Vizualizare sursă pentru „Plan de la infinit”

În [[geometrie proiectivă |geometria proiectivă]], un '''plan de la infinit''' este [[hiperplan de la infinit |hiperplanul de la infinit]] al unui {{ill-wd|Q877775}} [[tridimensional]] sau la orice [[Plan (geometrie) |plan]] conținut într-un [[hiperplan]], aflat la [[infinit]]ul oricărui spațiu proiectiv de [[dimensiune (matematică) |dimensiuni]] superioare. Acest articol se va referi exclusiv la cazul tridimensional.

== Definiție ==
Există două abordări pentru definirea ''planului de la infinit'' care depind de faptul dacă se pornește de la un 3-spațiu proiectiv sau de la un [[spațiu afin |3-spațiu afin]].

Dacă se dă un 3-spațiu proiectiv, ''planul de la infinit'' este orice {{ill-wd| Q1475760}} distinct al spațiului.<ref>{{en icon}} {{harvnb|Samuel|1988|loc=p. 11}}</ref> Acest punct de vedere subliniază faptul că acest plan nu este diferit geometric de orice alt plan. Pe de altă parte, având în vedere un 3-spațiu afin, ''planul de la infinit'' este un plan proiectiv care se adaugă la 3-spațiul afin pentru a-i da închiderea proprietății de {{ill-wd| Q1671857}}. Adică punctele ''planului de la infinit'' sunt punctele în care se vor întâlni liniile paralele ale 3-spațiului afin, iar [[dreaptă |dreptele]] sunt dreptele în care 3-planele [[paralelism |paralele]] ale 3-spațiului afin se vor [[intersecție (matematică) |intersecta]]. Rezultatul adăugării este 3-spațiul proiectiv, <math>P^3</math>. Acest punct de vedere subliniază structura internă a planului de la infinit, dar îl face să pară „special” în comparație cu celelalte plane ale spațiului.

Dacă 3-spațiul afin este real, <math>\mathbb{R}^3</math>, atunci adăugarea {{ill-wd| Q633815||planului proiectiv real}} <math>\mathbb{R}P^2</math> la infinit produce 3-spațiul proiectiv real <math>\mathbb{R}P^3</math>.

== Reprezentarea analitică ==
Deoarece oricare două planuri proiective dintr-un 3-spațiu proiectiv sunt echivalente, se poate alege un [[coordonate omogene |sistem de coordonate omogene]] astfel încât orice punct din planul de la infinit să fie reprezentat ca (''X'':''Y'':''Z'':0).<ref>{{en icon}} {{harvnb|Meserve|1983|loc=p. 150}}</ref> Orice punct din 3-spațiul afin va fi apoi reprezentat ca (''X'':''Y'':''Z'':1). Punctele din planul de la infinit par să aibă trei grade de libertate, dar coordonatele omogene sunt echivalente la orice [[scalare (geometrie) |redimensionare]]:
: <math> (X : Y : Z : 0) \equiv (a X : a Y : a Z : 0) </math>,
astfel încât coordonatele (''X'':''Y'':''Z'':0) pot fi [[versor |normalizate]], reducând astfel gradele de libertate la două (deci o suprafață, și anume, un plan proiectiv).

''Enunț'': Orice dreaptă care trece prin [[Origine (matematică) |origine]] (0:0:0:1) și prin punctul (''X'':''Y'':''Z'':1) va intersecta planul de la infinit în punctul (''X'':''Y'':''Z'':0).

''Demonstrație'': Dreapta care trece prin punctele (0:0:0:1) și (''X'':''Y'':''Z'':1) va consta din punctele ale căror coordonate sunt o combinație liniară a coordonatelor celor două puncte date:
:<math> a (0:0:0:1) + b (X:Y:Z:1) = (bX :bY: bZ: a + b). </math>
Ca un asemenea punct să se afle în planul de la infinit este necesar ca <math> a + b = 0</math>. Deci, alegând <math>a = -b</math> se obține punctul
<math>(bX:bY:bZ:0) = (X : Y : Z : 0) .</math> ([[Q.E.D.]])

Orice pereche de drepte paralele în 3-spații se vor intersecta într-un punct al planului de la infinit. De asemenea, fiecare dreaptă din 3-spații intersectează planul de la infinit într-un punct unic. Acest punct este determinat de direcția ([[pantă |panta]])&nbsp;— și numai de direcția&nbsp;— dreptei. Pentru a determina acest punct, dacă dreapta nu trece deja prin origine se ia în considerare o dreaptă paralelă cu dreapta dată, dar care trece prin origine. Apoi se alege pe această a doua dreaptă un punct oarecare, altul decât originea. Dacă coordonatele omogene ale acestui punct sunt (''X'':''Y'':''Z'':1), atunci coordonatele omogene ale punctului de la infinit prin care trec prima și a doua dreaptă sunt (''X'':''Y'':''Z'': 0).

''Exemplu'': Fie o dreaptă care trece prin punctele (0:0:1:1) și (3:0:1:1). O dreaptă paralelă trece prin punctele (0:0:0:1) și (3:0:0:1). Această a doua dreaptă intersectează planul de la infinit în punctul (3:0:0:0). Dar și prima dreaptă trece prin acest punct:
:<math> \lambda (3:0:1:1) + \mu (0:0:1:1) </math>
::<math> = (3 \lambda : 0 : \lambda + \mu : \lambda + \mu)</math>
::<math> = (3 : 0 : 0 : 0) </math>
când <math>\lambda + \mu = 0</math>. (Q.E.D.)

Orice pereche de plane paralele din 3-spațiul afin se vor intersecta într-o [[dreaptă proiectivă]] (o [[dreaptă de la infinit]]) în planul de la infinit. De asemenea, fiecare plan din 3-spațiul afin intersectează planul de la infinit într-o dreaptă unică.<ref>{{en icon}} {{harvnb|Woods|1961|loc=p. 187}}</ref> Această dreaptă este determinată de direcția&nbsp;—și doar de direcția&nbsp;— planului.

== Proprietăți ==
Deoarece planul de la infinit este un plan proiectiv, acesta este {{ill-wd| Q202906||homeomorf}} cu suprafața unei sfere în care [[punct antipodal |punctele antipodale]] sunt echivalente: S<sup>2</sup>/{1,&minus;1}.

== Note ==
<references />

== Bibliografie ==
*{{en icon}} {{citation|first=Robert J.|last=Bumcrot|title=Modern Projective Geometry|year=1969|publisher=Holt, Rinehart and Winston}}
*{{en icon}} {{citation|first=Bruce E.|last=Meserve|title=Fundamental Concepts of Geometry|year=1983|origyear=1955|publisher=Dover|isbn=0-486-63415-9}}
*{{en icon}} {{citation|first=Dan|last=Pedoe|title=Geometry / A Comprehensive Course|year=1988|origyear=1970|publisher=Dover|isbn=0-486-65812-0}}
* {{en icon}} {{citation|first=Pierre|last=Samuel|title=Projective Geometry|year=1988|publisher=[[Springer-Verlag]]|series=UTM Readings in Mathematics|isbn=0-387-96752-4|url-access=registration|url=https://archive.org/details/projectivegeomet0000samu}}
* {{en icon}} {{citation|first=Frederick S.|last=Woods|title=Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry|year=1961|origyear=1922|publisher=Dover}}
* {{en icon}} {{citation|first=Paul B.|last=Yale|title=Geometry and Symmetry|year=1968|publisher=Holden-Day}}

{{Portal|Matematică}}

[[Categorie:Geometrie proiectivă]]
[[Categorie:Infinit]]
[[Categorie:Articole care conțin demonstrații]]