Vizualizare sursă pentru „Poliedru Kepler–Poinsot”

{{imagine multiplă
 | align = right | perrow = 2 | total_width = 320
 | image1 = Great dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption1 = [[Marele dodecaedru]]
 | image2 = Small stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption2 = [[Micul dodecaedru stelat]]
 | image3 = Great icosahedron (gray with yellow face).svg | caption3 = [[Marele icosaedru]]
 | image4 = Great stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg | caption4 = [[Marele dodecaedru stelat]]
}}
În [[geometrie]], un '''poliedru Kepler–Poinsot''' este unul dintre cele patru [[Poliedru stelat |poliedre stelate]] [[Poliedru regulat |regulate]].<ref>Coxeter, ''Star polytopes and the Schläfli function f(&alpha;,&beta;,&gamma;)'' p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra</ref>

Ele pot fi obținute prin [[stelare]]a [[dodecaedru]]lui și [[icosaedru]]lui [[poliedru regulat |regulate]], și diferă de acestea prin faptul că au [[față (geometrie) |fețele]] sau [[figura vârfului |figurile vârfurilor]] în formă de [[pentagramă]]. Toate pot fi văzute ca analoage tridimensionale ai pentagramei într-un fel sau altul.

== Caracteristici ==
=== Neconvexitate ===
Aceste poliedre au fețele sau figurile vârfurilor în formă de pentagramă ([[pentagon stelat]]). [[Micul dodecaedru stelat]] și [[marele dodecaedru stelat]] au fețele în formă de pentagramă. iar [[marele dodecaedru]] și [[marele icosaedru]] au figurile vârfurilor în formă de pentagramă.

În toate cazurile, două fețe se pot intersecta de-a lungul unei linii care nu este o muchie a ambelor fețe, astfel încât o parte a fiecărei fețe trece prin interiorul corpului. Astfel de linii de intersecție nu fac parte din structura poliedrică și sunt uneori numite muchii false. De asemenea, acolo unde trei astfel de linii se intersectează într-un punct care nu este un colț al vreunei fețe, aceste puncte sunt vârfuri false. Imaginile din secțiunea [[#Vârfuri_și_muchii_comune |Vârfuri și muchii comune]] au mici sfere în vârfurile adevărate și linii albastre de-a lungul muchiilor adevărate.

De exemplu, micul dodecaedru stelat are 12 fețe pentagramice cu partea centrală pentagonală ascunsă în interiorul corpului. Părțile vizibile ale fiecărei fețe cuprind cinci [[triunghi isoscel |triunghiuri isoscele]] care se ating în cinci puncte în jurul pentagonului. S-ar putea trata aceste triunghiuri ca 60 de fețe separate pentru a obține un nou poliedru neregulat care arată identic în exterior. Fiecare muchie ar fi acum împărțită în trei muchii mai scurte (de două feluri diferite), iar cele 20 de vârfuri false ar deveni adevărate, astfel încât să avem un total de 32 de vârfuri (din nou de două feluri). Pentagoanele interioare ascunse nu ar mai face parte din suprafața poliedrică și ar putea dispărea. Acum [[Caracteristica Euler |formula lui Euler]] dă: <math>60-90+32=2 \,</math>. Însă acest poliedru nu mai este cel descris de [[simbol Schläfli |simbolul Schläfli]] {5/2,&nbsp;5}, prin urmare nu poate fi un poliedru Kepler–Poinsot, chiar dacă arată din exterior ca unul dintre ele.

=== Caracteristica Euler χ ===
Un poliedru Kepler–Poinsot își acoperă sfera sa circumscrisă de mai multe ori, cu centrele fețelor ca puncte de înfășurare în jurul lor, iar vârfurile în celelalte. Din această cauză acestea nu sunt neapărat echivalente topologic cu sfera așa cum sunt poliedrele platonice și, în special, relația Euler
:<math>\chi=V-M+F=2 \,</math>
nu este întotdeauna aceasta. Schläfli a susținut că toate poliedrele trebuie să aibă χ&nbsp;=&nbsp;2 și a respins micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru ca poliedre adecvate. Această poziție nu a fost niciodată susținută pe scară largă.
O formă modificată a formulei Euler, folosind noțiunea de [[Densitate (politop) |densitate]] (''D'') a figurilor vârfurilor (<math>d_v</math>) și fețelor (<math>d_f</math>) a fost dată de [[Arthur Cayley]], și este valabilă atât pentru poliedrele convexe (unde factorii de corecție sunt toți 1), cât și pentru poliedrele Kepler–Poinsot:
:<math>d_v V - M + d_f F = 2D</math>.

=== Dualitate și poligoanele Petrie ===
Poliedrele Kepler–Poinsot există în perechi [[poliedru dual |duale]]. Dualele au același [[poligon Petrie]] sau, mai exact, poligoane Petrie cu aceeași [[proiecție ortogonală]] bidimensională.

Următoarele imagini prezintă cei doi [[compus dual |compuși duali]] cu aceeași [[sferă mediană |rază mediană]]. Ele arată, de asemenea, că poligoanele Petrie sunt [[poligon necoplanar |poligoane necoplanare]]. Două relații descrise în articolul de mai jos pot fi văzute în imagini: că marginile violete sunt aceleași și că fețele verzi se află în aceleași planuri.
{| class="wikitable"
! <span style="color: #a13870;">Muchia orizontală în față</span>
! <span style="color: #007400;">Muchia verticală în față</span>
! Poligon Petrie
|-
| [[micul dodecaedru stelat]] {5/2, 5}
| [[marele dodecaedru]] {5, 5/2}
| [[hexagon regulat |hexagon]] {6}
|-
| [[marele icosaedru]] {3, 5/2}
| [[marele dodecaedru stelat]] {5/2, 3}
| [[decagramă]] {10/3}
|}

{{imagine multiplă
 | align = left | width = 200
 | image1 = Skeleton pair Gr12 and dual, size s.png
 | image2 = Skeleton pair Gr12 and dual, Petrie, stick, size s.png
 | image3 = Skeleton pair Gr12 and dual, Petrie, stick, size s, 3-fold.png
 | footer = [[Compus de micul dodecaedru stelat și marele dodecaedru|Compus de sD și gD]] cu hexagoanele Petrie &nbsp; <small>([[:Fișier:Skeleton St12, size s.png|sD]] și [[:Fișier:Skeleton Gr12, size s.png|gD]] singure)</small>
}}
{{imagine multiplă
 | align = left | width = 200
 | image1 = Skeleton pair Gr20 and dual, size s.png
 | image2 = Skeleton pair Gr20 and dual, Petrie, stick, size s.png
 | image3 = Skeleton pair Gr20 and dual, Petrie, stick, size s, 5-fold.png
 | footer = [[Compus de marele icosaedru și marele dodecaedru stelat|Compus de gI și gsD]] cu decagramele Petrie &nbsp; <small>([[:Fișier:Skeleton Gr20, size s.png|gI]] și [[:Fișier:Skeleton GrSt12, size s.png|gsD]] singure)</small>
}}
{{-}}
=== Rezumat ===
{| class="wikitable" style="text-align:center;"
|-
!Nume<br/>(Prescurtare Conway)
!Imagine
!pavare<br/>sferică
!Digrama<br/>[[Stelare |stelării]]
![[Simbol Schläfli |Schläfli]]<br />{p,&nbsp;q} și<br />[[Diagramă Coxeter–Dynkin |Coxeter]]
!Fe-<br/>țe<br />{p}
!Mu-<br/>chii
!Vâr-<br/>furi<br />{q}
![[Figura vârfului |Figura<br/>vârfului]],<br/>[[Configurația vârfului |(config.)]]
![[Poligon Petrie]]
![[Caracteristică Euler |χ]]
![[Densitate (politop) |Den-<br/>si-<br/>tate]]
![[Grup de simetrie |Si-<br/>me-<br/>trie]]
![[Poliedru dual |Dual]]
|- 
|[[marele dodecaedru]]<br/>(gD)
|[[Fișier:Great dodecahedron (gray with yellow face).svg|80px]]
|[[Fișier:Great dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[Fișier:Second stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5,&nbsp;5/2}<br />{{CDD|node_1|5|node|5|rat|d2|node}}
|12<br />{5}
|30||12<br />{5/2}||[[Fișier:Great dodecahedron vertfig.png|80px]]<br/>(5<sup>5</sup>)/2
|[[Fișier:Skeleton Gr12, Petrie, stick, size m, 3-fold.png|80px]]<br/>{6}
| −6||3||I<sub>h</sub>||micul dodecaedru stelat
|-
|[[micul dodecaedru stelat]]<br/>(sD)
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg|80px]]
|[[Fișier:Small stellated dodecahedron tiling.png|80px]]
|[[Fișier:First stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,&nbsp;5}<br />{{CDD|node|5|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}
|30||12<br />{5}||[[Fișier:Small stellated dodecahedron vertfig.png|80px]]<br/>(5/2)<sup>5</sup>
|[[Fișier:Skeleton St12, Petrie, stick, size m, 3-fold.png|80px]]<br/>{6}
| −6||3||I<sub>h</sub>||marele dodecaedru
|-
|[[marele icosaedru]]<br/>(gI)
|[[Fișier:Great icosahedron (gray with yellow face).svg|80px]]
|[[Fișier:Great icosahedron tiling.svg|80px]]
|[[Fișier:Great icosahedron stellation facets.svg|80px]]
|{3,&nbsp;5/2}<br />{{CDD|node_1|3|node|5|rat|d2|node}}
|20<br />{3}
|30||12<br />{5/2}||[[Fișier:Great icosahedron vertfig.svg|80px]]<br/>(3<sup>5</sup>)/2
|[[Fișier:Skeleton Gr20, Petrie, stick, size m, 5-fold.png|80px]]<br/>{10/3}
|2||7||I<sub>h</sub>||marele dodecaedru stelat
|-
|[[marele dodecaedru stelat]]<br/>(sgD = gsD)
|[[Fișier:Great stellated dodecahedron (gray with yellow face).svg|80px]]
|[[Fișier:Great stellated dodecahedron tiling.svg|80px]]
|[[Fișier:Third stellation of dodecahedron facets.svg|80px]]
|{5/2,&nbsp;3}<br />{{CDD|node|3|node|5|rat|d2|node_1}}
|12<br />{5/2}
|30||20<br />{3}||[[Fișier:Great stellated dodecahedron vertfig.png|80px]]<br/>(5/2)<sup>3</sup>
|[[Fișier:Skeleton GrSt12, Petrie, stick, size m, 5-fold.png|80px]]<br/>{10/3}
|2||7||I<sub>h</sub>||marele icosaedru
|}

== Relații între poliedrele regulate ==
[[Fișier:Relationship among regular star polyhedra (direction colors).png|thumb|400px|Sistemul de relații Conway între cele șase poliedre (ordonate vertical după densitate)<ref>Conway et. al. (2008), p.405 Figure 26.1 Relationships among the three-dimensional star-polytopes</ref>]]

=== Terminologia operațională Conway ===

[[John Horton Conway|John Conway]] definește poliedrele Kepler–Poinsot ca ''măriri'' și ''stelații'' ale poliedrelor convexe. În denumirile sale [[micul dodecaedru stelat]] este chiar ''dodecaedrul stelat''.
{| class="wikitable"
| icosaedru (I)
| dodecaedru (D)
|-
| marele dodecaedru (gD)
| dodecaedrul stelat (sD)
|-
| marele icosaedru (gI)
| marele dodecaedru stelat (sgD = gsD)
|}

''Stelația'' ({{en|stellation}}) schimbă fețele pentagonale în pentagrame. (În acest sens, stelația este o operație unică și nu trebuie confundată cu cea mai generală, [[stelare]]a, descrisă mai jos.)

''Mărirea'' ({{en|greatening}}) menține tipul fețelor, deplasându-le și redimensionându-le în planuri paralele.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align:center;"
!colspan="7"| Ilustrarea relațiilor Conway
|-
|-
! diagramă
| 
[[Fișier:Relationship among regular star polyhedra (green and violet).png|400px]]
<small><br/>Poliedrele din această secțiune sunt prezentate cu același [[sferă mediană |rază mediană]].</small>
|-
!style="color:#e57500"|stelare
|
{|
|
{{imagine multiplă
 | align = right  | width = 150
 | image1 = Skeleton 12, size s.png | caption1 = <span style="color: #a13870;">'''D'''</span>
 | image2 = Skeleton St12, size s.png | caption2 = <span style="color: #a13870;">'''sD'''</span>
}}
|
{{imagine multiplă
 | align = right  | width = 150
 | image1 = Skeleton Gr12, size s.png | caption1 = <span style="color: #007400;">'''gD'''</span>
 | image2 = Skeleton GrSt12, size s.png | caption2 = <span style="color: #007400;">sgD = '''gsD'''</span>
}}
|}

|-
!style="color:#00a7e1"| mărire
|
{| style="width: 100%;"
| [[Fișier:Skeleton pair 12 and greatening, size s.png|thumb|center|150px|<span style="color: #a13870;">'''D'''</span> și <span style="color: #007400;">'''gD'''</span>]]
| [[Fișier:Skeleton pair 20 and greatening, size s.png|thumb|center|200px|<span style="color: #007400;">'''I'''</span> și <span style="color: #a13870;">'''gI'''</span>]]
| [[Fișier:Skeleton pair St12 and greatening, size s.png|thumb|center|200px|<span style="color: #a13870;">'''sD'''</span> și <span style="color: #007400;">'''gsD'''</span>]]
|}

|-
!style="color:#00cb00"| dualitate
|
{| style="width: 100%;"
| [[Fișier:Skeleton pair 12-20, size s.png|thumb|center|150px|<span style="color: #a13870;">'''D'''</span> și <span style="color: #007400;">'''I'''</span>]]
| [[Fișier:Skeleton pair Gr12 and dual, size s.png|thumb|center|200px|<span style="color: #007400;">'''gD'''</span> și <span style="color: #a13870;">'''sD'''</span>]]
| [[Fișier:Skeleton pair Gr20 and dual, size s.png|thumb|center|200px|<span style="color: #a13870;">'''gI'''</span> și <span style="color: #007400;">'''gsD'''</span>]]
|}
|}

=== Stelări și fațetări ===
[[Marele icosaedru]] este una dintre [[stelare |stelările]] [[icosaedru regulat |icosaedrului]]. (v. ''[[The Fifty-Nine Icosahedra]]'')&nbsp;Celelalte trei sunt toate stelările [[dodecaedru regulat |dodecaedrului]].

[[Marele dodecaedru stelat]] este o [[fațetare]] a dodecaedrului.<br/>Celelalte trei sunt fațetări ale icosaedrului.
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="7"| Stelări și fațetări
|-
! Convexe
|colspan="3"| [[Fișier:Polyhedron 20 big.png|160px]]<br/>[[icosaedru regulat|icosaedru]]
|colspan="3"| [[Fișier:Polyhedron 12 big.png|160px]]<br/>[[dodecaedru regulat|dodecaedru]]
|-
! Stelări
|colspan="3"| [[Fișier:Polyhedron great 20.png|90px]]<br/>[[marele icosaedru|gI]] <small>(cel cu fețele galbene)</small>
| [[Fișier:Polyhedron great 12.png|90px]]<br/>[[marele dodecaedru|gD]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 dual.png|90px]]<br/>[[micul dodecaedru stelat|sD]]
| [[Fișier:Polyhedron great 20 dual.png|90px]]<br/>[[marele dodecaedru stelat|gsD]]
|-
! Fațetări
| [[Fișier:Polyhedron great 20.png|90px]]<br/>[[marele icosaedru|gI]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12.png|90px]]<br/>[[marele dodecaedru|gD]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 dual.png|90px]]<br/>[[micul dodecaedru stelat|sD]]
|colspan="3"| [[Fișier:Polyhedron great 20 dual.png|90px]]<br/>[[marele dodecaedru stelat|gsD]] <small>(cel cu vârfurile galbene)</small>
|}

Dacă intersecțiile sunt tratate drept muchii și vârfuri noi, corpurile obținute nu vor fi poliedre regulate, dar pot fi considerate în continuare stelări.

=== Vârfuri și muchii comune ===
Marele dodecaedru stelat are vârfurile în comun cu dodecaedrul. Celelalte trei poliedre Kepler–Poinsot au în comun pe ale lor cu icosaedrul. [[n-schelet |Scheletele]] poliedrelor care au în comun vârfurile sunt [[topologie |topologic]] echivalente.
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|- valign=top
| [[Fișier:Polyhedron 20 big.png|120px]]<br/>[[icosaedru regulat|icosaedru]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12.png|120px]]<br/>[[marele dodecaedru]]
| [[Fișier:Polyhedron great 20.png|120px]]<br/>[[marele icosaedru]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 dual.png|120px]]<br/>[[micul dodecaedru stelat]]
| [[Fișier:Polyhedron 12 big.png|120px]]<br/>[[dodecaedru regulat |dodecaedru]]
| [[Fișier:Polyhedron great 20 dual.png|120px]]<br/>[[marele dodecaedru stelat]]
|-
|colspan="2"| au în comun vârfurile și muchiile
|colspan="2"| au în comun vârfurile și muchiile
|colspan="2" rowspan="2"|au în comun vârfurile,<br/>schelete ale unui [[graf dodecaedric]]
|-
|colspan="4"|au în comun vârfurile, schelete ale unui [[graf icosaedric]]
|}

== Dodecaedrele stelate ==
=== Anvelopă și nucleu ===
Micul și marele dodecaedru stelat pot fi considerate dodecaedre regulate, iar marele dodecaedru unul cu muchiile și fețele extinse până se intersectează.<br/>
Fețele pentagonale ale nucleelor acestora sunt părțile invizibile ale fețelor pentagramice ale poliedrului stelat.<br/>

La micul dodecaedru stelat anvelopa este de <math>\varphi</math> ori mai mare ca nucleul, iar pentru cel mare de <math>\varphi + 1 = \varphi^2</math> ori mai mare. (v. [[secțiunea de aur]])<br/>
<small>([[sferă mediană |Sfera mediană]] este o măsură obișnuită pentru compararea dimensiunilor diferitelor poliedre.)</small>
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Anvelopa și nucleul dodecaedrelor stelate
|-
! Anvelopă
! Poliedru stelat
! Nucleu
! <math>\frac{\text{raza⃰ anvelopei}}{\text{raza nucleului}}</math>
! <math>\frac{\text{raza nucleului}}{\text{raza anvelopei}}</math>
|-
| [[Fișier:Polyhedron 20 big.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 dual.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron 12 (core of great 12 dual).png|150px]]
| <math>\frac{\sqrt{5} + 1}{2} = 1.61803...</math>
| <math>\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = 0.61803...</math>
|-
| [[Fișier:Polyhedron 12 big.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great 20 dual.png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 (core of great 20 dual).png|150px]]
| <math>\frac{3 + \sqrt{5}}{2} = 2.61803...</math>
| <math>\frac{3 - \sqrt{5}}{2} = 0.38196...</math>
|- style="text-align: left; font-size: small;"
|colspan="5"|
⃰ Aceste raze se referă la razele sferelor mediane ale anvelopei, respectiv nucleului.<br/>
Poliedrele platonice din aceste imagini au același rază a sferei mediane.<br/>
Asta implică faptul că pentagramele au aceeași dimensiune și că nucleul are aceeași lungime a muchiei.
|}

=== Augmentări ===
Tradițional, cele două poliedre stelate au fost definite ca „augmentări”, adică ca dodecaedru și icosaedru cu piramide adăugate pe fețele lor.

Kepler numește micul dodecaedru stelat drept „dodecaedru augmentat” (apoi poreclindu-l „arici”).<ref>{{en icon}} "augmented dodecaedru to which I have given the name of ''Echinus''" (''Harmonices Mundi'', Book V, Chapter III — p. 407 in the translation by E. J. Aiton)</ref> În opinia sa, marea stelare este legată de icosaedru, iar cea mică de dodecaedru.<ref>{{en icon}} "These figures are so closely related the one to the dodecaedru the other to the icosaedru that the latter two figures, particularly the dodecaedru, seem somehow truncated or maimed when compared to the figures with spikes." (''Harmonices Mundi'', Book II, Proposition XXVI — p. 117 in the translation by E. J. Aiton)</ref>

Aceste definiții informale continuă să fie folosite. De exemplu. [[MathWorld]] afirmă că cele două poliedre stelate pot fi construite adăugând piramide pe fețele poliedrelor platonice.<ref>{{en icon}} "A small stellated dodecaedru can be constructed by cumulation of a dodecaedru, i.e., building twelve pentagonal pyramids and attaching them to the faces of the original dodecaedru." {{MathWorld |id=SmallStellatedDodecaedru |title=Small Stellated Dodecaedru |access-date=2018-09-21}}</ref><ref>{{en icon}} "Another way to construct a great stellated dodecaedru via cumulation is to make 20 triangular pyramids [...] and attach them to the sides of an icosaedru." {{MathWorld |id=GreatStellatedDodecaedru |title=Great Stellated Dodecaedru |access-date=2018-09-21}}</ref> Aceasta doar ajută la vizualizarea formei acestor poliedre și nu este de fapt o afirmație că intersecțiile muchiilor sunt vârfuri (ele sunt vârfuri false). Conform acestor definiții, aceste două poliedre stelate ar fi topologic echivalente cu [[dodecaedru pentakis |dodecaedrul pentakis]], respectiv [[icosaedru triakis |icosaedrul triakis]].
{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="5"| Dodecaedrele stelate drept augmentări
|-
! Nucleu
! Poliedru stelat
! [[Poliedru Catalan]]
|-
| [[Fișier:Polyhedron 12 (core of great 12 dual).png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great 12 dual (as pentakis 12).png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron truncated 20 dual big.png|150px]]
|-
| [[Fișier:Polyhedron 20 (core of great 20 dual).png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron great 20 dual (as triakis 20).png|150px]]
| [[Fișier:Polyhedron truncated 12 dual big.png|150px]]
|}

== Simetrie ==
Toate poliedrele Kepler–Poinsot au [[simetrie icosaedrică]], la fel ca [[anvelopă convexă |anvelopele lor convexe]].

Marele icosaedru și marele dodecaedru stelat (dualul său) seamănă cu icosaedrul și dualul său prin faptul că au fețe și vârfuri care se reflectă față de axele de simetrie de 3 ori (galben) respectiv de 5 ori (roșu).<br/>
La marele dodecaedru și micul dodecaedru stelat (dualul său) toate fețele și vârfurile se reflectă față de axele de simetrie de 5 ori (deci nu există elemente galbene în aceste imagini).

Tabelul următor prezintă poliedrele în perechi duale. În rândul de sus sunt afișate cu [[simetrie piritoedrică]], în rândul de jos cu simetrie icosaedrică (la care se referă culorile menționate).

Tabelul de mai jos prezintă proiecțiile ortogonale ale reflexiilor față de axele de simetrie de 5 ori (roșu), de 3 ori (galben) și de 2 ori (albastru).
{| class="wikitable" style="text-align: center;"
|-
! {3, 5} ([[icosaedru regulat|I]]) &nbsp; și &nbsp; {5, 3} ([[dodecaedru regulat|D]])
! {5, 5/2} ([[marele dodecaedru|gD]]) &nbsp; și &nbsp; {5/2, 5} ([[micul dodecaedru stelat|sD]])
! {3, 5/2} ([[marele icosaedru|gI]]) &nbsp; și &nbsp; {5/2, 3} ([[marele dodecaedru stelat|gsD]])
|-
|[[Fișier:Polyhedron 20 pyritohedral big.png|150px]][[Fișier:Polyhedron 12 pyritohedral big.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#20pyr|animație]])</small>
|[[Fișier:Polyhedron great 12 pyritohedral.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 12 dual pyritohedral.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#great12pyr|animație]])</small>
|[[Fișier:Polyhedron great 20 pyritohedral.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 20 dual pyritohedral.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#great20pyr|animație]])</small>
|-
|[[Fișier:Polyhedron 20 big.png|150px]][[Fișier:Polyhedron 12 big.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#20ico|animație]])</small>
|[[Fișier:Polyhedron great 12.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 12 dual.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#great12ico|animație]])</small>
|[[Fișier:Polyhedron great 20.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 20 dual.png|150px]]<br/>
<small>([[c:Animations of Kepler-Poinsot solids with direction colors#great20ico|animație]])</small>
|}

{| class="wikitable collapsible collapsed" style="text-align: center;"
!colspan="3"| proiecții ortogonale
|- style="text-align: left; font-size: small;"
|colspan="3"|Poliedrele platonice din aceste imagini au același rază a sferei mediane, deci toate proiecțiile care se repetă de 5 ori de mai jos sunt într-un [[decagon]] de aceeași dimensiune. (A se compara cu [[:Fișier:Polyhedron pair 12-20 big from red.png|proiecțiile compușilor]].)<br/>
Asta implică faptul că [[micul dodecaedru stelat |sD]], [[marele dodecaedru stelat|gsD]] și [[marele icosaedru|gI]] au muchiile de aceeași lungime, și anume, lungimea laturilor pentagramelor din decagonul înconjurător.
|-
|[[Fișier:Polyhedron 20 big from red.png|150px]][[Fișier:Polyhedron 12 big from red.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 12 from red.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 12 dual from red.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 20 from red.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 20 dual from red.png|150px]]
|-
|[[Fișier:Polyhedron 20 big from yellow.png|150px]][[Fișier:Polyhedron 12 big from yellow.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 12 from yellow.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 12 dual from yellow.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 20 from yellow.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 20 dual from yellow.png|150px]]
|-
|[[Fișier:Polyhedron 20 big from blue.png|150px]][[Fișier:Polyhedron 12 big from blue.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 12 from blue.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 12 dual from blue.png|150px]]
|[[Fișier:Polyhedron great 20 from blue.png|150px]][[Fișier:Polyhedron great 20 dual from blue.png|150px]]
|}

== Istoric ==
Majoritatea, dacă nu toate, dintre poliedrele Kepler–Poinsot erau cunoscute într-o formă sau alta înainte de Kepler. Un mic dodecaedru stelat apare într-un mozaic de marmură (panou încrustat) pe podeaua bazilicii Sfântul Marcu din [[Veneția]]. Datează din secolul al XV-lea și este uneori atribuit lui [[Paolo Uccello]].<ref>{{en icon}} {{cite book|contribution=Regular and semiregular polyhedra|first=H. S. M.|last=Coxeter|author-link= Harold Scott MacDonald Coxeter|pages=41–52|title=Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geomtrical Imagination|edition=2nd|editor-first=Marjorie|editor-last=Senechal|publisher=Springer|year=2013}} See in particular p. 42.</ref>

În ''Perspectiva corporum regularium'' ({{ro|Perspectiva corpurilor regulate}}), o carte de xilografii publicată în 1568, [[Wenzel Jamnitzer]] descrie marele dodecaedru stelat și marele dodecaedru, ambele prezentate mai jos. Există, de asemenea, o versiune [[trunchiere (geometrie) |trunchiată]] a micului dodecaedru stelat.<ref>[[:Fișier:Perspectiva Corporum Regularium 27e.jpg]]</ref> Din aranjamentul general al cărții reiese clar că el considera doar cele cinci poliedre platonice ca fiind regulate.

Micul și marele dodecaedru stelat, numite uneori ''poliedre Kepler'', au fost recunoscute pentru prima dată ca fiind regulate [[Johannes Kepler]] în jurul anului 1619.<ref>H.S.M. Coxeter,P. Du Val, H.T. Flather and J.F. Petrie; ''[[The Fifty-Nine Icosahedra]]'', 3rd Edition, Tarquin, 1999. p.&nbsp;11</ref> Le-a obținut prin stelarea dodecaedrului regulat convex, tratându-l pentru prima dată mai degrabă ca o suprafață decât un corp. Kepler a observat că extinzând marginile sau fețele dodecaedrului convex până când s-au întâlnit din nou, ar putea obține pentagoane stelate. Mai mult, a recunoscut că aceste pentagoane stelate sunt regulate. În acest fel a construit cele două dodecaedre stelate. Fiecare are regiunea convexă centrală a fiecărei fețe „ascunsă” în interior, cu doar brațele triunghiulare vizibile. Pasul final al lui Kepler a fost să recunoască faptul că aceste poliedre se potrivesc definiției regularității, chiar dacă nu erau convexe, așa cum erau poliedrele platonice.

În 1809, [[Louis Poinsot]] a redescoperit figurile lui Kepler, prin asamblarea pentagoanelor stelate în jurul fiecărui vârf. De asemenea, el a asamblat poligoane convexe în jurul vârfurilor poligoanelor stelate pentru a descoperi încă două poliedre stelate regulate, marele icosaedru și marele dodecaedru. Unii le numesc pe acestea două „poliedre Poinsot”. Poinsot nu știa dacă descoperise toate poliedrele stelate regulate.

Trei ani mai târziu, [[Augustin Cauchy]] a demonstrat că lista este completă prin stelarea poliedrelor platonice, iar aproape jumătate de secol după aceea, în 1858, [[Joseph Bertrand]] a oferit o demonstrație mai elegantă prin fațetarea acestora.

În anul următor [[Arthur Cayley]] a dat poliedrelor Kepler–Poinsot numele sub care sunt cunoscute astăzi.

O sută de ani mai târziu, [[John Horton Conway |John Conway]] a realizat o terminologie sistematică pentru stelări până în patru dimensiuni. În cadrul acestei scheme, micul dodecaedru stelat este doar „dodecaedru stelat”.

{| style="text-align:center;"
|- style="vertical-align: top;"
| [[Fișier:Marble floor mosaic Basilica of St Mark Vencice.jpg|145px]]
| [[Fișier:Perspectiva Corporum Regularium 22c.jpg|150px]]
| [[Fișier:Perspectiva Corporum Regularium MET DP239933, great stellated dodecahedron.jpg|150px]]
| [[Fișier:Stellated dodecahedra Harmonices Mundi.jpg|135px]]
| [[Fișier:Sternpolyeder.jpg|165px]]
|-
|Mozaicul de pe podeaua bazilicii Sfântul Marcu din [[Veneția]].
| colspan=2 |Marele dodecaedru și marele dodecaedru stelat în ''Perspectiva Corporum Regularium'' de Wenzel Jamnitzer (1568)
|Dodecaedre stelate în ''Harmonices Mundi'' de Kepler (1619)
|Model de carton la [[Universitatea din Tübingen]] (c. 1860)
|}

== Note ==
{{listănote|2}}

== Bibliografie ==
* {{fr icon}} [[Joseph Bertrand|J. Bertrand]], Note sur la théorie des polyèdres réguliers, ''Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences'', '''46''' (1858), pp.&nbsp;79–82, 117.
* {{fr icon}} [[Augustin-Louis Cauchy]], ''Recherches sur les polyèdres.'' J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.
* {{en icon}} [[Arthur Cayley]], On Poinsot's Four New Regular Solids. ''Phil. Mag.'' '''17''', pp.&nbsp;123–127 and 209, 1859.
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetry of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 24, Regular Star-polytopes, pp.&nbsp;404–408)
* {{en icon}} ''Kaleidoscopes: Selected Writings of [[Harold Scott MacDonald Coxeter|H. S. M. Coxeter]]'', edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, {{isbn|978-0-471-01003-6}} [http://www.wiley.com/WileyCDA/WileyTitle/productCd-0471010030.html]
** (Paper 1) H.S.M. Coxeter, ''The Nine Regular Solids'' [Proc. Can. Math. Congress 1 (1947), 252–264, MR 8, 482]
** (Paper 10) H.S.M. Coxeter, ''Star Polytopes and the Schlafli Function f(α,β,γ)'' [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
* {{en icon}} [[Theoni Pappas]], (The Kepler–Poinsot Solids) ''The Joy of Mathematics''. San Carlos, CA: Wide World Publ./Tetra, p.&nbsp;113, 1989.
* {{fr icon}} [[Louis Poinsot]], Memoire sur les polygones et polyèdres. ''J. de l'École Polytechnique'' '''9''', pp.&nbsp;16–48, 1810.
* {{en icon}} Lakatos, Imre; ''Proofs and Refutations'', Cambridge University Press (1976) - discussion of proof of Euler characteristic
* {{en icon}} {{cite book | first=Magnus | last=Wenninger | author-link=Magnus Wenninger  | title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | date=1983 | isbn=0-521-54325-8 }}, pp.&nbsp;39–41.
* {{en icon}} [[John Horton Conway|John H. Conway]], Heidi Burgiel, [[Chaim Goodman-Strauss]], ''The Symmetries of Things'' 2008, {{isbn|978-1-56881-220-5}} (Chapter 26. pp.&nbsp;404: Regular star-polytopes Dimension 3)
* {{en icon}} {{cite book | author= Anthony Pugh | date= 1976 | title= Polyhedra: A Visual Approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7  }} Chapter 8: Kepler Poisot polyhedra

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline|Kepler-Poinsot solids}}
* {{en icon}} {{Mathworld | urlname=Kepler-PoinsotSolid | title=Kepler–Poinsot solid }}
* {{en icon}} [http://www.software3d.com/Kepler.php Paper models of Kepler–Poinsot polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.korthalsaltes.com/cuadros.php?type=k Free paper models (nets) of Kepler–Poinsot polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.mathconsult.ch/showroom/unipoly/ The Uniform Polyhedra]
* {{en icon}} [http://dmccooey.com/polyhedra/KeplerPoinsot.html Kepler-Poinsot Solids] in Visual Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/kepler-poinsot-info.html VRML models of the Kepler–Poinsot polyhedra]
* {{en icon}} [http://www.steelpillow.com/polyhedra/StelFacet/history.html Stellation and facetting - a brief history]
* {{en icon}} [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator]: Software folosit la crearea multor imagini din această pagină.

{{Portal|matematică}}

{{DEFAULTSORT:Kepler-Poinsot, poliedru}}
[[Categorie:Poliedre Kepler–Poinsot| ]]
[[Categorie:Johannes Kepler]]
[[Categorie:Poliedre stelate]]