, Regatul Unit.<ref>{{en icon}} {{Cite web | url=http://www.stereo-club.fr/GalerieSCF/main.php?cmd=album&var1=Edmond+Bonan%2FPolyedres/&var2=3 | title=Stéréo-Club Français - Galerie : Polyedres | accessdate=2021-02-19 | archive-date=2016-10-09 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161009084548/http://www.stereo-club.fr/GalerieSCF/main.php?cmd=album&var1=Edmond+Bonan%2FPolyedres%2F&var2=3 | dead-url=yes }}</ref>
* În 1993 Zvi Har'El a realizat o construcție caleidoscopică completă a poliedrelor uniforme și a dualelor lor cu un program de calculator numit ''Kaleido'' și le-a rezumat în articolul ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra'' ({{ro|Soluție uniformă pentru poliedre uniforme}}), ilustrat cu 80 de figuri.<ref>{{en icon}} Har'El, Z. [http://harel.org.il/zvi/docs/uniform.pdf ''Uniform Solution for Uniform Polyhedra.''], Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. [http://harel.org.il/zvi Zvi Har’El], [http://harel.org.il/zvi/kaleido/ Kaleido software], [http://harel.org.il/zvi/kaleido/poly.html Images], [http://harel.org.il/zvi/kaleido/dual.html dual images]</ref>
* Tot în 1993, R. Mäder a portat această soluție Kaleido la [[Mathematica]] cu un sistem de indexare ușor diferit.<ref>{{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly Mäder, R. E.] ''Uniform Polyhedra.'' Mathematica J. 3, 48-57, 1993. [http://library.wolfram.com/infocenter/Articles/2254]</ref>
* În 2002 Peter W. Messer a descoperit un set minim de expresii pentru determinarea principalelor cantități combinatorice și metrice ale oricărui poliedru uniform (și ale dualului său) dat doar de [[simbol Wythoff |simbolul său Wythoff]].<ref>[http://www.springerlink.com/content/me48wm7823jhdcpe/fulltext.pdf?page=1 Closed-Form Expressions for Uniform Polyhedra and Their Duals, Peter W. Messer, Discrete Comput Geom 27:353–375 (2002)]{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }} ([https://web.archive.org/web/20190505022701/https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2Fs00454-001-0078-2.pdf arhivă])</ref>

== Poliedre stelate uniforme ==
<!-- {{Articol principal|Poliedru stelat uniform}} -->
[[Fișier:Great dirhombicosidodecahedron.png|thumb|Marele dirombicosidodecaedru, singurul poliedru uniform ne-Wythoffian]]
Cele 57 de forme neconvexe neprismatice, cu excepția [[marele dirombicosidodecaedru |marelui dirombicosidodecaedru]], sunt compilate după construcțiile Wythoff din [[triunghi Schwarz |triunghiurile Schwarz]].

== Forme convexe prin construcție Wythoff ==
{{imagine multiplă
| align = right
| direction = vertical
| width = 400
| image1 = Wythoffian construction diagram.svg
| image2 = Polyhedron truncation example3.png
| caption2 = Exemple de forme de cub și octaedru}}
Poliedrele uniforme convexe pot fi denumite după operațiile [[construcția Wythoff |construcției Wythoff]] în forme regulate.

Mai detaliat, poliedrul uniform convex este dat mai jos de construcția Wythoff în cadrul fiecărui grup de simetrie.

În cadrul construcției Wythoff, există repetări create de forme cu simetrie inferioară. Cubul este atât un poliedru regulat cât și o [[prismă pătrată]]. [[Octaedru]]l este un poliedru regulat și o antiprismă triunghiulară. Octaedrul este, de asemenea, un ''tetraedru rectificat''. Multe poliedre apar repetat, din diferite surse de construcție și sunt colorate diferit.

Construcția Wythoff se aplică în mod egal poliedrelor uniforme și [[pavare uniformă |pavărilor uniforme]] ale [[Poliedru sferic |suprafeței unei sfere]], deci sunt date imagini ale ambelor. Pavările sferice incluzând mulțimile de [[hosoedru |hosoedre]] și [[diedru |diedre]], care sunt poliedre degenerate.

Aceste grupuri de simetrie sunt formate din reflexiile [[Grup punctual în spațiul tridimensional |grupurilor de puncte în spațiul tridimensional]], fiecare reprezentat printr-un triunghi fundamental (''p''&nbsp;''q''&nbsp;''r''), unde ''p''&nbsp;>&nbsp;1, ''q''&nbsp;>&nbsp;1, ''r''&nbsp;>&nbsp;1 și {{nowrap|1/''p'' + 1/''q'' + 1/''r'' < 1}}.
* [[Simetrie tetraedrică]] (3 3 2) – [[ordin de simetrie|ordinul]] 24
* [[Simetrie octaedrică]] (4 3 2) – ordinul 48
* [[Simetrie icosaedrică]] (5 3 2) – ordinul 120
* [[Simetrie diedrală]] (''n'' 2 2), pentru ''n'' = 3,4,5,... – ordinul 4''n''

Restul formelor nereflexive sunt construite prin operațiuni de [[Alternare (geometrie) |alternare]] aplicate poliedrelor cu un număr par de muchii.

Împreună cu prismele și [[simetrie diedrală |simetria diedrală]] a acestora, procesul de construcție sferic Wythoff adaugă două clase ''regulate'' care devin degenerate ca poliedre: ''[[Diedru |diedrele]]'' și ''[[Hosoedru | hosoedrele]]'', prima având doar două fețe, iar a doua doar două vârfuri. Trunchierea ''hosoedrelor'' regulate creează prismele.

Dedesubt, poliedrele uniforme convexe sunt numerotate 1–18 pentru formele neprismatice așa cum sunt prezentate în tabele prin forma de simetrie.

Pentru setul infinit de forme prismatice, acestea sunt grupate în patru familii:
# [[Hosoedru |Hosoedre]] ''H''<sub>2...</sub> (doar ca pavări sferice)
# [[Diedru|Diedre]] ''D''<sub>2...</sub> (doar ca pavări sferice)
# [[Prismă (geometrie)|Prisme]] ''P''<sub>3...</sub> (hosoedre trunchiate)
# [[Antiprismă |Antiprisme]] ''A''<sub>3...</sub> (prisme [[snub]])

=== Tabele rezumative ===
{| class="wikitable" width=800
|- valign=top
!Nume [[Norman Johnson |Johnson]]
!Inițial
![[Trunchiere (geometrie) |Trunchiat]]
![[Rectificare (geometrie) |Rectificat]]
![[Bitrunchiere |Bitrunchiat]]<br />(dual tr.)
!Birectificat<br />(dual)
![[Cantelare |Cantelat]]
![[Omnitrunchiere |Omnitrunchiat]]<br />(<small>cantitrunchiat</small>)
![[Snub]]
|- valign=top
![[Diagramă Coxeter]]
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}<br />{{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}<br />{{CDD|node|split1-pq|nodes_11}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}<br />{{CDD|node_1|split1-pq|nodes_11}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}<br />{{CDD|node_h|split1-pq|nodes_hh}}
|-
!rowspan=3|[[Simbol Schläfli]]<br/>extins
!<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}
!2r{p,q}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
!t<sub>0</sub>{p,q}
!t<sub>0,1</sub>{p,q}
!t<sub>1</sub>{p,q}
!t<sub>1,2</sub>{p,q}
!t<sub>2</sub>{p,q}
!t<sub>0,2</sub>{p,q}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|-
![[Simbol Wythoff]]<br />(p q 2)
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
![[Figura vârfului]]
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p.2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p.4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p.3.q
|- align=center
|[[Simetrie tetraedrică |Tetraedrică]]<br />(3 3 2)
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t0.png|72px]]<br />[[tetraedru|3.3.3]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t01.png|72px]]<br />[[tetraedru trunchiat|3.6.6]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t1.svg|72px]]<br />[[octaedru|3.3.3.3]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t12.png|72px]]<br />[[tetraedru trunchiat|3.6.6]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|72px]]<br />[[tetraedru|3.3.3]]
| [[Fișier:Uniform polyhedron-33-t02.svg|72px]]<br />[[cuboctaedru|3.4.3.4]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t012.png|72px]]<br />[[octaedru trunchiat|4.6.6]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-s012.svg|72px]]<br />[[icosaedru|3.3.3.3.3]]
|- align=center
|[[Simetrie octaedrică|Octaedrică]]<br />(4 3 2)
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t0.svg|72px]]<br />[[cub|4.4.4]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t01.svg|72px]]<br />[[cub trunchiat|3.8.8]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t1.svg|72px]]<br />[[cuboctaedru|3.4.3.4]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t12.svg|72px]]<br />[[octaedru trunchiat|4.6.6]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.svg|72px]]<br />[[octaedru|3.3.3.3]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t02.png|72px]]<br />[[rombicuboctaedru mic|3.4.4.4]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t012.png|72px]]<br />[[cuboctaedru trunchiat|4.6.8]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|72px]]<br />[[cub snub|3.3.3.3.4]]
|- align=center
|[[Simetrie icosaedrică|Icosaedrică]]<br />(5 3 2)
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t0.svg|72px]]<br />[[dodecaedru|5.5.5]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t01.svg|72px]]<br />[[dodecaedru trunchiat|3.10.10]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t1.svg|72px]]<br />[[icosidodecaedru|3.5.3.5]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t12.svg|72px]]<br />[[icosaedru trunchiat|5.6.6]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t2.svg|72px]]<br />[[icosaedru|3.3.3.3.3]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t02.png|72px]]<br />[[rombicosidodecaedru|3.4.5.4]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t012.png|72px]]<br />[[icosidodecaedru trunchiat|4.6.10]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-s012.png|72px]]<br />[[dodecaedru snub|3.3.3.3.5]] 
|}

;Exemple de simetrii diedrale:
Sfera nu este tăiată, doar pavarea este tăiată. Pe o sferă, o muchie este un [[arc de cerc|arc]] de [[cerc mare]], cea mai scurtă cale între cele două vârfuri ale sale. Prin urmare, un [[digon]] ale cărui vârfuri nu sunt opuse polar este plat: arată ca o muchie.
{| class="wikitable" width=800
|-
!(p 2 2)
!Inițial
!Trunchiat
!Rectificat
!Bitrunchiat<br />(dual tr.)
!Birectificat<br />(dual)
!Cantelat
!Omnitrunchiat<br />(<small>cantitrunchiat</small>)
!Snub
|-
![[Diagramă Coxeter]]
!{{CDD|node_1|p|node|2|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|2|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|2|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|2|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|2|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|2|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|2|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|2x|node_h}}
|-
!rowspan=3|[[Simbol Schläfli]]<br/>extins
!<math>\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p , 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>\begin{Bmatrix} 2 , p \end{Bmatrix}</math>
!<math>r\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>t\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
!<math>s\begin{Bmatrix} p \\ 2 \end{Bmatrix}</math>
|-
!{p,2}
!t{p,2}
!r{p,2}
!2t{p,2}
!2r{p,2}
!rr{p,2}
!tr{p,2}
!sr{p,2}
|-
!t<sub>0</sub>{p,2}
!t<sub>0,1</sub>{p,2}
!t<sub>1</sub>{p,2}
!t<sub>1,2</sub>{p,2}
!t<sub>2</sub>{p,2}
!t<sub>0,2</sub>{p,2}
!t<sub>0,1,2</sub>{p,2}
!ht<sub>0,1,2</sub>{p,2}
|-
![[Simbol Wythoff]]
! 2 &#124; p 2
! 2 2 &#124; p
! 2 &#124; p 2
! 2 p &#124; 2
! p &#124; 2 2
! p 2 &#124; 2
! p 2 2 &#124;
! &#124; p 2 2
|-
![[Figura vârfului]]
!p<sup>2</sup>
!2.2p.2p
!p.2.p.2
!p.4.4
!2<sup>p</sup>
!p.4.2.4
!4.2p.4
!3.3.3.p
|- align=center
|[[Simetrie diedrală|Diedrală]]<br />(2 2 2)
| [[Fișier:Digonal dihedron.png|72px]]<br />[[diedru|{2,2}]]
| [[Fișier:Tetragonal dihedron.png|72px]]<br />2.4.4
| [[Fișier:Digonal dihedron.png|72px]]<br />2.2.2.2
| [[Fișier:Tetragonal dihedron.png|72px]]<br />4.4.2
| [[Fișier:Digonal dihedron.png|72px]]<br />[[hosoedru|2.2]]
| [[Fișier:Tetragonal dihedron.png|72px]]<br />2.4.2.4
| [[Fișier:Spherical square prism2.png|72px]]<br />4.4.4
| [[Fișier:Spherical digonal antiprism.svg|72px]]<br />3.3.3.2
|- align=center
|[[Simetrie diedrală|Diedrală]]<br />(3 2 2)
| [[Fișier:Trigonal dihedron.png|72px]]<br />[[diedru|3.3]]
| [[Fișier:Hexagonal dihedron.png|72px]]<br />2.6.6
| [[Fișier:Trigonal dihedron.png|72px]]<br />2.3.2.3
| [[Fișier:Spherical triangular prism.svg|72px]]<br />4.4.3
| [[Fișier:Spherical trigonal hosohedron.svg|72px]]<br />[[hosoedru|2.2.2]]
| [[Fișier:Spherical triangular prism.svg|72px]]<br />2.4.3.4
| [[Fișier:Spherical hexagonal prism2.png|72px]]<br />4.4.6
| [[Fișier:Spherical trigonal antiprism.svg|72px]]<br />3.3.3.3
|- align=center
|[[Simetrie diedrală|Diedrală]]<br />(4 2 2)
| [[Fișier:Tetragonal dihedron.png|72px]]<br />[[diedru|4.4]]
| 2.8.8
| [[Fișier:Tetragonal dihedron.png|72px]]<br />2.4.2.4
| [[Fișier:Spherical square prism.svg|72px]]<br />4.4.4
| [[Fișier:Spherical square hosohedron.svg|72px]]<br />[[hosoedru|2.2.2.2]]
| [[Fișier:Spherical square prism.svg|72px]]<br />2.4.4.4
| [[Fișier:Spherical octagonal prism2.png|72px]]<br />4.4.8
| [[Fișier:Spherical square antiprism.svg|72px]]<br />3.3.3.4
|- align=center
|[[Simetrie diedrală|Diedrală]]<br />(5 2 2)
| [[Fișier:Pentagonal dihedron.png|72px]]<br />[[diedru|5.5]]
| 2.10.10
| [[Fișier:Pentagonal dihedron.png|72px]]<br />2.5.2.5
| [[Fișier:Spherical pentagonal prism.svg|72px]]<br />4.4.5
| [[Fișier:Spherical pentagonal hosohedron.svg|72px]]<br />[[hosoedru|2.2.2.2.2]]
| [[Fișier:Spherical pentagonal prism.svg|72px]]<br />2.4.5.4
| [[Fișier:Spherical decagonal prism2.png|72px]]<br />4.4.10
| [[Fișier:Spherical pentagonal antiprism.svg|72px]]<br />3.3.3.5
|- align=center
|[[Simetrie diedrală|Diedrală]]<br />(6 2 2)
| [[Fișier:Hexagonal dihedron.png|72px]]<br />[[diedru|6.6]]
| [[Fișier:Dodecagonal dihedron.png|72px]]<br />2.12.12
| [[Fișier:Hexagonal dihedron.png|72px]]<br />2.6.2.6
| [[Fișier:Spherical hexagonal prism.svg|72px]]<br />4.4.6
| [[Fișier:Spherical hexagonal hosohedron.svg|72px]]<br />[[hosoedru|2.2.2.2.2.2]]
| [[Fișier:Spherical hexagonal prism.svg|72px]]<br />2.4.6.4
| [[Fișier:Spherical dodecagonal prism2.png|72px]]<br />4.4.12
| [[Fișier:Spherical hexagonal antiprism.svg|72px]]<br />3.3.3.6
|}

===(3 3 2) T<sub>d</sub> simetrie tetraedrică ===
{{imagine multiplă
| align = right
| direction = orizontal
| width = 120
| image1 = Tetrakishexahedron.jpg
| image2 = Tetrahedral reflection domains.png
| image3 = Sphere symmetry group td.png
}}
Simetria tetraedrică a sferei generează 5 poliedre uniforme și o a 6-a formă printr-o operație snub.

[[Simetrie tetraedrică |Simetria tetraedrică]] este reprezentată de un triunghi fundamental cu un vârf cu două oglindiri și două vârfuri cu trei oglindiri, reprezentate de simbolul (3 3 2). Poate fi reprezentată și de [[grup Coxeter |grupul Coxeter]] A<sub>2</sub> sau [3,3], sau de o diagramă Coxeter: {{CDD|node|3|node|3|node}}.

Există 24 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele [[hexaedru tetrakis |hexaedrului tetrakis]] și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Graf<br />A<sub>3</sub>
!rowspan=2|Graf<br />A<sub>2</sub>
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br />[[Diagramă Coxeter |Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|3|node}}<br />[3]<br />(4)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2||node}}<br />[2]<br />(6)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|3|node}}<br />[3]<br />(4)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!1
|[[Tetraedru]]
|[[Fișier:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t0.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t0-1-.svg|50px]]
|[[Fișier:Tetrahedron vertfig.svg|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node}}<br />{3,3}
|[[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
|
|
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![1]
|Tetraedru birectificat<br />(tetraedru)
|[[Fișier:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node|3|node_1}}<br />t<sub>2</sub>{3,3}={3,3}
|
|
|[[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 4
| 6
| 4
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!2
|Tetraedru rectificat,<br />Tetratetraedru<br />([[octaedru]])
|[[Fișier:3-simplex t1.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t1 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t1.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t1-1-.png|50px]]
|[[Fișier:Octahedron vertfig.svg|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|3|node}}<br />t<sub>1</sub>{3,3}=r{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!3
|[[Tetraedru trunchiat]]
|[[Fișier:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t01.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t01-1-.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|3|node}}<br />t<sub>0,1</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![3]
|Tetraedru bitrunchiat<br />([[tetraedru trunchiat]])
|[[Fișier:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>1,2</sub>{3,3}=t{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!4
|Tetraedru cantelat,<br />Rombitetratetraedru<br />([[cuboctaedru]])
|[[Fișier:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|3|node_1}}<br />t<sub>0,2</sub>{3,3}=rr{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!5
|Tetraedru omnitrunchiat,<br />Tetratetraedru trunchiat<br />([[octaedru trunchiat]])
|[[Fișier:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{3,3}=tr{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!6
|Tetratetraedru snub<br />([[icosaedru]])
|[[Fișier:icosahedron graph A3.png|50px]]
|[[Fișier:icosahedron graph A2.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-s012.svg|50px]]
|[[Fișier:Spherical snub tetrahedron.svg|50px]]
|[[Fișier:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|3|node_h}}<br />sr{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|}

===(4 3 2) O<sub>h</sub> simetrie octaedrică ===
{{imagine multiplă
| align = right
| direction = orizontal
| width = 120
| image1 = Disdyakisdodecahedron.jpg
| image2 = Octahedral reflection domains.png
| image3 = Sphere symmetry group oh.png
}}
[[Simetrie octaedrică |Simetria octaedrică]] a sferei generează 7 poliedre uniforme și alt 7 prin alternare. Șase din aceste forme sunt repetări ale simetriei tetraedrice din tabelul anterior.

Simetria octaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (4 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter B<sub>2</sub> sau [4,3], sau de o diagramă Coxeter: {{CDD|node|4|node|3|node}}.

Există 48 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele [[dodecaedru disdiakis |dodecaedrului disdiakis]] și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Graf<br />B<sub>3</sub>
!rowspan=2|Graf<br />B<sub>2</sub>
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br />[[Diagramă Coxeter |Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|4|node|2}}<br />[4]<br />(6)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|2|node}}<br />[2]<br />(12)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|3|node}}<br />[3]<br />(8)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!7
|[[Cub]]
|[[Fișier:3-cube t0.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t0 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t0.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t0.png|50px]]
|[[Fișier:Cube vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|3|node}}<br />{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![2]
|[[Octaedru]]
|[[Fișier:3-cube t2.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t2 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t2.png|50px]]
|[[Fișier:Octahedron vertfig.svg|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node|3|node_1}}<br />{3,4}
|
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
![4]
|Cub rectificat,<br />Octaedru rectificat<br />([[cuboctaedru]])
|[[Fișier:3-cube t1.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t1 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t1.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t1.png|50px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|3|node}}<br />{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!8
|[[Cub trunchiat]]
|[[Fișier:3-cube t01.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t01 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t01.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t01.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated cube vertfig.svg|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|3|node}}<br />t<sub>0,1</sub>{4,3}=t{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_8.svg|30px]]<br />[[Octogon|{8}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![5]
|[[Octaedru trunchiat]]
|[[Fișier:3-cube t12.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t12 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t12.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>0,1</sub>{3,4}=t{3,4}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!9
|Cub cantelat,<br />Octaedru cantelat,<br />[[Rombicuboctaedru]]
|[[Fișier:3-cube t02.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|3|node_1}}<br />t<sub>0,2</sub>{4,3}=rr{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!10
|Cub omnitrunchiat,<br />Octaedru omnitrunchiat,<br />[[Cuboctaedru trunchiat]]
|[[Fișier:3-cube t012.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t012 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Great_rhombicuboctahedron_vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{4,3}=tr{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_8.svg|30px]]<br />[[Octogon|{8}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 26
| 72
| 48
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![6]
|Octaedru snub<br />([[icosaedru]])
|[[Fișier:3-cube h01.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube h01 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-h01.svg|50px]]
|[[Fișier:Spherical alternated truncated octahedron.png|50px]]
|[[Fișier:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_h|3|node_h}}<br />= {{CDD|nodes_hh|split2|node_h}}<br />s{3,4}=sr{3,3}
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 20
| 30
| 12

|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![1]
|Semicub<br />([[tetraedru]])
|[[Fișier:3-simplex t0 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t0.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|4|node|3|node}}<br />= {{CDD|nodes_10ru|split2|node}}<br />h{4,3}={3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br /><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Triunghi|{3}]]
|
|
| 4
| 6
| 4

|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![2]
|Cub cantic<br />([[tetraedru trunchiat]])
|[[Fișier:3-simplex t01 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t01.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated tetrahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|4|node|3|node_1}}<br />= {{CDD|nodes_10ru|split2|node_1}}<br />h<sub>2</sub>{4,3}=t{3,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br /> <sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Hexagon|{6}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br /><sup>1</sup>/<sub>2</sub> [[Triunghi|{3}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![4]
|([[cuboctaedru]])
|[[Fișier:3-simplex t02 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t02.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t02.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Cuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h0|4|node_1|3|node}}<br />= {{CDD|nodes_11|split2|node}}<br />rr{3,3}
|
|
|
|14
|24
|12
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![5]
|([[octaedru trunchiat]])
|[[Fișier:3-simplex t012 A2.svg|50px]]
|[[Fișier:3-simplex t012.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated octahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h0|4|node_1|3|node_1}}<br />= {{CDD|nodes_11|split2|node_1}}<br />tr{3,3}
|
|
|
|14
|36
|24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
![9]
|Octaedru cantic snub<br />([[rombicuboctaedru]])
|[[Fișier:3-cube t02.svg|50px]]
|[[Fișier:3-cube t02 B2.svg|50px]]
|[[Fișier:Rhombicuboctahedron uniform edge coloring.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Small rhombicuboctahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_h|3|node_h}}<br />s<sub>2</sub>{3,4}=rr{3,4}
|
|
|
| 26
| 48
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!11
|[[Cub snub|Cuboctaedru snub]]
|[[Fișier:Snub cube_A2.png|50px]]
|[[Fișier:Snub cube_B2.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-s012.png|50px]]
|[[Fișier:Spherical snub cube.png|50px]]
|[[Fișier:Snub cube vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|3|node_h}}<br />sr{4,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 38
| 60
| 24
|}

=== (5 3 2) I<sub>h</sub> simetrie icosaedrică ===
{{imagine multiplă
| align = right
| direction = orizontal
| width = 120
| image1 = Disdyakistriacontahedron.jpg
| image2 = Icosahedral reflection domains.png
| image3 = Sphere symmetry group ih.png
}}
[[Simetrie icosaedrică |Simetria icosaedrică]] a sferei generează 7 poliedre uniforme și încă 1 prin alternare. Doar unul este o repetare a simetriei tetraedrice și octaedriece din tabelele anterioare.

Simetria icosaedrică este reprezentată de un triunghi fundamental (5 3 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentată și de grupul Coxeter G<sub>2</sub> sau [5,3], sau de o diagramă Coxeter: {{CDD|node|5|node|3|node}}.

Există 120 de triunghiuri, vizibile în imaginile de alături pe fețele [[triacontaedru disdiakis |triacontaedrului disdiakis]] și în triunghiurile colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Graf<br />(A<sub>2</sub>)<br />[6]
!rowspan=2|Graf<br />(H<sub>3</sub>)<br />[10]
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br />[[Diagramă Coxeter |Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|5|node|2}}<br />[5]<br />(12)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(30)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|3|node}}<br />[3]<br />(20)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!12
|[[Dodecaedru]]
|[[Fișier:Dodecahedron A2 projection.svg|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron H3 projection.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t0.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t0.png|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|3|node}}<br />{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
|
|
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
![6]
|[[Icosaedru]]
|[[Fișier:Icosahedron A2 projection.svg|50px]]
|[[Fișier:Icosahedron H3 projection.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t2.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t2.png|50px]]
|[[Fișier:Icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node|3|node_1}}<br />{3,5}
|
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 20
| 30
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!13
|Dodecaedru rectificat,<br />Icosaedru rectificat,<br />[[Icosidodecaedru]]
|[[Fișier:Dodecahedron t1 A2.png|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t1 H3.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t1.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t1.png|50px]]
|[[Fișier:Icosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|3|node}}<br />t<sub>1</sub>{5,3}=r{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 32
| 60
| 30
|- BGCOLOR="#f0e0e0" align=center
!14
|[[Dodecaedru trunchiat]]
|[[Fișier:Dodecahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t01 H3.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t01.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t01.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node}}<br />t<sub>0,1</sub>{5,3}=t{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Decagon|{10}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0e0f0" align=center
!15
|[[Icosaedru trunchiat]]
|[[Fișier:Icosahedron t01 A2.png|50px]]
|[[Fișier:Icosahedron t01 H3.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t12.svg|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t12.png|50px]]
|[[Fișier:Truncated icosahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>0,1</sub>{3,5}=t{3,5}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
|
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 32
| 90
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!16
|Dodecaedru cantelat,<br />Icosaedru cantelat,<br />[[Rombicosidodecaedru]]
|[[Fișier:Dodecahedron t02 A2.png|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t02 H3.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t02.png|50px]]
|[[Fișier:Small rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|3|node_1}}<br />t<sub>0,2</sub>{5,3}=rr{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 62
| 120
| 60
|- BGCOLOR="#e0f0e0" align=center
!17
|Dodecaedru omnitrunchiat,<br />Icosaedru omnitrunchiat,<br />[[Icosidodecaedru trunchiat]]
|[[Fișier:Dodecahedron t012 A2.png|50px]]
|[[Fișier:Dodecahedron t012 H3.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t012.png|50px]]
|[[Fișier:Great rhombicosidodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|3|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{5,3}=tr{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Decagon|{10}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| 62
| 180
| 120
|- BGCOLOR="#d0f0f0" align=center
!18
|[[Dodecaedru snub |Icosidodecaedru snub]]
|[[Fișier:Snub dodecahedron A2.png|50px]]
|[[Fișier:Snub dodecahedron H2.png|50px]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-s012.png|50px]]
|[[Fișier:Spherical snub dodecahedron.png|50px]]
|[[Fișier:Snub dodecahedron vertfig.png|50px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|3|node_h}}<br />sr{5,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| 92
| 150
| 60
|}

=== (p 2 2) Familia prismelor [p,2], I<sub>2</sub>(p) (D<sub>''p''h</sub> simetrie diedrală) ===
<!-- {{Articol principal |Poliedru uniform prismatic}} -->
[[Simetrie diedrală |Simetria diedrală]] a sferei generează două mulțimi infinite de poliedre uniforme, prisme și antiprisme și alte două mulțimi infinite de poliedre degenerate, hosoedrele și diedrele care există ca pavări pe sferă.

Simetria diedrală este reprezentată de triunghiul fundamental (p 2 2) având oglindiri în fiecare vârf. Poate fi reprezentat de grupul Coxeter I<sub>2</sub>(p) sau [n,2], precum și de o diagramă Coxeter prismatică: {{CDD|node|p|node|2|node}}.

Mai jos sunt primele cinci simetrii diedrale: D<sub>2</sub> ... D<sub>6</sub>. Simetria diedrală D<sub>p</sub> are ordinul ''4n'', reprezintă fețele unei [[bipiramidă |bipiramide]], iar pe ecuatorul unei sfere un cerc de longitudine cu ''n'' arce de longitudine la distanțe egale.

{{imagine multiplă
| align = right
| direction = orizontal
| width = 120
| image1 = Octahedron.jpg
| image2 = Sphere symmetry group d2h.png
}}
==== (2 2 2) Simetrie diedrală ====
Există 8 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele [[bipiramidă pătrată |bipiramidei pătrate]] (octaedru) și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br/>[[Diagramă Coxeter|Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|2|node|2|}}<br />[2]<br />(2)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(2)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|2|node}}<br />[2]<br />(2)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>2</sub><br />H<sub>2</sub>
|[[Diedru digonal]],<br />[[hosoedru digonal]]
|
|[[Fișier:digonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|2|node|2|node}}<br />{2,2}
| [[Fișier:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<br />[[Digon|{2}]]
|
|
| 2
| 2
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>4</sub>
|Diedru digonal trunchiat <br />([[diedru pătrat]])
|
|[[Fișier:tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|2|node_1|2|node}}<br />t{2,2}={4,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!P<sub>4</sub><br />[7]
|Diedru digonal omnitrunchiat<br />([[cub]])
|[[Fișier:Uniform polyhedron 222-t012.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical square prism2.png|60px]]
|[[Fișier:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|2|node_1|2|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{2,2}=tr{2,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><br />[1]
|Diedru digonal snub<br />([[tetraedru]])
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical digonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|2x|node_h|2x|node_h}}<br />sr{2,2}
|
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| &nbsp;
| 4
| 6
| 4
|}

{{Imagine dublă
|poz=dreapta
|img-st=Hexagonale bipiramide.png
|img-st-marime=80
|img-dr=Sphere symmetry group d3h.png
|img-dr-marime=120
}}
==== (3 2 2) D<sub>3h</sub> simetrie diedrală ====
Există 12 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele [[bipiramidă hexagonală |bipiramidei hexagonale]] și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br/>[[Diagramă Coxeter|Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|3|node|2}}<br />[3]<br />(2)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(3)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|2|node}}<br />[2]<br />(3)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>3</sub>
|[[Diedru trigonal]]
|
|[[Fișier:Trigonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|3|node|2|node}}<br />{3,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
|
|
| 2
| 3
| 3
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>3</sub>
|[[Hosoedru trigonal]]
|
|[[Fișier:Trigonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|3|node|2|node_1}}<br />{2,3}
| 
|
| [[Fișier:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<br />[[Digon|{2}]]
| 3
| 3
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>6</sub>
|Diedru trigonal trunchiat<br />([[diedru hexagonal]])
|
|[[Fișier:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|2|node}}<br />t{3,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>3</sub>
|Hosoedru trigonal trunchiat<br />([[prismă triunghiulară]])
|[[Fișier:Triangular prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|3|node_1|2|node_1}}<br />t{2,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| 5
| 9
| 6
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>6</sub>
|Diedru trigonal omnitrunchiat<br />([[Prismă hexagonală]])
|[[Fișier:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical hexagonal prism2.png|60px]]
|[[Fișier:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|3|node_1|2|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{2,3}=tr{2,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><br />[2]
|Diedru trigonal snub<br />([[octaedru |antiprismă triunghiulară]]),<br />([[Octaedru]])
|[[Fișier:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical trigonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Octahedron vertfig.svg|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|2x|node_h}}<br />sr{2,3}
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|30px]]<br />[[Triunghi|{3}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| &nbsp;
| 8
| 12
| 6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|Diedru trigonal snub cantic<br />([[prismă triunghiulară]])
|[[Fișier:Triangular prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|3|node_h|2x|node_1}}<br />s<sub>2</sub>{2,3}=t{2,3}
|
|
|
| 5
| 9
| 6
|}

[[Fișier:Octagonal bipyramid.png|thumb|120px]]

==== (4 2 2) D<sub>4h</sub> simetrie diedrală ====
Există 16 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele [[bipiramidă octogonală |bipiramidei octogonale]] și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br/>[[Diagramă Coxeter|Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|4|node|2}}<br />[4]<br />(2)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(4)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|2|node}}<br />[2]<br />(4)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>4</sub>
|[[Diedru pătrat]]
|
|[[Fișier:Tetragonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|4|node|2|node}}<br />{4,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
|
| 2
| 4
| 4
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>4</sub>
|[[Hosoedru pătrat]]
|
|[[Fișier:Spherical square hosohedron.svg|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|4|node|2|node_1}}<br />{2,4}
| 
|
| [[Fișier:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<br />[[Digon|{2}]]
| 4
| 4
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|Diedru pătrat trunchiat<br />([[diedru octogonal]])
|
|
|
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|2|node}}<br />t{4,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_8.svg|30px]]<br />[[Octogon|{8}]]
|
|
| 2
| 8
| 8
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>4</sub><br />[7]
|Hosoedru pătrat trunchiat<br />([[cub]])
|[[Fișier:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical square prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_1|2|node_1}}<br />t{2,4}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>8</sub>
|Diedru pătrat omnitrunchiat<br />([[prismă octogonală]])
|[[Fișier:Octagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical octagonal prism2.png|60px]]
|[[Fișier:Octagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|4|node_1|2|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{2,4}=tr{2,4}
| [[Fișier:Regular_polygon_8.svg|30px]]<br />[[Octogon|{8}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| 10
| 24
| 16
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>4</sub>
|Diedru pătrat snub<br />([[antiprismă pătrată]])
|[[Fișier:Square antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical square antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Square antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|2x|node_h}}<br />sr{2,4}
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| &nbsp;
| 10
| 16
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>4</sub><br />[7]
|Diedru pătrat snub cantic<br />([[cub]])
|[[Fișier:Tetragonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical square prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Cube vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|4|node_h|2x|node_1}}<br />s<sub>2</sub>{4,2}=t{2,4}
|
|
|
| 6
| 12
| 8
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>2</sub><br />[1]
|Hosoedru pătrat snub<br />([[antiprismă digonală]]),<br />([[tetraedru]])
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical digonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Tetrahedron vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|4|node_h|2x|node_h}}<br />s{2,4}=sr{2,2}
|
|
|
| 4
| 6
| 4
|}

[[Fișier:Decagonal bipyramid.png|thumb|120px]]

==== (5 2 2) D<sub>5h</sub> simetrie diedrală ====
Există 20 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele [[bipiramidă decagonală |bipiramidei decagonale]] și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă:
{{-}}
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br/>[[Diagramă Coxeter|Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|5|node|2}}<br />[5]<br />(2)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(5)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|2|node}}<br />[2]<br />(5)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>5</sub>
|[[Diedru pentagonal]]
|
|[[Fișier:Pentagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|5|node|2|node}}<br />{5,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
|
|
| 2
| 5
| 5
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>5</sub>
|[[Hosoedru pentagonal]]
|
|[[Fișier:Spherical pentagonal hosohedron.svg|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|5|node|2|node_1}}<br />{2,5}
| 
|
| [[Fișier:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<br />[[Digon|{2}]]
| 5
| 5
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>10</sub>
|Diedru pentagonal trunchiat<br />([[diedru decagonal]])
|
|
|
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|2|node}}<br />t{5,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Decagon|{10}]]
|
|
| 2
| 10
| 10
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!P<sub>5</sub>
|Hosoedru pentagonal trunchiat<br />([[prismă pentagonală]])
|[[Fișier:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical pentagonal prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|5|node_1|2|node_1}}<br />t{2,5}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| 7
| 15
| 10
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>10</sub>
|Diedru pentagonal omnitrunchiat<br />([[prismă decagonală]])
|[[Fișier:Decagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical decagonal prism2.png|60px]]
|[[Fișier:Decagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|5|node_1|2|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{2,5}=tr{2,5}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Decagon|{10}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| 12
| 30
| 20
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>5</sub>
|Diedru pentagonal snub<br />([[antiprismă pentagonală]])
|[[Fișier:Pentagonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical pentagonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Pentagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_h}}<br />sr{2,5}
| [[Fișier:Regular_polygon_5.svg|30px]]<br />[[Pentagon|{5}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
| &nbsp;
| 12
| 20
| 10
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>5</sub>
|Diedru pentagonal snub cantic <br />([[prismă pentagonală]])
|[[Fișier:Pentagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical pentagonal prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Pentagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|5|node_h|2x|node_1}}<br />s<sub>2</sub>{5,2}=t{2,5}
|
|
|
| 7
| 15
| 10
|}

==== (6 2 2) D<sub>6h</sub> simetrie diedrală ====
Există 24 triunghiuri fundamentale, vizibile pe fețele [[bipiramidă dodecagonală |bipiramidei dodecagonale]] și triunghiuri colorate alternativ pe o sferă.
{| class="wikitable"
!rowspan=2|#
!rowspan=2|Nume
!rowspan=2|Imagine
!rowspan=2|Pavare
!rowspan=2|[[Figura vârfului |Figura<br />vârfului]]
!rowspan=2|Simbol<br/>[[Diagramă Coxeter|Coxeter]] și<br />[[Simbol Schläfli |Schläfli]]
!colspan=3|Numărul fețelor după poziție
!colspan=3|Numărul elementelor
|-
! Poz. 2<br />{{CDD|node|6|node|2}}<br />[6]<br />(2)
! Poz. 1<br />{{CDD|node|2|node}}<br />[2]<br />(6)
! Poz. 0<br />{{CDD|2|node|2|node}}<br />[2]<br />(6)
! Fe-<br/>țe
! Mu-<br/>chii
! Vâr-<br/>furi
|- BGCOLOR="#f0e0e0"
!D<sub>6</sub>
|[[Diedru hexagonal]]
|
|[[Fișier:Hexagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|6|node|2|node}}<br />{6,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
|
|
| 2
| 6
| 6
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|[[Hosoedru hexagonal]]
|
|[[Fișier:Hexagonal hosohedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node|6|node|2|node_1}}<br />{2,6}
| 
|
| [[Fișier:Regular digon in spherical geometry-2.svg|30px]]<br />[[Digon|{2}]]
| 6
| 6
| 2
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!D<sub>12</sub>
|Diedru hexagonal trunchiat<br />([[diedru dodecagonal]])
|
|[[Fișier:Dodecagonal dihedron.png|60px]]
|
|align=center|{{CDD|node_1|6|node_1|2|node}}<br />t{6,2}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Dodecagon|{12}]]
|
|
| 2
| 12
| 12
|- BGCOLOR="#e0e0f0"
!H<sub>6</sub>
|Hosoedru hexagonal trunchiat<br />([[prismă hexagonală]])
|[[Fișier:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical hexagonal prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node|6|node_1|2|node_1}}<br />t{2,6}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#e0f0e0"
!P<sub>12</sub>
|Diedru hexagonal omnitrunchiat<br />([[prismă dodecagonală]])
|[[Fișier:Dodecagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical truncated hexagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Dodecagonal prism vf.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_1|6|node_1|2|node_1}}<br />t<sub>0,1,2</sub>{2,6}=tr{2,6}
| [[Fișier:Regular_polygon_10.svg|30px]]<br />[[Dodecagon|{12}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_4.svg|30px]]<br />[[Pătrat|{4}]]
| 14
| 36
| 24
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>6</sub>
|Diedru hexagonal snub<br />([[antiprismă hexagonală]])
|[[Fișier:Hexagonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical hexagonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Hexagonal antiprism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|6|node_h|2x|node_h}}<br />sr{2,6}
| [[Fișier:Regular_polygon_6.svg|30px]]<br />[[Hexagon|{6}]]
| [[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]][[Fișier:Regular_polygon_3.svg|20px]]<br />2 [[Triunghi|{3}]]
|&nbsp;
| 14
| 24
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>3</sub>
|Diedru hexagonal cantic<br />([[prismă triunghiulară]])
|[[Fișier:Triangular prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical triangular prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Triangular prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h1|6|node|2|node_1}} = {{CDD|node_1|3|node|2|node_1}}<br />h<sub>2</sub>{6,2}=t{2,3}
|
|
|
|5
|9
|6
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!P<sub>6</sub>
|Diedru hexagonal snub<br />([[prismă hexagonală]])
|[[Fișier:Hexagonal prism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical hexagonal prism.svg|60px]]
|[[Fișier:Hexagonal prism vertfig.png|60px]]
|align=center|{{CDD|node_h|6|node_h|2x|node_1}}<br />s<sub>2</sub>{6,2}=t{2,6}
|
|
|
| 8
| 18
| 12
|- BGCOLOR="#d0f0f0"
!A<sub>3</sub><br />[2]
|Hosoedru hexagonal snub<br />([[octaedru |antiprismă triunghulară]]),<br />([[octaedru]])
|[[Fișier:Trigonal antiprism.png|60px]]
|[[Fișier:Spherical trigonal antiprism.svg|60px]]
|[[Fișier:Octahedron vertfig.svg|60px]]
|align=center|{{CDD|node|6|node_h|2x|node_h}}<br />s{2,6}=sr{2,3}
|
|
|
| 8
| 12
| 6
|}

== Operatorii construcției Wythoff ==
{| class="wikitable"
!Operația
!Simbol
![[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
!Descriere
|-
!Inițial
!{p,q}<br />t<sub>0</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
| Orice poliedru sau pavare regulate.
|-
![[Rectificare (geometrie)|Rectificare]] (r)
!r{p,q}<br />t<sub>1</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
|Muchiile sunt complet trunchiate în puncte unice. Poliedrul are acum fețele combinate ale poliedrului inițial și ale dualului. Poliedrele sunt denumite prin numărul de laturi ale celor două forme regulate: {p,q} și {q,p}, de exempu „cuboctaedru” pentru r{4,3} între cub și octaedru.
|-
!Birectificare (2r)<br />([[Poliedru dual|dual]])
!2r{p,q}<br />t<sub>2</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
|[[Fișier:Dual Cube-Octahedron.jpg|100px|right]]Birectificarea (dualul) este o altă trunchiere, astfel încât fețele originale sunt reduse la puncte. Fețele noi sunt formate sub fiecare vârf al poliedrului ințial. Numărul muchiilor este neschimbat și se rotește cu 90 de grade. O birectificare poate fi văzută ca un dual.
|-
![[Trunchiere (geometrie)|Trunchiere]] (t)
!t{p,q}<br />t<sub>0,1</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
|Fiecare vârf original este tăiat, cu o față nouă care umple golul. Trunchierea are un grad de libertate, care are o poziție în care se creează un poliedru uniform trunchiat. Poliedrul are fețele sale originale dublate ca număr de laturi și conține fețele dualului.<br />[[Fișier:Cube truncation sequence.svg|500px]]
|-
!Bitrunchiere (2t)<br />(dual trunchiat)
!2t{p,q}<br />t<sub>1,2</sub>{p,q}
|{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
|O bitrunchiere poate fi văzută ca trunchierea dualului. Un cub bitruncat este un octaedru trunchiat.
|-
![[Cantelare]] (rr)<br />([[Expandare (geometrie)|expandare]])
!rr{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
|În plus față de trunchierea vârfurilor, fiecare muchie originală este ''teșită'', cu fețe dreptunghiulare noi care apar în locul lor. O cantelare uniformă este la jumătatea distanței dintre formele părinte și cele duale. Un poliedru cantelat este numit ca rombi-r{p,q}, de exemplu rombicuboctaedru pentru rr{4,3}.<br />[[Fișier:Cube cantellation sequence.svg|500px]]
|-
!Cantitrunchiere (tr)<br />([[omnitrunchiere]])
!tr{p,q}<br />t<sub>0,1,2</sub>{p,q}
|{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
|Trunchierea și operațiile de cantelare sunt aplicate împreună pentru a crea o formă omnitrunchiată care are fețele poliedrului inițial dublate în numărul de laturi, fețele dualului dublate în numărul de laturi și pătrate undele existau laturile inițiale.
|}

{| class="wikitable"
|+ Operații de alternare
|-
!width=150|Operația
!width=70|Simbol
![[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
!Descriere
|-

!Rectificare snub (sr)
!sr{p,q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
| Cantitrunchiere alternată. Toate fețele originale au la sfârșit jumătate din numărul de laturi, iar pătratele degenerează în muchii. Deoarece formele omnitrunchiate au 3 fețe/vârf, se formează noi triunghiuri. De obicei, aceste forme fațetate alternativ sunt ușor deformate după aceea pentru a se obține din nou poliedre uniforme. Posibilitatea ultimei schimbări depinde de gradul de libertate.<br />[[Fișier:Snubcubes in grCO.svg|400px]]
|-
!Snub (s)
!s{p,2q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|2x|q|node}}
|Trunchiere alternată.
|-
!Snub cantic (s<sub>2</sub>)
!s<sub>2</sub>{p,2q}
|{{CDD|node_h|p|node_h|2x|q|node_1}}
|
|-
!Cantelare alternată (hrr)
!hrr{2p,2q}
|{{CDD|node_h|2x|p|node|2x|q|node_h}}
|Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea {{CDD|node_1|2x|p|node|2x|q|node_1}}<br />De exemplu, {{CDD|node_h|4|node|4|node_h}}
|-
!Înjumătățire (h)
!h{2p,q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|q|node}}
|Alternare a {{CDD|node_1|2x|p|node|q|node}}, aceeași cu {{CDD|labelp|branch_10ru|split2-qq|node}} 
|-
!Cantic (h<sub>2</sub>)
!h<sub>2</sub>{2p,q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|q|node_1}}
|Aceeași cu {{CDD|labelp|branch_10ru|split2-qq|node_1}}
|-
!Înjumătățire rectificată (hr)
!hr{2p,2q}
|{{CDD|node|2x|p|node_h1|2x|q|node}}
|Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), alternarea {{CDD|node|2x|p|node_1|2x|q|node}}, aceeași cu {{CDD|labelp|branch_10ru|2a2b-cross|branch_10lu|labelq}} or {{CDD|labelp|branch_10r|iaib|branch_01l|labelq}}<br />De exemplu, {{CDD|node|4|node_h1|4|node}} = {{CDD|nodes_10ru|2a2b-cross|nodes_10lu}} sau {{CDD|nodes_11|iaib|nodes}}
|-
!Sfertuire (q)
!q{2p,2q}
|{{CDD|node_h1|2x|p|node|2x|q|node_h1}}
|Posibilă doar la pavări uniforme (poliedre infinite), aceeași cu {{CDD|labelq|branch_11|papb-cross|branch_10l|labelq}}<br />De exemplu, {{CDD|node_h1|4|node|4|node_h1}} = {{CDD|nodes_11|2a2b-cross|nodes_10lu}} or {{CDD|nodes_11|iaib|nodes_10l}}
|}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{de icon}} [[Max Brückner|Brückner, M.]] ''Vielecke und vielflache. Theorie und geschichte.''. Leipzig, Germany: Teubner, 1900. [http://www.hti.umich.edu/cgi/b/bib/bibperm?q1=ABN8316.0001.001]
* {{en icon}} {{Cite journal | last1=Coxeter | first1=Harold Scott MacDonald | author1-link=Harold Scott MacDonald Coxeter | last2=Longuet-Higgins | first2=M. S. | author-link2=Michael S. Longuet-Higgins | last3=Miller | first3=J. C. P. | author-link3=J. C. P. Miller| title=Uniform polyhedra | jstor=91532 | mr=0062446  | year=1954 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society A| issn=0080-4614 | volume=246 |issue=916 | pages=401–450 | doi=10.1098/rsta.1954.0003 |url=http://rsta.royalsocietypublishing.org/content/roypta/246/916/401.full.pdf}}
* {{en icon}} {{citation|first= B.|last= Grünbaum |author-link1= Branko Grünbaum |chapter= Polyhedra with Hollow Faces
|editor1= Tibor Bisztriczky |editor2= Peter McMullen
|editor3= Rolf Schneider |display-editors = 3 |editor4= A Weiss
|title= Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational
|year= 1994 |publisher= Springer |isbn= 978-94-010-4398-4|pages= 43–70
|doi= 10.1007/978-94-011-0924-6_3 }}
* {{en icon}} {{citation|first= Peter|last= McMullen |author-link1=Peter McMullen  
|title= Abstract Regular Polytopes
|year= 2002 |publisher= Cambride University Press 
|first2=Egon|last2=Schulte}}
* {{en icon}} {{Cite journal | last1=Skilling | first1=J. | title=The complete set of uniform polyhedra | jstor=74475 | mr=0365333  | year=1975 | journal=Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences | issn=0080-4614 | volume=278 | pages=111–135 | doi=10.1098/rsta.1975.0022 | issue=1278}}
* {{en icon}} {{Cite journal | last1=Sopov | first1=S. P. | title=A proof of the completeness on the list of elementary homogeneous polyhedra | mr=0326550  | year=1970 | journal=Ukrainskiui Geometricheskiui Sbornik | issue=8 | pages=139–156 }}
* {{en icon}} {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | author-link=Magnus Wenninger  | title=Polyhedron Models | publisher=Cambridge University Press | year=1974 | isbn=978-0-521-09859-5 }}

== Vezi și ==
* [[Lista poliedrelor uniforme]]

== Legături externe  ==
* {{Commonscat-inline|Uniform polyhedra}}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=UniformPolyhedron | title=Uniform Polyhedron}}
* {{en icon}} [http://harel.org.il/zvi/docs/uniform.pdf Uniform Solution for Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/uniform-info.html Virtual Polyhedra] Uniform Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.stereo-club.fr/GalerieSCF/main.php?cmd=album&var1=Edmond+Bonan%2FPolyedres/&var2=3 Uniform polyhedron gallery] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20161009084548/http://www.stereo-club.fr/GalerieSCF/main.php?cmd=album&var1=Edmond+Bonan%2FPolyedres%2F&var2=3 |date=2016-10-09 }}
* {{en icon}} [http://mathworld.wolfram.com/UniformPolyhedron.html Uniform Polyhedron -- from Wolfram MathWorld] ''Has a visual chart of all 75''

{{Portal|matematică}}
{{Politopuri}}

[[Categorie:Poliedre uniforme| ]]