Vizualizare sursă pentru „Poliedru regulat”

Un '''poliedru regulat''' este un [[poliedru]] al cărui [[grup de simetrie]] acționează [[relație tranzitivă |tranzitiv]] pe [[steag (matematică) |steagurile]] sale. Un poliedru regulat este extrem de [[simetrie |simetric]], fiind tranzitiv atât la nivel de [[vârf (geometrie) |vârfuri]], cât și la nivel de [[latură (geometrie) |muchii]] și [[față (geometrie) |fețe]]. În contextele clasice, sunt utilizate multe definiții echivalente diferite; una comună este că fețele sunt [[poligon regulat |poligoane regulate]] [[congruență (geometrie) |congruente]] care sunt asamblate în același mod în jurul fiecărui vârf.

Un poliedru regulat este identificat prin [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] al formei {''n'',''m''}, unde ''n'' este numărul de [[latură (geometrie) |laturi]] ale fiecărei fețe. iar ''m'' numărul fețelor care se întâlnesc în fiecare vârf. Există 5 poliedre regulate convexe finite ([[poliedru platonic |poliedrele platonice]]) și patru [[poliedru stelat |poliedre stelate]] ([[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrele Kepler–Poinsot]]), în total nouă poliedre regulate. În plus, există cinci compuși regulați ai poliedrelor regulate.

== Poliedrele regulate ==
Există cinci poliedre regulate [[convexitate |convexe]], cunoscute sub numele de ''poliedre platonice'', patru poliedre stelate regulate, ''poliedrele Kepler–Poinsot și cinci compuși regulați ai poliedrelor regulate.

=== Poliedrele platonice ===
<!-- {{Articol principal|Poliedru platonic}} -->
Cele cinci poliedre platonice sunt cunoscute încă din antichitate.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|[[Fișier:Tetrahedron.jpg|150px]]
|[[Fișier:Hexahedron.jpg|150px]]
|[[Fișier:Octahedron.jpg|150px]]
|[[Fișier:Dodecahedron.jpg|150px]]
|[[Fișier:Icosahedron.jpg|150px]]
|-
|[[tetraedru]]l<br/>{3,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:Tetrahedron.gif|Animație]])
|[[cub]]ul<br/>{4,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:Hexahedron.gif|Animație]])
|[[octaedru]]l<br/>{3,&nbsp;4}<br/>([[:Fișier:Octahedron.gif|Animație]])
|[[dodecaedru]]l<br/>{5,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:Dodecahedron.gif|Animație]])
|[[icosaedru]]l<br/>{3,&nbsp;5}<br/>([[:Fișier:Icosahedron.gif|Animație]])
|-
|[[Caracteristică Euler|''χ'']] = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2||''χ'' = 2
|}

=== Poliedrele Kepler–Poinsot ===
<!-- {{Articol principal|Poliedru Kepler–Poinsot}} -->
Cele patru poliedre stelate regulate sunt cunoscute sub numele de poliedre Kepler–Poinsot.
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|[[Fișier:GreatDodecahedron.jpg|180px]]
|[[Fișier:SmallStellatedDodecahedron.jpg|180px]]
|[[Fișier:GreatStellatedDodecahedron.jpg|180px]]
|[[Fișier:GreatIcosahedron.jpg|180px]]
|-
|[[micul dodecaedru stelat]]<br/>{5/2,&nbsp;5}<br/>([[:Fișier:SmallStellatedDodecahedron.gif|Animație]])
|[[marele dodecaedru stelat]]<br/>{5/2,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:GreatStellatedDodecahedron.gif|Animație]])
|[[marele dodecaedru]]<br/>{5,&nbsp;5/2}<br/>([[:Fișier:GreatDodecahedron.gif|Animație]])
|[[marele icosaedru]]<br/>{3,&nbsp;5/2}<br/>([[:Fișier:GreatIcosahedron.gif|Animație]])
|-
|''χ'' = −6||''χ'' = 2||''χ'' = −6||''χ'' = 2
|}

=== Compușii regulați ===
{| class="wikitable" style="text-align:center"
|- 
|[[Image:Compound of two tetrahedra.png|150px]]
|[[Image:CompoundOfFiveTetrahedra.png|150px]]
|[[Image:Compound of ten tetrahedra.png|150px]]
|[[Image:Compound of five cubes.png|150px]]
|[[Image:Compound of five octahedra.png|150px]]
|- 
|[[Octaedru stelat|două tetraedre]]<br/>2 {3,&nbsp;3}<!-- <br/>([[:Fișier:.gif|Animație]]) -->
|[[Compus de cinci tetraedre|cinci tetraedre]]<br/>5 {3,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:CompoundOfFiveTetrahedra.gif|Animație]])
|[[Compus de zece tetraedre|zece tetraedre]]<br/>10 {3,&nbsp;3}<!-- <br/>([[:Fișier:.gif|Animație]]) -->
|[[Compus de cinci cuburi|cinci cuburi]]<br/>5 {4,&nbsp;3}<br/>([[:Fișier:Compound of five cubes, gray and rgby.gif|Animație]])
|[[Compus de cinci octaedre|cinci octaedre]]<br/>5 {3,&nbsp;4}<!-- <br/>([[:Fișier:.gif|Animație]]) -->
|- align=center
|''χ'' = 4||''χ'' = 10|| || ||
|}

== Caracteristici ==
=== Proprietăți echivalente ===
Proprietatea de a avea un aranjament similar al fețelor în jurul fiecărui vârf poate fi înlocuită în definiții cu oricare dintre următoarele condiții echivalente:
* Vârfurile poliedrului se află toate pe o [[sferă]].
* Toate [[unghi diedru |unghiurile diedre]] ale poliedrului sunt egale.
* Toate [[figura vârfului |figurile vârfurilor]] poliedrului sunt [[poligon regulat |poligoane regulate]].
* Toate [[unghi solid |unghiurile solide]] ale poliedrului sunt congruente.<ref>{{en icon}} {{cite book
  | last = Cromwell | first = Peter R. | title = Polyhedra | publisher = Cambridge University Press | year = 1997 | page = 77 | isbn = 0-521-66405-5 }}</ref>

=== Sfere concentrice ===
Un poliedru regulat are toate cele trei sfere asociate care au același centru. La alte poliedre lipsește cel puțin una:
* [[sferă înscrisă |sfera înscrisă]] în poliedru, tangentă la toate fețele;
* [[sferă mediană |sfera mediană]], tangentă la toate muchiile;
* [[sferă circumscrisă |sfera circumscrisă]] poliedrului, tangentă la toate vârfurile.

=== Simetrie ===
Poliedrele regulate sunt cele mai simetrice dintre toate poliedrele. Ele se află în doar trei grupuri de simetrie, care poartă numele poliedrelor platonice:
* tetraedric;
* octaedric (sau cubic);
* icosaedric (sau dodecaedric).

Orice forme cu [[simetrie octaedrică]] sau [[simetrie icosaedrică|icosaedrică]] vor conține și [[Simetrie tetraedrică|simetria tetraedrică]].

=== Caracteristica Euler ===
''[[Caracteristică Euler |Caracteristica Euler]]'' este dată de relația:
:<math>\chi =V-M+F</math>
unde  {{mvar|V}} este numărul vârfurilor, {{mvar|M}} este numărul muchiilor, iar {{mvar|F}} este numărul fețelor.

Cele cinci poliedre platonice au o caracteristică Euler de 2. Acest lucru reflectă faptul că suprafața lor este o 2-sferă topologică, iar acest fapt este valabil și pentru orice [[poliedru stelat]].

=== Puncte interioare ===
Suma distanțelor de la orice punct din interiorul unui poliedru regulat la muchii este independentă de poziția punctului (aceasta este o extensie a [[teorema Viviani |teoremei lui Viviani]].) Cu toate acestea, afirmația inversă nu este valabilă nici măcar pentru tetraedre.<ref>{{en icon}} Chen, Zhibo, and Liang, Tian. "The converse of Viviani's theorem", ''The College Mathematics Journal'' 37(5), 2006, pp. 390–391.</ref>

== Dualitatea poliedrelor regulate ==
Într-o [[poliedru dual |pereche duală de poliedre]] vârfurile unui poliedru corespund fețelor celuilalt și invers.

Poliedrele regulate prezintă această dualitate după cum urmează:
* tetraedrul este [[autodual]];
* cubul și octaedrul sunt unul dualul celuilalt;
* icosaedrul și dodecaedrul sunt unul dualul celuilalt;
* micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru sunt unul dualul celuilalt;
* marele dodecaedru stelat și marele icosaedru sunt unul dualul celuilalt.

== Diverse generalizări ==
În secolul al XX-lea au apărut o serie de generalizări ale ideii de poliedru regulat, ducând la câteva clase noi.

=== Poliedre regulate în spațiul neeuclidian și în alte spații ===
Studii despre [[spațiu neeuclidian |spațiul neeuclidian]] ([[spațiu hiperbolic |hiperbolic]] și [[spațiu eliptic |eliptic]]) și alte spații precum [[spațiu afin complex |spații complexe]], descoperite în secolul precedent, au dus la descoperirea unor poliedre noi, cum ar fi [[politop complex |poliedrele complexe]], care ar putea lua forma geometrică regulată doar în acele spații.

==== Poliedre regulate în spațiul hiperbolic ====
[[Fișier:633 honeycomb one cell horosphere.png|thumb|[[Fagure pavat hexagonal |Fagurele pavat hexagonal]], {6,3,3}, are [[pavare hexagonală]], {6,3}, fațete cu vârfuri în [[orisferă]]; o asemenea fațetă este prezentată în [[modelul discului Poincaré]]]]
În [[spațiu hiperbolic |spațiul hiperbolic]] H<sup>3</sup>, fagurii paracompacți regulați sunt pavați cu fațete euclidiene și au figuri ale vârfului ca la poliedrele finite. Astfel de pavări au un [[deficit unghiular]] care poate fi închis prin îndoire într-un sens sau altul. Dacă pavarea este dimensionată corespunzător, ea se va „închide” [[Asimptotă |asimptotic]] la un singur [[punct ideal]]. Aceste pavări euclidiene sunt înscrise într-o [[orisferă]] la fel cum poliedrele sunt înscrise într-o sferă (care conține zero puncte ideale). Secvența se extinde atunci când pavările hiperbolice sunt ele însele utilizate ca fațete ale [[teselare |teselărilor]] hiperbolice necompacte, ca în [[fagure pavat heptagonal |fagurele pavat heptagonal]] {7,3,3}; ele sunt înscrise într-o suprafață [[echidistant]]ă (un 2-[[hiperciclu]]), care are două puncte ideale.

==== Pavări regulate în planul proiectiv real ====
Un alt grup de poliedre regulate cuprinde pavările [[plan proiectiv real |planului proiectiv real]]. Acestea includ [[hemicub]]ul, [[hemioctaedru]]l, [[hemidodecaedru]]l și [[hemiicosaedru]]l. Ele sunt (la nivel global) [[poliedru proiectiv |poliedre proiective]] și sunt contrapartidele proiective ale poliedrelor platonice. Tetraedrul nu are un omolog proiectiv, deoarece nu are perechi de fețe paralele care pot fi contopite, așa cum au și celelalte patru poliedre platonice.

{| class=wikitable
|- align=center
|[[Fișier:Hemicube.svg|180px]]<br/>hemicub<br/>{4,&nbsp;3}
|[[Fișier:Hemioctahedron.png|180px]]<br/>hemioctaedru<br/>{3,&nbsp;4}
|[[Fișier:Hemi-dodecahedron2.png|180px]]<br/>hemidodecaedru<br/>{3,&nbsp;5}
|[[Fișier:Hemi-icosahedron.png|180px]]<br/>hemiicosaedru<br/>{5,&nbsp;3}
|}

Acestea apar ca perechi duale în același mod ca și poliedrele platonice. Caracteristicile lor Euler sunt toate 1.

=== Poliedre abstracte regulate ===
Până acum poliedrele erau ferm înțelese ca exemple tridimensionale de ''[[politop]]uri'', mai generale, în orice număr de dimensiuni. A doua jumătate a secolului a cunoscut dezvoltarea unor idei algebrice abstracte precum [[combinatorică poliedrică |combinatorica poliedrică]], culminând cu ideea unui [[politop abstract]] ca [[mulțime parțial ordonată]] de elemente. Elementele unui poliedru abstract sunt corpul său (elementul maxim), fețele, muchiile, vârfurile și ''politopul nul'' (mulțimea vidă). Aceste elemente abstracte pot fi plasate în spațiul obișnuit sau ''realizate'' ca figuri geometrice. Unele poliedre abstracte au realizări bune, altele nu. Un ''steag'' este o mulțime conectată de elemente, câte una din fiecare dimensiune&nbsp;— pentru un poliedru care este corpul, o față, o latură a feței (muchie), un capăt al laturii (vârf) și politopul nul. Se spune că un politop abstract este ''regulat'' dacă simetriile sale combinatorii sunt tranzitive pe steagurile sale, adică orice steag poate fi translatat pe oricare altul conform simetriei poliedrului. Politopurile regulate abstracte rămân o zonă activă de cercetare.

Cinci astfel de poliedre regulate care nu pot fi realizate corect au fost identificate de Coxeter în cartea sa ''Regular Polytopes'' (1977) și din nou de J.M. Wills în articolul său "The combinatorially regular polyhedra of index 2" (1987). Toate cinci au simetrie C<sub>2</sub>×S<sub>5</sub>, dar pot fi realizate doar cu jumătate din simetrii, adică C<sub>2</sub>×A<sub>5</sub> sau simetrie icosaedrică.<ref>{{en icon}} David A. Richter [http://homepages.wmich.edu/~drichter/regularpolyhedra.htm ''The Regular Polyhedra (of index two)''] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160304023021/http://homepages.wmich.edu/~drichter/regularpolyhedra.htm |date=2016-03-04 }}</ref><ref>{{en icon}} Anthony M. Cutler, Egon Schulte, [https://arxiv.org/abs/1005.4911 ''Regular Polyhedra of Index Two, I''], 2010</ref><ref>{{en icon}} [https://www.researchgate.net/publication/225386108_Regular_Polyhedra_of_Index_Two_II ''Regular Polyhedra of Index Two, II''], ''Beitrage zur Algebra und Geometrie'', 52(2):357–387, November 2010, Table&nbsp;3, p.&nbsp;27</ref> Toate sunt echivalente topologic cu [[toroid |toroizii]]. Construcția lor, prin aranjarea a ''n'' fețe în jurul fiecărui vârf, poate fi repetată la nesfârșit ca pavare a [[Geometrie hiperbolică |planului hiperbolic]].

:{| class="wikitable" width=720px style="align:center; text-align:center"
|-
! Poliedru
|[[Fișier:DU36 medial rhombic triacontahedron.png|120px]]<br/>[[triacontaedru rombic medial]]
|[[Fișier:Dodecadodecahedron.png|120px]]<br/>[[dodecadodecaedru]]
|[[Fișier:DU41 medial triambic icosahedron.png|120px]]<br/>[[icosaedru triambic medial]]
|[[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|120px]]<br/>[[dodecadodecaedru ditrigonal]]
|[[Fișier:Excavated dodecahedron.png|120px]]<br/>[[dodecaedru excavat]]
|- align=center 
!Tip
||dual {5,4}<sub>6</sub> ||{5,4}<sub>6</sub> ||dual de {5,6}<sub>4</sub> ||{5,6}<sub>4</sub> || {6,6}<sub>6</sub>
|-
!(''v'',''m'',''f'')
|(24,60,30) ||(30,60,24) ||(24,60,20) ||(20,60,24) ||(20,60,20)
|-
!Figura vârfului
|{5}, {5/2}<br/>[[Fișier:Regular polygon 5.svg|50px]][[Fișier:Pentagram green.svg|50px]]
|(5.5/2)<sup>2</sup><br/>[[Fișier:Dodecadodecahedron vertfig.png|60px]]
|{5}, {5/2}<br/>[[Fișier:Regular polygon 5.svg|50px]][[Fișier:Pentagram green.svg|50px]]
|(5.5/3)<sup>3</sup><br/>[[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|60px]]
|[[Fișier:Medial triambic icosahedron face.svg|60px]]
|- valign=top
!Fețe
|30 romburi<br/>[[Fișier:Rhombus definition2.svg|60px]]
|12 pentagoane<br/>12 pentagrame<br/>[[Fișier:Regular polygon 5.svg|50px]][[Fișier:Pentagram green.svg|50px]]
|20 hexagoane<br/>[[Fișier:Medial triambic icosahedron face.svg|60px]]
|12 pentagoane<br/>12 pentagrame<br/>[[Fișier:Regular polygon 5.svg|50px]][[Fișier:Pentagram green.svg|50px]]
|20 hexagrame<br/>[[Fișier:Star hexagon face.png|60px]]
|-
! Pavaje
|[[Fișier:Uniform tiling 45-t0.png|100px]]<br/>[[Pavare pătrată de ordinul 5|{4, 5}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t1.png|100px]]<br/>[[Pavare pentagonală de ordinul 4|{5, 4}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 65-t0.png|100px]]<br/>[[Pavare hexagonală de ordinul 5|{6, 5}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 553-t1.png|100px]]<br/>[[Pavare pentagonală de ordinul 6|{5, 6}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 66-t2.png|100px]]<br/>[[Pavare hexagonală de ordinul 6|{6, 6}]]
|- align=center
! [[Caracteristică Euler|''χ'']]
| −6
| −6
| −16
| −16
| −20
|}

==== Duale Petrie ====
<!-- {{Articol principal|Dual Petrie}} -->
[[Dual Petrie |Dualul Petrie]] al unui poliedru regulat este o [[hartă regulată (teoria grafurilor) |hartă regulată]] ale cărei vârfuri și muchii corespund vârfurilor și muchiilor poliedrului și ale cărui fețe sunt mulțimea [[poligon strâmb |poligoanelor strâmbe]] [[Poligon Petrie |Petrie]].<ref>{{en icon}} {{citation|title=Abstract Regular Polytopes|volume=92|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|first1=Peter|last1=McMullen|first2=Egon|last2=Schulte|publisher=Cambridge University Press|year=2002|isbn=9780521814966|page=192|url=https://books.google.com/books?id=JfmlMYe6MJgC&pg=PA192}}</ref>

{| class=wikitable style="align:center; text-align:center"
|+ Petrie regulate
!Nume
!tetraedru Petrie
!cub Petrie
!octaedru Petrie
!dodecaedru Petrie
!icosaedru Petrie
|-
!Simbol Schläfli
|{3,&nbsp;3}<sup>&pi;</sup>
|{4,&nbsp;3}<sup>&pi;</sup>
|{3,&nbsp;4}<sup>&pi;</sup>
|{5,&nbsp;3}<sup>&pi;</sup>
|{3,&nbsp;5}<sup>&pi;</sup>
|-
!(''v'',''m'',''f''), [[Caracteristică Euler|''χ'']]
|(4,6,3), ''χ'' = 1||(8,12,4), ''χ'' = 0||(6,12,4), ''χ'' = −2||(20,30,6), ''χ'' = −4||(12,30,6), ''χ'' = −12
|-
!rowspan=2|Fețe
|rowspan=2|3 pătrate strâmbe<br/>[[Fișier:Face_of_petrial_tetrahedron.gif|120px]]
|colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|4 hexagoane strâmbe
|colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|6 decagoane strâmbe
|-
|style="border-top-style:none;"|[[Fișier:Face_of_petrial_cube.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[Fișier:Face_of_petrial_octahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[Fișier:Face_of_petrial_dodecahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[Fișier:Face_of_petrial_icosahedron.gif|120px]]
|-
!Imagine
|[[Fișier:Tetrahedron_3_petrie_polygons.png|120px]]
|[[Fișier:Cube_4_petrie_polygons.png|120px]]
|[[Fișier:Octahedron_4_petrie_polygons.png|120px]]
|[[Fișier:Petrial_dodecahedron.png|120px]]
|[[Fișier:petrial_icosahedron.png|120px]]
|-
!Animație
|[[Fișier:Petrial_tetrahedron.gif|120px]]
|[[Fișier:Petrial_cube.gif|120px]]
|[[Fișier:Petrial octahedron.gif|120px]]
|[[Fișier:Petrial_dodecahedron.gif|120px]]
|[[Fișier:petrial_icosahedron.gif|120px]]
|- valign=bottom
!Figuri<br/>asociate
|[[Fișier:Hemicube.svg|120px]]<br/>{4,&nbsp;3}<sub>3</sub> = [[hemicub |{4,&nbsp;3}/2]] = {4,&nbsp;3}<sub>(2,0)</sub>
|[[Fișier:Regular map 6-3 2-0.png|120px]]<br/>{6,&nbsp;3}<sub>3</sub> = {6,&nbsp;3}<sub>(2,0)</sub>
|[[Fișier:Regular_map_6_4-3_pattern.png|120px]]<br/>{6,&nbsp;4}<sub>3</sub> = {6,&nbsp;4}<sub>(4,0)</sub>
|{10,&nbsp;3}<sub>5</sub>
|{10,&nbsp;5}<sub>3</sub>
|}

=== Poliedre sferice ===
{{Articol principal|Poliedru sferic}}
Cele nouă poliedre regulate pot fi, de asemenea, reprezentate ca pavări sferice:

{| class=wikitable width=720 style="align:center; text-align:center"
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 332-t0-1-.svg|120px]]<br/>tetraedru<br/>{3,&nbsp;3}
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t0.png|120px]]<br/>cub<br/>{4,&nbsp;3}
|[[Fișier:Uniform tiling 432-t2.png|120px]]<br/>octaedru<br/>{3,&nbsp;4}
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t0.png|120px]]<br/>dodecaedru<br/>{5,&nbsp;3}
|[[Fișier:Uniform tiling 532-t2.png|120px]]<br/>icosaedru<br/>{3,&nbsp;5}
|}
{| class=wikitable width=720 style="align:center; text-align:center"
|-
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron tiling.png|150px]]<br/>micul dodecaedru stelat<br/>{5/2,&nbsp;5}
|[[Fișier:Great dodecahedron tiling.svg|150px]]<br/>marele dodecaedru<br/>{5,&nbsp;5/2}
|[[Fișier:Great stellated dodecahedron tiling.svg|150px]]<br/>marele dodecaedru stelat<br/>{5/2,&nbsp;3}
|[[Fișier:Great icosahedron tiling.svg|150px]]<br/>marele icosaedru<br/>{3,&nbsp;5/2}
|}

==== Poliedre regulate care pot exista doar ca poliedre sferice ====
{{Vezi și|Diedru|Hosoedru}}
Pentru un poliedru regulat al cărui simbol Schläfli este {''m'',&nbsp;''n''}, numărul fețelor poligonale poate fi dat de:

:<math>N_2=\frac{4n}{2m+2n-mn}</math>

Poliedrele platonice sunt singurele soluții întregi pentru ''m''&nbsp;≥&nbsp;3 și ''n''&nbsp;≥&nbsp;3. [[restricție (matematică)|Restricția]] ''m''&nbsp;≥&nbsp;3 impune ca fețele poligonale trebuie să aibă cel puțin trei laturi.

Atunci când se consideră [[pavare sferică |pavările sferice]] drept poliedre, această restricție poate fi relaxată, deoarece [[digon |digoanele]] (2-gon) pot fi reprezentate ca [[fus sferic|fusuri sferice]], având [[arie |aria]] diferită de zero. Permiterea ''m''&nbsp;=&nbsp;2 admite o nouă clasă infinită de poliedre regulate, care sunt [[hosoedru |hosoedrele]]. Pe o suprafață sferică, poliedrul regulat {2,&nbsp;''n''} este reprezentat ca ''n'' fusuri adiacente, cu unghiuri interioare de 2&pi;/''n''. Toate aceste fusuri se întâlnesc în două vârfuri comune.<ref name=cox>Coxeter, ''Regular Polytopes'', p.&nbsp;12</ref>

Un [[diedru]], {''n'',&nbsp;2}<ref name=cox/> (2-edru) în spațiul euclidian tridimensional poate fi considerat o [[Prismă (geometrie) |prismă]] [[degenerare (matematică) |degenerată]] constând din două ''n''-poligoane plane conectate „spate în spate”, astfel încât obiectul rezultat nu are grosime, analog modului în care un digon poate fi construit din două [[segment (geometrie) |segmente]] alipite. Însă în pavările sferice un diedru poate exista sub formă nedegenerată, cu două fețe cu ''n'' laturi care acoperă sfera, fiecare față fiind o [[emisferă (geometrie) |emisferă]] cu vârfuri în jurul unui [[cerc mare]]. Este ''regulat'' dacă vârfurile sunt egal distanțate.

{| class=wikitable width=720 style="align:center; valign:bottom; text-align:center"
|-
|[[Fișier:Digonal dihedron.png|100px]]<br/>diedru [[digon]]al<br/>{2,&nbsp;2}
|[[Fișier:Trigonal dihedron.png|100px]]<br/>diedru [[triunghi |trigonal]]<br/>{3,&nbsp;2}
|[[Fișier:Tetragonal dihedron.png|100px]]<br/>diedru [[pătrat |tetragonal]]<br/>{4,&nbsp;2}
|[[Fișier:Pentagonal dihedron.png|100px]]<br/>diedru [[pentagon]]al<br/>{5,&nbsp;2}
|[[Fișier:Hexagonal dihedron.png|100px]]<br/>diedru [[hexagon]]al<br/>{6,&nbsp;2}
|...
|{''n'',&nbsp;2}
|-
|[[Fișier:Digonal dihedron.png|100px]]<br/>hosoedru digonal<br/>{2,&nbsp;2}
|[[Fișier:Trigonal hosohedron.png|100px]]<br/>hosoedru trigonal<br/>{2,&nbsp;3}
|[[Fișier:Spherical square hosohedron.svg|100px]]<br/>hosoedru tetragonal<br/>{2,&nbsp;4}
|[[Fișier:Spherical pentagonal hosohedron.svg|100px]]<br/>hosoedru pentagonal<br/>{2,&nbsp;5}
|[[Fișier:Hexagonal hosohedron.png|100px]]<br/>hosoedru hexagonal<br/>{2,&nbsp;6}
|...
|{2,&nbsp;''n''}
|}

Hosoedrul {2,&nbsp;''n''} este dualul diedrului {''n'',&nbsp;2}. De notat că dacă ''n''&nbsp;=&nbsp;2, se obține poliedrul {2,&nbsp;2}, care este simultan un hosoedru și un diedru. Toate acestea au caracteristica Euler 2.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{fr icon}} Joseph Louis François Bertrand (1858). Note sur la théorie des polyèdres réguliers, ''Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences'', '''46''', pp.&nbsp;79–82.
* {{de icon}} Haeckel, E. (1904). ''Kunstformen der Natur''. Available as Haeckel, E. ''Art forms in nature'', Prestel USA (1998), {{isbn|3-7913-1990-6}}, ([http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html online])
* {{en icon}} Smith, J. V. (1982). ''Geometrical And Structural Crystallography''. John Wiley and Sons.
* {{en icon}} Duncan MacLaren Young Sommerville (1930). ''An Introduction to the Geometry of n Dimensions'' E. P. Dutton, New York. (Dover Publications edition, 1958). Chapter X: The Regular Polytopes.
* {{en icon}} [[Coxeter |H.S.M. Coxeter]]; ''Regular Polytopes'' (third edition). Dover Publications Inc. {{isbn|0-486-61480-8}}

== Vezi și ==
* [[Politop regulat]]
<!-- * [[Poliedru cvasiregulat]]
* [[Poliedru semiregulat]] -->
* [[Poliedru uniform]]

== Legături externe ==
{{Portal|matematică}}
* {{en icon}} {{MathWorld |urlname=RegularPolyhedron |title=Regular Polyhedron}}

[[Categorie:Poliedre regulate| ]]