Vizualizare sursă pentru „Poliedru Catalan”

{{imagine multiplă
| align = right | total_width=400
| image1 = Polyhedron truncated 4a dual max.png
| image2 = Polyhedron snub 6-8 left dual max.png
| image3 = Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.png
| footer = Tetraedru triakis, icositetraedru pentagonal și triacontaedru disdiakis.
}}
{{imagine multiplă
| align = right | total_width=400
| image1 = Dual compound truncated 4a max.png
| image2 = Dual compound snub 6-8 left max.png
| image3 = Dual compound great rhombi 12-20 max.png
| footer = Poliedrele sunt dualele celor de deasupra.<br/>Părțile vizibile ale poliedrelor Catalan sunt [[Piramidă (geometrie)|piramide]] regulate.
}}
[[Fișier:Polyhedron 6-8 dual vertexconfig.png|thumb|Dodecaedrul rombic cu configurația feței]]
În [[matematică]], un '''poliedru Catalan''', sau '''dual arhimedic''', este un [[poliedru dual]] al unui [[poliedru arhimedic]]. Există 13 poliedre Catalan. Acestea sunt numite după matematicianul [[belgia]]n [[Eugène Catalan]] care le-a descris pentru prima dată în 1865.

Poliedrele Catalan sunt toate [[poliedru convex |convexe]]. Ele sunt [[figură izoedrică |tranzitive pe fețe]], dar nu sunt [[figură izogonală |tranzitive pe vârfuri]]. Asta datorită faptului că dualele poliedrelor arhimedice sunt tranzitive pe vârfuri, dar nu și pe fețe. Spre deosebire de [[poliedru platonic |poliedrele platonice]] și cele [[poliedru arhimedic |arhimedice]], fețele poliedrelor Catalan nu sunt [[poligon regulat |poligoane regulate]]. Totuși, [[figura vârfului |figurile vârfurilor]] poliedrelor Catalan sunt regulate și au [[unghi diedru |unghiuri diedre]] constante. Fiind tranzitive pe fețe, poliedrele Catalan sunt [[izoedru |izoedre]].

În plus, două dintre poliedrele Catalan, dodecaedrul rombic și triacontaedrul rombic, sunt tranzitive pe muchii. Acestea sunt dualele a două poliedre arhimedice [[poliedru cvasiregulat |cvasiregulate]].

Așa cum [[prismă (geometrie) | prismele]] și [[antiprismă |antiprismele]] nu sunt considerate poliedre arhimedice, la fel [[bipiramidă |bipiramidele]] și [[trapezoedru | trapezoedrele]], în ciuda faptului că sunt tranzitive pe fețe, nu sunt considerate poliedre Catalan.

Două dintre poliedrele Catalan, icositetraedrul pentagonal și hexacontaedrul pentagonal, sunt [[Politop chiral|chirale]], duale la chiralele cub snub și dodecaedru snub. Acestea vin fiecare în două forme enantiomorfe. Fără a lua în considerare enantiomorfele, bipiramidele și trapezoedrele, există în total 13 poliedre Catalan.

{| class="wikitable sortable"
!{{mvar|n}}||[[Poliedru arhimedic]]||Poliedru Catalan
|-
!1
||[[tetraedru trunchiat]]||[[tetraedru triakis]]
|-
!2
||[[cub trunchiat]]||[[octaedru triakis]]
|-
!3
||[[cuboctaedru trunchiat]]||[[dodecaedru disdiakis]]
|-
!4
||[[octaedru trunchiat]]||[[hexaedru tetrakis]]
|-
!5
||[[dodecaedru trunchiat]]||[[icosaedru triakis]]
|-
!6
||[[icosidodecaedru trunchiat]]||[[triacontaedru disdiakis]]
|-
!7
||[[icosaedru trunchiat]]||[[dodecaedru pentakis]]
|-
!8
||[[cuboctaedru]]||[[dodecaedru rombic]]
|-
!9
||[[icosidodecaedru]]||[[triacontaedru rombic]]
|-
!10
||[[rombicuboctaedru]]||[[icositetraedru romboidal]]
|-
!11
||[[rombicosidodecaedru]]||[[hexacontaedru romboidal]]
|-
!12
||[[cub snub]]||[[icositetraedru pentagonal]]
|-
!13
||[[dodecaedru snub]]||[[hexacontaedru pentagonal]]
|}

== Simetrie ==
Poliedrele Catalan, împreună cu dualele lor, poliedrele arhimedice, pot fi grupate în simetriile [[simetrie tetraedrică |tetraedrică]], [[simetrie octaedrică |octaedrică]] și [[simetrie icosaedrică |icosaedrică]]. Atât pentru simetria octaedrică, cât și pentru cea icosaedrică există șase forme. Singurul poliedru Catalan cu o simetrie tetraedrică autentică este tetraedrul triakis (dual al tetraedrului trunchiat). Dodecaedrul rombic și hexaedrul tetrakis au simetrie octaedrică, dar pot fi colorate pentru a avea doar simetrie tetraedrică. De asemenea, există variante [[Rectificare (geometrie) |rectificate]] și [[snub]] cu simetrie tetraedrică, dar acestea sunt [[poliedru platonic |poliedre platonice]] în loc să fie arhimedice, deci dualele lor sunt platonice în loc de Catalan. (Sunt afișate cu fundal maro în tabelul de mai jos.)

{| class="wikitable"
|+ [[Simetrie tetraedrică]]
!arhimedic<br/><small>(platonic)</small>
|style="background-color: #decdbc;"|[[Fișier:Polyhedron 4-4.png|100px]]
|style="border-right:1px solid #f9f9f9;"|[[Fișier:Polyhedron truncated 4a max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 4b max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 4-4 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 4-4 max.png|100px]]
|style="background-color: #decdbc;"|[[Fișier:Polyhedron snub 4-4 left max.png|100px]]
|-
!Catalan<br/><small>(platonic)</small>
|style="background-color: #decdbc;"|[[Fișier:Polyhedron 4-4 dual blue.png|100px]]
|style="border-right:1px solid #f9f9f9;"|[[Fișier:Polyhedron truncated 4a dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 4b dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 4-4 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 4-4 dual max.png|100px]]
|style="background-color: #decdbc;"|[[Fișier:Polyhedron snub 4-4 left dual max.png|99px]]
|}

{| class="wikitable"
|+ [[Simetrie octaedrică]]
!arhimedic
|[[Fișier:Polyhedron 6-8 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 6 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 8 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left max.png|100px]]
|-
!Catalan
|[[Fișier:Polyhedron 6-8 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 6 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 8 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 6-8 left dual max.png|100px]]
|}

{| class="wikitable"
|+ [[Simetrie icosaedrică]]
!Arhimedic
|[[Fișier:Polyhedron 12-20 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 12 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 20 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 12-20 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 12-20 left max.png|100px]]
|-
!Catalan
|[[Fișier:Polyhedron 12-20 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 12 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron truncated 20 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron small rhombi 12-20 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.png|100px]]
|[[Fișier:Polyhedron snub 12-20 left dual max.png|100px]]
|}

== Lista poliedrelor Catalan ==
{| class="wikitable sortable" style="text-align:center"
! Nume<br/>(Nume dual)<br/>[[Notația Conway a poliedrelor|Simbol Conway]]
! Imagini
! Schelet<br/>ortogonal
! Poligonul<br/>feței
! Unghiurile<br/>feței<br/>(°)
! Unghi<br/>diedric<br/>(°)
! Fețe<br/>Muchii<br/>Vârfuri
! [[Grup de simetrie|Sim.]]
|-
| [[tetraedru triakis]]<br/>([[tetraedru trunchiat]])<br/>"kT"
| [[Fișier:Polyhedron truncated 4a dual max.png|70px|tetraedru triakis]][[Fișier:triakistetrahedron.jpg|70px|Triakis tetraedru]]
| [[File:Dual tetrahedron t01 ae.png|60px]][[File:Dual tetrahedron t01 A2.png|60px]][[File:Dual tetrahedron t01.png|60px]]
| [[triunghi isoscel]]<br/>[[File:DU02 facets.png|40px]]<br/>V3.6.6
| 112.885<br/>33.557<br/>33.557
| 129.521
| 12<br/> 18<br/> 8
| T<sub>d</sub>
|-
| [[dodecaedru rombic]]<br/>([[cuboctaedru]])<br/>"jC"
| [[Fișier:Polyhedron 6-8 dual max.png|70px|dodecaedru rombic]][[Fișier:rhombicdodecahedron.jpg|70px|dodecaedru rombic]]
| [[File:Dual cube t1 v.png|60px]] [[File:Dual cube t1.png|60px]][[File:Dual cube t1 B2.png|60px]]
| [[romb]]<br/>[[File:DU07 facets.png|40px]]<br/>V3.4.3.4
| 70.529<br/>109.471<br/>70.529<br/>109.471
| 120
| 12<br/> 24<br/> 14
| O<sub>h</sub>
|-
| [[octaedru triakis]]<br/>([[cub trunchiat]])<br/>"kO"
| [[Fișier:Polyhedron truncated 6 dual max.png|70px|octaedru triakis]][[Fișier:triakisoctahedron.jpg|70px|octaedru triakis]]
| [[File:Dual truncated cube t01 e88.png|60px]][[File:Dual truncated cube t01.png|60px]][[File:Dual truncated cube t01 B2.png|60px]]
| triunghi isoscel<br/>[[File:DU09 facets.png|40px]]<br/>V3.8.8
| 117.201<br/>31.400<br/>31.400
| 147.350
| 24<br/> 36<br/> 14
| O<sub>h</sub>
|-
| [[hexaedru tetrakis]]<br/>([[octaedru trunchiat]])<br/>"kC"
| [[Fișier:Polyhedron truncated 8 dual max.png|70px|hexaedru tetrakis]][[Fișier:tetrakishexahedron.jpg|70px| hexaedru tetrakis]]
| [[File:Dual cube t12 e66.png|60px]][[File:Dual cube t12.png|60px]][[File:Dual cube t12 B2.png|60px]]
| triunghi isoscel<br/>[[File:DU08 facets.png|40px]]<br/>V4.6.6
| 83.621<br/>48.190<br/>48.190
| 143.130
| 24<br/> 36<br/> 14
| O<sub>h</sub>
|-
| [[icositetraedru romboidal]]<br/>([[rombicuboctaedru]])<br/>"oC"
| [[Fișier:Polyhedron small rhombi 6-8 dual max.png|70px|icositetraedru romboidal]][[Fișier:deltoidalicositetrahedron.jpg|70px|icositetraedru romboidal]]
| [[File:Dual cube t02 f4b.png|60px]][[File:Dual cube t02.png|60px]][[File:Dual cube t02 B2.png|60px]]
| [[romboid]]<br/>[[File:DU10 facets.png|40px]]<br/>V3.4.4.4
| 81.579<br/>81.579<br/>81.579<br/>115.263
| 138.118
| 24<br/> 48<br/> 26
| O<sub>h</sub>
|-
| [[dodecaedru disdiakis]]<br/>([[cuboctaedru trunchiat]])<br/>"mC"
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 6-8 dual max.png|70px|dodecaedru disdiakis]][[Fișier:disdyakisdodecahedron.jpg|70px|dodecaedru disdiakis]]
| [[File:Dual cube t012 f4.png|60px]][[File:Dual cube t012.png|60px]][[File:Dual cube t012 B2.png|60px]]
| [[triunghi scalen]]<br/>[[File:DU11 facets.png|40px]]<br/>V4.6.8
| 87.202<br/>55.025<br/>37.773
| 155.082
| 48<br/> 72<br/> 26
| O<sub>h</sub>
|-
| [[icositetraedru pentagonal]]<br/>([[cub snub]])<br/>"gC"
| [[Fișier:Polyhedron snub 6-8 right dual max.png|70px|icositetraedru pentagonal]][[Fișier:pentagonalicositetrahedronccw.jpg|70px|icositetraedru pentagonal (Ccw)]]
| [[File:Dual snub cube e1.png|60px]][[File:Dual snub cube A2.png|60px]][[File:Dual snub cube B2.png|60px]]
|  [[pentagon]]<br/>[[File:DU12 facets.png|40px]]<br/>V3.3.3.3.4
| 114.812<br/>114.812<br/>114.812<br/>114.812<br/>80.752
| 136.309
| 24<br/> 60<br/> 38
| O
|-
| [[triacontaedru rombic]]<br/>([[icosidodecaedru]])<br/>"jD"
| [[Fișier:Polyhedron 12-20 dual max.png|70px|triacontaedru rombic]][[Fișier:rhombictriacontahedron.jpg|70px|triacontaedru rombic]]
| [[File:Dual dodecahedron t1 e.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t1 A2.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t1 H3.png|60px]]
| romb<br/>[[File:DU24 facets.png|40px]]<br/>V3.5.3.5
| 63.435<br/>116.565<br/>63.435<br/>116.565
| 144
| 30<br/> 60<br/> 32
| I<sub>h</sub>
|-
| [[icosaedru triakis]]<br/>([[dodecaedru trunchiat]])<br/>"kI"
| [[Fișier:Polyhedron truncated 12 dual max.png|70px|icosaedru triakis]][[Fișier:triakisicosahedron.jpg|70px|icosaedru triakis]]
|[[File:Dual dodecahedron t12 exx.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t12 A2.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t12 H3.png|60px]]
| triunghi isoscel<br/>[[File:DU26 facets.png|40px]]<br/>V3.10.10
| 119.039<br/>30.480<br/>30.480
| 160.613
| 60<br/> 90<br/> 32
| I<sub>h</sub>
|-
| [[dodecaedru pentakis]]<br/>([[icosaedru trunchiat]])<br/>"kD"
| [[Fișier:Polyhedron truncated 20 dual max.png|70px|dodecaedru pentakis]][[Fișier:pentakisdodecahedron.jpg|70px|dodecaedru pentakis]]
| [[File:Dual dodecahedron t01 e66.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t01 A2.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t01 H3.png|60px]]
| triunghi isoscel<br/>[[File:DU25 facets.png|40px]]<br/>V5.6.6
| 68.619<br/>55.691<br/>55.691
| 156.719
| 60<br/> 90<br/> 32
| I<sub>h</sub>
|-
| [[hexacontaedru romboidal]]<br/>([[rhombicosidodecaedru]])<br/>"oD"
| [[File:Polyhedron small rhombi 12-20 dual max.png|70px|hexacontaedru romboidal]][[Fișier:deltoidalhexecontahedron.jpg|70px|hexacontaedru romboidal]]
| [[File:Dual dodecahedron t02 f4.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t02 A2.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t02 H3.png|60px]]
| romboid<br/>[[File:DU27 facets.png|40px]]<br/>V3.4.5.4
| 86.974<br/>67.783<br/>86.974<br/>118.269
| 154.121
| 60<br/> 120<br/> 62
| I<sub>h</sub>
|-
| [[triacontaedru disdiakis]]<br/>([[icosidodecaedru trunchiat]])<br/>"mD"
| [[Fișier:Polyhedron great rhombi 12-20 dual max.png|70px|triacontahedron disdiakis]][[Fișier:disdyakistriacontahedron.jpg|70px|triacontaedru disdiakis]]
| [[File:Dual dodecahedron t012 f4.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t012 A2.png|60px]][[File:Dual dodecahedron t012 H3.png|60px]]
| triunghi scalen<br/>[[File:DU28 facets.png|40px]]<br/>V4.6.10
| 88.992<br/>58.238<br/>32.770
| 164.888
| 120<br/> 180<br/> 62
| I<sub>h</sub>
|-
| [[hexacontaedru pentagonal]]<br/>([[dodecaedru snub]])<br/>"gD"
| [[Fișier:Polyhedron snub 12-20 right dual max.png|70px|hexacontaedru pentagonal]][[Fișier:pentagonalhexecontahedronccw.jpg|70px|hexacontahedron pentagonal (Ccw)]]
| [[File:Dual snub dodecahedron e1.png|60px]][[File:Dual snub dodecahedron A2.png|60px]][[File:Dual snub dodecahedron H2.png|60px]]
| pentagon<br/>[[File:DU29 facets.png|40px]]<br/>V3.3.3.3.5
| 118.137<br/>118.137<br/>118.137<br/>118.137<br/>67.454
| 153.179
| 60<br/> 150<br/> 92
| I
|}

== Geometrie ==
Toate [[unghi diedru |unghiurile diedre]] ale unui poliedru Catalan sunt egale. Notând valoarea lor cu <math>\theta</math> , și notând unghiurile celor <math>p</math> fețe care se întâlnesc într-un vârf cu <math>\alpha_p</math>, există relația
:<math>\sin(\theta/2)=\cos(\pi/p)/\cos(\alpha_p/2)</math>.
care poate fi folosită pentru a calcula <math>\theta</math> și <math>\alpha_p</math>, <math>\alpha_q</math>, ... doar din <math>p</math>, <math>q</math>... etc.

=== Fețe triunghiulare ===
Dintre cele 13 poliedre Catalan, 7 au fețe triunghiulare. Acestea sunt de forma Vp.q.r, unde p, q și r au valori între 3, 4, 5, 6, 8 și 10. Unghiurile <math>\alpha_p</math>, <math>\alpha_q</math> și <math>\alpha_r</math> se pot calcula în modul următor. Fie <math>a = 4\cos^2(\pi/p)</math>, <math>b = 4\cos^2(\pi/q)</math>, <math>c = 4\cos^2(\pi/r)</math> și fie
:<math>S = -a^2-b^2-c^2+2 a b + 2 b c + 2 c a</math>. 
Atunci
:<math>\cos(\alpha_p) = \frac{S}{2 b c} - 1 </math>,
:<math>\sin(\alpha_p/2) = \frac{-a+b+c}{2\sqrt{b c}}</math>.

Pentru <math>\alpha_q</math> și <math>\alpha_r</math> expresiile sunt, bineînțeles, similare. Unghiul diedru <math>\theta</math> poate fi calculat din
:<math>\cos(\theta)=1- 2 a b c/S</math>.
De exemplu, pentru triacontaedrul disdiakis (<math>p=4</math>, <math>q=6</math> și <math>r=10</math>, rezultă <math>a = 2</math>, <math>b = 3</math> și <math>c = \phi + 2</math>, unde <math>\phi</math> este [[secțiunea de aur]]) se obține <math>\cos(\alpha_4)=\frac{2-\phi}{6(2+\phi)}= \frac{7-4\phi}{30}</math> și <math>\cos(\theta) = \frac{-10-7\phi}{14+5\phi}=\frac{-48\phi-155}{241}</math>.

=== Fețe patrulatere ===
Dintre cele 13 poliedre Catalan, 4 au fețe patrulatere. Acestea sunt de forma Vp.q.p.r, unde p, q și r au valori între 3, 4 și 5. Unghiurile <math>\alpha_p</math> se pot calcula cu relația
:<math>\cos(\alpha_p)= \frac{2\cos^2(\pi/p)-\cos^2(\pi/q)-\cos^2(\pi/r)}{2\cos^2(\pi/p)+2\cos(\pi/q)\cos(\pi/r)}</math>. 
Din aceasta, <math>\alpha_q</math>, <math>\alpha_r</math>și unghiul diedru pot fi calculate ușor. Alternativ, fie <math>a = 4\cos^2(\pi/p)</math>, <math>b = 4\cos^2(\pi/q)</math> și <math>c = 4\cos^2(\pi/p)+4\cos(\pi/q)\cos(\pi/r)</math>. Atunci <math>\alpha_p</math> și <math>\alpha_q</math> pot fi calculate din relațiile pentru cazul triunghiular. Unghiul <math>\alpha_r</math> poate fi calculat similar.
Fețele sunt [[romboid]]ale, sau, dacă <math>q=r</math>, romburi.
De exemplu, pentru icositetraedrul romboidal (<math>p=4</math>, <math>q=3</math> și <math>r=4</math>) se obține <math>\cos(\alpha_4)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\sqrt{2}</math>.

=== Fețe pentagonale ===
Dintre cele 13 poliedre Catalan, 2 au fețe pentagonale. Acestea sunt de forma Vp.p.p.p.q, unde p=3 și q= 4 sau 5. Unghiurile <math>\alpha_p</math> pot fi calculate din ecuația de gradul trei
:<math>8\cos^2(\pi/p)\cos^3(\alpha_p)-8\cos^2(\pi/p)\cos^2(\alpha_p)+\cos^2(\pi/q)=0</math>.

=== Proprietăți metrice ===
Pentru un poliedru Catalan <math>\bf C</math>, fie <math>\bf A</math> dualul față de [[sferă mediană |sfera mediană]] a <math>\bf C</math>. Atunci <math>\bf A</math> este un poliedru arhimedic având aceeași sferă mediană. Se notează lungimea muchiilor lui <math>\bf A</math> cu <math>l</math>. Fie <math>r</math> raza cercului înscris în fețele lui <math>\bf C</math>, <math>r_m</math> raza mediană a lui <math>\bf C</math> și <math>\bf A</math>, <math>r_i</math> raza cercului înscris în fețele lui <math>\bf C</math> și <math>r_c</math> raza [[cerc circumscris|cercului circumscris]] fețelor lui <math>\bf A</math>. Aceste mărimi pot fi exprimate în funcție de <math>l</math> și unghiul diedric <math>\theta</math> prin relațiile:
:<math>r^2=\frac{l^2}{8}(1-\cos\theta)</math>,

:<math>r_m^2=\frac{l^2}{4}\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}</math>,

:<math>r_i^2=\frac{l^2}{8}\frac{(1-\cos\theta)^2}{1+\cos\theta}</math>,

:<math>r_c^2=\frac{l^2}{2}\frac{1}{1+\cos\theta}</math>.

Între aceste mărimi există relațiile <math>r_m^2=r_i^2+r^2</math>, <math>r_c^2=r_m^2+l^2/4</math> și <math>r_i r_c=r_m^2</math>. 

De exemplu, fie <math>\bf A</math> un cuboctaedru cu laturile <math>l=1</math>. Atunci <math>\bf C</math> este un dodecaedru rombic. Cu relațiile pentru fețe patrulatere <math>p=4</math> și <math>q=r=3</math> se obține <math>\cos \theta=-1/2</math>, rezultă <math>r_i=3/4</math>, <math>r_m=\frac{1}{2}\sqrt{3}</math>, <math>r_c=1</math>, <math>r=\frac{1}{4}\sqrt{3}</math>.

Toate vârfurile lui <math>\bf C</math> de tip <math>p</math> se află pe o sferă cu raza <math>r_{c,p}</math> dată de
:<math>r_{c,p}^2=r_i^2+\frac{2r^2}{1-\cos\alpha_p}</math>,
și similar pentru <math>q,r,\ldots</math>.

Dual, există o sferă tangentă în centrele tuturor fețelor lui <math>\bf A</math> care sunt poligoane regulate cu <math>p</math> laturi (și similar pentru <math>q,r,\ldots</math>). Raza <math>r_{i,p}</math> acestei sfere este dată de
:<math>r_{i,p}^2=r_m^2-\frac{l^2}{4}\cot^2(\pi/p)</math>.

Între aceste două raze există relația <math>r_{i,p}r_{c,p}=r_m^2</math>. Continuând exemplul: <math>\cos\alpha_3=-1/3</math> și <math>\cos\alpha_4=1/3</math>, care dă <math>r_{c,3}=\frac{3}{8}\sqrt{6}</math>, <math>r_{c,4}=\frac{3}{4}\sqrt{2}</math>, <math>r_{i,3}=\frac{1}{3}\sqrt{6}</math> și <math>r_{i,4}=\frac{1}{2}\sqrt{2}</math>.

Dacă <math>P</math> este un vârf de tip <math>p</math> al lui <math>\bf C</math>, <math>e</math> este o muchie a lui <math>\bf C</math> care pornește din <math>P</math>, și <math>P^\prime</math> punctul unde muchia <math>e</math> atinge sfera mediană a lui <math>\bf C</math>, se notează distanța <math>P P^\prime</math> cu <math>l_p</math>. Atunci muchiile lui <math>\bf C</math> care unesc vârfurile de tip <math>p</math> și <math>q</math> au lungimile <math>l_{p, q} = l_p + l_q</math>. Aceste valori pot fi calculate din
:<math>l_p=\frac{l}{2}\frac{\cos(\pi/p)}{\sin(\alpha_p/2)}</math>,
și similar pentru <math>q, r, \ldots</math>. Continuând exemplul: <math>\sin(\alpha_3/2)=\frac{1}{3}\sqrt{6}</math>, <math>\sin(\alpha_4/2)=\frac{1}{3}\sqrt{3}</math>, <math>l_3=\frac{1}{8}\sqrt{6}</math>, <math>l_4=\frac{1}{4}\sqrt{6}</math>, deci muchiile dodecaedrului rombic au lungimea <math>l_{3,4}=\frac{3}{8}\sqrt{6}</math>.

Unghiurile diedre <math>\alpha_{p, q}</math> între fețele <math>p</math>-gonale și <math>q</math>-gonale ale lui <math>\bf A</math> satisfac relația
:<math>\cos \alpha_{p,q} = \frac{l^2}{4}\frac{\cot(\pi/p)\cot(\pi/q)}{r_m^2}-\frac{r_{i, p}r_{i, q}}{r_m^2} = \frac{l_p l_q-r_m^2}{r_{c,p}r_{c,q}}</math>.

În finalul exemplului, unghiul diedru <math>\alpha_{3,4}</math> al cuboctaedrului este dat de <math>\cos \alpha_{3,4}=-\frac{1}{3}\sqrt{3}</math>.

=== Aplicarea la alte poliedre ===
Toate formulele din această secțiune se aplică poliedrelor platonice, bipiramidelor și trapezoedrelor cu unghiuri diedre egale, de asemenea, deoarece ele pot fi deduse din proprietatea unghiului diedru constant. De exemplu, pentru trapezoedrul pentagonal cu fețele V3.3.5.3, se obține <math>\cos(\alpha_3)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\sqrt{5}</math>, sau <math>\alpha_3=108^{\circ}</math>. Acest lucru nu este surprinzător: este posibil să fie tăiate ambele vârfuri în așa fel încât să se obțină un [[dodecaedru |dodecaedru regulat]].

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
* {{fr icon}} [[Eugène Catalan]] ''Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.'' J. l'École Polytechnique (Paris) 41, 1-71, 1865
* {{en icon}} Alan Holden, ''Shapes, Space, and Symmetry''. New York: Dover, 1991
* {{en icon}} {{Citation | last1=Wenninger | first1=Magnus | title=Dual Models | publisher=Cambridge University Press | isbn=978-0-521-54325-5 | mr=730208 | year=1983}} (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals)
* {{en icon}} Robert Williams, (1979), ''The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design'', Dover Publications, Inc. {{ISBN|0-486-23729-X}}, (Section 3–9)
* {{en icon}} {{cite book | author= Anthony Pugh | year= 1976 | title= Polyhedra: A visual approach | publisher= University of California Press Berkeley | location= California | isbn= 0-520-03056-7}} Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms

== Vezi și ==
* [[Poliedru arhimedic]]
* [[Poliedru Johnson]]

== Legături externe ==
{{commonscat-inline|Catalan solids}}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=CatalanSolid | title=Catalan Solids}}
* {{en icon}} {{mathworld | urlname = Isohedron | title = Isohedron}}
* {{en icon}} [http://dmccooey.com/polyhedra/Catalan.html Catalan Solids] &ndash; la Visual Polyhedra
* {{en icon}} [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/archimedean-duals-info.html Archimedean duals] &ndash; at Virtual Reality Polyhedra
* {{fr icon}} [https://orbi.uliege.be/handle/2268/194785 Două legături pentru descărcarea lucrării originale a lui catalan din 1865] (format PDF)

{{DEFAULTSORT:Catalan, poliedru}}
[[Categorie:Poliedre Catalan| ]]