Vizualizare sursă pentru „Policub”

[[Fișier:tetracube_categories.svg|thumb|Toate cele 8 tetracuburi unitare&nbsp;— dacă [[chiralitate (matematică) |chiralitatea]] este ignorată, cele două forme gri din partea de jos sunt considerate aceleași, oferind în total 7 tetracuburi independente]]
[[Fișier:Pentacubes task.jpg|thumb|Un [[puzzle]] care se bazează pe aranjarea pentacuburilor]]
Un '''policub''' este un [[corp geometric]] format prin lipirea unuia sau mai multor [[cub]]uri [[față (geometrie)|față]] la față. Policuburile sunt analoagele [[tridimensional]]e ale [[poliomino]]urilor plane. [[Cubul Soma]], [[Cubul Bedlam]], [[Cubul Diabolic]], [[Puzzle Slothouber–Graatsma]] și [[Puzzle Conway]] sunt exemple de [[probleme de împachetare]] care se bazează pe policuburi.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|polycube|Polycube}}</ref>

== Enumerarea policuburilor ==
[[Fișier:AGK-pentacube.png|thumb|Un pentacub chiral]]
Ca și poliominourile, policuburile pot fi enumerate în două moduri, în funcție de faptul dacă perechile de policuburi [[Chiralitate (matematică) |chirale]] sunt enumerate ca un singur policub sau ca două. De exemplu 6 tetracuburi au [[Simetrie de reflexie |simetrie în oglindă]] și unul este chiral, oferind un număr de 7, respectiv 8 tetracuburi.<ref name=symmetry>{{en icon}} {{cite book |last=Lunnon |first=W. F. |contribution=Symmetry of Cubical and General Polyominoes |editor-last=Read |editor-first=Ronald C. |title=Graph Theory and Computing |place=New York |publisher=Academic Press |year=1972 |pages=101–108 |isbn=978-1-48325-512-5}}</ref> Spre deosebire de poliominouri, policuburile sunt de obicei enumerate ca perechi în oglindă distincte, deoarece nu se poate întoarce un policub pentru a obține imaginea sa în oglindă așa cum se poate face cu un poliomino în [[spațiu tridimensional |spațiul tridimensional]]. De exemplu Cubul Soma folosește ambele forme ale tetracubului chiral.

Policuburile sunt clasificate în funcție de numărul de celule cubice pe care le au:<ref>{{en icon}} [http://recmath.org/PolyPages/PolyPages/index.htm?Polycubes.html Polycubes], ''The Poly Pages'', accesat 2021-06-05</ref>
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|-
!&nbsp;''n''&nbsp;
!Numele policubului
!Numărul de policuburi<br/>(reflexiile sunt distincte<ref>{{OEIS|A000162}}</ref>)
!Numărul de policuburi<br/>(reflexiile sunt aceleași<ref>{{OEIS|A038119}}</ref>
|-
|1
|monocub
||1
||1
|-
|2
|dicub
||1
||1
|-
|3
|tricub
||2
||2
|-
|4
|tetracub
||8
||7
|-
|5
|pentacub
||29
||23
|-
|6
|hexacub
||166
||112
|-
|7
|heptacub
||1023
||607
|-
|8
|octacub
||6922
||3811
|}

Policuburile au fost enumerate până la ''n'' = 16.<ref>{{en icon}} [http://kevingong.com/Polyominoes/Enumeration.html Kevin Gong's enumeration of polycubes]</ref> Recent, au fost studiate familii particulare de policuburi.<ref>{{en icon}} Jean-Marc Champarnaud et al, [http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v20i4p26/pdf "Enumeration of Specific Classes of Polycubes"] (PDF), Université de Rouen, France, accesat 2021-06-05</ref><ref>{{en icon}} C. Carré, N. Debroux, M. Deneufchâtel, J. Dubernard, C. Hillairet, J. Luque, O. Mallet, [https://arxiv.org/abs/1311.4836 "Dirichlet convolution and enumeration of pyramid polycubes"] (PDF), 19 noiembrie 2013, accesat 2021-06-05</ref>

== Simetriile policuburilor ==
Ca și poliominourile, policuburile pot fi clasificate în funcție de câte simetrii au. Simetriile policuburilor (clasele de conjugare ale subgrupurilor [[grup octaedric |grupului octaedric]] achiral) au fost enumerate pentru prima dată de WF Lunnon în 1972. Majoritatea policuburilor sunt asimetrice, dar multe au grupuri de simetrie mai complexe, până la grupul complet de simetrie al cubului, cu 48 de elemente. Sunt posibile numeroase alte simetrii; de exemplu, există șapte forme posibile de simetrie de [[ordin de simetrie|ordinul]] 8.<ref name=symmetry/>

== Proprietăți ale pentacuburilor ==
12 pentacuburi sunt plane și corespund cu [[pentomino]]urile. 5 din restul de 17 au simetrie in oglindă, iar celelalte 12 formează 6 perechi chirale.

Cutiile de delimitare ale pentacuburilor au dimensiuni 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 și 2×2×2.<ref>{{en icon}} {{MathWorld|pentacube|Pentacube}}</ref>

Un policub poate avea până la 24 de orientări într-o rețea cubică sau 48, dacă se iau în considerare reflexiile. Dintre pentacuburi, 2 plane (5-1-1 și crucea) au simetrie în oglindă în toate cele trei axe; acestea au doar trei orientări. 10 au o singură simetrie de oglindă; acestea au 12 orientări. Fiecare dintre celelalte 17 pentacuburi are 24 de orientări.

== Desfășuratele octacubului și hipercubului  ==
[[Fișier:8-cell net.png|thumb|Crucea Dalí]]
[[Tesseract]]ul ([[hipercub]]ul [[cvadridimensional]]) are opt cuburi ca [[fațetă (geometrie) |fațete]] și, la fel cum un cub poate fi desfășurat într-un [[hexamino]], tesseractul poate fi desfășurat într-un octacub. În special una dintre desfășurate este asemănătoare cu o [[cruce latină]]: constă din patru cuburi stivuite în coloană, cu alte patru cuburi lipite de celelalte fețe pătrate ale unui al doilea cub din coloană, pentru a forma o formă tridimensională, ''crucea Dalí''. [[Salvador Dalí]] a folosit această formă în pictura sa ''Crucifixión'' ({{ro|Răstignire}}) din 1954. <ref>{{en icon}} {{citation|title=Dali's dimensions|journal=Nature|volume=391|issue= 6662|page=27|date=1 January 1998|doi=10.1038/34063|first=Martin|last=Kemp|bibcode=1998Natur.391...27K|s2cid=5317132|doi-access=free}}</ref><ref name="hut">{{en icon}} {{citation|first1=Giovanna|last1=Diaz|first2=Joseph|last2=O'Rourke|title=Hypercube unfoldings that tile <math>\mathbb{R}^3</math> and <math>\mathbb{R}^2</math>|year=2015|arxiv=1512.02086|bibcode=2015arXiv151202086D}}.</ref><ref name="pucc">{{en icon}} {{citation|contribution=Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion|first1=Stefan|last1=Langerman |first2=Andrew|last2=Winslow|title=19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016)|year=2016|contribution-url=http://andrewwinslow.com/papers/polyunfold-jcdcggg16.pdf}}.</ref> Aceeași desfășurată a unui tesseract este esențială pentru intriga nuvelei ''—And He Built a Crooked House—'' ({{ro|Și el construi o casă în dungă, o casă în dungă}}) de [[Robert A. Heinlein]].<ref>{{en icon}} {{citation|last=Henderson|first=Linda Dalrymple|editor-last=Emmer|editor-first=Michele|contribution=Science Fiction, Art, and the Fourth Dimension|date=November 2014|doi=10.1007/978-3-319-01231-5_7|pages=69–84|publisher=Springer International Publishing|title=Imagine Math 3: Between Culture and Mathematics}}</ref> Această desfășurată poate [[fagure (geometrie)|tesela spațiul]].<ref name="hut"/> Răspunzând la o întrebare pusă în 1966 de [[Martin Gardner]], dintre cele 3811 de octacuburi diferite, 261 sunt desfășurare ale tesseractului.<ref name="hut"/><ref>{{en icon}} {{citation
 | last = Turney | first = Peter
 | issue = 1
 | journal = Journal of Recreational Mathematics
 | mr = 765344
 | pages = 1–16
 | title = Unfolding the tesseract
 | volume = 17
 | year = 1984}}.</ref>

== Conexiuni pe frontieră ==
Deși cuburile unui policub trebuie să fie lipite pătrat la pătrat, pătratele de la capetele sale nu trebuie să fie conectate [[latură (geometrie)|latură]] la latură. De exemplu, cubul format din 26 de cuburi prin realizarea unei rețele de 3×3×3 de cuburi și apoi scoaterea cubului central este un policub valid, în care frontiera golului interior nu este conectată la frontiera exterioară. De asemenea, nu este necesar ca frontiera unui policub să formeze o varietate. De exemplu, unul dintre pentacuburi are patru cuburi care se întâlnesc în jurul unei laturi, ca urmare acea latură face parte din patru pătrate care mărginesc cuburile.

Dacă un policub are proprietatea suplimentară că complementul său (ansamblul de cuburi care nu aparțin policubului) este conectat prin căi de cuburi care se întâlnesc pătrat la pătrat, atunci pătratele de pe frontiera policubului sunt în mod necesar conectate și prin căi de pătrate care se întâlnesc latură la latură.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Bagchi | first1 = Amitabha
 | last2 = Bhargava | first2 = Ankur
 | last3 = Chaudhary | first3 = Amitabh
 | last4 = Eppstein | first4 = David 
 | last5 = Scheideler | first5 = Christian
 | doi = 10.1007/s00224-006-1349-0
 | issue = 6
 | journal = Theory of Computing Systems
 | mr = 2279081
 | pages = 903–928
 | title = The effect of faults on network expansion
 | volume = 39
 | year = 2006| arxiv = cs/0404029}}. A se vedea în special lema 3.9, p.&nbsp;924, care dă o generalizare a conectivității pe frontieră la policuburi din dimensiuni superioare.</ref> Adică, în acest caz frontiera formează un poliominoid.

Orice {{mvar|k}}-cub cu <math>k<7</math> inclusiv crucea Dalí (cu <math>k=8</math>) poate fi desfășurat ca un poliomino care poate pava planul. Este o problemă deschisă dacă fiecare policub cu o frontieră conectată poate fi desfășurat ca un poliomino sau dacă acest lucru se poate face întotdeauna cu condiția suplimentară ca acest poliomino să poată pava un plan.<ref name="pucc"/>

== Grafuri duale ==
Structura unui policub poate fi vizualizată prin intermediul unui „graf dual” care are câte un nod pentru fiecare cub și câte o muchie între fiecare două cuburi care au un pătrat comun.<ref>{{citation
 | last1 = Barequet | first1 = Ronnie
 | last2 = Barequet | first2 = Gill
 | last3 = Rote | first3 = Günter
 | doi = 10.1007/s00493-010-2448-8
 | issue = 3
 | journal = Combinatorica
 | mr = 2728490
 | pages = 257–275
 | title = Formulae and growth rates of high-dimensional polycubes
 | volume = 30
 | year = 2010}}.</ref> Acest lucru este diferit de noțiunile de [[poliedru dual]] și [[graf dual]] al unui graf de pe suprafață.

Grafurile duale au fost utilizate și pentru a defini și studia subclasele particulare ale policuburilor, cum ar fi cele al căror graf dual este un arbore.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Aloupis | first1 = Greg
 | last2 = Bose | first2 = Prosenjit K.
 | last3 = Collette | first3 = Sébastien
 | last4 = Demaine | first4 = Erik D.
 | last5 = Demaine | first5 = Martin L.
 | last6 = Douïeb | first6 = Karim
 | last7 = Dujmović | first7 = Vida
 | last8 = Iacono | first8 = John
 | last9 = Langerman | first9 = Stefan
 | last10 = Morin | first10 = Pat
 | contribution = Common unfoldings of polyominoes and polycubes
 | doi = 10.1007/978-3-642-24983-9_5
 | mr = 2927309
 | pages = 44–54
 | publisher = Springer, Heidelberg
 | series = Lecture Notes in Comput. Sci.
 | title = Computational geometry, graphs and applications
 | volume = 7033
 | year = 2011| url = http://cg.scs.carleton.ca/%7Evida/pubs/papers/Cubigami.pdf
 }}.</ref>

== Note ==
{{listănote|2}}

== Legături externe  ==
*{{en icon}} [http://www.gamepuzzles.com/polycub4.htm#HX An actual wooden hexacube built by Kadon]
*{{en icon}} [http://userpages.monmouth.com/~colonel/csym/index.html Polycube Symmetries] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20210128150936/https://userpages.monmouth.com/~colonel/csym/index.html |date=2021-01-28 }}
*{{en icon}} [https://github.com/mlepage/polycube-solver Polycube solver] Program (with Lua source code) to fill boxes with polycubes using ''Algorithm X''.

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Geometrie discretă]]