Vizualizare sursă pentru „Pi”

{{inițialămică}}
{{altesensuri}}
[[Fișier:Pi-unrolled-720.gif|right|300px|thumb|Dacă diametrul cercului este 1, circumferința sa va fi π]]
{{Cutie Pi}}
Numărul '''{{mvar|π}}''' (adesea scris '''pi''') este o [[constantă matematică]] a cărei [[valoare (matematică) |valoare]] este [[raport]]ul dintre circumferința și diametrul oricărui [[cerc]] într-un [[Geometrie euclidiană|spațiu euclidian]]; este aceeași valoare ca și raportul dintre aria unui cerc și pătratul razei sale. Simbolul {{mvar|π}} a fost propus pentru prima oară de matematicianul galez [[William Jones (matematician)|William Jones]] în 1706. Valoarea constantei este egală aproximativ cu {{formatnum:3.14159}} în notația zecimală obișnuită (vezi tabelul din dreapta pentru reprezentarea în alte baze). {{mvar|π}} este una dintre cele mai importante constante din matematică și [[fizică]]: numeroase formule din matematică, [[inginerie]] și alte științe implică folosirea lui {{mvar|π}}.<ref>{{citat carte | title = An Introduction to the History of Mathematics | author = Howard Whitley Eves | year = 1969 | publisher = Holt, Rinehart & Winston | url = http://books.google.com/books?id=LIsuAAAAIAAJ&q=%22important+numbers+in+mathematics%22&dq=%22important+numbers+in+mathematics%22&pgis=1 }}</ref>

{{mvar|π}} este un [[număr irațional]], adică valoarea sa nu poate fi exprimată exact sub formă de [[fracție]] ''m''/''n'', cu ''m'' și ''n'' [[Număr întreg|întregi]]. De aceea, reprezentarea sa zecimală nu are sfârșit și nu începe nici să se repete. Numărul este și [[Număr transcendent|transcendent]], ceea ce înseamnă, printre altele, că nu există un șir finit de [[operație algebrică|operații algebrice]] cu numere întregi (puteri, extrageri de radicali, sume etc.) al căror rezultat să fie egal cu valoarea lui; demonstrarea acestui fapt a fost o realizare relativ recentă în istoria matematicii și un rezultat semnificativ al matematicienilor germani ai secolului al XIX-lea. De-a lungul [[istoria matematicii|istoriei matematicii]] s-au depus eforturi semnificative de a determina {{mvar|π}} cu mai multă precizie și de a-i înțelege natura; fascinația acestui număr a intrat și în cultura nematematică.

Litera grecească {{mvar|π}}, scrisă ''pi'' în alfabetul latin, a fost adoptată de la cuvântul grecesc „περίμετρος”, ''perimetros'' (în română: perimetru), mai întâi de [[William Jones (matematician)|William Jones]] în 1707; notația a fost popularizată apoi de [[Leonhard Euler]] în 1737.<ref name="collier">{{cite encyclopedia |last=Comanor |first=Milton |autor2=Ralph P. Boas |editor=William D. Halsey |encyclopedia=Collier's Encyclopedia |title=Pi |year=1976 |publisher=Macmillan Educational Corporation |volume=19 |location=New York |pages=21–22 }}</ref>

== Bazele ==
[[Fișier:Greek lc pi icon.svg|thumb|120px|left|Litera grecească {{mvar|π}} utilizată pentru notarea constantei.]]

=== Litera {{mvar|π}} ===
[[Fișier:Pi eq C over d ro.svg|thumb|right|Circumferința = {{mvar|π}} × diametru]]

Numele literei grecești {{mvar|π}} este ''pi'', scriere utilizată în unele situații în care nu este disponibil simbolul grecesc, sau în care utilizarea sa ar fi problematică. {{mvar|π}} corespunde literei române (latine) p. Nu se notează cu literă mare (<math>\Pi</math>) nici măcar la început de propoziție.

[[Constantă matematică|Constanta]] se numește „{{mvar|π}}” deoarece este prima literă a cuvintelor [[Limba greacă|grecești]] {{mvar|π}}εριφέρεια (''perifereia'' = periferie) și {{mvar|π}}ερίμετρος (''perimetros'' = perimetru), probabil cu referire la utilizarea sa în formula de calcul a circumferinței (sau a perimetrului) unui cerc.<ref name="adm">{{citat web|url=http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.pi.html|title=About Pi|work=Ask Dr. Math FAQ|accessdate=29 octombrie 2007}}</ref> {{mvar|π}} este caracterul [[Unicode]] U+03C0 („[[Alfabetul grecesc|Litera grecească mică pi]]”).<ref>{{citat web|url=http://www.w3.org/TR/MathML2/bycodes.html|title=Characters Ordered by Unicode|publisher=[[World Wide Web Consortium|W3C]]|accessdate=25 octombrie 2007}}</ref>

=== Definiție ===
În [[Geometrie euclidiană|geometria plană euclidiană]], {{mvar|π}} este definit ca [[raport]]ul dintre [[Circumferință|circumferința]] unui [[cerc]] și [[diametru]]l său:<ref name="adm"/>

:<math> \pi = \frac{C}{d}. </math>

Raportul <sup>''C''</sup>/<sub>''d''</sub> este constant, indiferent de dimensiunile unui cerc. De exemplu, dacă un cerc are de două ori diametrul ''d'' al unui alt cerc, el va avea de două ori circumferința ''C'', păstrând raportul <sup>''C''</sup>/<sub>''d''</sub>.

[[Fișier:Circle Area ro.svg|thumb|right|Aria cercului = {{mvar|π}} × aria pătratului umbrit]]

Altfel, {{mvar|π}} poate fi definit și ca raportul dintre [[Arie|aria]] (A) unui cerc și aria unui pătrat cu latura egală cu [[rază|raza]] cercului:<ref name="adm"/><ref>{{citat web|url=http://www.wku.edu/~tom.richmond/Pir2.html|title=Area of a Circle|first=Bettina|last=Richmond|publisher={{Ill-wd|Q1474105|3=Western Kentucky University}}|date=12 ianuarie 1999|accessdate=4 noiembrie 2007|archive-date=2002-06-09|archive-url=https://web.archive.org/web/20020609063222/http://www.wku.edu/~tom.richmond/Pir2.html|dead-url=yes}}</ref>

:<math> \pi = \frac{A}{r^2}. </math>

Aceste definiții depind de rezultatele geometriei euclidiene, cum ar fi faptul că toate cercurile sunt [[Asemănare (geometrie)|asemenea]]. Aceasta poate fi considerată o problemă atunci când {{mvar|π}} apare în domenii matematice care altfel nu implică geometria. Din acest motiv, matematicienii preferă adesea să definească {{mvar|π}} fără referire la geometrie, alegând în schimb ca definiție una dintre proprietățile sale [[Analiză matematică|analitice]]. O alegere frecventă este definirea lui {{mvar|π}} ca fiind dublul celui mai mic [[număr pozitiv]] ''x'' pentru care [[funcție trigonometrică|cos]](''x'')&nbsp;=&nbsp;0.<ref>{{citat carte |last=Rudin |first=Walter |authorlink=Walter Rudin |title=Principles of Mathematical Analysis |edition=3e |year=1976 |origyear=1953 |publisher=McGraw-Hill |isbn=0-07-054235-X | pages = 183}}</ref> Formulele de mai jos ilustrează alte definiții echivalente.

[[Fișier:Sine cosine plot.svg|thumb|320px|left|Graficul funcției ''cosinus'', cu verde.]]
{{-}}

=== Iraționalitate și transcendență ===
[[Fișier:Squaring the circle.svg|right|thumb|Construirea unui pătrat cu aceeași arie ca un cerc dat este o problemă cunoscută încă din [[antichitate]]. Însă în 1882 s-a demonstrat că {{mvar|π}} este un număr transcendent, și deci un asemenea pătrat nu poate fi construit într-un număr finit de pași folosind numai rigla și compasul.]]

{{mvar|π}} este un [[număr irațional]], sau altfel spus, el nu poate fi scris ca [[Număr rațional|raport (rație) de două numere întregi]]. Ipoteza iraționalității lui {{mvar|π}} este menționată încă de [[Al-Khwarizmi|Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī]]<ref>[http://www.muslimheritage.com/topics/default.cfm?TaxonomyTypeID=12&TaxonomySubTypeID=59&TaxonomyThirdLevelID=-1&ArticleID=997 Glimpses in the history of a great number: Pi in Arabic mathematics] de Mustafa Mawaldi</ref> în secolul al IX-lea. [[Maimonides]] menționează în secolul al XII-lea că este sigur de iraționalitatea lui {{mvar|π}}  <ref>Commentariu la [[Mișna|Mishna]], începutul lui {{Ill-wd|Q12410317|3=Eruvin}}</ref>. Însă demonstrația completă a fost realizată abia în 1768 de către [[Johann Heinrich Lambert]].<ref>{{Cite news
  | last = Lambert
  | first = Johann Heinrich
  | title = Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendentes circulaires et logarithmiques
  | publication-date = 1768
  | date = 1761
  | periodical = Histoire de l'Académie,
  | publication-place = Berlin
  | volume = XVII
  | pages = 265–322
  | postscript =.}}</ref> În secolul al XX-lea s-au construit demonstrații ce nu necesită decât cunoștințe de [[calcul integral]]. Una dintre acestea i se datorează lui {{Ill-wd|Q1675580|3=Ivan Niven}}.<ref>{{cite journal|title=A simple proof that {{mvar|π}} is irrational|first=Ivan|last=Niven|authorlink=Ivan Niven|journal={{Ill-wd|Q2928101|3=Bulletin of the American Mathematical Society}}|volume=53|pages=509|year=1947|url=http://www.ams.org/bull/1947-53-06/S0002-9904-1947-08821-2/S0002-9904-1947-08821-2.pdf|format=PDF|accessdate=4 noiembrie 2007|doi=10.1090/S0002-9904-1947-08821-2|issue=6 | issn=0273-0979}}</ref><ref>{{citat web|first=Helmut|last=Richter|url=http://www.lrz-muenchen.de/~hr/numb/pi-irr.html|title=Pi Is Irrational|date=28 iulie 1999|publisher=Leibniz Rechenzentrum|accessdate=4 noiembrie 2007|archiveurl=https://archive.today/20120805055202/http://www.lrz.de/~hr/numb/pi-irr.html|archivedate=2012-08-05|dead-url=yes}}</ref> O demonstrație oarecum similară este cea a lui {{Ill-wd|Q452158|3=Mary Cartwright}}.<ref>{{citat carte|first=Harold|last=Jeffreys|authorlink=Harold Jeffreys|title=Scientific Inference|edition=3rd|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1973}}</ref>

{{mvar|π}} este în același timp și [[număr transcendent]], sau cu alte cuvinte, nu există niciun [[polinom]] cu coeficienți [[Număr rațional|raționali]] care să-l aibă pe {{mvar|π}} ca [[Rădăcina unei funcții|rădăcină]].<ref name="ttop">{{citat web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of {{mvar|π}}|accessdate=4 noiembrie 2007|archive-date=2000-09-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20000929033317/http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|dead-url=yes}}</ref> Acest fapt a fost demonstrat la 26 noiembrie 1882 de către [[Ferdinand von Lindemann]] la un seminar matematic al Universității din [[Freiburg]]. O consecință importantă a transcendenței lui {{mvar|π}} este faptul că nu este construibil geometric. Întrucât coordonatele tuturor punctelor ce pot fi [[construcții geometrice cu rigla și compasul|construite cu rigla și compasul]] sunt numere construibile, nu se poate construi cu rigla și compasul un pătrat cu arie egală cu cea a unui cerc dat.<ref>{{citat web|url=http://www.cut-the-knot.org/impossible/sq_circle.shtml|title=Squaring the Circle|publisher={{Ill-wd|Q56811887|3=Cut-the-knot}}|accessdate=4 noiembrie 2007}}</ref> Aceasta are o importantă semnificație istorică, deoarece această problemă, numită "[[cuadratura cercului]]", este una dintre problemele elementare de geometrie cele mai ușor de înțeles datând din antichitate. În vremurile moderne numeroși amatori au încercat să rezolve problema, dar chiar dacă tentativele lor au fost uneori ingenioase, ele sunt întotdeauna sortite eșecului.

=== Valoarea numerică ===
Reprezentarea zecimală a lui {{mvar|π}} trunchiat la 50 de zecimale este:<ref>{{OEIS2C|A000796}}: Decimal expansion of Pi, [[On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]]</ref>

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510
:''Vedeți legăturile externe pentru variante cu mai multe zecimale.''

Deși reprezentarea zecimală a lui {{mvar|π}} a fost calculată cu mai mult de 10<sup>12</sup> cifre,<ref>{{citat web |url=http://www.super-computing.org/pi_current.html |title=Current publicized world record of pi |accessdate=14 octombrie 2007 |archive-date=2011-03-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110312035524/http://www.super-computing.org/pi_current.html |dead-url=yes }}</ref> unele aplicații elementare, cum ar fi calculul circumferinței unui cerc, vor necesita mai puțin de 12 zecimale exacte. De exemplu, o valoare trunchiată la 11 zecimale este suficient de precisă pentru a calcula circumferința unui cerc de dimensiunile pământului cu precizie de un milimetru, iar una cu 39 de zecimale exacte este suficientă pentru a calcula circumferința oricărui cerc care încape în universul observabil cu o precizie comparabilă cu dimensiunea unui atom de [[hidrogen]].<ref>{{citat carte |title=Excursions in Calculus |last=Young |first=Robert M. |year=1992 |publisher=[[Mathematical Association of America]] (MAA)|location=Washington |isbn=0883853175 |pages=417 | url = http://books.google.com/books?id=iEMmV9RWZ4MC&pg=PA238&dq=intitle:Excursions+intitle:in+intitle:Calculus+39+digits&lr=&as_brr=0&ei=AeLrSNKJOYWQtAPdt5DeDQ&sig=ACfU3U0NSYsF9kVp6om4Zyw3a7F82QCofQ }}</ref><ref>{{citat web |url=http://scitation.aip.org/getabs/servlet/GetabsServlet?prog=normal&id=AJPIAS000067000004000298000001&idtype=cvips&gifs=yes |title=Statistical estimation of pi using random vectors |accessdate=12 august 2007 |format= |work=}}</ref>

Întrucât {{mvar|π}} este [[număr irațional]], el are un număr infinit de zecimale care nu conțin secvențe ce se repetă. Acest șir infinit de cifre a fascinat numeroși matematicieni și s-au depus eforturi semnificative în ultimele secole pentru a calcula mai multe cifre zecimale și de a investiga proprietățile acestui număr.<ref>{{MathWorld|urlname=PiDigits|title=Pi Digits}}</ref> În ciuda muncii analitice și a calculelor realizate pe supercalculatoare care au calculat 10 mii de miliarde de cifre ale lui {{mvar|π}}, nu a apărut niciun șablon identificabil în cifrele găsite.<ref>{{cite news|first=Chad|last=Boutin|url=http://www.purdue.edu/UNS/html4ever/2005/050426.Fischbach.pi.html|title=Pi seems a good random number generator - but not always the best|publisher=[[Universitatea Purdue]]|date=26 aprilie 2005|accessdate=4 noiembrie 2007}}</ref> Cifrele lui {{mvar|π}} sunt disponibile pe multe pagini web, și există software pentru calcularea lui {{mvar|π}} cu miliarde de cifre precizie pentru orice calculator personal.

=== Calculul lui {{mvar|π}} ===
{{mvar|π}} poate fi estimat empiric prin desenarea unui cerc mare, urmată de măsurarea diametrului și circumferinței sale și împărțirea circumferinței la diametru. O altă abordare geometrică, atribuită lui [[Arhimede]],<ref name="NOVA">{{citat web|first=Rick|last=Groleau|url=http://www.pbs.org/wgbh/nova/archimedes/pi.html|title=Infinite Secrets: Approximating Pi|publisher=NOVA|date=septembrie 2003|accessdate=4 noiembrie 2007}}</ref> este calculul [[perimetru]]lui, ''P<sub>n</sub> ,'' unui [[poligon regulat]] cu ''n'' laturi [[circumscris]] unui cerc de diametru ''d.'' Atunci

:<math>\pi = \lim_{n \to \infty}\frac{P_{n}}{d}.</math>

Adică cu cât mai multe laturi are un poligon, cu atât mai apropiată este aproximarea lui {{mvar|π}}. Arhimede a determinat acuratețea acestei abordări comparând perimetrul poligonului circumscris cu diametrul unui poligon regulat cu același număr de laturi [[Figură înscrisă|înscris]] în cerc. Folosind un poligon cu 96 de laturi, el a calculat că: {{frac|3|10|71}} < {{mvar|π}} < {{frac|3|1|7}}.<ref>{{citat carte 
 | first=Petr | last=Beckmann
 | year=1989
 | title=A History of Pi 
 | publisher=Barnes & Noble Publishing
 | isbn=0880294183 }}</ref>

{{mvar|π}} poate fi calculat și folosind metode pur matematice. Majoritatea formulelor utilizate pentru calculul valorii lui {{mvar|π}} au proprietăți matematice dorite, dar sunt dificil de înțeles fără cunoștințe de [[trigonometrie]] și [[analiză matematică]]. Unele, însă, sunt foarte simple cum este de exemplu această formă a [[Formula lui Leibniz pentru pi|seriei Gregory-Leibniz]]:<ref>{{citat carte |first=Pierre |last=Eymard |autor2=Jean-Pierre Lafon |others=Stephen S. Wilson (translator)|title=The Number {{mvar|π}}|url=http://books.google.com/books?id=qZcCSskdtwcC&pg=PA53&dq=leibniz+pi&ei=uFsuR5fOAZTY7QLqouDpCQ&sig=k8VlN5VTxcX9a6Ewc71OCGe_5jk |accessdate=4 noiembrie 2007 |year=2004 |month=02 |publisher=[[American Mathematical Society]] |isbn=0821832468 |pages=53 |chapter=2.6 }}</ref>

:<math>\pi = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+\frac{4}{9}-\frac{4}{11}\cdots.\! </math>

Deși această serie este ușor de scris și calculat, nu este evident de ce rezultatul ei este {{mvar|π}}. În plus, această serie converge atât de încet încât trebuie calculați aproape 300 de termeni pentru a obține o aproximare a lui {{mvar|π}} cu 2 zecimale exacte.<ref>{{cite journal|url=http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf|format=PDF|title=Even from Gregory-Leibniz series {{mvar|π}} could be computed: an example of how convergence of series can be accelerated|journal=Lecturas Mathematicas|volume=27|year=2006|pages=21–25|first=Vito|last=Lampret, Spanish|accessdate=4 noiembrie 2007|archive-date=2007-11-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20071128201346/http://www.scm.org.co/Articulos/832.pdf|dead-url=yes}}</ref> Calculând această serie într-o manieră mai inteligentă, luând mediile sumelor parțiale, ea poate fi făcută să conveargă mult mai rapid. Fie

: <math>\pi_{0,1} = \frac{4}{1},\ \pi_{0,2} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3},\ \pi_{0,3} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5},\ \pi_{0,4} =\frac{4}{1}-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}, \cdots\! </math>

și atunci se definește

: <math>\pi_{i,j} = \frac{\pi_{i-1,j}+\pi_{i-1,j+1}}{2}\text{ pentru fiecare }i,j\ge 1</math>

apoi se calculează <math>\pi_{10,10}</math> într-un timp de calcul echivalent cu calculul a 150 de termeni ai seriei originale cu metoda forței brute și <math>\pi_{10,10}=3.141592653\ldots</math>, aproximare cu 9 zecimale exacte. Acest calcul este un exemplu de [[transformare van Wijngaarden]].<ref>A. van Wijngaarden, in:  Cursus:  Wetenschappelijk Rekenen B, Process Analyse, Stichting Mathematisch Centrum, (Amsterdam, 1965) pp. 51–60.</ref>

== Istorie ==
Cea mai veche utilizare atestată a unei bune aproximări a lungimii unei circumferințe în raport cu raza este 3+1/7, valoare folosită la proiectele piramidelor din [[Vechiul Regat (Egipt)|Vechiul Regat]] al Egiptului. [[Marea Piramidă]] din Giza, construită în 2550-2500 î.e.n., a fost construită cu un perimetru de 1.760 {{Ill-wd|Q6502030|3=cubiți}} și o înălțime de 280 cubiți; raportul 1.760/280 ≈ 2{{mvar|π}}. Egiptologi ca profesorii Flinders Petrie <ref>Petrie, W.M.F. 1940 Wisdom of the Egyptians: pp 27</ref> și I.E.S Edwards<ref>Edwards. I.E.S. 1979: The Pyramids of Egypt: pp269</ref> au arătat că aceste proporții circulare au fost alese deliberat de către scribii și arhitecții Vechiului Regat, din motive simbolice.<ref>Jackson și Stamp (2002) Pyramid: Beyond Imagination. pp153</ref><ref>Lightbody, D.I. 2008. Egyptian Tomb Architecture: The Archaeological Facts of Pharaonic Circular Symbolism. British Archaeological Reports. pp36</ref>
Aceleași proporții {{Ill-wd|Q620591|3=Apotropaic}}e fuseseră utilizate și la Piramida de la [[Meidum]] din anul 2600 î.e.n. Aceste aplicații au fost relevate arheologic, întrucât nu există dovezi scrise din perioada respectivă.
 
Istoria veche a lui {{mvar|π}} în documente scrise urmează dezvoltarea matematicii în ansamblul ei.<ref>{{citat carte |last=Beckmann |first=Petr |authorlink=Petr Beckmann |title=A History of {{mvar|π}} |year=1976 |publisher=[[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]] |isbn=0-312-38185-9}}</ref> Unii autori împart progresul în trei perioade: perioada veche, în care {{mvar|π}} a fost studiat geometric, epoca clasică de după dezvoltarea analizei matematice în Europa în preajma secolului al XVII-lea, și era calculatoarelor numerice.<ref>{{citat web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/pi.html|title=Archimedes' constant {{mvar|π}}|accessdate=4 noiembrie 2007}}</ref>

=== Perioada geometrică ===
Faptul că raportul dintre circumferința și diametrul unui cerc este același pentru toate cercurile indiferent de mărime, și că este cu puțin mai mare ca 3, a fost cunoscut în antichitate geometrilor Egiptului, Babilonului, Indiei și Greciei. Primele documente ce dovedesc aproximări ale acestui număr datează din preajma anului 1900 î.e.n.; acestea sunt 25/8 (Babilon) și 256/81 (Egipt), ambele aproximări de 1% ale valorii reale.<ref name="adm"/> Textul indian ''{{Ill-wd|Q676774|3=Shatapatha Brahmana}}'' dă pentru {{mvar|π}} valoarea 339/108&nbsp;≈&nbsp;3,139. [[Biblia ebraică|Biblia evreiască]] pare să sugereze, în [[Cartea Regilor]], că {{mvar|π}} = 3, aproximare semnificativ mai slabă decât alte estimări disponibile la momentul scrierii ei (600 î.e.n.). Interpretarea pasajului este în discuție,<ref>{{citat web|first=H. Peter|last=Aleff|url=http://www.recoveredscience.com/const303solomonpi.htm|title=Ancient Creation Stories told by the Numbers: Solomon's Pi|publisher=recoveredscience.com|accessdate=30 octombrie 2010|archive-date=2007-10-14|archive-url=https://web.archive.org/web/20071014201334/http://recoveredscience.com/const303solomonpi.htm|dead-url=yes}}</ref><ref name="ahop">{{citat web|first=J J|last=O'Connor|autor2=E F Robertson|url=http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html|title=A history of Pi|date=august 2001|accessdate=30 octombrie 2010}}</ref> unii considerând că raportul 3:1 este cel între circumferința interioară și diametrul exterior al unui bazin cu pereți subțiri, raport ce ar putea fi destul de precis, în funcție de grosimea pereților.

[[Fișier:Archimedes pi.svg|thumb|350px|right|Aproximarea lui pi după Arhimede]]
[[Fișier:Cutcircle2.svg|thumb|right|Algoritmul {{mvar|π}} al lui Liu Hui]]
[[Arhimede]] (287–212 î.e.n.) a fost primul care a încercat să calculeze valoarea lui {{mvar|π}} cu rigurozitate. El și-a dat seama că această mărime poate fi limitată superior și inferior înscriind cercurile în [[Poligon regulat|poligoane regulate]] și calculând perimetrul poligoanelor exterioare și respectiv interioare:<ref name="ahop"/>

Folosind echivalentul unui poligon cu 96 de laturi, el a demonstrat că 3&nbsp;+&nbsp;10/71&nbsp;<&nbsp;{{mvar|π}}&nbsp;<&nbsp;3&nbsp;+&nbsp;1/7.<ref name="ahop"/> Media acestor valori este aproximativ 3,14185.

În secolele ce au urmat s-au făcut și alte dezvoltări în India și China. În preajma anului 265 e.n., matematicianul {{Ill-wd|Q316304|3=Liu Hui}} din [[Regatul Wei]] a găsit un [[Algoritmul π al lui Liu Hui|algoritm iterativ]] simplu și riguros pentru calculul lui {{mvar|π}} la orice grad de precizie. El însuși a efectuat calculul până la un poligon cu 3072 laturi și a obținut o valoare aproximativă pentru {{mvar|π}} de 3,1416, după cum urmează:

:<math>\pi \approx A_{3072} = 3 \cdot 2^{8} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+1}}}}}}}}} \approx 3,14159</math>

Ulterior, Liu Hui a inventat o metodă rapidă de calcul și a obținut valoarea aproximativă 3,1416 cu un poligon de doar 96 de laturi, profitând de faptul că diferența de arie a poligoanelor succesive formează o progresie geometrică de factor 4.

În secolul al V-lea e.n. matematicianul indian [[Aryabhta]] a aproximat numărul pi ca 3,1416; el a fost primul care a și afirmat că este o aproximație și că valoarea originală este un număr irațional<ref>{{Citat web |url=http://www.math.missouri.edu/~hema/balsabha/BalSandesh/Sandesh%20V7N2May04.pdf |accessdate=2009-12-07 |titlu=Bal Sandesh |archive-date=2010-06-24 |archive-url=https://web.archive.org/web/20100624134709/http://www.math.missouri.edu/~hema/balsabha/BalSandesh/Sandesh%20V7N2May04.pdf |dead-url=yes }}</ref>.

Pe la 480, matematicianul chinez {{Ill-wd|Q227444|3=Zu Chongzhi}} a demonstrat că {{mvar|π}}&nbsp;≈&nbsp;355/113, și a arătat că 3,1415926&nbsp;<&nbsp;{{mvar|π}}&nbsp;<&nbsp;3,1415927 cu ajutorul algoritmului lui Liu Hui aplicat pe un poligon cu 12288 laturi. Această valoare a fost cea mai precisă aproximare a lui {{mvar|π}} disponibilă în următorii 900 de ani.

=== Perioada clasică ===
Până la începutul mileniului II, {{mvar|π}} a fost cunoscut cu o precizie de mai puțin de 10 zecimale exacte. Următoarea descoperire majoră în studierea lui {{mvar|π}} a venit cu dezvoltarea [[Serie (matematică)|seriilor infinite]] și, ulterior, cu descoperirea [[Analiză matematică|analizei matematice]], care în principiu permite calculul lui {{mvar|π}} cu orice precizie dorită prin adăugarea oricât de multor termeni. Pe la 1400, [[Madhava din Sangamagrama]] a găsit prima astfel de serie:

:<math>{\pi} = 4\sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k}{2k+1} = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots\!</math>

Aceasta este cunoscută astăzi sub numele de [[Formula lui Leibniz pentru pi|seria Madhava–Leibniz]]<ref>{{Cite book|title=Special Functions|last=George E. Andrews, Richard Askey|first=Ranjan Roy|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=1999|isbn=0521789885|page=58|postscript=.}}</ref><ref>{{Cite journal|first=R. C.|last=Gupta|title=On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series|journal=Ganita Bharati|volume=14|issue=1–4|year=1992|pages=68–71|postscript=.}}</ref> sau seria Gregory-Leibniz deoarece a fost redescoperită de [[James Gregory (matematician)|James Gregory]] și [[Gottfried Leibniz]] în secolul al XVII-lea. Din păcate, viteza de convergență este prea mică pentru a fi practic calculul mai multor cifre zecimale; trebuie adunați aproximativ 4000 de termeni pentru a îmbunătăți estimarea lui Arhimede. Transformând, însă, seria în

: <math>\pi = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-3)^{-k}}{2k+1} = \sqrt{12}\sum^\infty_{k=0} \frac{(-\frac{1}{3})^k}{2k+1} = \sqrt{12}\left(1-{1\over 3\cdot3}+{1\over5\cdot 3^2}-{1\over7\cdot 3^3}+\cdots\right)</math>

[[Madhava din Sangamagrama|Madhava]] a reușit să calculeze {{mvar|π}} ca fiind 3,14159265359, cu 11 zecimale exacte. Acest record a fost depășit în 1424 de matematicianul persan [[Al-Kashi|Jamshīd al-Kāshī]], care a calculat 16 zecimale ale lui {{mvar|π}}.

Prima contribuție europeană majoră de după Arhimede a fost cea a matematicianului german [[Ludolph van Ceulen]] (1540–1610), care a folosit o metodă geometrică de calcul a 35 de zecimale ale lui {{mvar|π}}. El a fost atât de mândru de calculul său, căruia i-a dedicat o mare parte din viața sa, încât a cerut ca cifrele să-i fie gravate pe piatra de mormânt.<ref>{{citat carte | title = Mathematical Tables; Containing the Common, Hyperbolic, and Logistic Logarithms... | author = Charles Hutton | publisher = London: Rivington | year = 1811 | pages = 13 | url = http://books.google.com/books?id=zDMAAAAAQAAJ&pg=PA13&dq=snell+descartes+date:0-1837&lr=&as_brr=1&ei=rqPgR7yeNqiwtAPDvNEV }}</ref>

În aceeași perioadă, în Europa au început să apară metodele analizei matematice și pentru determinarea seriilor și produselor infinite pentru cantități geometrice. Prima astfel de reprezentare a fost [[formula lui Viète]],
:<math>\frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \cdots\!</math>

descoperită de [[François Viète]] în 1593. Un alt rezultat celebru este [[produsul lui Wallis]],

:<math>\frac{\pi}{2} = \prod^\infty_{k=1} \frac{(2k)^2}{(2k)^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots\ = \frac{4}{3} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{36}{35} \cdot \frac{64}{63} \cdots\!</math>

descoperit de [[John Wallis]] în 1655. [[Isaac Newton]] a calculat și el o serie pentru {{mvar|π}} și a calculat 15 cifre, deși ulterior a mărturisit: „Mi-e rușine să vă spun la câte cifre am ajuns cu calculele, neavând altceva de făcut atunci.”<ref>[http://query.nytimes.com/gst/fullpage.html?res=9B0DE0DB143FF93BA35750C0A961948260 The New York Times: Even Mathematicians Can Get Carried Away]</ref>

În 1706 [[John Machin]] a fost primul care a calculat 100 de zecimale ale lui {{mvar|π}}, folosind formula

:<math>\frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}\!</math>

cu

:<math>\arctan \, x = \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots\!</math>

Formulele de acest tip, denumite azi [[formule de tip Machin]], au fost utilizate pentru a stabili câteva recorduri succesive și au rămas cea mai celebră metodă de calcul al lui {{mvar|π}} inclusiv în era calculatoarelor. Un record remarcabil a fost cel stabilit de geniul calculului [[Johann Dase]], care în 1844 a folosit o formulă de tip [[John Machin|Machin]] pentru a calcula 200 de zecimale ale lui {{mvar|π}} mintal la îndemnul lui [[Carl Friedrich Gauss|Gauss]]. Cea mai bună valoare la sfârșitul secolului al XIX-lea i s-a datorat lui {{Ill-wd|Q2166727|3=William Shanks}}, care a petrecut 15 ani calculând {{mvar|π}} cu 707 zecimale exacte, deși, din cauza unei greșeli, doar primele 527 erau corecte. (Pentru a evita astfel de greșeli, calculele moderne de orice fel se efectuează adesea de două ori, cu două formule diferite. Dacă rezultatele sunt identice, atunci este probabil că sunt și corecte.)

Progresele teoretice din secolul al XVIII-lea au relevat noi informații despre natura lui {{mvar|π}}, informații ce nu ar fi apărut doar din calculele numerice. [[Johann Heinrich Lambert]] a demonstrat iraționalitea lui {{mvar|π}} în 1761, iar [[Adrien-Marie Legendre]] a demonstrat și el în 1794 că {{mvar|π}}<sup>2</sup> este irațional. Când [[Leonhard Euler]] în 1735 a demonstrat celebra [[Problema Basel|problemă Basel]] – găsirea valorii exacte a lui

:<math> \sum^\infty_{k=1} \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots\!</math>

care este {{mvar|π}}<sup>2</sup>/6, el a demonstrat o profundă conexiune între {{mvar|π}} și [[Număr prim|numerele prime]]. Atât Legendre cât și Euler au speculat că {{mvar|π}} ar putea fi [[Număr transcendent|transcendent]], ceea ce s-a demonstrat în 1882 de către [[Ferdinand von Lindemann]].

S-a spus despre cartea lui [[William Jones (matematician)|William Jones]] ''O nouă introducere în matematică'' din 1706 că este prima în care s-a folosit litera grecească {{mvar|π}} pentru această constantă, dar notația a devenit deosebit de populară după ce a adoptat-o [[Leonhard Euler]] în 1737.<ref>{{citat web|url=http://www.famouswelsh.com/cgibin/getmoreinf.cgi?pers_id=737|title=About: William Jones|work=Famous Welsh|accessdate=27 octombrie 2007|archive-date=2008-05-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20080521143544/http://www.famouswelsh.com/cgibin/getmoreinf.cgi?pers_id=737|dead-url=yes}}</ref> El a scris:
<blockquote>Există numeroase alte feluri de a găsi lungimile sau ariile unor anumite linii curbe sau drepte, care ar putea facilita practica foarte mult; ca de exemplu, la cerc, diametrul este față de circumferință ca 1 față de (16/5&nbsp;−&nbsp;4/239)&nbsp;−&nbsp;1/3(16/5<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;4/239<sup>3</sup>)&nbsp;+&nbsp;...&nbsp;=&nbsp;3.14159...&nbsp;=&nbsp;{{mvar|π}}<ref name="adm"/></blockquote>

=== Calculul în era calculatoarelor ===
Apariția calculatoarelor numerice în secolul al XX-lea au dus la o creștere a recordurilor de calcul al lui {{mvar|π}}. [[John von Neumann]] et al. au folosit [[ENIAC]] pentru a calcula 2037 de cifre ale lui {{mvar|π}} în 1949, un calcul care a durat 70 de ore.<ref>"An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11–15. (ianuarie 1950)</ref><ref>"Statistical Treatment of
Values of First 2,000 Decimal Digits of e and of pi Calculated on the ENIAC",
Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (30), pp. 109–111. (aprilie 1950)</ref> Alte mii de zecimale s-au obținut în următoarele decenii și milionul de cifre a fost depășit în 1973. Progresele nu s-au datorat doar hardware-ului mai rapid, ci și apariției unor noi algoritmi. Una dintre cele mai semnificative realizări a fost descoperirea [[Transformata Fourier rapidă|transformatei Fourier rapide]] (FFT) în anii 1960, algoritm ce permite calculatoarelor să efectueze rapid operații aritmetice pe numere extrem de mari.

La începutul secolului al XX-lea, matematicianul indian [[Srinivasa Ramanujan]] a descoperit multe noi formule pentru {{mvar|π}}, unele remarcabile pentru eleganța și profunzimea lor matematică.<ref name="rad">{{citat web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piramanujan.html|title=The constant {{mvar|π}}: Ramanujan type formulas|accessdate=4 noiembrie 2007}}</ref> Una dintre formulele sale este seria

:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}\!</math>

și cea similară găsită de [[frații Ciudnovski]] în 1987,

:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!</math>

care dau 14 cifre zecimale cu fiecare termen.<ref name="rad"/> Frații Ciudnovski au folosit această formulă pentru a stabili câteva recorduri de calcul al lui {{mvar|π}} spre sfârșitul anilor 1980, inclusiv primul calcul cu peste un miliard (mai precis, {{formatnum:1011196691}}) de cifre zecimale în 1989. Ea rămâne formula preferată pentru software-ul de calcul al lui {{mvar|π}} ce rulează pe calculatoarele personale, diferită de cele folosite de [[supercalculator|supercalculatoarele]] care au stabilit recorduri moderne.

În timp ce seriile de regulă măresc acuratețea cu o cantitate fixă pentru fiecare termen adunat, există algoritmi iterativi care ''multiplică'' numărul de zecimale exacte la fiecare pas, având dezavantajul că fiecare pas implică, de obicei, calcule costisitoare. O mare realizare în acest sens a venit în 1975, când {{Ill-wd|Q728574|3=Richard Brent}} și {{Ill-wd|Q5407718|3=Eugene Salamin}} au descoperit independent [[Algoritmul Gauss–Legendre|algoritmul Brent–Salamin]], algoritm pur aritmetic care dublează numărul de zecimale exacte la fiecare pas.<ref name="brent">{{Cite news|
last=Brent|
first=Richard|
author-link=Richard Brent (scientist)|
year=1975|
title=Multiple-precision zero-finding methods and the complexity of elementary function evaluation|
periodical=Analytic Computational Complexity|
publication-place=New York|
publisher=Academic Press|
editor-last=Traub|
editor-first=J F|
pages=151–176|
url=http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html|
accessdate=8 septembrie 2007|
postscript=.|
archive-date=2008-07-23|
archive-url=https://web.archive.org/web/20080723170157/http://wwwmaths.anu.edu.au/~brent/pub/pub028.html|
dead-url=yes}}</ref> Algoritmul constă în inițializarea

:<math>a_0 = 1 \quad \quad \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad \quad \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad \quad \quad p_0 = 1\!</math>

și apoi în iterații

:<math>a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}\!</math>
:<math>t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n\!</math>

efectuate până când ''a<sub>n</sub>'' și ''b<sub>n</sub>'' sunt suficient de apropiate. Atunci, estimarea lui {{mvar|π}} este dată de

:<math>\pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}.\!</math>

Folosind această schemă, 25 de iterații ajung pentru a atinge 45 de milioane de zecimale exacte. Un algoritm similar face acuratețea de 4 ori mai mare la fiecare pas și a fost descoperit de {{Ill-wd|Q381329|3=Jonathan}} și {{Ill-wd|Q711263|3=Peter Borwein}}.<ref>{{citat carte|
last=Borwein| first=Jonathan M| authorlink=Jonathan Borwein|
autor2=Borwein, Peter|autor3= Berggren, Lennart|
year=2004|
title=Pi: A Source Book|
publisher=Springer|
isbn=0387205713}}</ref> Metodele au fost utilizate de {{Ill-wd|Q722634|3=Yasumasa Kanada}} și echipa sa pentru a stabili majoritatea recordurilor de calcul al lui {{mvar|π}} din 1980, până la calculul cu {{formatnum:206158430000}} de zecimale exacte în 1999. Recordul actual este de {{formatnum:2576980370000}} de zecimale și a fost stabilit de Daisuke Takahashi pe sistemul T2K-Tsukuba, un supercalculator de la Universitatea Tsukuba, de la nord-est de Tokyo.<ref>{{Citat web |url=http://news.cnet.com/8301-17938_105-10313808-1.html |accessdate=2009-12-07 |titlu=Pi-obsessed Japanese reach 2.5 trillion digits {{!}} Crave - CNET<!-- Titlu generat de un robot --> |archive-date=2012-02-03 |archive-url=https://web.archive.org/web/20120203012653/http://news.cnet.com/8301-17938_105-10313808-1.html |dead-url=yes }}</ref>

O importantă descoperire recentă este [[formula Bailey–Borwein–Plouffe]] (formula BBP), descoperită de {{Ill-wd|Q983306|3=Simon Plouffe}} și care își trage numele de la autorii lucrării în care a fost publicată, {{Ill-wd|Q64358224|3=David H. Bailey}}, {{Ill-wd|Q711263|3=Peter Borwein}} și {{Ill-wd|Q983306|3=Simon Plouffe}}.<ref name="bbpf">{{cite journal|
author={{Ill-wd|Q64358224|3=Bailey, David H.}}; {{Ill-wd|Q711263|3=Borwein, Peter B.}}; and {{Ill-wd|Q983306|3=Plouffe, Simon}}|
year=1997|
month=aprilie|
title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|
journal=Mathematics of Computation|
volume=66|
issue=218|
pages=903–913|
url=http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|
format=PDF|
doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|
access-date=2009-12-07|
archive-date=2011-06-10|
archive-url=https://web.archive.org/web/20110610051436/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|
dead-url=yes}}</ref> Formula,

:<math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6}\right),</math>

permite extragerea oricărei cifre hexazecimale sau binare a lui {{mvar|π}} fără a le calcula pe cele dinaintea ei.<ref name="bbpf"/> Între 1998 și 2000, proiectul de [[calcul distribuit]] {{Ill-wd|Q3382155|3=PiHex}} a utilizat o variantă a formulei BBP dezvoltată de {{Ill-wd|Q93013|3=Fabrice Bellard}} pentru a calcula bitul numărul {{formatnum:1000000000000000}} al lui {{mvar|π}}, care a fost 0.<ref>{{citat web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=27 octombrie 2007|archiveurl=https://web.archive.org/web/20070309193622/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|archivedate=2007-03-09|dead-url=yes}}</ref>

Dacă s-ar găsi o formulă de forma

:<math>\pi = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{ck}} \frac{p(k)}{q(k)},</math>

cu ''b'' și ''c'' numere întregi pozitive și cu ''p'' și ''q'' [[polinom|polinoame]] de [[gradul unui polinom|grad]] fix cu coeficienți întregi (cum este cazul cu formula BPP de mai sus), ea ar deveni unul dintre cele mai eficiente mijloace de calcul a oricărei cifre a lui {{mvar|π}} din orice poziție în baza ''b''<sup>''c''</sup> fără a calcula toate cifrele anterioare în acea bază, într-un timp care depinde doar de dimensiunea numărului întreg ''k'' și de gradul fix al polinoamelor. Plouffe a descris astfel de formule ca fiind cele de interes pentru calculul numerelor de clasa '''SC*''', cu complexitate spațială logaritmic-polinomială și cu complexitate temporală aproape liniară, depinzând doar de ordinul de mărime al numărului ''k'', necesitând resurse de calcul modeste. Formula anterioară (găsită de {{Ill-wd|Q983306|3=Plouffe}} pentru {{mvar|π}} cu ''b''=2 și ''c''=4, dar găsită nu doar pentru {{mvar|π}}, ci și pentru log(9/10) și pentru câteva alte constante iraționale), sugerează că {{mvar|π}} este un număr '''SC*'''.

=== Pi și fracțiile continue ===
Șirul de numitori parțiali ai fracției continue simple a lui {{mvar|π}} nu prezintă niciun șablon evident:<ref name="ReferenceA"/> 
:<math>
\pi=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots]
</math>
::sau
:<math>
{\pi=3+{}}\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{3+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}}}}}}}
</math>

Există, însă, fracții continue generalizate pentru {{mvar|π}} cu o structură perfect regulată, cum ar fi:

:<math>
\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\cfrac{9^2}{2+\ddots}}}}}}=
3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}=
\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}
</math>

=== Memorarea cifrelor ===
[[Fișier:PiDigits.svg|right|thumb|300px|right|În ultimele decenii a crescut mult recordul numărului de cifre memorate.]]

Chiar cu mult timp înainte ca valoarea lui {{mvar|π}} să fie evaluată de calculatoarele electronice, memorarea unui număr ''record'' de cifre a devenit o obsesie a unor oameni.
În 2006, {{Ill-wd|Q588572|3=Akira Haraguchi}}, un inginer japonez pensionar, s-a lăudat cu reținerea a {{formatnum:100000}} de zecimale exacte.<ref name="japantimes">{{cite news|first=Tomoko|last=Otake|url=http://search.japantimes.co.jp/print/fl20061217x1.html|title=How can anyone remember 100,000 numbers?|work={{Ill-wd|Q1190886|3=The Japan Times}}|date=17 decembrie 2006|accessdate=27 octombrie 2007|archiveurl=https://archive.today/20120714174124/http://www.japantimes.co.jp/text/fl20061217x1.html%23.UAGvMqgo9Rw|archivedate=2012-07-14|dead-url=no}}</ref> Aceasta nu a fost însă verificată de [[Guinness World Records]]. Recordul înregistrat de Guinness la memorarea cifrelor lui {{mvar|π}} este de {{formatnum:67890}} de cifre, deținut de {{Ill-wd|Q102549360|3=Lu Chao}}, un student de 24 de ani din [[China]].<ref>{{citat web|url=http://www.pi-world-ranking-list.com/news/index.htm|title=Pi World Ranking List|accessdate=27 octombrie 2007}}</ref> I-au luat 24 de ore și 4 minute să recite fără greșeală până la a {{formatnum:67890}}-a cifră zecimală a lui {{mvar|π}}.<ref>{{cite news|url=http://www.newsgd.com/culture/peopleandlife/200611280032.htm|title=Chinese student breaks Guiness record by reciting 67,890 digits of pi|work=News Guangdong|date=28 noiembrie 2006|accessdate=27 octombrie 2007}}</ref>

Există mai multe moduri de memorare a lui {{mvar|π}}, printre care și utilizarea de „pieme”, poezii care reprezintă numărul {{mvar|π}} astfel încât lungimea fiecărui cuvânt (în litere) reprezintă o cifră. Un astfel de exemplu de piemă, compus de {{Ill-wd|Q315545|3=Sir James Jeans}}: ''How I need'' (sau: ''want'') ''a drink, alcoholic in nature'' (sau: ''of course'')'', after the heavy lectures'' (sau: ''chapters'') ''involving quantum mechanics.''<ref>[[Eric W. Weisstein|Weisstein, Eric W.]] [http://mathworld.wolfram.com/PiWordplay.html "Pi Wordplay."] From MathWorld--A Wolfram Web Resource. Accesată la data de: 12 martie 2009</ref><ref>{{citat web|first=Jonathan M|last=Borwein|authorlink=Jonathan Borwein|url=http://users.cs.dal.ca/~jborwein/pi-culture.pdf|format=PDF|title=The Life of Pi: From Archimedes to Eniac and Beyond|publisher={{Ill-wd|Q579321|3=Dalhousie University}} Computer Science|date=25 octombrie 2005|accessdate=29 octombrie 2007|archive-date=2009-03-26|archive-url=https://web.archive.org/web/20090326215027/http://users.cs.dal.ca/~jborwein/pi-culture.pdf|dead-url=yes}}</ref> Primul cuvânt are 3 litere, al doilea are una, al treilea are 4, al patrulea 1, al cincilea 5, și așa mai departe.<ref>[http://www.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm Can I have a small container of coffee?] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20091205154223/http://www.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm |date=2009-12-05 }}, revista „''Zimaths''”, Universitatea din [[Zimbabwe]]. Accesată la data de: 14 decembrie 2009.</ref> Echivalent, în limba română există fraza: „Așa e bine a scrie renumitul și utilul număr”. O altă variantă, mai exactă (o zecimală în plus) este: „Dar e bine a căuta lucrurile de foarte multe ori”, iar o altă variantă, tot în limba română, este: „''Dar, e bine a vedea lucrurile de foarte multe ori''” (3,141592653). ''{{Ill-wd|Q5016233|3=Cadaeic Cadenza}}'' conține în acest fel primele 3834 de cifre ale lui {{mvar|π}}.<ref>{{citat web|first=Mike|last=Keith|authorlink=Mike Keith (mathematician)|url=http://www.cadaeic.net/comments.htm|title=Cadaeic Cadenza Notes & Commentary|accessdate=29 iulie 2009}}</ref> Piemele fac parte din întregul domeniu de studiu al [[Mnemotehnică|mnemotehnicilor]] pentru reținerea cifrelor lui {{mvar|π}}.

== Proprietăți avansate ==
=== Aproximări numerice ===
Din cauza naturii [[număr transcendent|transcendente]] a lui {{mvar|π}}, nu există expresii cu formă închisă pentru acest număr în termeni de numere și funcții algebrice.<ref name="ttop"/> Printre formulele de calcul al lui {{mvar|π}} cu ajutorul aritmeticii elementare se numără [[Serie (matematică)|seriile]] care dau un șir infinit de aproximări ale lui {{mvar|π}}.<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html|title=Pi Formulas|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|publisher=[[MathWorld]]|date=27 septembrie 2007|accessdate=10 noiembrie 2007}}</ref> Cu cât se includ mai mulți termeni într-un calcul, cu atât mai aproape de {{mvar|π}} va fi rezultatul.

De aceea, calculele numerice trebuie să folosească [[aproximare|aproximări]] ale lui {{mvar|π}}. Pentru multe scopuri, 3,14 sau <sup>22</sup>/<sub>7</sub> este o aproximare suficientă, deși inginerii folosesc adesea 3,1416 (4 zecimale exacte) sau 3,14159 (5 zecimale exacte) pentru mai multă precizie. Aproximările <sup>22</sup>/<sub>7</sub> și <sup>355</sup>/<sub>113</sub>, cu 2, respectiv 6 zecimale exacte, se obțin din dezvoltarea în fracții continue simple a lui {{mvar|π}}. Aproximarea {{Ill-wd|Q3858176|3=<sup>355</sup>⁄<sub>113</sub>}} (3.1415929…) este cea mai bună aproximare ce poate fi exprimată cu un [[numărător]] și un [[numitor]] de 3 sau 4 cifre; următoarea aproximare acceptabilă este <sup>103993</sup>/<sub>33102</sub> (3.14159265301...) și necesită numere mult mai mari, din cauza structurii dezvoltării în fracție continuă.<ref name=gourdon>{{citat web|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html|title=Collection of approximations for {{mvar|π}}|publisher=Numbers, constants and computation|first=Xavier|last=Gourdon|autor2=Pascal Sebah|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>

Prima aproximare numerică a lui {{mvar|π}} este aproape sigur valoarea 3.<ref name="ahop"/> În cazuri în care nu se cere precizie mare, ar putea fi chiar acceptabilă. Faptul că 3 este o rotunjire prin lipsă rezultă din faptul că este raportul dintre [[perimetru]]l unui [[hexagon]] regulat înscris și diametrul [[cerc circumscris|cercului circumscris]] lui.

=== Întrebări deschise ===
Cea mai presantă întrebare deschisă despre {{mvar|π}} este dacă este [[număr normal]]&nbsp;— adică dacă orice bloc de cifre apare în {{mvar|π}} la fel de des ca în cazul unui număr generat „aleator”, și dacă aceasta este adevărată în ''orice'' bază întreagă de numerație, nu doar în baza 10.<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/NormalNumber.html|title=Normal Number|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|publisher=[[MathWorld]]|date=22 decembrie 2005|accessdate=10 noiembrie 2007}}</ref> Actualmente nu se știe foarte mult; nu se cunoaște nici care dintre cifrele 0,…,9 apar infinit de des în expresia zecimală a lui {{mvar|π}}.<ref>{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 iulie 2001|accessdate=10 noiembrie 2007|archive-date=2007-10-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20071020010208/http://lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|dead-url=yes}}</ref>

Bailey și {{Ill-wd|Q92693|3=Crandall}} au demonstrat în 2000 că, din existența formulei Bailey–Borwein–Plouffe menționată mai sus și a altora similare, rezultă că normalitatea în baza 2 a lui {{mvar|π}} și a altor constante se poate reduce la o [[conjectură]] plauzibilă din [[teoria haosului]].<ref>{{cite news|url=http://www.sciencenews.org/articles/20010901/bob9.asp|title=Pi à la Mode: Mathematicians tackle the seeming randomness of pi's digits|first=Ivars|last=Peterson|authorlink=Ivars Peterson|work=Science News Online|date=1 septembrie 2001|accessdate=10 noiembrie 2007}}</ref>

Nu se cunoaște nici dacă {{mvar|π}} și [[E (constantă matematică)|''e'']] sunt [[Independență algebrică|independente algebric]], deși [[Iuri Valentinovici Nesterenko|Iuri Nesterenko]] a demonstrat independența algebrică a numerelor {{{mvar|π}}, [[Constanta lui Gelfond|''e''<sup>{{mvar|π}}</sup>]], [[Funcția gamma|Γ]](1/4)} în 1996.<ref>{{cite journal|author=Nesterenko, Iuri V|authorlink=Iuri Valentinovici Nesterenko|title=Funcții modulare și probleme de transcendență|journal=[[Comptes rendus de l'Académie des Sciences|Comptes rendus de l'Académie des sciences]] Série 1|volume=322|pages=909–914|year=1996|issue=10}}</ref>

== Utilizare în matematică și științe ==
{{mvar|π}} este omniprezent în matematică, apărând chiar și în locuri fără o legătură evidentă cu cercurile din geometria euclidiană.<ref>{{citat web|url=http://news.bbc.co.uk/1/hi/world/asia-pacific/4644103.stm|title=Japanese breaks pi memory record|work=[[BBC News]]|date=2 iulie 2005|accessdate=30 octombrie 2010}}</ref>

=== Geometrie și trigonometrie ===
Pentru orice cerc de rază ''r'' și diametru ''d'' = 2''r'', circumferința este {{mvar|π}}''d'' și aria este {{mvar|π}}''r''<sup>2</sup>. Mai mult, {{mvar|π}} apare în formulele pentru arie și volum al multor forme geometrice bazate pe cerc, cum ar fi [[elipsă|elipsa]], [[sferă|sfera]], [[Con (geometrie)|conul]] și [[tor]]ul.<ref name="psu1">{{citat web|url=http://www.math.psu.edu/courses/maserick/circle/circleapplet.html|title=Area and Circumference of a Circle by Archimedes|publisher={{Ill-wd|Q739627|3=Penn State}}|accessdate=8 noiembrie 2007|archive-date=2007-11-24|archive-url=https://web.archive.org/web/20071124005729/http://www.math.psu.edu/courses/maserick/circle/circleapplet.html|dead-url=yes}}</ref> Astfel, {{mvar|π}} apare în [[Integrală|integralele definite]] care descriu circumferința, aria sau volumul unor forme generate de cercuri. În acest caz simplu, jumătate din aria [[Cercul unitate|discului unitate]] este dată de:<ref name="udi">{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/UnitDiskIntegral.html|title=Unit Disk Integral|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=28 ianuarie 2006|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>
:<math>\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}</math>
și
:<math>\int_{-1}^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \pi</math>
dă jumătate din circumferința [[Cercul unitate|cercului unitate]].<ref name="psu1"/> Forme mai complicate pot fi integrate ca [[Corp de rotație|corpuri de rotație]].<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/SolidofRevolution.html|title=Solid of Revolution|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=4 mai 2006|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>

De la definiția pe cercul unitate a [[Funcție trigonometrică|funcțiilor trigonometrice]] rezultă și că sinusul și cosinusul au perioada 2{{mvar|π}}. Astfel, pentru orice ''x'' real și orice număr întreg ''n'', sin(''x'') = sin(''x'' + 2{{mvar|π}}''n'') și cos(''x'') = cos(''x'' + 2{{mvar|π}}''n''). Deoarece sin(0) = 0, sin(2{{mvar|π}}''n'') = 0 oricare ar fi un număr întreg ''n''. De asemenea, măsura unui unghi de 180° este egală cu {{mvar|π}} radiani. Cu alte cuvinte, 1° = ({{mvar|π}}/180) radiani.

În matematica modernă, {{mvar|π}} este adesea ''definit'' cu ajutorul funcțiilor trigonometrice, de exemplu ca cel mai mic număr pozitiv ''x'' pentru care cos ''x'' = 0, pentru a evita dependența nenecesară de subtilitățile geometriei euclidiene și ale integrării. Echivalent, {{mvar|π}} poate fi definit cu ajutorul funcțiilor trigonometrice inverse, de exemplu care {{mvar|π}} = 2 arccos(0) sau {{mvar|π}} = 4 arctan(1). 
Dezvoltarea funcțiilor trigonometrice inverse în [[Serie de puteri|serii de puteri]] este cea mai ușoară modalitate de a calcula șiruri infinite pentru {{mvar|π}}.

=== Numere complexe și analiza matematică ===
[[Fișier:Euler's formula.svg|thumb|250px|[[Formula lui Euler]] în planul complex. Creșterea unghiului ''φ'' la ''{{mvar|π}}'' radiani (180°) dă identitatea lui Euler.]]

Un [[număr complex]] <math>z</math> poate fi exprimat în [[Sistemul de coordonate polare|coordonate polare]] după cum urmează:

:<math>z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)</math>

Apariția frecventă a lui {{mvar|π}} în [[Analiză complexă|analiza complexă]] poate fi legată de comportamentul [[Funcție exponențială|funcției exponențiale]] de variabilă complexă, descrisă de [[formula lui Euler]]

:<math>e^{i\varphi} = \cos \varphi + i\sin \varphi \!</math>

unde ''i'' este [[unitatea imaginară]] ce satisface relația ''i''<sup>2</sup> = −1 și ''e'' ≈ 2.71828 este [[E (constantă matematică)|numărul lui Euler]]. Din această formulă rezultă că puterile imaginare ale lui ''e'' descriu [[rotație (matematică)|rotații]] pe [[cercul unitate]] în planul complex; aceste rotații au o perioadă de 360° = 2{{mvar|π}}. În particular, rotația cu 180° ''φ'' = {{mvar|π}} are ca rezultat remarcabila [[Identitatea lui Euler|identitate a lui Euler]]

:<math>e^{i \pi} = -1.\!</math>

<div class="thumb tright">
<div class="thumbinner" style="width:252px;">
<math>e^{i \pi} + 1 = 0.\!</math>
<div class="thumbcaption">[[Identitatea lui Euler]] este celebră pentru că leagă câteva constante și [[operator (matematică)|operatori matematici]] de bază.</div></div></div>

Există ''n'' rădăcini diferite de ordin ''n'' ale unității
:<math>e^{2 \pi i k/n} \qquad (k = 0, 1, 2, \dots, n - 1).</math>

[[Integrala gaussiană]]

:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}.</math>

O consecință este că [[funcția gamma]] a semiîntregilor este un [[multiplu]] rațional de √{{mvar|π}}.

=== Fizică ===
Deși nu este o [[constantă fizică]], {{mvar|π}} apare frecvent în ecuații ce descriu principii fundamentale ale Universului, datorită relației sale cu natura cercului și, prin aceasta, de [[sistemul de coordonate polare]]. Utilizarea unor construcții cum ar fi [[unitățile Planck]] pot uneori să-l elimine pe {{mvar|π}} din formule.

* [[Constanta cosmologică]]:<ref>{{citat web|first=Cole|last=Miller|url=http://www.astro.umd.edu/~miller/teaching/astr422/lecture12.pdf|format=PDF|title=The Cosmological Constant|publisher=[[Universitatea Maryland, College Park|Universitatea Maryland]]|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>
::<math>\Lambda = {{8\pi G} \over {3c^2}} \rho</math>
* [[Principiul de incertitudine|Principiul de incertitudine al lui Heisenberg]], care arată că incertitudinea măsurării poziției unei particule (Δ''x'') și a [[impuls]]ului (Δ''p'') nu pot fi ambele oricât de mici în același timp:<ref>{{citat web|first=James M|last=Imamura|url=http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|title=Heisenberg Uncertainty Principle|publisher=[[Universitatea Oregon]]|date=17 august 2005|accessdate=9 noiembrie 2007|archive-date=2007-10-12|archive-url=https://web.archive.org/web/20071012060715/http://zebu.uoregon.edu/~imamura/208/jan27/hup.html|dead-url=yes}}</ref>
::<math> \Delta x\, \Delta p \ge \frac{h}{4\pi} </math>
* [[Ecuațiile lui Einstein]] din [[teoria relativității generale]]:<ref name = ein>{{cite journal| last = Einstein| first = Albert| authorlink = Albert Einstein | title = The Foundation of the General Theory of Relativity| journal = [[Annalen der Physik]] |year=1916| url = http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html| format = PDF | id = | accessdate = 2007-11-09 }}</ref>
::<math> R_{ik} - {g_{ik} R \over 2} + \Lambda g_{ik} = {8 \pi G \over c^4} T_{ik} </math>
* [[Legea lui Coulomb]] pentru [[Câmp electric|forța electrică]], descriind forțele ce acționează între două [[Sarcină electrică|sarcini electrice]] (''q<sub>1</sub>'' și ''q<sub>2</sub>'') aflate la o distanță relativă ''r'':<ref>
{{citat web|first=C. Rod|last=Nave|url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/electric/elefor.html#c3|title=Coulomb's Constant|work={{Ill-wd|Q619084|3=HyperPhysics}}|publisher=[[Universitatea de Stat Georgia]]|date=28 iunie 2005|accessdate=9 noiembrie 2007}}</ref>
::<math> F = \frac{\left|q_1q_2\right|}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}</math>
* [[Constanta magnetică|permeabilitatea magnetică a vidului]]:<ref>{{citat web |url=http://physics.nist.gov/cgi-bin/cuu/Value?mu0 |title=Magnetic constant |accessdate=9 noiembrie 2007 |date=2006 |publisher=[[National Institute of Standards and Technology|NIST]]: Valori recomandate de [[CODATA]] }}</ref>
::<math> \mu_0 = 4 \pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}\,</math>
* [[Legile lui Kepler|Constanta legii a treia a lui Kepler]], ce leagă [[perioada orbitală]] (''P'') și [[axa semimajoră]] (''a'') de [[masă|masele]] (''M'' și ''m'') a două corpuri pe orbită unul în jurul altuia:
::<math>\frac{P^2}{a^3}={(2\pi)^2 \over G (M+m)} </math>

=== Statistică și probabilități ===
În [[statistică]] și [[probabilități]], există mai multe [[Distribuție de probabilitate|distribuții]] ale căror formule conțin {{mvar|π}}, printre care:
* [[Funcție de densitate de probabilitate|funcția de densitate de probabilitate]] pentru [[distribuția normală]] cu media μ și [[deviație standard|deviația standard]] σ, datorită [[Integrala gaussiană|integralei gaussiene]]:<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/GaussianIntegral.html|title=Gaussian Integral|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=7 octombrie 2004|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>

:<math>f(x) = {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-(x-\mu )^2/(2\sigma^2)}</math>
* funcția de densitate de probabilitate pentru [[Legea de distribuție Cauchy|distribuția Cauchy]]  (standard):<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyDistribution.html|title=Cauchy Distribution|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=11 octombrie 2005|accessdate=8 noiembrie 2007}}</ref>

:<math>f(x) = \frac{1}{\pi (1 + x^2)}.</math>

Întrucât <math>\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1</math> pentru orice funcție de densitate de probabilitate ''f''(''x''), formulele de mai sus se pot utiliza pentru a produce alte formule integrale pentru {{mvar|π}}.<ref>{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html|title=Probability Function|publisher=[[MathWorld]]|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|date=2 iulie 2003|accessdate=8 noiembrie 2007|archive-date=2011-08-15|archive-url=https://web.archive.org/web/20110815205500/http://mathworld.wolfram.com/ProbabilityFunction.html|dead-url=yes}}</ref>

[[Acul lui Buffon]] este o problemă adesea folosită pentru aproximarea empirică a lui {{mvar|π}}. Dacă se aruncă un ac de lungime ''L'' în mod repetat pe o suprafață cu linii paralele aflate la ''S'' unități de lungime distanță (cu ''S''&nbsp;>&nbsp;''L''). Dacă acul este aruncat de ''n'' ori și de ''x'' ori dintre acestea el intersectează o linie dreaptă (''x''&nbsp;>&nbsp;0), atunci se poate aproxima {{mvar|π}} cu ajutorul [[Metoda Monte Carlo|metodei Monte Carlo]]:<ref name="bn">{{citat web|url=http://mathworld.wolfram.com/BuffonsNeedleProblem.html|title=Buffon's Needle Problem|first=Eric W|last=Weisstein|authorlink=Eric W. Weisstein|publisher=[[MathWorld]]|date=12 decembrie 2005|accessdate=10 noiembrie 2007}}</ref><ref>{{citat web|first=Alex|last=Bogomolny|url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/August2001.shtml|title=Math Surprises: An Example|work={{Ill-wd|Q56811887|3=Cut-the-knot}}|date=august 2001|accessdate=28 octombrie 2007}}</ref><ref>{{cite journal|last = Ramaley|first = J. F.|title = Buffon's Noodle Problem|journal = The American Mathematical Monthly|volume = 76|issue = 8|month=October | year=1969|pages = 916–918|doi = 10.2307/2317945}}</ref><ref>{{citat web|url=http://www.datastructures.info/the-monte-carlo-algorithmmethod/|title=The Monte Carlo algorithm/method|work=datastructures|date=9 ianuarie 2007|accessdate=7 noiembrie 2007|archive-date=2007-10-11|archive-url=https://web.archive.org/web/20071011211651/http://datastructures.info/the-monte-carlo-algorithmmethod/|dead-url=yes}}</ref>
:<math>\pi \approx \frac{2nL}{xS}.</math>
Deși acest rezultat este impecabil din punct de vedere matematic, el nu poate fi folosit pentru a determina mai mult de câteva cifre ale lui {{mvar|π}} ''prin experiment''. Obținerea a doar trei cifre (inclusiv "3"-ul care este partea întreagă) corecte cu siguranță necesită milioane milioane de aruncări,<ref name="bn"/> și numărul de aruncări crește [[Creștere exponențială|exponențial]] cu numărul de cifre dorit. Mai mult, orice greșeală de măsurare a lungimilor ''L'' și ''S'' se va transforma direct într-o eroare de aproximare a lui {{mvar|π}}. De exemplu, o diferență de un singur [[atom]] în lungimea unui ac de 10 centimetri va apărea la a 9-a cifră a rezultatului. În practică, incertitudinea de a determina dacă acul intersectează sau nu o linie când el pare să o atingă exact va limita acuratețea rezultatului la mai puțin de 9 cifre.

== Notarea lui 2{{mvar|π}} cu τ ==
O alternativă la {{mvar|π}} este notația τ, pentru raportul între circumferința cercului și raza sa (în loc de diametru), echivalent cu 2{{mvar|π}}.<ref>{{cite web |title = Pi is Wrong! |trans_title=Pi e greșit! |url = http://www.math.utah.edu/~palais/pi.html |last = Palais |first = Robert |accessdate = 15 martie 2011}}</ref>  Această constantă reprezintă numărul de radiani al unui cerc, astfel că [[Unghi la centru|unghiul la centru]]  care determină un [[sector de cerc]] este raportul între lungimea sectorului respectiv și cerc înmulțit cu τ radiani. Susținătorii lui tau afirmă că această relație directă simplifică studiul unghiurilor exprimate în radiani față de cazul în care s-ar utiliza {{mvar|π}}, unde fracția trebuie înmulțită și cu 2.<ref>{{cite web |url = http://tauday.com/ |title = The Tau Manifesto |author = Michael Hartl |accessdate = 9 iulie 2011|trans_title=Manifestul Tau}}</ref> Deși în mod convențional ca produsul "2{{mvar|π}}", τ apare în multe formule des folosite.<ref>{{cite journal |last = Palais |first = Robert |year = 2001 |title = {{mvar|π}} Is Wrong! |journal = {{Ill-wd|Q2396083|3=The Mathematical Intelligencer}} |volume = 23 |issue = 3 |pages = 7–8 |url = http://www.math.utah.edu/%7Epalais/pi.pdf |accessdate = 2011-07-03 |doi = 10.1007/BF03026846|trans_title=Pi e greșit!}}</ref><ref>{{cite web |first = Peter |last = Harremoes |accessdate = 9 iulie 2011 |title = Al-Kashi's constant τ |url = http://www.harremoes.dk/Peter/Undervis/Turnpage/Turnpage1.html |trans_title = Constanta lui Al-Kashi τ |archive-date = 2011-12-24 |archive-url = https://web.archive.org/web/20111224184955/http://www.harremoes.dk/Peter/Undervis/Turnpage/Turnpage1.html |dead-url = yes }}</ref>
[[Fișier:Pi plate.jpg|right|thumb|220px|O farfurie cu {{mvar|π}}.<br />Joc de cuvinte: ''{{mvar|π}}'' se pronunță în {{en|''pai''}}, asemenea cu ''pie'', care înseamnă ''turtă, pateu, plăcintă''.]]

== [[Ziua pi]] ==
Fascinația pentru numărul Pi a intrat și în cultura populară. Poate din cauza simplității definiției sale, conceptul de pi și, mai ales, expresia sa zecimală au pătruns în cultura populară într-un grad mult mai mare decât aproape orice altă construcție matematică.<ref>Vezi, de exemplu, Lennart Berggren, Jonathan M. Borwein și Peter B. Borwein (eds.), ''Pi: A Source Book''. Springer, 1999 (2nd ed.). ISBN 978-0-387-98946-4.</ref> Este, probabil, cel mai semnificativ element pe care îl au în comun matematicienii și non-matematicienii.<ref>Vezi Alfred S. Posamentier și Ingmar Lehmann, ''Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number''. Prometheus Books, 2004. ISBN 978-1-59102-200-8.</ref> Relatările în presă despre noile calcule precise ale lui {{mvar|π}} (și alte tentative similare) sunt frecvente.<ref>''E.g.'', MSNBC, [http://www.msnbc.msn.com/id/8456677/ Man recites pi from memory to 83,431 places] 3 iulie 2005; Matt Schudel, Obituaries: "John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi" ''The Washington Post'', 25 martie 2009, p. B5.</ref>.

La 7 noiembrie 2005, [[Kate Bush]] a lansat albumul, "Aerial" care conține cântecul "{{mvar|π}}" ale cărui versuri constau din cifrele lui {{mvar|π}}, începând cu „3,14”<ref>[http://news.bbc.co.uk/1/hi/magazine/7296224.stm BBC News - 3.14 and the rest<!-- Titlu generat de un robot -->]</ref>

În 1988, ziua de [[14 martie]] a fost declarată de către [[Camera Reprezentanților a Statelor Unite ale Americii|Camera Reprezentanților din Statele Unite]] drept "Ziua numărului Pi" ("The Pi Day"), deoarece această dată din calendar se scrie "3/14". Ziua numărului Pi este celebrată în special în țările anglo-saxone, dar a început de curând să fie sărbătorită și în alte state.<ref> Bădescu, Florin: ''Ziua numărului Pi, celebrată pe plan mondial, pe 14 martie'', „Ziarul financiar”, 14 martie 2013 [http://www.zf.ro/eveniment/ziua-numarului-pi-celebrata-pe-plan-mondial-pe-14-martie-10668202/] Accesat: 14 martie 2016.</ref>

[[Ziua pi]] este sărbătorită în școli<ref>{{Citat web |url=http://www.piday.org/discussions/teachers-what-are-the-most-successful-pi-day-activities |accessdate=2009-12-08 |titlu=Pi Day activities |archive-date=2009-04-13 |archive-url=https://web.archive.org/web/20090413033429/http://www.piday.org/discussions/teachers-what-are-the-most-successful-pi-day-activities |dead-url=yes }}</ref> și universități. Mai multe scandări de la [[Massachusetts Institute of Technology|MIT]] includ „3,14159!”<ref>MIT, [http://web.mit.edu/cheer/2004-2005SpecificWebPages/GeneralInformation/cheers.html E to the U].</ref>

În noiembrie 2019, cea de-a 40-a Conferință Generală a [[Organizația Națiunilor Unite pentru Educație, Știință și Cultură|UNESCO]] a desemnat Ziua Pi drept „Zi Internațională a Matematicii”.<ref>{{Citation | url=https://www.unesco.org/en/days/mathematics| title=International Day of Mathematics| newspaper=Unesco.org| accessdate=2024-5-13}}</ref>

== Note ==
{{listănote|3}}

== Bibliografie ==
* {{cite book |last=Beckmann |first=Petr |authorlink=Petr Beckmann |title=A History of {{mvar|π}} |year=1976 |publisher=[[St. Martin's Press|St. Martin's Griffin]] |id=ISBN 0-312-38185-9}}
* {{Citation
 | last1=Câmpan
 | first1=Florica
 | author-link=Florica T. Câmpan
 | year=1965
 | title=Istoria numarului Pi
 | publisher=Editura Tineretului
 | place = București
 | oclc=634931920
}}
* {{Citation
 | last1=Câmpan
 | first1=Florica
 | author-link=Florica T. Câmpan
 | year=1977
 | title=Povestea numarului Pi
 | publisher=Editura Albatros
 | place = București
 | edition=a doua, revizuită și adăugită
 | oclc=3708207
}}
* Câmpan, Florica T. (1981), ''Povești despre numere măiestre,'' București: Albatros;
* {{citat revistă
 | titlu = 100 de personalități care au schimbat destinul lumii - Arhimede
 | număr = 8
 | editură = DeAgostini
 | url = http://www.scribd.com/doc/39624102/008-Arhimede
 | issn = 1791-0765
 | date =  27 noiembrie 2007
 }}
* {{cite book |author=Arndt, Jörg și Haenel, Christoph  |title={{MVAR|Π}} [Pi], Algorithmen, Computer, Arithmetik |year=2000|id=3-540-66258-8}}
* {{cite book |prenume=Jean-Paul| nume=Delahaye|author-link=Jean-Paul Delahaye |title=Le fascinant nombre {{mvar|π}} |ediție=Belin, Pour la Science
|year=2000|id=2-902918-25-9}}
* {{cite book |prenume=A.| nume=Jukov|title=Вездесущее число «пи» (Numărul omniprezent Pi) |editură=LKI
|year=2007|id=5-94057-030-5}}

== Legături externe ==
* [http://www.jurnalul.ro/jurnalul-national/4-000-de-ani-318400.htm {{mvar|π}} = 4.000 de ani]{{Legătură nefuncțională|date=octombrie 2022 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}, 17 ianuarie 2009, Anca Aldea, ''Jurnalul Național''

{{articol de calitate}}

{{Control de autoritate}}

[[Categorie:Analiză complexă]]
[[Categorie:Numere transcendente]]
[[Categorie:Serii matematice]]
[[Categorie:Pi| ]]
[[Categorie:Eponime ale asteroizilor]]