Vizualizare sursă pentru „Poliedru cvasiregulat”

{| align=right
|
{| class=wikitable width=400
|+ Figuri cvasiregulate
|-
!colspan=6| Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p q 2),<br/>{{CDD|node|p|node_1|q|node}} = r{p,q}
|-
![[cuboctaedru|r{4,3}]]
![[icosidodecaedru|r{5,3}]]
![[Pavare trihexagonală |r{6,3}]]
![[Pavare triheptagonală |r{7,3}]]...
![[Pavare triapeirogonală |r{&infin;,3}]]
|-
!{{CDD|node|4|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|5|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|6|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|7|node_1|3|node}}
!{{CDD|node|infin|node_1|3|node}}
|- align=center
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t1.svg|60px]]<br/>(3.4)<sup>2</sup>
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t1.svg|60px]]<br/>(3.5)<sup>2</sup>
|[[Fișier:Uniform_tiling_63-t1.svg|60px]]<br/>(3.6)<sup>2</sup>
|[[Fișier:Triheptagonal tiling.svg|60px]]<br/>(3.7)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 23i-2.png|60px]]<br/>(3.&infin;)<sup>2</sup>
|-
!colspan=6| Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3),<br/>{{CDD|branch_10ru|split2-pp|node}} = {{CDD|node_h|6|node|p|node}} = h{6,p}
|-
![[Pavare hexagonală alternată de ordinul 4 |h{6,4}]]
!h{6,5}
!h{6,6}
!h{6,7}...
!h{6,&infin;}
|-
!{{CDD|node_h|6|node|4|node}} = {{CDD|branch_10ru|split2-44|node}}
!{{CDD|node_h|6|node|5|node}} = {{CDD|branch_10ru|split2-55|node}}
!{{CDD|node_h|6|node|6|node}} = {{CDD|branch_10ru|split2-66|node}}
!{{CDD|node_h|6|node|7|node}} = {{CDD|branch_10ru|split2-77|node}}
!{{CDD|node_h|6|node|infin|node}} = {{CDD|branch_10ru|split2-ii|node}}
|- align=center
|[[Fișier:H2 tiling 344-4.png|60px]]<br/>(4.3)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 355-4.png|60px]]<br/>(5.3)<sup>5</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 366-4.png|60px]]<br/>(6.3)<sup>6</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 377-4.png|60px]]<br/>(7.3)<sup>7</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 3ii-4.png|60px]]<br/>(&infin;.3)<sup>&infin;</sup>

|-
!colspan=6| Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4),<br/>{{CDD|label4|branch_10ru|split2-pp|node}} = {{CDD|node_h|8|node|p|node}} = h{8,p}
|-
![[Pavare octogonală alternată |h{8,3}]]
!h{8,5}
!h{8,6}
!h{8,7}...
!h{8,&infin;}
|-
!{{CDD|node_h|8|node|3|node}} ={{CDD|label4|branch_10ru|split2|node}}
!{{CDD|node_h|8|node|5|node}} ={{CDD|label4|branch_10ru|split2-55|node}}
!{{CDD|node_h|8|node|6|node}} ={{CDD|label4|branch_10ru|split2-66|node}}
!{{CDD|node_h|8|node|7|node}} ={{CDD|label4|branch_10ru|split2-77|node}}
!{{CDD|node_h|8|node|infin|node}} ={{CDD|label4|branch_10ru|split2-ii|node}}
|- align=center
|[[Fișier:H2 tiling 334-1.png|60px]]<br/>(4.3)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 455-1.png|60px]]<br/>(4.5)<sup>5</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 466-1.png|60px]]<br/>(4.6)<sup>6</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 477-1.png|60px]]<br/>(4.7)<sup>7</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 4ii-1.png|60px]]<br/>(4.&infin;)<sup>&infin;</sup>

|-
!colspan=6| Domeniul triunghiului scalen (5 4 3), {{CDD|branch|split2-45|node}}
|-
!{{CDD|branch_01rd|split2-45|node}}
!{{CDD|branch|split2-45|node_1}}
!{{CDD|branch_10ru|split2-45|node}}
!
!
|- align=center
|[[Fișier:H2 tiling 345-1.png|60px]]<br/>(3.5)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 345-2.png|60px]]<br/>(4.5)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 345-4.png|60px]]<br/>(3.4)<sup>5</sup>
|
|
|-
|colspan=7| Un poliedru sau pavare cvasiregulată are exact două tipuri de fețe regulate, care alternează în jurul fiecărui vârf. [[Figura vârfului |Figurile vârfurilor]] lor sunt [[figură izogonală |poligoane izogonale]].
|}
|-
|
{| class=wikitable width=400
|+ Figuri regulate și cvasiregulte
|-
!colspan=5| Domenii ale triunghiurilor dreptunghice (p p 2),<br/>{{CDD|node_1|split1-pp|nodes}} = {{CDD|node_1|p|node|4|node_h0}} = r{p,p} = {p,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>
|-
![[Octaedru |{3,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]<br/>r{3,3}
![[Pavare pătrată |{4,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]<br/>r{4,4}
![[Pavare pentagonală de ordinul 4 |{5,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]<br/>r{5,5}
![[Pavare hexagonală de ordinul 4 |{6,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]<br/>r{6,6}...
![[Pavare apeirogonală de ordinul 4 |{&infin;,4}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]<br/>r{&infin;,&infin;}
|-
!{{CDD|node_1|3|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|nodes}}
!{{CDD|node_1|4|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-44|nodes}}
!{{CDD|node_1|5|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-55|nodes}}
!{{CDD|node_1|6|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-66|nodes}}
!{{CDD|node_1|infin|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-ii|nodes}}
|- align=center
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t1.svg|60px]]<br/>(3.3)<sup>2</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t1.svg|60px]]<br/>(4.4)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 255-2.png|60px]]<br/>(5.5)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 266-2.png|60px]]<br/>(6.6)<sup>2</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 2ii-2.png|60px]]<br/>(&infin;.&infin;)<sup>2</sup>
|-
!colspan=5| Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 3),<br/>{{CDD|node_1|split1-pp|branch}} = {{CDD|node_1|p|node|6|node_h0}} = {p,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>
|-
![[Pavare triunghiulară |{3,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare pătrată de ordinul 6 |{4,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare pentagonală de ordinul 6 |{5,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare hexagonală de ordinul 6 |{6,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]...
![[Pavare apeirogonală de ordinul 6 |{&infin;,6}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
|-
!{{CDD|node_1|3|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|branch}}
!{{CDD|node_1|4|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-44|branch}}
!{{CDD|node_1|5|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-55|branch}}
!{{CDD|node_1|6|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-66|branch}}
!{{CDD|node_1|infin|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1-ii|branch}}
|- align=center
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t1.svg|60px]]<br/>(3.3)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 344-2.png|60px]]<br/>(4.4)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 355-2.png|60px]]<br/>(5.5)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 366-2.png|60px]]<br/>(6.6)<sup>3</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 3ii-2.png|60px]]<br/>(&infin;.&infin;)<sup>3</sup>
|-
!colspan=6| Domenii ale triunghiurilor isoscele (p p 4),<br/>{{CDD|node_1|split1-pp|branch|label4}} = {{CDD|node_1|p|node|8|node_h0}} = {p,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>
|-
![[Pavare triunghiulară de ordinul 8 |{3,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare pătrată de ordinul 8 |{4,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare pentagonală de ordinul 8 |{5,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
![[Pavare hexagonal ă de ordinul 8 |{6,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]...
![[Pavare apeirogonală de ordinul 8 |{&infin;,8}<sub>{{frac|1|2}}</sub>]]
|-
!{{CDD|node_1|3|node|8|node_h0}} ={{CDD|node_1|split1|branch|label4}}
!{{CDD|node_1|4|node|8|node_h0}} ={{CDD|node_1|split1-44|branch|label4}}
!{{CDD|node_1|5|node|8|node_h0}} ={{CDD|node_1|split1-55|branch|label4}}
!{{CDD|node_1|6|node|8|node_h0}} ={{CDD|node_1|split1-66|branch|label4}}
!{{CDD|node_1|infin|node|8|node_h0}} ={{CDD|node_1|split1-ii|branch|label4}}
|- align=center
|[[Fișier:H2 tiling 334-4.png|60px]]<br/>(3.3)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 444-2.png|60px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 455-2.png|60px]]<br/>(5.5)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 466-2.png|60px]]<br/>(6.6)<sup>4</sup>
|[[Fișier:H2 tiling 4ii-2.png|60px]](&infin;.&infin;)<sup>4</sup>

|-
|colspan=6| Un poliedru sau pavare regulate pot fi considerate cvasiregulate dacă au un număr par de fețe în jurul fiecărui vârf (și astfel poate avea fețele colorate alternativ).
|}
|}
În [[geometrie]] un '''poliedru cvasiregulat''' este un [[poliedru uniform]] care are exact două tipuri de [[față (geometrie) |fețe]] [[poligon regulat|regulate]], care alternează în jurul fiecărui [[vârf (geometrie) |vârf]]. Ele sunt [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]] și [[figură izotoxală |pe laturi]], deci mai apropiate de [[poliedru regulat |poliedrele regulate]] decât cele [[poliedru semiregulat |semiregulate]], care sunt [[figură izoedrică |tranzitive doar pe vârfuri]].

[[#Duale_cvasiregulte |Dualele]] lor sunt tranzitive pe fețe și laturi; au exact două tipuri de [[figura vârfului |figuri ale vârfului]], regulate, care alternează în jurul fiecărei fețe. Uneori acestea sunt considerate și ele cvasiregulate.

Există doar două [[poliedru |poliedre]] [[politop convex |convexe]] cvasiregulate: [[cuboctaedru]]l și [[icosidodecaedru]]l. Numele lor, date de [[Kepler]], provin din recunoașterea faptului că fețele lor sunt toate fețele perechii [[poliedru dual |duale]] [[cub]] și [[octaedru]] în primul caz, și a perechii duale [[icosaedru]] și [[dodecaedru]] în cazul al doilea.

Aceste forme reprezentând o pereche a unei figuri regulate și duala acesteia pot primi un [[simbol Schläfli]] vertical <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math> sau '''''r{p,q}''''', care să descrie faptul că fețele lor sunt toate fețele (în ordine diferită) ale celor două forme regulate, '''''{p,q}''''' și duala sa '''''{q,p}'''''. Un poliedru cvasiregulat cu acest simbol va avea o configurație a vârfului '''''p.q.p.q''''' (sau '''''(p.q)<sup>2</sup>''''').

Mai general, o figură cvasiregulată poate avea configurația vârfului '''''(p.q)<sup>r</sup>''''', reprezentând '''''r''''' (2 sau mai multe) secvențe de fețe în jurul vârfului.

[[Pavare |Pavările]] planului pot fi și ele cvasiregulate, de exemplu [[pavare trihexagonală |pavarea trihexagonală]], cu configurația vârfului (3.6)<sup>2</sup>. Alte pavări cvasiregulate există în planul hiperbolic, cum ar fi [[pavare triheptagonală |pavarea triheptagonală]], (3.7)<sup>2</sup>. Sau, în general: '''''(p.q)<sup>2</sup>''''', cu '''''1/p + 1/q < 1/2'''''.

Poliedrele și pavările regulate cu un număr par de fețe la fiecare vârf pot fi considerate și cvasiregulate prin diferențierea între fețele de același ordin, prin reprezentarea lor diferită sau colorarea lor alternativă (fără a defini orientarea suprafeței). O figură regulată cu simbolul Schläfli '''''{p,q}''''' poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului '''''(p.p)<sup>q/2</sup>''''', pentru '''''q''''' par.

;Exemple:
[[Octaedru]]l regulat, cu simbolul Schläfli {3,4}, deoarece 4 este par poate fi considerat cvasiregulat, ca ''tetratetraedru'' (2 seturi de 4 triunghiuri ale [[tetraedru]]lui), cu configurația vârfului (3.3)<sup>4/2</sup> = (3<sub>a</sub>.3<sub>b</sub>)<sup>2</sup>, alternând două culori ale fețelor triunghiulare.

[[Pavare pătrată |Pavarea pătrată]], cu configurația vârfului 4<sup>4</sup>, deoarece 4 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (4.4)<sup>4/2</sup> = (4<sub>a</sub>.4<sub>b</sub>)<sup>2</sup>, colorată ca ''tabla de șah''.

[[Pavare triunghiulară |Pavarea triunghiulară]], cu configurația vârfului 3<sup>6</sup>, deoarece 6 este par poate fi considerată cvasiregulată, cu configurația vârfului (3.3)<sup>6/2</sup> = (3<sub>a</sub>.3<sub>b</sub>)<sup>3</sup>, alternând două culori ale fețelor triunghiulare.

== Construcția Wythoff ==
{| class=wikitable width=400
|[[Fișier:Wythoffian construction diagram.svg|320px]]<br/>Poliedre regulate (''p &#124; 2 q'') și cvasiregulate (''2 &#124; p q'') create prin [[Construcția Wythoff]] cu punctul generator într-unul dintre cele trei colțuri ale domeniului fundamental. Aceasta definește o singură latură din domeniul fundamental.
|}
[[Fișier:Wythoff construction-pqr.png|410px|thumb|Poliedre cvasiregulate generate din toate cele 3 colțuri ale domeniului fundamental al [[triunghi Schwarz |triunghiurilor Schwarz]] care nu au unghiuri drepte:<br/>'''q &#124; 2 p''', '''p &#124; 2 q''', '''2 &#124; p q''']]

[[Coxeter]] definește un ''poliedru cvasiregulat'' ca având un [[simbol Wythoff]] de forma ''p | q r'', poliedru care este regulat dacă q=2 sau q=r.<ref>{{en icon}} [[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]], Longuet-Higgins, M.S. and Miller, J.C.P. ''Uniform Polyhedra'', ''Philosophical Transactions of the Royal Society of London'' '''246 A''' (1954), pp. 401–450. (Section 7, The regular and quasiregular polyhedra ''p | q r'')</ref>

[[Diagramă Coxeter–Dynkin |Diagrama Coxeter–Dynkin]] este o altă reprezentare simbolică care arată relația cvasiregulată dintre două forme duale regulate:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
!colspan=2|[[Simbol Schläfli]]
![[Diagramă Coxeter]]
![[Simbol Wythoff]]
|-
|<math>\begin{Bmatrix} p , q \end{Bmatrix}</math>||{p,q}||{{CDD|node_1|p|node|q|node}}||''q &#124; 2 p''
|-
|<math>\begin{Bmatrix} q , p \end{Bmatrix}</math>||{q,p}|| {{CDD|node|p|node|q|node_1}}||''p &#124; 2 q''
|-
| <math>\begin{Bmatrix} p \\ q \end{Bmatrix}</math>||r{p,q}|| {{CDD|node|p|node_1|q|node}} or {{CDD|node_1|split1-pq|nodes}}||''2 &#124; p q''
|}

==Poliedrele cvasiregulate convexe ==
{{Articol principal|Rectificare (geometrie)}}
Există două poliedre uniforme cvasiregulate convexe:
# [[cuboctaedru]]l <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 4 \end{Bmatrix}</math>, cu configurația vârfului '''(3.4)<sup>2</sup>''' și diagrama Coxeter–Dynkin {{CDD|node|4|node_1|3|node}}&nbsp;;
# [[icosidodecaedru]]l <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5 \end{Bmatrix}</math>, cu configurația vârfului '''(3.5)<sup>2</sup>''' și diagrama Coxeter–Dynkin {{CDD|node|5|node_1|3|node}}&nbsp;.

În plus, [[octaedru]]l, care este și el regulat, <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 3 \end{Bmatrix}</math>, cu configurația vârfului '''(3.3)<sup>2</sup>''', poate fi considerat cvasiregulat dacă fețele sale se colorează alternativ cu două culori. În această formă uneori este cunoscut sub numele de ''tetratetraedru''. Poliedrele regulate convexe rămase au un număr impar de fețe la fiecare vârf, așa că nu pot fi colorate într-un mod care să păstreze tranzitivitatea pe laturi. Are diagrama Coxeter–Dynkin {{CDD|node|3|node_1|3|node}}&nbsp;.

Fiecare dintre acestea formează nucleul comun al unei perechi de poliedre duale regulate. Numele a două dintre acestea dau indicații pentru perechea duală asociată: cub <math>\cap</math> octaedru, respectiv icosaedru <math>\cap</math> dodecaedru. Octaedrul este nucleul comun a perechii duale de [[tetraedru |tetraedre]] (compusul cunoscut drept [[stella octangula]]); când este oținut astfel, octaedrul este uneori numit ''tetratetraedru'', ca tetraedru <math>\cap</math> tetraedru.

{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Regulat
!Dual regulat
!Nucleu comun cvasiregulat
![[Figura vârfului]]
|- valign=top 
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t0.png|75px]]<br/>[[Tetraedru]]<br/>{3,3}<br/>{{CDD|node_1|3|node|3|node}}<br/>3 | 2 3
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t2.png|75px]]<br/>[[Tetraedru]]<br/>{3,3}<br/>{{CDD|node|3|node|3|node_1}}<br/>3 | 2 3
|[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t1.svg|75px]]<br/>[[Octaedru|Tetratetraedru]]<br/>r{3,3}<br/>{{CDD|node|3|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 3
|[[Fișier:Tetratetrahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.3.3.3''
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t0.svg|75px]]<br/>[[Cub]]<br/>{4,3}<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node}}<br/>3 | 2 4
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t2.svg|75px]]<br/>[[Octaedru]]<br/>{3,4}<br/>{{CDD|node|4|node|3|node_1}}<br/>4 | 2 3
|[[Fișier:Uniform polyhedron-43-t1.svg|75px]]<br/>[[Cuboctaedru]]<br/>r{3,4}<br/>{{CDD|node|4|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 4
|[[Fișier:Cuboctahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.4.3.4''
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t0.svg|75px]]<br/>[[Dodecaedru]]<br/>{5,3}<br/>{{CDD|node_1|5|node|3|node}}<br/>3 | 2 5
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t2.svg|75px]]<br/>[[Icosaedru]]<br/>{3,5}<br/>{{CDD|node|5|node|3|node_1}}<br/>5 | 2 3
|[[Fișier:Uniform polyhedron-53-t1.svg|75px]]<br/>[[Icosidodecaedru]]<br/>r{3,5}<br/>{{CDD|node|5|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 5
|[[Fișier:Icosidodecahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.5.3.5''
|}

Oricare dintre aceste poliedre cvasiregulate poate fi construit printr-o operație de [[rectificare (geometrie) |rectificare]] a oricăruia dintre poliedrele de proveniență regulate, [[trunchiere (geometrie) |trunchiind]] complet vârfurile, până când fiecare latură inițială este redusă la punctul său de mijloc.

=== Pavări cvasiregulate ===
Această secvență continuă ca [[pavare trihexagonală |pavarea trihexagonală]], cu figura vârfului ''(3.6)<sup>2</sup>''&nbsp;— o '''pavare cvasiregulată''' bazată pe [[pavare triunghiulară |pavarea triunghiulară]] și [[pavare hexagonală |pavarea hexagonală]].
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Regulată
!Regulată duală
!Combinație cvasiregulată
![[Figura vârfului]]
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t0.svg|75px]]<br/>[[Pavare hexagonală]]<br/>{6,3}<br/>{{CDD|node|6|node|3|node_1}}<br/>6 | 2 3
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t2.svg|75px]]<br/>[[Pavare triunghiulară]]<br/>{3,6}<br/>{{CDD|node_1|6|node|3|node}}<br/>3 | 2 6
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t1.svg|75px]]<br/>[[Pavare trihexagonală]]<br/>r{6,3}<br/>{{CDD|node|6|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 6
|[[Fișier:Trihexagonal tiling vertfig.svg|75px]]<br/>''(3.6)<sup>2</sup>''
|}

Modelul tablei de șah este o colorare cvasiregulată a pavării pătrate, cu figura vârfului ''(4.4)<sup>2</sup>'':
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Regulată
!Regulată duală
!Combinație cvasiregulată
![[Figura vârfului]]
|- valign=top
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t0.svg|75px]]<br/>{4,4}<br/>{{CDD|node|4|node|4|node_1}}<br/>4 | 2 4
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t2.svg|75px]]<br/>{4,4}<br/>{{CDD|node_1|4|node|4|node}}<br/>4 | 2 4
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t1.svg|75px]]<br/>r{4,4}<br/>{{CDD|node|4|node_1|4|node}}<br/>2 | 4 4
|[[Fișier:square tiling vertfig.svg|75px]]<br/>''(4.4)<sup>2</sup>''
|}

Pavarea triunghiulară poate fi și ea considerată și cvasiregulată, cu trei seturi de triunghiuri alternante la fiecare vârf, (3.3)<sup>3</sup>:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t1.svg|60px]]<br/>h{6,3}<br/>3 &#124; 3 3<br/>{{CDD|branch_10ru|split2|node}} = {{CDD|node_h|6|node|3|node}}
|}

În planul hiperbolic această secvență continuă, de exemplu cu [[pavare triheptagonală |pavarea triheptagonală]], cu figura vârfului ''(3.7)<sup>2</sup>'' - o '''pavare cvasiregulată''' bazată pe [[pavare triunghiulară de ordinul 7 |pavarea triunghiulară de ordinul 7]] și pavarea heptagonală.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Regulat
!Dual regulat
!Combinație cvasiregulată
![[Figura vârfului]]
|- valign=top
|[[Fișier:Heptagonal tiling.svg|75px]]<br/>Pavare heptagonală<br/>{7,3}<br/>{{CDD|node|7|node|3|node_1}}<br/>7 | 2 3
|[[Fișier:Order-7 triangular tiling.svg|75px]]<br/>Pavare triunghiulară<br/>{3,7}<br/>{{CDD|node_1|7|node|3|node}}<br/>3 | 2 7
|[[Fișier:Triheptagonal tiling.svg|75px]]<br/>[[Pavare triheptagonală]]<br/>r{3,7}<br/>{{CDD|node|7|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 7
|[[Fișier:Triheptagonal tiling vertfig.png|75px]]<br/>''(3.7)<sup>2</sup>''
|}

== Exemple neconvexe ==
[[Coxeter|Coxeter, H.S.M.]] și colab. (1954) clasifică și anumite [[poliedru stelat |poliedre stelate]], având aceleași caracteristici, ca fiind cvasiregulate. Două se bazează pe perechi duale de [[poliedru Kepler–Poinsot |poliedre Kepler–Poinsot]], în același mod ca și la exemplele convexe:
# [[marele icosidodecaedru]] <math>\begin{Bmatrix} 3 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math>;
# [[dodecadodecaedru]]l <math>\begin{Bmatrix} 5 \\ 5/2 \end{Bmatrix}</math>.
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
!Regulat
!Dual regulat
!Nucleu cvasiregulat comun
![[Figura vârfului]]
|- valign=top
|[[Fișier:Great stellated dodecahedron.png|75px]]<br/>[[Marele dodecaedru stelat]]<br/>{<sup>5</sup>/<sub>2</sub>,3}<br/>{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|3|node}}<br/>3 | 2 5/2
|[[Fișier:Great icosahedron.png|75px]]<br/>[[Marele icosaedru]]<br/>{3,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br/>{{CDD|node|5|rat|d2|node|3|node_1}}<br/>5/2 | 2 3
|[[Fișier:Great icosidodecahedron.png|75px]]<br/>[[Marele icosidodecaedru]]<br/>r{3,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br/>{{CDD|node|5|rat|d2|node_1|3|node}}<br/>2 | 3 5/2
|[[Fișier:Great icosidodecahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>.3.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>''
|- valign=top
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron.png|75px]]<br/>[[Micul dodecaedru stelat]]<br/>{<sup>5</sup>/<sub>2</sub>,5}<br/>{{CDD|node_1|5|rat|d2|node|5|node}}<br/>5 | 2 5/2
|[[Fișier:Great dodecahedron.png|75px]]<br/>[[Marele dodecaedru]]<br/>{5,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br/>{{CDD|node|5|rat|d2|node|5|node_1}}<br/>5/2 | 2 5
|[[Fișier:Dodecadodecahedron.png|75px]]<br/>[[Dodecadodecaedru]]l<br/>r{5,<sup>5</sup>/<sub>2</sub>}<br/>{{CDD|node|5|rat|d2|node_1|5|node}}<br/>2 | 5 5/2
|[[Fișier:Dodecadodecahedron vertfig.png|75px]]<br/>''5.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>.5.<sup>5</sup>/<sub>2</sub>''
|}

Alte nouă sunt [[hemipoliedru |hemipoliedre]], care sunt forme [[fațetare |fațetate]] ale poliedrelor cvasiregulare menționate mai sus, derivate din rectificarea poliedrelor regulate. Acestea cuprind fețele ecuatoriale care trec prin centrul poliedrelor:
{| class=wikitable width=500 style="text-align:center;"
|- 
!Cvasiregulat (rectificat)
|[[Fișier:Rectified tetrahedron.png|75px]]<br/>Tetratetraedru
|[[Fișier:Cuboctahedron.png|75px]]<br/>Cuboctaedru
|[[Fișier:Icosidodecahedron.png|75px]]<br/>Icosidodecaedru
|[[Fișier:Great icosidodecahedron.png|75px]]<br/>Marele icosidodecaedru
|[[Fișier:Dodecadodecahedron.png|75px]]<br/>Dodecadodecaedru
|-
!Cvasiregulat (hemipoliedre)
|[[Fișier:Tetrahemihexahedron.png|75px]]<br/>[[Tetrahemihexaedru]]<br/><sup>3</sup>/<sub>2</sub> 3 {{!}} 2
|[[Fișier:Octahemioctahedron.png|75px]]<br/>[[Octahemioctaedru]]<br/><sup>3</sup>/<sub>2</sub> 3 {{!}} 3
|[[Fișier:Small icosihemidodecahedron.png|75px]]<br/>[[Micul icosihemidodecaedru|Micul&nbsp;icosihemidodecaedru]]<br/><sup>3</sup>/<sub>2</sub> 3 {{!}} 5
|[[Fișier:Great icosihemidodecahedron.png|75px]]<br/>[[Marele icosihemidodecaedru|Marele&nbsp;icosihemidodecaedru]]<br/><sup>3</sup>/<sub>2</sub> 3 {{!}} <sup>5</sup>/<sub>3</sub>
|[[Fișier:Small dodecahemicosahedron.png|75px]]<br/>[[Micul dodecahemicosaedru|Micul&nbsp;dodecahemicosaedru]]<br/><sup>5</sup>/<sub>3</sub> <sup>5</sup>/<sub>2</sub> {{!}} 3
|-
![[Figura vârfului]]
|[[Fișier:Tetrahemihexahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.4.<sup>3</sup>/<sub>2</sub>.4''
|[[Fișier:Octahemioctahedron vertfig.png|75px]]<br/>''3.6.<sup>3</sup>/<sub>2</sub>.6''
|[[Fișier:Small icosihemidodecahedron vertfig.png|75px]]''<br/><br/>3.10.<sup>3</sup>/<sub>2</sub>.10''
|[[Fișier:Great icosihemidodecahedron vertfig.png|75px]]''<br/>3.<sup>10</sup>/<sub>3</sub>.<sup>3</sup>/<sub>2</sub>.<sup>10</sup>/<sub>3</sub>''
|[[Fișier:Small dodecahemicosahedron vertfig.png|75px]]''<br/><sup>5</sup>/<sub>2</sub>.6.<sup>5</sup>/<sub>3</sub>.6''
|-
!Cvasiregulat (hemipoliedre)
|&nbsp;
|[[Fișier:Cubohemioctahedron.png|75px]]<br/>[[Cubohemioctaedru]]<br/><sup>4</sup>/<sub>3</sub> 4 {{!}} 3
|[[Fișier:Small dodecahemidodecahedron.png|75px]]<br/>[[Micul dodecahemidodecaedru|Micul&nbsp;dodecahemidodecaedru]]<br/><sup>5</sup>/<sub>4</sub> 5 {{!}} 5
|[[Fișier:Great dodecahemidodecahedron.png|75px]]<br/>[[Marele dodecahemidodecaedru|Marele&nbsp;dodecahemidodecaedru]]<br/><sup>5</sup>/<sub>3</sub> <sup>5</sup>/<sub>2</sub> {{!}} <sup>5</sup>/<sub>3</sub>
|[[Fișier:Great dodecahemicosahedron.png|75px]]<br/>[[Marele dodecahemicosaedru|Marele&nbsp;dodecahemicosaedru]]<br/><sup>5</sup>/<sub>4</sub> 5 {{!}} 3
|-
!Figura vârfului
|&nbsp;
|[[Fișier:Cubohemioctahedron vertfig.png|75px]]<br/>''4.6.<sup>4</sup>/<sub>3</sub>.6''
|[[Fișier:Small dodecahemidodecahedron vertfig.png|75px]]<br/>''5.10.<sup>5</sup>/<sub>4</sub>.10''
|[[Fișier:Great dodecahemidodecahedron vertfig.png|75px]]<br/>''<sup>5</sup>/<sub>2</sub>.<sup>10</sup>/<sub>3</sub>.<sup>5</sup>/<sub>3</sub>.<sup>10</sup>/<sub>3</sub>''
|[[Fișier:Great dodecahemicosahedron vertfig.png|75px]]<br/>''5.6.<sup>5</sup>/<sub>4</sub>.6''
|}

În final, există trei forme ditrigonale, toate fațetele dodecaedrului regulat, ale căror figuri ale vârfului conțin trei alternanțe ale celor două tipuri de fețe:
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! Imagine
! Fațetat din<br/>[[Simbol Wythoff]]<br/>[[Diagramă Coxeter]]
! [[Figura vârfului]]
|-
| [[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron.png|125px]]
||[[Dodecadodecaedru ditrigonal]]<br/>''3 | 5/3 5''<br/>[[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron cd.png]] or {{CDD|node|5|node_h3|5-2|node}}
||[[Fișier:Ditrigonal dodecadodecahedron vertfig.png|100px]]<br/>(5.5/3)<sup>3</sup>
|-
| [[Fișier:Small ditrigonal icosidodecahedron.png|125px]]
||[[Micul icosidodecaedru ditrigonal]]<br/>''3 | 5/2 3''<br/>[[Fișier:Small ditrigonal icosidodecahedron cd.png]] or {{CDD|node_h3|5|node|3|node}}
||[[Fișier:Small ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|100px]]<br/>(3.5/2)<sup>3</sup>
|-
| [[Fișier:Great ditrigonal icosidodecahedron.png|125px]]
||[[Marele icosidodecaedru ditrigonal]]<br/>''3/2 | 3 5''<br/>[[Fișier:Great ditrigonal icosidodecahedron cd.png]] or {{CDD|node_h3|5-2|node|3|node}}
||[[Fișier:Great ditrigonal icosidodecahedron vertfig.png|100px]]<br/>((3.5)<sup>3</sup>)/2
|}

În planul euclidian, secvența de hemipoliedre continuă cu următoarele patru pavări stelate, unde [[apeirogon |apeirogoanele]] apar ca poligoane ecuatoriale menționate mai sus:
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
|-
!Pavare<br/>inițială<br/>rectificată!!Diagrama<br/>laturii!!Corp!!Config.<br/>vârf!!Wythoff!!Grup de<br/>simetrie
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t1.svg|100px]]<br/>Pavare<br/>pătrată||[[Fișier:4.oo.4-3.oo tiling frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling sha.gif|150px]]||4.&infin;.4/3.&infin;<br/>4.&infin;.-4.&infin; || '''4/3 4 &#124; &infin;''' ||p4m
|-
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t1.svg|100px]]<br/>Pavare<br/>triunghiulară||[[Fișier:3.oo.3.oo.3oo tiling-frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling ditatha.gif|150px]]||(3.&infin;.3.&infin;.3.&infin;)/2 || '''3/2 &#124; 3 &infin;'''||rowspan=3|p6m 
|-
|rowspan=2|[[Fișier:Uniform tiling 63-t1.svg|100px]]<br/>Pavare<br/>trihexagonală
|rowspan=2|[[Fișier:6.oo.6-5.oo tiling-frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling hoha.gif|150px]]|| 6.&infin;.6/5.&infin;<br/>6.&infin;.-6.&infin; || '''6/5 6 &#124; &infin;''' 
|-
|[[Fișier:Star tiling tha.gif|150px]]||&infin;.3.&infin;.3/2<br/>&infin;.3.&infin;.-3 || '''3/2 3 &#124; &infin;''' 
|}

== Duale cvasiregulate ==
Unele autorități susțin că, deoarece dualele poliedrelor cvasiregulate au aceleași simetrii, și aceste duale ar trebui să fie numite cvasiregulate. Dar nu toată lumea folosește această terminologie. Aceste duale sunt tranzitive pe laturile și fețele lor (dar nu și pe vârfurile lor); sunt [[poliedru Catalan |poliedrele Catalan]] tranzitive pe laturi. Cele convexe sunt, în ordinea corespunzătoare ca mai sus:
# [[dodecaedru rombic |dodecaedrul rombic]], cu două tipuri de vârfuri alternante, 8 cu trei fețe rombice și 6 cu patru fețe rombice;
# [[triacontaedru rombic |triacontaedrul rombic]], cu două tipuri de vârfuri alternante, 20 cu trei fețe rombice și 12 cu cinci fețe rombice.

În plus, prin dualitate cu octaedrul, [[cub]]ul, care este de obicei [[poliedru regulat|regulat]], poate fi făcut cvasiregulat dacă vârfurile alternate primesc culori diferite.

[[Configurația feței |Configurațiile fețelor]] lor au forme V3.n.3.n și diagrama Coxeter–Dynkin {{CDD|node|3|node_f1|n|node}}
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|[[Fișier:Hexahedron.svg|120px]]
|[[Fișier:Rhombicdodecahedron.jpg|140px]]
|[[Fișier:Rhombictriacontahedron.svg|120px]]
|[[Fișier:Rhombic star tiling.svg|120px]]
|[[Fișier:7-3 rhombille tiling.svg|120px]]
|[[Fișier:H2-8-3-rhombic.svg|120px]]
|- valign=bottom
|[[Cub]]<br/>V(3.3)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|3|node}}
|[[Dodecaedru rombic]]<br/>V(3.4)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|4|node}}
|[[Triacontaedru rombic]]<br/>V(3.5)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|5|node}}
|[[Pavare rombică]]<br/>V(3.6)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|6|node}}
|V(3.7)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|7|node}}
|V(3.8)<sup>2</sup><br/>{{CDD|node|3|node_f1|8|node}}
|}

Aceste trei duale cvasiregulate sunt, de asemenea, caracterizate prin faptul că au fețele [[romb |rombice]]. Acest model cu fețe rombice continuă ca V(3.6)<sup>2</sup>, [[pavare rombică]].

== Politopuri și faguri cvasiregulați ==
În dimensiuni superioare, Coxeter a definit un politop sau un fagure cvasiregulat prin faptul de a avea fațete regulate și figuri ale vârfului cvasiregulate. Rezultă că toate figurile vârfurilor sunt congruente și că există două tipuri de fațete, care alternează.<ref name=regpol/>

În spațiul euclidian cvadridimensional [[16-celule]] regulat poate fi văzut, de asemenea, ca fiind cvasiregulat ca un [[tesseract]], h{4,3,3}, cu diagramele Coxeter: {{CDD |node_h1|4|node|3|node|3|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|3|node}}, compus din [[celulă (geometrie) |celule]] alternative [[tetraedru]] și tetraedru. Figura vârfului este tetratetraedrul cvasiregulat (un octaedru cu simetrie tetraedrică), {{CDD|node|3|node_1|3|node}}.

Singurul fagure cvasiregulat din spațiul euclidian tridimensional este [[fagure cubic alternat |fagurele cubic alternat]], h{4,3,4}, cu diagramele Coxeter: {{CDD|node_h1|4|node|3|node|4|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|4|node}}, compus din celule alternante tetraedrice și octaedrice. Figura sa de vârf este cuboctaedrul cvasiregulat, {{CDD|node|4|node_1|3|node}}.<ref name=regpol>{{en icon}} Coxeter, Regular Polytopes, 4.7 Other honeycombs. p.69, p.88</ref>

În spațiul hiperbolic tridimensional un fagure cvasiregulat este [[fagure cubic alternat de ordinul 5 |fagurele cubic alternat de ordinul 5]], h{4,3,5}, cu diagramele Coxeter: {{CDD|node_h1|4|node|3|node|5|node}} = {{CDD|nodes_10ru|split2|node|5|node}}, compus din celule alternante tetraedrice și icosaedrice. Figura sa de vârf este icosidodecaedrul cvasiregulat, {{CDD|node|5|node_1|3|node}}. Un [[fagure cubic alternat de ordinul 6]] paracompact înrudit, h{4,3,6} are celule alternante tetraedrice și hexagonale de pavări cu figura vârfului o [[pavare trihexagonală cvasiregulată]], {{CDD|node|6|node_1|3|node}}.

{{Politopuri și faguri cvasiregulați}}

[[Fișier:Uniform polyhedron-33-t1.svg|100px|thumb|Figura vârfului comună este tetratetraedrul cvasiregulat, {{CDD|node_1|split1|nodes}}, la fel ca octaedrul regulat]]
4-politopurile regulate sau fagurii de forma {p,3,4} sau {{CDD|node_1|p|node|3|node|4|node}} pot avea simetria înjumătățită ca {{CDD|node_1|p|node|3|node|4|node_h0}} în formă cvasiregulată {{CDD|node_1|p|node|split1|node}}, creând celule {p,3} colorate alternativ. Aceste cazuri cuprind [[fagure cubic |fagurele cubic]] euclidian {4,3,4} cu celule cubice, cel hiperbolic compact {5,3,4} cu celule dodecaedrice și cel paracompact {6,3,4} cu celule pavări hexagonale infinite. Au câte patru celule în jurul fiecărei laturi, alternând în 2 culori. Figurile vârfurilor lor sunt tetratetraedre cvasiregulate, {{CDD|node_1|3|node|4|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|nodes}}.

{{Faguri regulați și cvasiregulați}}

[[Fișier:Uniform tiling 333-t1.svg|100px|thumb|Figura vârfului comună este pavarea triunghiulară cvasiregulată, {{CDD|node_1|3|node|6|node_h0}} = {{CDD|node_1|split1|branch}}]]
Similar, fagurii hiperbolici regulați de forma {p,3,6} sau {{CDD|node_1|p|node|3|node|6|node}} pot avea simetria înjumătățită ca {{CDD|node_1|p|node|3|node|6|node_h0}} într-o formă cvasiregulată {{CDD|node_1|p|node|split1|branch}}, formând celule {p,3} colorate alternat. Aceștia au câte șase celule în jurul fiecărei laturi, alternând în 2 culori. Figurile vârfurilor lor sunt pavări triunghiulare cvasiregulate, {{CDD|node_1|split1|branch}}.

{{Teselări cu figura vârfului triunghiulară}}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} Cromwell, P. ''Polyhedra'', Cambridge University Press (1977).
* {{en icon}} [[Coxeter]], ''Regular Polytopes'', (3rd edition, 1973), Dover edition, {{isbn|0-486-61480-8}}, 2.3 ''Quasi-Regular Polyhedra.'' (p.&nbsp;17), Quasi-regular honeycombs p.69

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=QuasiregularPolyhedron | title=Quasiregular polyhedron }}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=UniformPolyhedron | title=Uniform polyhedron }} Quasi-regular polyhedra:  (p.q)<sup>r</sup>
* {{en icon}} George Hart, [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/quasi-regular-info.html Quasiregular polyhedra]

[[Categorie:Poliedre cvasiregulate| ]]