Vizualizare sursă pentru „Poliedru dual”

[[Fișier:Polyhedron pair 6-8.png|thumb|Dualul unui cub este un octaedru; vârfurile unuia corespund fețelor celuilalt]]
În [[geometrie]] orice [[poliedru]] este asociat cu o a doua figură, '''duală''', unde [[vârf (geometrie) |vârfurile]] unuia corespund [[față (geometrie) |fețelor]] celeilalte și muchiile dintre perechile de vârfuri ale unuia corespund muchiilor dintre perechile de fețe ale celeilalte.<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Wenninger|1983}}, "Basic notions about stellation and duality", p.&nbsp;1</ref> („Corespondența” trebuie înțeleasă în sensul că sunt elemente de același tip, care chiar se intersectează, dar nu că ar fi aceleași.) Astfel de figuri duale rămân poliedre combinatorice sau {{ill-wd|Q4669958|politop abstract|abstracte}}, dar nu toate sunt și poliedre geometrice.<ref>{{harvtxt|Grünbaum|2003}}</ref> Pornind de la orice poliedru dat, dualul dualului său este poliedrul inițial.

Dualitatea conservă [[simetrie (geometrie)|simetriile]] unui poliedru. Prin urmare, pentru multe clase de poliedre definite prin simetriile lor, dualii aparțin și ei aceluiași [[grup de simetrie]]. Astfel, poliedrele regulate&nbsp;— [[poliedru platonic |poliedrele platonice]] (convexe) și [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedrele Kepler–Poinsot]] ([[Poliedru stelat |stelate]])&nbsp;— formează perechi duale, unde [[tetraedru]]l regulat este [[#Poliedru_autodual |autodual]]. Dualul unui poliedru [[figură izogonală |izogonal]] (având vârfuri echivalente), este unul izoedric, având fețe echivalente. Dualul unui poliedru [[figură izotoxală |izotoxal]] (având muchii echivalente) este, de asemenea, izotoxal.

Dualitatea este strâns legată de ''[[inversiune (geometrie) |inversiune]]'' sau ''polaritate'', o [[transformare geometrică]] care, atunci când este aplicată unui poliedru convex, realizează poliedrul dual ca un alt poliedru convex.

== Tipuri de dualitate ==
[[Fișier:Ioanniskepplerih00kepl 0271 crop.jpg|thumb|400px|Dualul unui [[poliedru platonic]] poate fi construit conectând centrul fețelor. În general asta creează doar un dual topologic.<br/>Ilustrații din ''Harmonices Mundi'' (1619) de Kepler.]]
Există multe feluri de dualitate. Cele mai relevante pentru poliedrele elementare sunt inversiunea polară și dualitatea topologică sau abstractă.

=== Inversiunea polară ===
Dualul poliedrului {{mvar|P}} este adesea definit în termeni de inversiune polară față de o sferă. Aici, fiecare vârf (pol) este asociat cu planul feței (plan polar), astfel încât raza de la [[centru (geometrie)|centru]] la vârf să fie perpendiculară pe plan, iar produsul distanțelor de la centru la două puncte duale este egal cu pătratul razei sferei.<ref>{{harvtxt|Cundy|Rollett|1961}}, 3.2 Duality, pp.&nbsp;78–79; {{harvtxt|Wenninger|1983}}, Pages 3-5. (Note, Wenninger's discussion includes nonconvex polyhedra.)</ref>

Când sfera are raza {{mvar|r}} și centrul în origine, adică este definită de ecuația <math>x^2 + y^2 + z^2 = r^2,</math> iar {{mvar|P}} este un poliedru convex, atunci dualul său polar este definit prin
:<math>P^\circ = \{ q \in \mathbb{R}^3 \mid q \cdot p \leq r^2 \text{ pentru toți } p \in P \}</math>
unde <math>q\cdot p</math> este [[produs scalar |produsul scalar]] al {{mvar|q}} și {{mvar|p}}.
Dacă nu este specificată nicio sferă în construcția dualului, atunci se subînțelege că în definițiile de mai sus este utilizată [[sferă unitate|sfera unitate]], adică având <math> r = 1 \,</math>.<ref>{{harvtxt|Barvinok|2002}}, Page 143.</ref>

Pentru fiecare față a lui {{mvar|P}} descrisă de ecuația liniară
:<math>x_0x + y_0y + z_0z = r^2 \,</math>,
poliedrul dual <math>P^\circ</math> va avea un vârf <math>(x_0,y_0,z_0)</math>. Similar, fiecare vârf al {{mvar|P}} corespunde unei fețe a <math>P^\circ</math>, și fiecare muchie a lui {{mvar|P}} corespunde unei muchii a lui <math>P^\circ</math>. Corespondența între vârfuri, muchii și fețele lui {{mvar|P}} și <math>P^\circ</math> inversează elementele. De exemplu, dacă o muchie a lui {{mvar|P}} conține un vârf, muchia corespondentă a lui <math>P^\circ</math> va fi conținută în fața corespondentă.

Pentru poliedrele simetrice având un centru evident, de obicei poliedrul și sfera se iau concentrice, ca în construcția lui Dorman Luke descrisă mai jos. Dacă există mai multe axe de simetrie, acestea se vor intersecta în mod necesar într-un singur punct, care de obicei este considerat ca fiind centrul. În caz contrar, de obicei se ia o [[sferă circumscrisă]], o [[sferă înscrisă]] sau o [[sferă mediană]] (cea [[tangentă (geometrie)|tangentă]] la toate muchiile).

Totuși, este posibil să se inverseze un poliedru față de orice sferă, iar forma rezultată a dualului va depinde de mărimea și poziția sferei; pe măsură ce sfera se schimbă, se schimbă și forma duală. Alegerea centrului pentru sferă este suficientă pentru a defini dualitatea [[până la]] similaritate.

Dacă un poliedru din [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] are un element care trece prin centrul sferei, elementul corespunzător al dualului său va merge la infinit. Deoarece spațiul euclidian nu atinge niciodată infinitul, echivalentul proiectiv, numit spațiu euclidian extins, se poate forma prin adăugarea [[plan de la infinit|planului de la infinit]] necesar. Unii teoreticieni preferă să se țină de spațiul euclidian și spun că nu există dualitate. Între timp, {{harvtxt|Wenninger|1983}} a găsit o modalitate de a reprezenta aceste duale infinite, într-o manieră potrivită pentru realizarea de modele (a unei porțiuni finite).

Conceptul de ''dualitate'' aici este strâns legat de [[dualitate (geometrie proiectivă) |dualitatea]] din [[geometria proiectivă]], unde dreptele și muchiile sunt interschimbate. Polaritatea proiectivă funcționează suficient de bine pentru poliedrele convexe. Dar pentru figurile neconvexe, cum ar fi poliedrele stelate, atunci când se încearcă să se definească riguros această formă de dualitate poliedrică în termeni de polaritate proiectivă, apar diverse probleme.<ref>V. de exemplu {{harvtxt|Grünbaum|Shephard|2013}} și {{harvtxt|Gailiunas|Sharp|2005}}. {{harvtxt|Wenninger|1983}} discută, de asemenea, unele aspecte asupra modului de a obține dualele sale infinite.</ref> Datorită problemelor de definire a dualității geometrice a poliedrelor neconvexe, {{harvtxt | Grünbaum | 2007}} susține că orice definiție adecvată a unui poliedru neconvex ar trebui să includă o noțiune a poliedrului dual.

==== Duale canonice ====
[[Fișier:Dual compound 6-8 max.png|thumb|[[Compus dual]] canonic de [[cuboctaedru]] și dodecaedru rombic; perechile de muchii se întâlnesc pe sfera mediană comună]]
Orice poliedru convex poate fi distorsionat într-o [[sferă mediană#poliedru_canonic |formă canonică]], în care există o [[sferă mediană]] tangentă la fiecare muchie astfel încât media pozițiilor punctelor de tangență este centrul sferei. Această formă este unică până la congruențe.

Dacă se inversează un astfel de poliedru canonic față de sfera sa mediană, poliedrul dual va avea aceleași puncte de tangență ale muchiilor, prin urmare trebuie să fie și el canonic. Este dualul canonic, iar cele două poliedre formează împreună o pereche duală canonică.<ref>{{harvtxt|Grünbaum|2007}}, Theorem 3.1, p.&nbsp;449.</ref>

=== Dualitatea topologică ===
Chiar și atunci când o pereche de poliedre nu poate fi obținută prin formele inversate ale unuia față de celălalt, ele pot fi numite duale între ele atâta timp cât vârfurile unuia corespund fețelor celuilalt, iar muchiile unuia corespund muchiilor celuilalt într-un mod care conservă incidența. Astfel de perechi de poliedre sunt duale topologice sau abstracte.

Vârfurile și marginile unui poliedru convex formează un [[graf]] ([[n-schelet |1-schelet]] al poliedrului), încorporat pe o sferă topologică, suprafața poliedrului. Același graf poate fi proiectat pentru a forma o [[diagramă Schlegel]] pe un plan. Graful format de muchiile și vârfurile poliedrului dual este [[graf dual |graful său dual]]. Mai general, pentru orice poliedru ale cărui fețe formează o suprafață închisă, vârfurile și muchiile poliedrului formează un graf încorporat pe această suprafață, iar vârfurile și marginile poliedrului dual (abstract) formează graful dual.

== Construcția Dorman Luke ==
[[Fișier:DormanLuke.svg|thumb|300px|Construcția Dorman Luke]]
<!-- wl repetate pentru că secțiunea este accesată din alt articol -->
Pentru un [[poliedru uniform]], [[față (geometrie) |fața]] [[poliedru]]lui [[dualitate (matematică) |dual]] poate fi găsită din [[figura vârfului]] poliedrului inițial folosind ''construcția Dorman Luke''.<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Cundy|Rollett|1961}}, p.&nbsp; 117; {{harvtxt|Wenninger|1983}}, p.&nbsp;30.</ref>

Un exemplu este imaginea alăturată, care prezintă figura vârfului (roșu) al [[cuboctaedru]]lui folosit pentru a obține o față (albastră) a [[dodecaedru rombic |dodecaedrului rombic]]. Înainte de a începe construcția, figura vârfului ''ABCD'' se obține prin tăierea fiecărei muchii conectate la (în acest caz) punctul din mijlocul său.

Construcția lui Dorman Luke continuă apoi:
:# Se trasează figura vârfului ''ABCD''.
:# Se trasează [[cerc circumscris |cercul circumscris]] (care trece prin fiecare vârf ''A'', ''B'', ''C'' și ''D'').
:# Se trasează [[tangentă (geometrie)|tangentele]] la [[cerc]] în fiecare vârf ''A'', ''B'', ''C'', ''D''.
:# Se notează punctele ''E'', ''F'', ''G'', ''H'', în care fiecare tangentă se intersectează cu tangenta adiacentă.
:# [[Poligon]]ul ''EFGH'' este o față a poliedrului dual.

În acest exemplu, dimensiunea figurii vârfului a fost aleasă astfel încât cercul său circumscris să se afle pe [[sferă mediană |sfera mediană]] a cuboctaedrului, care devine și sfera mediană a dodecaedrului rombic dual.

Construcția Dorman Luke se poate utiliza numai acolo unde un poliedru are o astfel de sferă mediană și figura vârfului este inscriptibilă într-un cerc. De exemplu, poate fi aplicată la poliedre uniforme.

== Poliedre autoduale ==
Topologic, un poliedru autodual este unul al cărui dual are exact aceeași conectivitate între vârfuri, muchii și fețe. În mod abstract, au aceeași [[diagramă Hasse]].
<!-- bold deoarece esistă redir -->
Un '''poliedru autodual''' geometric nu este autodual doar topologic, ci și inversul său polar față de un anumit punct (de obicei centrul său) este o figură similară. De exemplu, dualul unui tetraedru regulat este un alt tetraedru regulat, [[Simetrie față de centru|reflectat față de origine]].

Orice poligon este autodual topologic (are același număr de vârfuri și laturi, iar acestea sunt interschimbate prin dualitate), dar nu vor fi în general autoduale geometric (până la o mișcare rigidă, de exemplu). Orice poligon are o [[poligon regulat |formă regulată]] care este autoduală geometric față de [[Cerc înscris și cerc exînscris unui triunghi |cercul său înscris]]: toate unghiurile sunt congruente, la fel ca toate laturile, ca urmare prin dualitate aceste congruențe se interschimbă.

Similar, fiecare poliedru convex autodual topologic poate fi realizat printr-un poliedru autodual geometric echivalent, [[Sferă mediană#Poliedrul_canonic |poliedrul său canonic]], inversul față de centrul [[sferă mediană |sferei mediane]].

Există infinit de multe poliedre autoduale geometric. Cea mai simplă familie infinită sunt [[Piramidă (geometrie) |piramidele]] canonice cu ''n'' fețe. O altă familie infinită, [[piramidă alungită |piramidele alungite]], constă din poliedre care pot fi descrise aproximativ ca o piramidă așezată deasupra unei [[prismă (geometrie) | prisme]] cu același număr de fețe laterale. Adăugarea unui trunchi de piramidă (piramidă cu vârful tăiat) sub prismă generează o altă familie infinită și așa mai departe.

Există multe alte poliedre convexe, autoduale. De exemplu, există alte 6, diferite, cu 7 vârfuri, și 16 cu 8 vârfuri.<ref>{{en icon}} Modele 3D în [[Java (programming language)|Java]] la [http://dmccooey.com/polyhedra/SymmetricSelfDuals.html Symmetries of Canonical Self-Dual Polyhedra], bazate pe articolul lui Gunnar Brinkmann și Brendan D. McKay, [http://cs.anu.edu.au/~bdm/papers/plantri-full.pdf ''Fast generation of planar graphs'']</ref>

Un icosaedru neconvex autodual cu fețe hexagonale a fost descoperit de Brückner în 1900.<ref>{{en icon}} Anthony M. Cutler and Egon Schulte; "Regular Polyhedra of Index Two", I; ''Beiträge zur Algebra und Geometrie'' / ''Contributions to Algebra and Geometry'' April 2011, Volume 52, Issue 1, pp 133–161.</ref><ref>{{en icon}} N. J. Bridge; "Faceting the Dodecahedron", ''Acta Crystallographica'', Vol. A 30, Part 4 July 1974, Fig. 3c and accompanying text.</ref><ref>{{de icon}} Brückner, M.; ''Velecke und Vielflache: Theorie und Geschichte'', Teubner, Leipzig, 1900</ref> Au fost găsite și alte poliedre neconvexe autoduale, în funcție de anumite definiții ale poliedrelor neconvexe și ale dualilor acestora.

{| class=wikitable style="text-align:center"
|+ [[Piramidă (geometrie)|Familii de piramide]]
|-
|[[Fișier:Tetrahedron.jpg|120px]]<br/>[[Tetraedru|3]]
|[[Fișier:Square pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă pătrată|4]]
|[[Fișier:Pentagonal pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă pentagonală|5]]
|[[Fișier:Hexagonal pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă hexagonală|6]]
|}

{| class=wikitable style="text-align:center"
|+ Familia de [[Piramidă alungită |piramide alungite]]
|-
|[[Fișier:Elongated triangular pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă alungită triunghiulară|3]]
|[[Fișier:Elongated square pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă alungită pătrată|4]]
|[[Fișier:Elongated pentagonal pyramid.png|120px]]<br/>[[Piramidă alungită pentagonală|5]]
|}

{| class="wikitable" style="text-align:center"
|+ Familia de [[trapezoedru diminuat |trapezoedre diminuate]]
|-
| [[Fișier:Diminished trigonal trapezohedron.png|120px]]<br/>3
| [[Fișier:Diminished square trapezohedron.png|120px]]<br/>4
| [[Fișier:Diminished pentagonal trapezohedron.png|120px]]<br/>5
| [[Fișier:Diminished hexagonal trapezohedron.png|120px]]<br/>6
| [[Fișier:Diminished heptagonal trapezohedron.png|120px]]<br/>7
|}

== Politopuri și teselări duale ==
Dualitatea poate fi generalizată la spațiul ''n''-dimensional la '''[[politop]]uri duale'''. În două dimensiuni acestea devin [[poligon dual |poligoane duale]].

Vârfurile unui politop corespund elementelor (''n''&minus;1)-dimensionale ([[fațetă (geometrie) |fațetelor]] celuilalt), iar punctele ''j'' care definesc un element (''j''&minus;1)-dimensional va corespunde [[hiperplan]]elor care se intersectează pentru a genera un element (''n''&minus;''j'')-dimensional. Dualul unei teselări ''n''-dimensionale sau al unui [[Fagure (geometrie) |fagure]] poate fi definit în mod similar.

În general, fațetele dualului unui politop vor fi dualele topologice ale figurilor vârfurilor politopului. Pentru inversele polare ale [[politop regulat |politopurilor regulate]] și ale celor [[Politop uniform | uniforme]], fațetele duale vor fi inversele polare ale figurilor vârfurilor politopului inițial. De exemplu, în patru dimensiuni, figura vârfului la [[600-celule]] este un [[icosaedru regulat]]; dualul unui 600-celule este un [[120-celule]], ale cărui fațete sunt [[dodecaedru |dodecaedre]], care este dualul icosaedrului.

=== Politopuri și teselări autoduale ===
[[Fișier:Kah 4 4.png|thumb|[[Pavare pătrată |Pavarea pătrată]], {4,4}, este autoduală, cum se vede din [[pavare|pavările]] roșie și albastră]]
[[Fișier:Infinite-order apeirogonal tiling and dual.png|thumb|[[Pavare apeirogonală de ordin infinit |Pavarea apeirogonală de ordin infinit]], {&infin;,&infin;} este cu roșu, iar duala sa cu albastru]]

Clasa primară de politopuri autoduale sunt [[politop regulat |politopurile regulate]] cu  [[simbol Schläfli |simboluri Schläfli]] [[palindrom]]ice. Toate poligoanele regulate, {a}, sunt autoduale, la fel poliedrele de forma {a, a}, [[4-politop |4-politopurile]] de forma {a, b, a}, [[5-politop |5-politopurile]] de forma {a, b, b, a} etc.

Politopiurile regulate autoduale sunt:
* Toate [[poligon regulat |poligoanele regulate]], {a}.
* [[Tetraedru]]l regulat, {3,3}
* Toate ''n''-[[simplex]]urile regulate, {3,3, ... ,3}
* [[24-celule]] regulat, {3,4,3}
* [[Marele 120-celule]], {5,5/2,5} și [[marele 120-celule stelat]], {5/2,5,5/2}

[[Fagure (geometrie) |Fagurii]] euclidieni regulați infiniți autoduali sunt:
* [[Apeirogon]]ul, {&infin;}
* [[Pavare pătrată |Pavarea pătrată]], {4,4}
* [[Fagure cubic |Fagurele cubic]], {4,3,4}
* În general, toți [[fagure hipercubic |fagurii hipercubici]] euclidieni ''n''-dimensionali regulați, {4,3,...,3,4}

[[Fagure hiperbolic |Fagurii hiperbolici]] regulați (infiniți) autoduali sunt:
* Pavările hiperbolice compacte, [[Pavare pentagonală de ordinul 5|{5,5}]], [[Pavare hexagonală de ordinul 6 |{6,6}]], ... , {p,p}
* Pavarea hiperbolică paracompactă, [[Pavare apeirogonală de ordin infinit|{&infin;,&infin;}]]
* Fagurii hiperbolici compacți, [[Fagure icosaedric|{3,5,3}]], [[Fagure dodecaedric de ordinul 5|{5,3,5}]] și [[Fagure 120-celule de ordinul 5|{5,3,3,5}]]
* Fagurii hiperbolici paracompacți, [[Fagure pavare triunghiulară|{3,6,3}]], [[Fagure pavare hexagonală de ordinul 6|{6,3,6}]], [[Fagure pavare pătrată de ordinul-4|{4,4,4}]] și {3,3,4,3,3}.
{{-}}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{en icon}} {{citation
 | last1 = Cundy | first1 = H. Martyn
 | last2 = Rollett | first2 = A. P.
 | edition = 2nd
 | location = Oxford
 | mr = 0124167
 | publisher = Clarendon Press
 | title = Mathematical Models
| year = 1961}}
* {{en icon}} {{citation
 | last1 = Gailiunas | first1 = P.
 | last2 = Sharp | first2 = J.
 | doi = 10.1080/00207390500064049
 | issue = 6
 | journal = International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
 | pages = 617–642
 | title = Duality of polyhedra
 | volume = 36
 | year = 2005| s2cid = 120818796
 }}
* {{en icon}} {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko | author-link = Branko Grünbaum
 | editor1-last = Aronov | editor1-first = Boris
 | editor2-last = Basu | editor2-first = Saugata
 | editor3-last = Pach | editor3-first = János
 | editor4-last = Sharir | editor4-first = Micha
 | contribution = Are your polyhedra the same as my polyhedra?
 | doi = 10.1007/978-3-642-55566-4_21
 | mr = 2038487
 | pages = 461–488
 | publisher = Springer | location = Berlin
 | series = Algorithms and Combinatorics
 | title = Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift
 | volume = 25
 | year = 2003| citeseerx = 10.1.1.102.755| isbn = 978-3-642-62442-1 }}.
* {{en icon}} {{citation
 | last = Grünbaum | first = Branko
 | doi = 10.1016/j.disc.2005.09.037
 | issue = 3–5
 | journal = Discrete Mathematics
 | mr = 2287486
 | pages = 445–463
 | title = Graphs of polyhedra; polyhedra as graphs
 | volume = 307
 | year = 2007| hdl = 1773/2276
 | hdl-access = free
 }}
* {{en icon}} {{citation
 | last1 = Grünbaum | first1 = Branko
 | last2 = Shephard | first2 = Geoffrey Colin
 | editor-last = Senechal | editor-first = Marjorie
 | contribution = Duality of polyhedra
 | doi = 10.1007/978-0-387-92714-5_15
 | isbn = 978-0-387-92713-8
 | mr = 3077226
 | pages = 211–216
 | publisher = Springer | location = New York
 | title = Shaping Space: Exploring polyhedra in nature, art, and the geometrical imagination
 | year = 2013}}
* {{en icon}} {{citation| first=Magnus | last=Wenninger |title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | year=1983 | isbn=0-521-54325-8 | mr = 0730208}}
* {{en icon}} {{citation
 | last1 = Barvinok | first1 = Alexander
 | isbn = 0821829688
 | publisher = American Mathematical Soc. | location = Providence
 | title = A course in convexity
 | year = 2002}}.

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Dual polyhedron}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = DualPolyhedron | title = Dual polyhedron | mode=cs2}}
* {{en icon}} {{MathWorld|urlname=DualTessellation|title=Dual tessellation | mode=cs2}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Self-DualPolyhedron | title = Self-dual polyhedron | mode=cs2}}

{{Portal|matematică}}

[[Categorie:Dualitate]]
[[Categorie:Poliedre|Dual]]
[[Categorie:Politopuri]]