Vizualizare sursă pentru „Poliedru platonic”

În [[spațiu tridimensional|spațiul tridimensional]] un '''poliedru platonic''' sau '''corp al lui Platon''' este un [[poliedru]] [[Poliedru regulat |regulat]], [[convexitate |convex]]. Este construit din [[Față (geometrie) |fețe]] [[Congruență (geometrie) |congruente]] (identice ca formă și dimensiune), [[poligon regulat |regulate]] (cu toate [[unghi]]urile și [[latură (geometrie) |laturile]] egale), având același număr de fețe care se întâlnesc la fiecare [[Vârf (geometrie) |vârf]]. Cinci poliedre îndeplinesc aceste criterii:
{| border style="margin: 1em auto; text-align: center; border-collapse: collapse; border: 1pt solid #aaa;"
| [[Tetraedru]] || [[Cub]] || [[Octaedru]] || [[Dodecaedru regulat|Dodecaedru]] || [[Icosaedru regulat|Icosaedru]]
|-
|Patru fețe
|Șase fețe
|Opt fețe
|Douăsprezece fețe
|Douăzeci de fețe
|- style="vertical-align: bottom;"
| width=120| [[Fișier:Tetrahedron.svg|80px]]<br />
<small>([[:Fișier:tetrahedron.gif|Animație]])</small><br />
<small>([[:Fișier:tetrahedron.stl|Model 3D]])</small>
| width=120 style="padding-top: 4pt;"|[[Fișier:Hexahedron.svg|80px]]<br />
<small>([[:Fișier:hexahedron.gif|Animație]])</small><br />
<small>([[:Fișier:hexahedron.stl|Model 3D]])</small>
| width=120|[[Fișier:Octahedron.svg|80px]]<br />
<small>([[:Fișier:octahedron.gif|Animație]])</small><br />
<small>([[:Fișier:octahedron.stl|Model 3D]])</small>
| width=120|[[Fișier:Dodecahedron.svg|80px]]<br />
<small>([[:Fișier:dodecahedron.gif|Animație]])</small><br />
<small>([[:Fișier:dodecahedron.stl|Model 3D]])</small>
| width=120|[[Fișier:Icosahedron.svg|80px]]<br />
<small>([[:Fișier:icosahedron.gif|Animație]])</small><br />
<small>([[:Fișier:Icosahedron.stl|Model 3D]])</small>
|}

Geometrii au studiat poliedrele platonice de mii de ani. [[Martin Gardner]] a scris o descriere de popularizare a celor cinci poliedre în decembrie 1958 în ''[[Scientific American]]'' reluată în „Cartea a doua” din ''Amuzamente matematice''.<ref name=MG>Martin Gardner ''Amuzamente matematice'', București: Ed. Științifică, 1968, pp.&nbsp;167–175, traducere a ''First and Second Scientific American Books of Mathematical Puzzles and Diversions'', New York: Simon and Schuster, Inc., 1961</ref> Acestea sunt numite după [[Filozofia greacă clasică |filosoful grec antic]] [[Platon]] care a formulat ipoteze într-unul din dialogurile sale, ''[[Timaios (Platon) |Timaios]]'', că [[element clasic |elementele clasice]] sunt făcute din aceste poliedre regulate.<ref name="The Stanford Encyclopedia of Philosophy">{{en icon}} {{cite encyclopedia |last=Zeyl|first=Donald|encyclopedia=The Stanford Encyclopedia of Philosophy|title=Plato's Timaeus|url=http://plato.stanford.edu/entries/plato-timaeus/}}</ref>

== Istoric ==
{{Imagine multiplă
| align = right |total_width=500
| image1 = Kepler Hexahedron Earth.jpg
| image2 = Kepler Icosahedron Water.jpg
| image3 = Kepler Octahedron Air.jpg
| image4 = Kepler Tetrahedron Fire.jpg
| image5 = Kepler Dodecahedron Universe.jpg
| footer = &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; Atribuirea elementelor din ''Mysterium Cosmographicum'' de Kepler
}}
[[Fișier:Mysterium Cosmographicum solar system model.jpg|thumb|Modelul [[Sistemul solar |Sistemului solar]] din ''Mysterium Cosmographicum'' de Kepler, pe baza poliedrelor platonice]]
Poliedrele platonice sunt cunoscute încă din antichitate. S-a sugerat că anumite bile de piatră sculptate create de oamenii [[Neolitic#Neoliticul ceramic |neoliticului târziu]] din [[Scoția]] reprezintă aceste forme, însă aceste bile sunt mai degrabă rotunde decât poliedrice, numărul de colțuri (ieșituri) diferă frecvent de numărul de vârfuri ale poliedrelor platonice, nu există nici o bilă ale cărei colțuri să se potrivească cu cele 20 de vârfuri ale dodecaedrului, iar dispunerea colțurilor nu a fost mereu simetrică.{{sfn|Lloyd|2012}}

[[Grecii antici]] au studiat poliedrele platonice pe larg. Unele surse (cum ar fi [[Proclus]]) atribuie lui [[Pitagora]] descoperirea lor. Alte dovezi sugerează că este posibil ca Pitagora să fi fost familiarizat doar cu tetraedrul, cubul și dodecaedrul și că descoperirea octaedrului și a icosaedrului a fost făcută de [[Theaetetus]], un contemporan al lui Platon. În orice caz, Theaetetus a dat o descriere matematică a tuturor celor cinci și poate că a arătat că nu există alte poliedre regulate convexe.

Poliedrele platonice sunt larg dezbătute în filosofia lui [[Platon]], eponimul lor. Platon a scris despre ele în dialogul ''[[Timaios]]'' c.&nbsp;360&nbsp;î.Hr. în care a asociat fiecare dintre cele patru elemente clasice ([[pământ (mitologie) |pământ]], [[aer (mitologie) |aer]], [[apă (mitologie) |apă]] și [[foc (mitologie) |foc]]) cu un poliedru regulat. Pământul a fost asociat cu [[cub]]ul, aerul cu [[octaedru]]l, apa cu [[icosaedru regulat |icosaedrul]] și focul cu [[tetraedru]]l. Exista o justificare intuitivă pentru aceste asociații: căldura focului se simte ascuțită și înțepătoare (ca niște tetraedre mici). Aerul este format din octaedru; componentele sale minuscule sunt atât de netede încât abia se simte. Apa, icosaedrul, curge din mâna cuiva când este ridicată, ca și cum ar fi făcută din mici bile. Prin contrast, un poliedru foarte diferit de sferă, [[hexaedru]]l (cubul), reprezintă „pământul”. Aceste mici forme colțuroase (analogia pământului cu nisipul) se împrăștie atunci când sunt ridicate, spre deosebire de fluxul lin al apei. În plus, cubul este singurul poliedru regulat care [[teselare |umple]] [[Spațiu euclidian |spațiul euclidian]], ca urmare se credea că provoacă soliditatea Pământului.

Despre cel de-al cincilea poliedru platonic, dodecaedrul, Platon a remarcat obscur „...zeul l-a folosit pentru a aranja constelațiile pe tot cerul”. [[Aristotel]] a adăugat un al cincilea element, [[eter (element clasic) |eterul]] și a postulat că cerurile erau făcute din acest element, dar el nu avea vreun interes să-l potrivească cu al cincilea poliedru platonic. Wildberg discută despre corespondența din ''Timaios'' a poliedrelor platonice cu elementele, dar observă că această corespondență pare să fi fost uitată în ''[[Epinomis]]'', pe care el îl numește „un mare pas spre teoria lui Aristotel” și subliniază că eterul lui Aristotel este mai presus de celelalte patru elemente, făcând corespondența mai puțin potrivită.<ref>Wildberg (1988)</ref>

[[Euclid]] a descris matematic poliedrele platonice în ''[[Elementele]]'', a cărei ultimă carte (Cartea a XIII-a) este dedicată proprietăților lor. Paragrafele 13–17 din Cartea a XIII-a descriu construcția tetraedrului, a octaedrului, cubului, icosaedrului și a dodecaedrului, în această ordine. Pentru fiecare poliedru Euclid găsește raportul dintre diametrul sferei circumscrise și lungimea muchiei. În paragraful al 18-lea el susține că nu mai există poliedre regulate convexe. [[Andreas Speiser]] a susținut opinia că construcția celor 5 poliedre regulate este scopul principal al sistemului deductiv canonizat în ''Elementele''. {{Sfn|Weyl|1952|p&nbsp;=&nbsp;74}} O mare parte din informațiile din Cartea a XIII-a provin probabil din opera lui Theaetetus.


În secolul al XVI-lea, [[astronom]]ul german [[Johannes Kepler]] a încercat să lege cele cinci [[planetă |planete]] extraterestre cunoscute în vremea sa cu cele cinci poliedre platonice. În ''[[Mysterium Cosmographicum]]'', publicat în 1596, Kepler a propus un model al [[Sistemul solar |sistemului solar]] în care cele cinci poliedre erau așezate unul în celălalt și separate printr-o serie de sfere înscrise și circumscrise. Kepler a afirmat că raporturile distanțelor dintre cele șase planete cunoscute în acel moment ar putea fi înțelese în termenii celor cinci poliedre platonice închise într-o sferă care reprezenta orbita lui [[Saturn]]. Cele șase sfere corespundeau fiecărei planete ([[Mercur (planetă) |Mercur]], [[Venus]], [[Pământ]], [[Marte (planetă)|Marte]], [[Jupiter]] și Saturn). Poliedrele au fost ordonate, cel mai interior fiind octaedrul, urmat de icosaedru, dodecaedru, tetraedru și, în cele din urmă, cubul, dictând astfel structura sistemului solar și raporturile distanțelor dintre planete de către poliedrele platonice. În cele din urmă, ideea inițială a lui Kepler a trebuit abandonată, dar din cercetările sale au apărut [[legile lui Kepler |cele trei legi ale mișcării pe orbite]], dintre care prima a fost aceea că [[Legile lui Kepler#Prima_lege | orbitele planetelor sunt elipse]], nu cercuri, schimbând cursul fizicii și al astronomiei. De asemenea, el a descoperit [[poliedru Kepler–Poinsot |Poliedrele Kepler]].

== Coordonate carteziene ==
Pentru poliedrele platonice cu centrul în originea axelor, [[coordonate carteziene |coordonatele carteziene]] ale vârfurilor sunt date mai jos. Litera grecească ''φ'' este utilizată pentru a reprezenta [[secțiunea de auri]] {{sfrac|1+{{sqrt|5}}|2}} ≈ 1,618034.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Parametri
!Imagine
! colspan=2|Tetraedru || Octaedru || Cub || colspan=2| Icosaedru|| colspan=2|Dodecaedru
|-
!Fețe
|colspan=2|4||8||6||colspan=2|20||colspan=2|12
|- 
!Vârfuri
|colspan=2|4||6 (2&nbsp;×&nbsp;3)||8||colspan=2|12 (4&nbsp;×&nbsp;3)||colspan=2|20 (8&nbsp;+&nbsp;4&nbsp;×&nbsp;3)
|- 
!Orientări|| 1||2 || |||| 1||2|| 1||2
|- valign=top
! valign=center|Coodonate<br/>vârfuri
| (1, 1, 1)<br/>(1, −1, −1)<br/>(−1, 1, −1)<br/>(−1, −1, 1)
| (−1, −1, −1)<br/>(−1, 1, 1)<br/>(1, −1, 1)<br/>(1, 1, −1)
|&nbsp;<br/>(±1, 0, 0)<br/>(0, ±1, 0)<br/>(0, 0, ±1)
|(±1, ±1, ±1)
|&nbsp;<br/>(0, ±1, ±''φ'')<br/>(±1, ±''φ'', 0)<br/>(±''φ'', 0, ±1)||&nbsp;<br/>(0, ±''φ'', ±1)<br/>(±''φ'', ±1, 0)<br/>(±1, 0, ±''φ'')
|(±1, ±1, ±1)<br/>(0, ±{{sfrac|1|''φ''}}, ±''φ'')<br/>(±{{sfrac|1|''φ''}}, ±''φ'', 0)<br/>(±''φ'', 0, ±{{sfrac|1|''φ''}})||(±1, ±1, ±1)<br/>(0, ±''φ'', ±{{sfrac|1|''φ''}})<br/>(±''φ'', ±{{sfrac|1|''φ''}}, 0)<br/>(±{{sfrac|1|''φ''}}, 0, ±''φ'')
|-
!Imagine
|colspan=2|[[Fișier:CubeAndStel.svg|120px]]
|colspan=2|[[Fișier:Dual Cube-Octahedron.svg|120px]]
|colspan=2|[[Fișier:Icosahedron-golden-rectangles.svg|130px]]
|colspan=2|[[Fișier:Cube in dodecahedron.png|130px]]
|}
Coordonatele pentru tetraedru, dodecaedru și icosaedru sunt date pentru două orientări, fiecare conținând + sau &minus; din semn și permutarea poziției coordonatelor.

Aceste coordonate dezvăluie anumite relații între poliedrele platonice: vârfurile tetraedrului reprezintă jumătate din cele ale cubului, ca {4,3} sau {{CDD|node_1|4|node|3|node}}, unul din cele două seturi de 4 vârfuri în poziții duale, ca h{4,3} sau {{CDD|node_h|4|node|3|node}}. Ambele poziții tetraedrice fac compusul [[octaedru stelat]].

Coordonatele icosaedrului sunt legate de două seturi alternate de coordonate ale unui [[octaedru trunchiat]] neuniform, t{3,4} sau {{CDD|node_1|3|node_1|4|node}}, numit și ''[[icosaedru snub]]'', ca s{3,4} sau {{CDD|node_h|3| node_h|4|node}} și văzut drept [[compus de două icosaedre]].

Opt dintre vârfurile dodecaedrului sunt comune cu ale cubului. Completarea tuturor orientărilor duce la [[compus de cinci cuburi]].

== Proprietăți combinatorice ==
Un poliedru convex este un poliedru platonic [[dacă și numai dacă]]
# toate fețele sale sunt poligoane regulate convexe congruente,
# niciuna dintre fețe nu se intersectează cu alta cu excepția muchilor și
# într-un vârf se întâlnesc același număr de fețe.

Fiecare poliedru platonic poate fi notat cu un simbol {''p'',&nbsp;''q''}, unde
: ''p'' este numărul de muchii (sau, echivalent, vârfuri) ale fiecărei fețe, iar
: ''q'' este numărul fețelor (sau, echivalent, muchiilor) care se întâlnesc în fiecare vârf.

Simbolul {''p'',&nbsp;''q''}, numit [[simbol Schläfli]], dă o descriere [[combinatorică]] a poliedrului. Simbolurile Schläfli ale celor cinci poliedre platonice sunt prezentate în tabelul următor.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!colspan=2 |Poliedru
![[Vârf (geometrie)|Vârfuri]]
![[Latură (geometrie)|Muchii]]
![[Față (geometrie)|Fețe]]
![[Simbol Schläfli]]
![[Configurația vârfului]]
|- 
| [[tetraedru]]
| [[Fișier:tetrahedron.svg|50px|Tetraedru]]
| 4 || 6 || 4 || {3, 3} || 3.3.3
|-
| [[cub]]
| [[Fișier:hexahedron.svg|50px|Hexaedru (cub)]]
| 8 || 12 || 6 || {4, 3} || 4.4.4
|-
| [[octaedru]]
| [[Fișier:octahedron.svg|50px|Octaedru]]
| 6 || 12 || 8 || {3, 4} || 3.3.3.3
|-
| [[Dodecaedru regulat |Dodecaedru]]<!--PLEASE DO NOT SWAP THE DODECAHEDRON AND ICOSAHEDRON, IT IS CORRECT-->
| [[Fișier:Dodecahedron.svg|50px|Dodecaedru]]
| 20 || 30 || 12 || {5, 3} || 5.5.5
|-
| [[Icosaedru regulat |Icosaedru]]
| [[Fișier:icosahedron.svg|50px|Icosaedru]]
| 12 || 30 || 20 || {3, 5} || 3.3.3.3.3
|}

Toate celelalte informații combinatorice despre aceste poliedre, cum ar fi numărul total de vârfuri (''V''), laturi (muchii) (''M'') și fețe (''F''), pot fi determinate din ''p'' și ''q''. Deoarece orice muchie unește două vârfuri și are două fețe adiacente trebuie să existe:
: <math>pF = 2M = qV.\,</math>

Cealaltă relație dintre aceste valori este dată de [[caracteristică Euler |formula lui Euler]]:
: <math>V-M+F=2 \,</math>.

Acest lucru poate fi demonstrat în mai multe feluri. Împreună, aceste trei relații determină complet ''V'', ''M'' și ''F'':
: <math>V = \frac{4p}{4 - (p-2)(q-2)},\quad M = \frac{2pq}{4 - (p-2)(q-2)},\quad F = \frac{4q}{4 - (p-2)(q-2)}.</math>

Interschimbarea ''p'' și ''q'' schimbă ''F'' și ''V'' în timp ce lasă ''M'' neschimbat. Pentru o interpretare geometrică a acestei proprietăți v.&nbsp;§&nbsp;[[#Poliedre duale |Poliedre duale]] mai jos.

=== Configurație ===
Elementele unui poliedru pot fi plasate într-o matrice a configurației. Liniile și coloanele corespund vârfurilor, muchiilor și fețelor. Termenii de pe [[Diagonală principală|diagonala principală]] spun câte din fiecare element apar în întregul poliedru. Celelalte numere spun câte elemente ale coloanei apar în sau la elementul liniei. Perechile duale de poliedre au matricele configurației rotite la 180° una față de cealaltă.<ref>Coxeter, Regular Polytopes, sec 1.8 Configurations</ref>
{| class=wikitable 
!{p,q}
!colspan=5|Configurații platonice
|- valign=top
![[Ordin (teoria grupurilor) |ordinul]]:<BR/>''g'' = 8''pq''/(4-(''p''-2)(''q''-2))
!''g''=24
!colspan=2|''g''=48
!colspan=2|''g''=120
|-
|
{| class=wikitable
!|| v ||m||f
|- align=center
!v
| ''g''/2''q'' ||''q'' ||''q''
|- align=center
!m 
| 2 ||''g''/4 ||2
|- align=center
!f
| ''p'' || ''p'' || ''g''/2''p''
|}
| BGCOLOR="#e0f0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,3}
|- align=center
|4||3||3
|- align=center
|2||6||2
|- align=center
|3||3||4
|}
| BGCOLOR="#f0e0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,4}
|- align=center
|6|| 4||4
|- align=center
|2||12||2
|- align=center
|3|| 3||8
|}
| BGCOLOR="#e0e0f0" |
{| class=wikitable
|+ {4,3}
|- align=center
|8|| 3||3
|- align=center
|2||12||2
|- align=center
|4|| 4||6
|}
| BGCOLOR="#f0e0e0" |
{| class=wikitable
|+ {3,5}
|- align=center
|12|| 5|| 5
|- align=center
| 2||30|| 2
|- align=center
| 3|| 3||20
|}
| BGCOLOR="#e0e0f0" |
{| class=wikitable
|+ {5,3}
|- align=center
|20|| 3|| 3
|- align=center
| 2||30|| 2
|- align=center
| 5|| 5||12
|}
|}

== Clasificare ==
Rezultatul clasic este că există doar cinci poliedre regulate convexe. Două demonstrații simple de mai jos demonstrează că nu pot exista mai mult de cinci poliedre platonice, dar demonstrarea existenței unui anumit poliedru este o altă chestiune.

=== Demonstrația geometrică ===
{| class=wikitable align=right
|+ Desfășurata în jurul unui vârf
|- align=center valign=bottom
|[[Fișier:Polyiamond-3-1.svg|80px]]<br/>{3,3}<br/>Deficit 180°
|[[Fișier:Polyiamond-4-1.svg|80px]]<br/>{3,4}<br/>Deficit 120°
|[[Fișier:Polyiamond-5-4.svg|80px]]<br/>{3,5}<br/>Deficit 60°
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Polyiamond-6-11.svg|80px]]<br/>{3,6}<br/>Deficit 0°
|- align=center valign=bottom
|[[Fișier:TrominoV.svg|80px]]<br/>{4,3}<br/>Deficit 90°
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Square tiling vertfig.svg|80px]]<br/>{4,4}<br/>Deficit 0°
|[[Fișier:Pentagon_net.svg|80px]]<br/>{5,3}<br/>Deficit 36°
|BGCOLOR="#e0e0ff"|[[Fișier:Hexagonal tiling vertfig.svg|80px]]<br/>{6,3}<br/>Deficit 0°
|- align=center
|colspan=4|Un vârf are nevoie de cel puțin 3 fețe și un [[deficit unghiular]].<br/>Un deficit unghiular de 0° va umple planul euclidian cu o pavare regulată.<br/>Prin [[Deficit unghiular#Teorema_lui_Descartes |Teorema lui Descartes]], numărul de vârfuri este de 720°/''deficit''.
|}
Următoarea demonstrație geometrică este similară cu cea dată de Euclid în ''[[Elementele]]'':
# Fiecare vârf al poliedrului trebuie să fie un vârf pentru cel puțin trei fețe.
# În fiecare vârf al poliedrului, la fețele adiacente totalul unghiurilor dintre laturile lor adiacente trebuie să fie mai mic de 360°. Suma mai mică de 360° denotă existența deficitului unghiular.
# La toate vârfurile unghiurile tuturor fețelor unui poliedru platonic sunt identice: fiecare vârf al fiecărei fețe trebuie să contribuie cu mai puțin de {{sfrac|360°|3}}&nbsp;=&nbsp;120°.
# Poligoanele regulate cu [[Hexagon |șase]] sau mai multe laturi au doar unghiuri de 120° sau mai mult, deci poliedrul se poate forma doar din fețe triunghiulare, pătrate sau pentagonale. Pentru fiecare din aceste forme există următoarele:
#* Fețele triunghiulare: Fiecare vârf al unui [[triunghi echilateral]] are 60°, deci o formă poate avea 3, 4 sau 5 triunghiuri care se întâlnesc la un vârf; acestea sunt tetraedrul, octaedrul și respectiv icosaedrul regulat.
#* Fețele pătrate: Fiecare vârf al unui pătrat are 90°, deci singura posibilitate este ca într-un vârf să se întâlnească trei fețe, care formează cubul.
#* Fețele pentagonale: Fiecare vârf al unui pentagon regulat are 108°, deci singura posibilitate este ca într-un vârf să se întâlnească trei fețe, care formează dodecaedrul regulat.

::În total, se pot forma doar 5 poliedre platonice.

=== Demonstrația topologică ===
O demonstrație pur [[topologie |topologică]] poate fi făcută folosind doar informații combinatorice despre poliedre. Cheia este [[caracteristică Euler |observația lui Euler]] că <math>V-M+F=2 \,</math>și faptul că <math>pF=2M=qV \,</math>, unde ''p'' reprezintă numărul de laturi ale fiecărei fețe și ''q'' numărul a muchiilor care se întâlnesc în fiecare vârf. Combinând aceste relații se obține ecuația
: <math>\frac{2M}{q}-M+\frac{2M}{p} = 2 \,</math>.

O transformare algebrică simplă dă
: <math>{1 \over q} + {1 \over p}= {1 \over 2} + {1 \over M} \,</math>.

Deoarece ''M'' este strict pozitiv, trebuie să fie
: <math>\frac{1}{q} + \frac{1}{p} > \frac{1}{2} \,</math>.

Știind că ''p'' și ''q'' trebuie să fie fiecare cel puțin 3, se poate vedea că există doar 5 posibilități pentru {''p'',&nbsp;''q''}:
: {3,&nbsp;3}, {4,&nbsp;3}, {3,&nbsp;4}, {5,&nbsp;3}, {3,&nbsp;5}.

== Proprietăți geometrice ==
=== Unghiuri ===
Există un număr de unghiuri asociate cu fiecare poliedru platonic. [[Unghi diedru |Unghiul diedru]] este unghiul interior dintre oricare două plane ale fețelor. Unghiul diedru, ''θ'', al poliedrului {''p'',''q''} este dat de formula
: <math>\sin{\theta\over 2} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{p}\right)}</math>.

Uneori este mai convenabil să fie exprimate prin [[tangentă]]
: <math>\tan{\theta\over 2} = \frac{\cos\left(\frac{\pi}{q}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{h}\right)}</math>.

Cantitatea ''h'' (numită [[element Coxeter]]) este 4, 6, 6, 10 și 10 pentru tetraedru, cub, octaedru, dodecaedru și respectiv icosaedru.

Deficitul unghiular la vârful unui poliedru este diferența dintre suma unghiurilor de față la acel vârf și 2&pi;. Deficitul, ''δ'', la orice vârf al poliedrelor platonice {''p'',''q''} este
: <math>\delta = 2\pi - q\pi\left(1-{2\over p}\right).</math>

Conform unei teoreme a lui Descartes, aceasta este egală cu 4&pi; împărțit la numărul de vârfuri (adică defectul total la toate vârfurile este 4&pi;).

Analogul tridimensional al unui unghi plan este un [[unghi solid]]. Unghiul solid ''Ω'' la vârful unui poliedru platonic este dat în termeni de unghi diedru de
: <math>\Omega = q\theta - (q-2)\pi \,</math>.

Acest lucru rezultă din formula [[exces sferic |excesului sferic]] al unui [[poligon sferic]] și din faptul că [[figura vârfului]] poliedrului {''p'',''q''} este un ''q''-gon regulat.

Unghiul solid sub care o față este văzută din centrul unui poliedru platonic este egal cu unghiul solid al unei sfere complete (4 [[steradian]]i) împărțit la numărul de fețe. Aceasta este egal cu deficitul unghiular al dualului său.

Diferitele unghiuri asociate cu poliedrele platonice sunt tabelate mai jos. Valorile numerice ale unghiurilor solide sunt date în steradiani. Constanta ''φ''&nbsp;= {{sfrac|1&nbsp;+&nbsp;{{sqrt | 5}}|2}} este [[secțiunea de aur]].

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Poliedru||Unghi diedru<br/>(''θ'')||tan&nbsp;{{sfrac|''θ''|2}}||Deficit (''δ'')||Unghi solid<br/>la vârf (''Ω'')||Unghi solid<br/>al feței
|-
| [[tetraedru]] || 70,53° || <math>1\over{\sqrt 2}</math> || <math>\pi</math>
| <math>\cos^{-1}\left(\frac{23}{27}\right) \quad \approx 0,551286</math>
| <math>\pi</math>
|-
| [[cub]] || 90° || <math>1</math> || <math>\pi\over 2</math>
| <math>\frac{\pi}{2} \quad \approx 1,57080</math>
| <math>2\pi\over 3</math>
|-
| [[octaedru]] || 109,47° || <math>\sqrt 2</math> || <math>{2\pi}\over 3</math>
| <math>4\sin^{-1}\left({1\over 3}\right) \quad \approx 1,35935</math>
| <math>\pi\over 2</math>
|-
| [[Dodecaedru regulat |dodecaedru]] || 116,57° || <math>\varphi</math> || <math>\pi\over 5</math>
| <math>\pi - \tan^{-1}\left(\frac{2}{11}\right) \quad \approx 2,96174</math>
| <math>\pi\over 3</math>
|-
| [[Icosaedru regulat |Icosaedru]] || 138,19° || <math>\varphi^2</math> || <math>\pi\over 3</math>
| <math>2\pi - 5\sin^{-1}\left({2\over 3}\right) \quad \approx 2,63455</math>
| <math>\pi\over 5</math>
|}

=== Raze, arii și volume ===
O altă proprietate poliedrelor platonice este că posedă toate trei sfere concentrice:
* [[sferă circumscrisă |sfera circumscrisă]], care trece prin toate vârfurile,
* [[sferă mediană |sfera mediană]], care este tangentă la toate muchiile în mijlocul lor, și
* [[sferă înscrisă |sfera înscrisă]] care este tangentă la toate fețele în mijlocul lor.

Raza sferei circumscrise (R), respectiv a celei înscrise (r) sunt date în funcție de lungimea muchiei ''a'' de relațiile
: <math>R = \left({a\over 2}\right)\tan\frac{\pi}{q}\tan\frac{\theta}{2}</math>
: <math>r = \left({a\over 2}\right)\cot\frac{\pi}{p}\tan\frac{\theta}{2}</math>
unde ''θ'' is unghiul diedru. Raza sferei mediane ''ρ'' este dată de
: <math>\rho = \left({a\over 2}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi}{p}\right)}{\sin\left(\frac{\pi}{h}\right)}</math>
unde ''h'' este cantitatea definită mai sus la unghiul diedru (''h'' = 4, 6, 6, 10 și 10). Raportul dintre razele sferei circumscrise și înscrise este în funcție de ''p'' și ''q'':
: <math>{R\over r} = \tan\frac{\pi}{p}\tan\frac{\pi}{q}=\frac{{\sqrt{{\sin^{-2}{\left(\frac{\theta}{2}\right)}}-{\cos^{2}{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}}}}{\sin{\left(\frac{\alpha}{2}\right)}}. </math>

[[Arie |Aria suprafeței]], ''A'', a unui poliedru platonic {''p'',&nbsp;''q''} se calculează ușor din aria feței ''p''-gonale regulate înmulțită cu numărul fețelor ''F''. Aceasta este:
: <math>A = \left({a\over 2}\right)^2 Fp\cot\frac{\pi}{p}.</math>

[[Volum (geometrie) |Volumul]] se calculează ca de ''F'' ori volumul [[piramidă (geometrie) |piramidei]] care are [[bază (geometrie)|baza]] fața ''p''-gonală regulată și [[înălțime (geometrie)|înălțimea]] raza sferei înscrise, ''r''. Acesta este:
: <math>V = \tfrac13 rAF.</math>

În tabelul următor sunt prezentate diferitele raze ale poliedrelor platonice împreună cu aria și volumul lor. Dimensiunea totală este calculată considerând lungimea muchiei, ''a'', egală cu 2.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!Poliedru<br/><small>(''a''&nbsp;=&nbsp;2)</small> ||Raza sferei<br/>înscrise (''r'') ||Raza sferei<br/>mediane (''ρ'') ||Raza sferei<br/>circumscrise (''R'') || Aria suprafeței (''A'') || Volumul (''V'') || Volumul<br/><small>(laturi egale cu unitatea)</small>
|-
| [[tetraedru]] || <math>1\over {\sqrt 6}</math> || <math>1\over {\sqrt 2}</math> || <math>\sqrt{3\over 2}</math> || <math>4\sqrt 3</math> || <math>\frac{\sqrt 8}{3}\approx 0,942809</math> || <math>\approx0,117851</math>
|-
| [[cub]] || <math>1\,</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>\sqrt 3</math> || <math>24\,</math> || <math>8\,</math> || <math>1\,</math>
|-
| [[octaedru]] || <math>\sqrt{2\over 3}</math> || <math>1\,</math> || <math>\sqrt 2</math> || <math>8\sqrt 3</math> || <math>\frac{\sqrt {128}}{3}\approx 3,771236</math> || <math>\approx 0,471404</math>
|-
| [[dodecaedru]] || <math>\frac{\varphi^2}{\xi}</math> || <math>\varphi^2</math> || <math>\sqrt 3\,\varphi</math> || <math>12 {\sqrt {25+10\sqrt5}}</math> || <math>\frac{20\varphi^3}{\xi^2}\approx 61,304952</math> || <math>\approx 7,663119</math>
|-
| [[icosaedru]] || <math>\frac{\varphi^2}{\sqrt 3}</math> || <math>\varphi</math> || <math>\xi\varphi</math> || <math>20\sqrt 3</math> || <math>\frac{20\varphi^2}{3}\approx 17,453560</math> || <math>\approx 2,181695</math>
|}

Constantele ''φ'' și ''ξ'' de mai sus sunt date de
: <math>\varphi = 2\cos{\pi\over 5} = \frac{1+\sqrt 5}{2}\qquad\xi = 2\sin{\pi\over 5} = \sqrt{\frac{5-\sqrt 5}{2}} = 5^{\frac14}\varphi^{-\frac12}</math>.

Dintre poliedrele platonice, fie dodecaedrul, fie icosaedrul pot fi văzute ca cea mai bună aproximare a sferei. Icosaedrul, care are cel mai mare număr de fețe și cel mai mare unghi diedru, își cuprinde sfera înscrisă cel mai strâns, iar raportul dintre suprafață și volum este cel mai apropiat de cel al unei sfere de aceeași dimensiune (adică fie cu aceeași suprafață, fie cu același volum). Pe de altă parte, dodecaedrul are cel mai mic deficit unghiular, cel mai mare unghi solid al vârfului și își umple cel mai bine sfera circumscrisă.

== Simetrie ==
=== Poliedre duale ===
{{Imagine multiplă
 | align = right | direction=vertical | width=150
 | image1 = Dual compound 4 max.png
 | image2 = Dual compound 8 max.png
 | image3 = Dual compound 20 max.png
 | footer = [[Compus politopic#Compuși_duali|Compuși duali]]
}}
Fiecare poliedru are un [[poliedru dual |poliedru dual (sau ''polar'')]] fețele unuia corespunzând vârfurilor celuilalt. Dualul fiecărui poliedru platonic este un alt poliedru platonic, astfel că cele cinci poliedre platonice se pot grupa în perechi duale.
* Tetraedrul este [[Poliedru_dual#Poliedre_autoduale |autodual]] (adică dualul său este un alt tetraedru).
* Cubul și octaedrul formează o pereche duală.
* Dodecaedrul și icosaedrul formează o pereche duală.

Dacă un poliedru are simbolul Schläfli {''p'',&nbsp;''q''}, atunci dualul său are simbolul {''q'',&nbsp;''p''}. Fiecare proprietate combinatorică a unui poliedru platonic poate fi interpretată ca o altă proprietate combinatorică a dualului.

Se poate construi poliedrul dual plasând vârfurile dualului în centrele fețelor poliedrului inițial. Conectarea centrelor fețelor adiacente în poliedrul inițial formează muchiile dualului și astfel se interschimbă numerele fețelor și al vârfurilor menținând în același timp numărul de muchii.

Mai general, se poate dualiza un poliedru platonic în raport cu o sferă de rază "d" concentrică cu poliedrul. Razele (''R'',&nbsp;''ρ'',&nbsp;''r'') ale unui poliedru și cele ale dualului său (''R''*,&nbsp;''ρ''*,&nbsp;''r''*)  sunt legate prin relația
: <math>d^2 = R^\ast r = r^\ast R = \rho^\ast\rho.</math>

Dualizarea în funcție de sfera mediană (''d''&nbsp;=&nbsp;''ρ'') este adesea convenabilă deoarece sfera mediană este aceeași la ambele poliedre. Luând ''d''<sup>2</sup>&nbsp;=&nbsp;''Rr'' se obține un poliedru dual cu aceleași sfere circumscrisă și înscrisă (adică ''R''*&nbsp;=&nbsp;''R'' și  ''r''*&nbsp;=&nbsp;''r'').

=== Grupuri de simetrie ===
În matematică conceptul de [[simetrie (geometrie)|simetrie]] este studiat pe baza noțiunii de [[grup (matematică) |grup]]. Fiecare poliedru are asociat un [[grup de simetrie]], care este ansamblul tuturor transformărilor ([[izometrie |izometriilor]] euclidiene) care lasă poliedrul invariant. [[Ordin (teoria grupurilor) |Ordinul]] grupului de simetrie este numărul de simetrii ale poliedrului. De multe ori se face distincția între ''grupul de simetrie complet'', care include [[reflexie (matematică) |reflexiile]] și ''grupul propriu de simetrie'', care include numai [[rotație (matematică) |rotațiile]].

Grupurile de simetrie ale poliedrelor platonice sunt o clasă specială de [[grup de puncte în trei dimensiuni |grupuri de puncte în trei dimensiuni]] cunoscute sub numele de [[grup poliedric |grupuri poliedrice]]. Gradul ridicat de simetrie al poliedrelor platonice poate fi interpretat în mai multe moduri. Cel mai important, vârfurile fiecărui poliedru sunt toate echivalente față de acțiunea grupului de simetrie, la fel ca muchiile și fețele. Se spune că acțiunea grupului de simetrie este [[acțiune tranzitivă |tranzitivă]] pe vârfuri, muchii și fețe. De fapt, acesta este un alt mod de a defini regularitatea unui poliedru: un poliedru este ''regulat'' dacă și numai dacă este [[figură izogonală |uniform pe vârfuri]], [[figură izotoxală |muchii]] și [[figură izoedrică |fețe]].

Există doar trei grupuri de simetrie asociate cu poliedrele platonice deoarece grupul de simetrie al oricărui poliedru coincide cu cel al dualului său. Acest lucru este ușor de văzut examinând construcția poliedrului dual. Orice simetrie a unui poliedru trebuie să fie o simetrie a dualului și invers. Cele trei grupuri poliedrice sunt:
* [[grup tetraedric |grupul tetraedric]] ''T'' (care este și grupul de simetrie al tetraedrului), 
* [[grup octaedric |grupul octaedric]] ''O'' (care este și grupul de simetrie al cubului) și
* [[grup icosaedric |grupul icosaedric]] ''I'' (care este și grupul de simetrie al dodecaedrului).

Ordinele grupurilor proprii (de rotație) sunt 12, 24 și respectiv 60&nbsp;— exact de două ori numărul de muchii din poliedrele respective. Ordinele grupurilor de simetrie completă sunt din nou de două ori mai mari (24, 48 și 120). Deducerea acestora se găsește în lucrarea lui [[Coxeter]].<ref>Coxeter, 1973</ref> Toate poliedrele platonice, cu excepția tetraedrului, sunt ''cu [[simetrie față de centru|simetrie centrală]]'', adică se conservă în urma reflexiei față de origine.

Următorul tabel prezintă diferitele proprietăți de simetrie ale poliedrelor platonice. Grupurile de simetrie enumerate sunt grupurile complete cu subgrupurile de rotație date între paranteze (la fel pentru numărul de simetrii). [[Construcția Wythoff]] este o metodă pentru construirea poliedrelor direct din grupurile lor de simetrie. Acestea sunt menționate ca referințe la simbolul lui Wythoff pentru fiecare dintre poliedrele platonice.
{| class="wikitable" width=640 style="text-align:center"
|-
!rowspan=2|Poliedru
!rowspan=2|[[Simbol Schläfli |Simbol<br/>Schläfli]]
!rowspan=2|[[Simbol Wythoff |Simbol<br/>Wythoff]]
!rowspan=2|[[Poliedru dual|Poliedru<br/>dual]]
!colspan=5|[[Grup de simetrie]] (reflexie, rotație)
|-
![[Grup poliedric|Poliedric]]
![[Notație Schoenflies |Sch.]]
![[Notație Coxeter|Cox.]]
![[Notație orbifold |Orb.]]
!Ordin
|-
| [[tetraedru]]
| {3, 3} || 3 {{!}} 2 3 || tetraedru
| [[Simetrie tetraedrică |Tetraedrică]] [[Fișier:Tetrahedral reflection domains.png|40px]]
| ''T''<sub>d</sub><br/>''T''
| [3,3]<br/>[3,3]<sup>+</sup>
| *332<br/>332
| 24<br/>12
|-
| [[cub]]
| {4, 3} || 3 {{!}} 2 4 || octaedru
| rowspan=2 | [[Simetrie octaedrică |Octaedrică]] [[Fișier:Octahedral reflection domains.png|40px]]
| rowspan=2 | ''O''<sub>h</sub><br/>''O''
| rowspan=2 | [4,3]<br/>[4,3]<sup>+</sup>
| rowspan=2 | *432<br/>432
| rowspan=2 | 48<br/>24
|-
| [[octaedru]]
| {3, 4} || 4 {{!}} 2 3 || cub
|-
| [[dodecaedru regulat |dodecaedru]]
| {5, 3} || 3 {{!}} 2 5 || icosaedru
| rowspan=2 | [[Simetrie icosaedrică |Icosaedrică]] [[Fișier:Icosahedral reflection domains.png|40px]]
| rowspan=2 | ''I''<sub>h</sub><br/>''I''
| rowspan=2 | [5,3]<br/>[5,3]<sup>+</sup>
| rowspan=2 | *532<br/>532
| rowspan=2 | 120<br/>60
|-
| [[icosaedru regulat |icosaedru]]
| {3, 5} || 5 {{!}} 2 3 || dodecaedru
|}

=== În dimensiuni superioare ===
În mai mult de trei dimensiuni poliedrele se generalizează ca [[politop]]uri, [[politop regulat |cele regulate convexe]] fiind echivalentele poliedrelor tridimensionale platonice.

La mijlocul secolului al XIX-lea, matematicianul elvețian [[Ludwig Schläfli]] a descoperit analoagele în patru dimensiuni ale poliedrelor platonice, numite [[4-politop regulat convex |4-politopuri regulate convexe]]. Există șase astfel de politopuri; cinci sunt analoagele poliedrelor platonice [[5-celule]] ({3,3,3}), [[16-celule]] ({3,3,4}), [[600-celule]] ({3,3,5}), [[tesseract]] ({4,3,3}) și [[120-celule]] ({5,3,3}), precum și un al șaselea, autodualul [[24-celule]] ({3,4,3}).

În toate dimensiunile mai mari de patru există doar trei politopuri regulate convexe: [[simplex]]ul ({3,3,&nbsp;...&nbsp;,&nbsp;3}), [[hipercub]]ul ({4,3,&nbsp;...&nbsp;,3}) și [[ortoplex]]ul ({3,3,&nbsp;...&nbsp;,&nbsp;4}).{{Sfn|Coxeter|1973|p=136}} În trei dimensiuni acestea coincid cu tetraedrul ({3,3}), cubul ({4,3}) și octaedrul ({3,4}).

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{cite journal
| last1 = Atiyah
| first1 = Michael
| author2-link = Paul Sutcliffe
| author-link = Michael Atiyah
| last2=Sutcliffe
| first2=Paul
| year = 2003
| title = Polyhedra in Physics, Chemistry and Geometry
| journal = Milan J. Math
| volume = 71
| pages = 33–58
| doi = 10.1007/s00032-003-0014-1
| arxiv = math-ph/0303071
}}
* {{en icon}} {{cite book |first1 = Carl
 |last1 = Boyer
 |author1-link = Carl Benjamin Boyer
 |first2 = Uta
 |last2 = Merzbach
 |author2-link = Uta Merzbach
 |year = 1989
 |title = A History of Mathematics
 |edition = 2nd
 |publisher = Wiley
 |isbn = 0-471-54397-7
 |url-access = registration
 |url = https://archive.org/details/historyofmathema00boye
}}
* {{en icon}} {{cite book
| first = H. S. M.
| last = Coxeter
| author-link = H. S. M. Coxeter
| year = 1973
| title = Regular Polytopes
| edition = 3rd
| publisher = Dover Publications
| location = New York
| isbn = 0-486-61480-8
}}
* {{en icon}} {{cite book | author = Euclid | author-link = Euclid | year = 1956 | title = The Thirteen Books of Euclid's Elements, Books 10–13 | editor-first = Thomas L. | editor-last = Heath | editor-link = Thomas Little Heath | edition = 2nd unabr. | publisher = Dover Publications | location = New York | isbn = 0-486-60090-4 | url-access = registration | url = https://archive.org/details/thirteenbooksofe00eucl }}
* {{en icon}} [[Martin Gardner|Gardner, Martin]] (1987). ''The 2nd Scientific American Book of Mathematical Puzzles & Diversions'', University of [[Chicago]] Press, Chapter 1: The Five Platonic Solids, {{isbn|0226282538}}
* {{de icon}} [[Ernst Haeckel|Haeckel, Ernst]], E. (1904). ''Kunstformen der Natur''. Available as Haeckel, E. (1998); ''[https://web.archive.org/web/20090627082453/http://caliban.mpiz-koeln.mpg.de/~stueber/haeckel/kunstformen/natur.html Art forms in nature]'', Prestel USA. {{isbn|3-7913-1990-6}}.
* {{la icon}} [[Johannes Kepler|Kepler. Johannes]] ''Strena seu de nive sexangula (On the Six-Cornered Snowflake)'', 1611 paper by Kepler which discussed the reason for the six-angled shape of the snow crystals and the forms and symmetries in nature. Talks about platonic solids.
* {{en icon}} {{Cite journal| title = Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals
| author = Kleinert, Hagen
| author-link = Hagen Kleinert
| author2 = Maki, K.
| name-list-style = amp
| journal = Fortschritte der Physik
| volume = 29
| issue = 5
| pages = 219–259
| year = 1981
| doi = 10.1002/prop.19810290503
| url = http://users.physik.fu-berlin.de/~kleinert/75/75.pdf| bibcode = 1981ForPh..29..219K}}
* {{en icon}} {{cite journal
| last1 = Lloyd
| first1 = David Robert
| year = 2012
| title = How old are the Platonic Solids?
| journal = BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics
| volume = 27
| issue = 3
| pages = 131–140
| doi = 10.1080/17498430.2012.670845
}}
* {{en icon}} {{cite book | first=Anthony|last= Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7 }}
* {{en icon}} {{cite book
| first = Hermann
| last = Weyl
| author-link = Hermann Weyl
| year = 1952
| title = Symmetry
| url = https://archive.org/details/symmetry0000weyl
| url-access = registration
| publisher = Princeton University Press
| location = Princeton, NJ
| isbn = 0-691-02374-3
}}
* {{en icon}} Wildberg, Christian (1988). [https://books.google.com/books?id=af3XzdAvB_cC&pg=PA11 ''John Philoponus' Criticism of Aristotle's Theory of Aether.''] Walter de Gruyter. pp.&nbsp;11–12. {{isbn|9783110104462}}

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Platonic solids}}
* {{en icon}} [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Platonic_solids ''Platonic solids'' at Encyclopaedia of Mathematics]
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=PlatonicSolid | title=Platonic solid }}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname = Isohedron | title = Isohedron}}
* {{en icon}} [http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookXIII/propXIII13.html Book XIII] of Euclid's ''Elements''.
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20050403235101/http://ibiblio.org/e-notes/3Dapp/Convex.htm Interactive 3D Polyhedra] in Java
* {{en icon}} [http://dmccooey.com/polyhedra/Platonic.html Platonic Solids] in Visual Polyhedra
* {{en icon}} [https://kovacsv.github.com/JSModeler/documentation/examples/solids.html Solid Body Viewer] {{Webarchive|url=https://archive.today/20130411004747/http://kovacsv.github.com/JSModeler/documentation/examples/solids.html |date=2013-04-11 }} is an interactive 3D polyhedron viewer which allows you to save the model in svg, stl or obj format.
* {{en icon}} [http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathsolid_en.html Interactive Folding/Unfolding Platonic Solids] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20070209043012/http://www.mat.puc-rio.br/~hjbortol/mathsolid/mathsolid_en.html |date=2007-02-09 }} in Java
* {{en icon}} [http://www.software3d.com/Platonic.php Paper models of the Platonic solids] created using nets generated by ''Stella'' software
* {{en icon}} [http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=p Platonic Solids] Free paper models(nets)
* {{en icon}} {{cite web|title=Platonic Solids|url=http://www.numberphile.com/videos/platonic_solids.html|work=Numberphile|publisher=[[Brady Haran]]|author=Grime, James|author2=Steckles, Katie|accessdate=2021-03-10|archive-date=2018-10-23|archive-url=https://web.archive.org/web/20181023183946/http://www.numberphile.com/videos/platonic_solids.html|dead-url=yes}}
* {{en icon}} [http://www.ldlewis.com/Teaching-Mathematics-with-Art/Polyhedra.html Teaching Math with Art] student-created models
* {{en icon}} [http://www.ldlewis.com/Teaching-Mathematics-with-Art/instructions-for-polyhedra-project.html Teaching Math with Art] teacher instructions for making models
* {{en icon}} [http://www.bru.hlphys.jku.at/surf/Kepler_Model.html Frames of Platonic Solids] images of [lgebraic surfaces
* {{en icon}} [http://whistleralley.com/polyhedra/platonic.htm Platonic Solids] with some [http://whistleralley.com/polyhedra/derivations.htm formula derivations]
* {{en icon}} [http://woodenpolyhedra.web.fc2.com/making.pdf How to make four platonic solids from a cube]

{{Portal|matematică}}
{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Poliedre platonice| ]]