Vizualizare sursă pentru „Pavare uniformă”

În [[geometrie]] o '''pavare uniformă''' este o [[pavare]] a planului cu [[față (geometrie) |fețe]] [[poligon regulat |poligonale regulate]] cu restricția de a fi [[figură izogonală |tranzitivă pe vârfuri]].

Pavările uniforme pot exista atât în [[spațiu euclidian |planul euclidian]] cât și în [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]]. Pavările uniforme sunt legate de [[poliedru uniform |poliedrele uniforme]] finite care pot fi considerate pavări uniforme ale [[sferă |sferei]].

Cele mai multe pavări uniforme pot fi realizate prin [[construcția Wythoff]] începând cu un [[grup de simetrie]] și un punct generator singular în interiorul [[domeniu fundamental |domeniului fundamental]]. Un grup de simetrie plană are un domeniu fundamental [[poligon]]al și poate fi reprezentat prin numele grupului reprezentat de ordinea planelor de oglindire în [[vârf (geometrie) |vârfuri]] consecutive.

Un domeniu fundamental [[triunghi]]ular este (''p q r''), iar unul [[triunghi dreptunghic |triunghiular dreptunghic]] este (''p q'' 2), unde ''p'', ''q'' și ''r'' sunt numere întregi mai mari decât 1. Triunghiul poate exista ca un [[triunghi sferic]], un triunghi plan euclidian sau un triunghi plan hiperbolic, în funcție de valorile lui ''p'', ''q'' și ''r''.

Există o serie de scheme simbolice pentru denumirea acestor figuri, dintr-un [[simbol Schläfli]] modificat pentru domeniile în formă de triunghiuri dreptunghice: (''p q'' 2) → {''p'', ''q ''}. [[Diagramă Coxeter–Dynkin |Diagrama Coxeter–Dynkin]] este un graf triunghiular cu ''p'', ''q'', ''r'' etichetate pe [[latură (geometrie) |laturi]]. Dacă ''r''&nbsp;=&nbsp;2, graful este liniar deoarece nodurile de ordin 2 din domeniu nu generează reflexii. [[Simbol Wythoff |Simbolul Wythoff]] preia cele 3 numere întregi și le separă printr-o bară verticală (&nbsp;|&nbsp;). Dacă punctul generator este în afara planului de oglindire aflat vizavi de un nod al domeniului, acesta este notat înaintea barei.

Pavările  pot fi descrise și prin [[configurația vârfului |configurația vârfurilor]], succesiunea de poligoane din jurul fiecărui vârf.

Toate pavările uniforme pot fi construite prin diferite operații aplicate pavărilor regulate. Aceste operații, așa cum sunt denumite de [[Norman Johnson]], se numesc [[trunchiere (geometrie) |trunchiere]] (tăierea vârfurilor), [[rectificare (geometrie) |rectificare]] (tăierea vârfurilor până când muchiile dispar) și [[cantelare]] (tăierea laturilor). [[Omnitrunchiere]]a este o operație care combină trunchierea și cantelarea. Snubarea este o operație de [[alternare (geometrie) |trunchiere alternativă]] a formei omnitrunchiate. (Pentru mai multe detalii a se vedea [[Poliedru uniform#Operatorii_construcției_Wythoff]].)

== Grupuri Coxeter ==
[[Grup Coxeter |Grupurile Coxeter]] pentru plan definesc construcția Wythoff și pot fi reprezentate prin diagrama Coxeter–Dynkin:

Grupurile de ordin întreg sunt:
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ În planul euclidian
|-
![[Notația orbifold |Simetrie<br/>orbifold]]
!colspan=3|[[Grup Coxeter]]
![[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
!note
|-
! colspan=6 | Compacte
|- valign=top
| *333
| (3 3 3) 
| <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [3<sup>[3]</sup>] 
| {{CDD|node|split1|branch}}
| 3 forme de reflexie, 1 snub
|- valign=top
| *442
| (4 4 2) 
| <math>{\tilde{B}}_2</math>
| [4,4] 
| {{CDD|node|4|node|4|node}} 
| 5 forme de reflexie, 1 snub
|- valign=top
| *632
| (6 3 2) 
| <math>{\tilde{G}}_2</math>
| [6,3] 
| {{CDD|node|6|node|3|node}} 
| 7 forme de reflexie, 1 snub
|- valign=top
| *2222
| (&infin; 2 &infin; 2) 
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [&infin;,2,&infin;] 
| {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}} 
| 3 forme de reflexie, 1 snub
|-
! colspan=6 | Necompacte ([[grup de friză |frize]])
|-
| *&infin;&infin;
| (&infin;) 
| <math>{\tilde{I}}_1</math>
| [&infin;]
| {{CDD|node|infin|node}}
|
|-
| *22&infin;
| (2 2 &infin;) 
| <math>{\tilde{I}}_1</math> × <math>{\tilde{A}}_2</math>
| [&infin;,2]
| {{CDD|node|infin|node|2|node}}
| 2 forme de reflexie, 1 snub
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ În planul hiperbolic
|-
![[Notația orbifold |Simetrie<br/>orbifold]]
!colspan=2|[[Grup Coxeter]]
![[Diagramă Coxeter |Diagramă<br/>Coxeter]]
!note
|-
! colspan=5 | Compacte
|- valign=top
| *pq2
| (p q 2)
| [p,q] 
| {{CDD|node|p|node|q|node}}
| 2(p+q) < pq
|- valign=top
| *pqr
| (p q r) 
| [(p,q,r)]
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|r}}
| pq+pr+qr < pqr
|-
! colspan=5 | Paracompacte
|-
| *&infin;p2
| (p &infin; 2) 
| [p,&infin;]
| {{CDD|node|p|node|infin|node}}|| p>=3
|-
| *&infin;pq
| (p q &infin;) 
| [(p,q,&infin;)] 
| {{CDD|3|node|p|node|q|node|infin}}|| p,q>=3, p+q>6
|-
| *&infin;&infin;p
| (p &infin; &infin;) 
| [(p,&infin;,&infin;)] 
| {{CDD|3|node|p|node|infin|node|infin}}|| p>=3
|-
| *&infin;&infin;&infin;
| (&infin; &infin; &infin;) 
| [(&infin;,&infin;,&infin;)] 
| {{CDD|3|node|infin|node|infin|node|infin}}||
|}

== Pavări uniforme ale planului euclidian ==
Există grupuri de simetrie pe planul euclidian construite din triunghiurile fundamentale: (4 4 2), (6 3 2) și (3 3 3). Fiecare este reprezentat de un set de drepte de reflexie care împart planul în triunghiuri fundamentale.

Aceste grupuri de simetrie creează 3 pavări regulate și 7 semiregulate. Un număr de pavări semiregulate se repetă în construcții diferite.

Un grup de simetrie prismatică reprezentat de (2 2 2 2) este reprezentat de două seturi de drepte de oglindire paralele, care în general pot avea un domeniu fundamental dreptunghiular. Acestea nu generează pavări noi.

Un alt grup de simetrie prismatică, reprezentat de (&infin; 2 2), are un domeniu fundamental infinit. Construiește două pavări uniforme: [[prismă apeirogonală |prisma apeirogonală]] și [[antiprismă apeirogonală |antiprisma apeirogonală]].

Asamblarea în straturi a fețelor finite ale acestor două pavări prismatice construiește o pavare uniformă newythoffiană a planului. Se numește [[pavare triunghiulară alungită]] și este compusă din straturi alternante de pătrate și triunghiuri.

;Triunghiuri dreptunghice fundamentale (''p q'' 2)
{| class="wikitable"
!(''p q'' 2)
!Triunghiuri<br/>fundamentale
!Părinte
!Trunchiat
!Rectificat
!Bitrunchiat
!Birectificat<br/>(dual)
!Cantelat
!Omnitrunchiat<br/>(<small>Cantitrunchiat</small>)
!Snub
|-
![[Construcția Wythoff|Simbol Wythoff]]
!
! ''q'' &#124; ''p'' 2
! 2 ''q'' &#124; ''p''
! 2 &#124; ''p'' ''q''
! 2 ''p'' &#124; ''q''
! ''p'' &#124; ''q'' 2
! ''p'' ''q'' &#124; 2
! ''p'' ''q'' 2 &#124;
! &#124; ''p'' ''q'' 2
|-
![[Simbol Schläfli]]
!
!{''p'',''q''}
!''t''{''p'',''q''}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[Diagramă Coxeter]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Configurația vârfului |Config. vârf]]
!
!p<sup>q</sup>
!q.2p.2p
!(p.q)<sup>2</sup>
!p.&nbsp;2q.2q
!q<sup>p</sup>
!p.&nbsp;4.q.4
!4.2p.2q
!3.3.p.&nbsp;3.q
|- align=center
|[[Pavare pătrată]]<br/>(4 4 2)
|[[Fișier:Tiling Dual Semiregular V4-8-8 Tetrakis Square-2-color-zoom.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t0.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată |{4,4}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t01.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t1.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t12.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t2.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată |{4,4}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t02.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-t012.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]]
|[[Fișier:Uniform tiling 44-snub.svg|64px]]<br/>[[Pavare pătrată snub |3.3.4.3.4]]
|-align=center
|[[Pavare hexagonală]]<br/>(6 3 2)
|[[Fișier:Tile V46b.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t0.svg|64px]]<br/>[[Pavare hexagonală |{6,3}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t01.svg|64px]]<br/>[[Pavare hexagonală trunchiată |3.12.12]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t1.svg|64px]]<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t12.svg|64px]]<br/>[[Pavare hexagonală |6.6.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t2.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară |{3,6}]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t02.svg|64px]]<br/>[[Mica pavare rombitrihexagonală |3.4.6.4]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-t012.svg|64px]]<br/>[[Marea pavare rombitrihexagonală |4.6.12]]
|[[Fișier:Uniform tiling 63-snub.svg|65px]]<br/>[[Pavare hexagonală snub |3.3.3.3.6]]
|}

;Triunghiuri fundamentale generale (''p q r'')
{| class="wikitable"
![[Construcția Wythoff |Simbol Wythoff]]<br/>(''p q r'')
!Triunghiuri<br/>fundamentale
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q 
! p &#124; q r 
! p q &#124; r 
! p q r &#124; 
! &#124; p q r
|-
![[Diagramă Coxeter]]
!
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Configurația vârfului |Config. vârf]]
!
!(p.q)<sup>r</sup>
!r.2p.q.2p
!(p.r)<sup>q</sup>
!q.2r.p.&nbsp;2r
!(q.r)<sup>p</sup>
!q.2r.p.&nbsp;2r
!r.2q.p.&nbsp;2q
!3.r.3.q.3.p
|-align=center
|Triunghiular<br/>(3 3 3)
|[[Fișier:Tiling Regular 3-6 Triangular.svg|64px]]<br/>{{0}}
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t0.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară |(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Fișier:Uniform polyhedron-63-t1-1.svg|64px]]<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t1.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară |(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t12.svg|64px]]<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t2.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară |(3.3)<sup>3</sup>]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t02.svg|64px]]<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-t012.svg|64px]]<br/>[[Pavare hexagonală |6.6.6]]
|[[Fișier:Uniform tiling 333-snub.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară |3.3.3.3.3.3]]
|}

;Domenii fundamentale nesimpliciale
Singurul domeniu fundamental posibil în spațiul euclidian bidimensional care nu este un [[simplex]] este dreptunghiul (∞ 2 ∞ 2), cu diagrama Coxeter: {{CDD|node|infin|node|2|node|infin|node}}. Toate formele generate de el sunt pavări pătrate.

== Pavări uniforme ale planului hiperbolic ==
În [[spațiu hiperbolic |planul hiperbolic]] există infinit de multe pavări uniforme cu poligoane regulate convexe fiecare bazată pe un grup de simetrie de reflexie diferit (''p q r'').

Sunt prezentate câteva exemple într-o proiecție pe [[modelul discului Poincaré |discul Poincaré]].

Diagrama Coxeter–Dynkin este dată într-o formă liniară, deși este de fapt un triunghi, cu segmentul final ''r'' conectându-se la primul nod.

În planul hiperbolic există și alte grupuri de simetrie cu domenii fundamentale patrulatere începând cu (2 2 2 3) etc., care pot genera noi forme. De asemenea, există domenii fundamentale care plasează vârfurile la infinit, cum ar fi (&infin; 2 3) etc.

;Triunghiuri fundamentale dreptunghice (''p q'' 2)
{| class="wikitable"
|-
!(p q 2)
!Triunghiuri<br/>fundamentale
!Părinte
!Trunchiat
!Rectificat
!Bitrunchiat
!Birectificat<br/>(dual)
!Cantelat
!Omnitrunchiat<br/>(<small>Cantitrunchiat</small>)
!Snub
|-
![[Construcția Wythoff |Simbol Wythoff]]
!
! q &#124; p 2
! 2 q &#124; p
! 2 &#124; p q
! 2 p &#124; q
! p &#124; q 2
! p q &#124; 2
! p q 2 &#124;
! &#124; p q 2
|-
![[Simbol Schläfli]]
!
!t{p,q}
!t{p,q}
!r{p,q}
!2t{p,q}=t{q,p}
!2r{p,q}={q,p}
!rr{p,q}
!tr{p,q}
!sr{p,q}
|-
![[Diagramă Coxeter]]
!
!{{CDD|node_1|p|node|q|node}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node}}
!{{CDD|node|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node|q|node_1}}
!{{CDD|node_1|p|node_1|q|node_1}}
!{{CDD|node_h|p|node_h|q|node_h}}
|-
![[Configurația vârfului |Config. vârf]]
!
!p<sup>q</sup>
!(q.2p.2p)
!(p.q.p.q)
!(p.&nbsp;2q.2q)
!q<sup>p</sup>
!(p.&nbsp;4.q.4)
!(4.2p.2q)
!(3.3.p.&nbsp;3.q)
|- align=center
|(5 4 2)
|[[Fișier:H2-5-4-kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.8.10
|[[Fișier:H2-5-4-dual.svg|64px]]<br/>{5,4}
|[[Fișier:H2-5-4-trunc-dual.svg|64px]]<br/>4.10.10
|[[Fișier:H2-5-4-rectified.svg|64px]]<br/>4.5.4.5
|[[Fișier:H2-5-4-trunc-primal.svg|64px]]<br/>5.8.8
|[[Fișier:H2-5-4-primal.svg|64px]]<br/>{4,5}
|[[Fișier:H2-5-4-cantellated.svg|64px]]<br/>4.4.5.4
|[[Fișier:H2-5-4-omnitruncated.svg|64px]]<br/>4.8.10
|[[Fișier:H2-5-4-snub.svg|64px]]<br/>3.3.4.3.5
|- align=center
|(5 5 2)
|[[Fișier:Order-5 bisected pentagonal tiling.png|72px]]<br/>V4.10.10
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t0.png|64px]]<br/>{5,5}
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t01.png|64px]]<br/>5.10.10
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t1.png|64px]]<br/>5.5.5.5
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t12.png|64px]]<br/>5.10.10
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t2.png|64px]]<br/>{5,5}
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t02.png|64px]]<br/>5.4.5.4
|[[Fișier:Uniform tiling 552-t012.png|64px]]<br/>4.10.10
|[[Fișier:Uniform tiling 552-snub.png|64px]]<br/>3.3.5.3.5
|- align=center
|(7 3 2)
|[[Fișier:3-7 kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.6.14
|[[Fișier:Heptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Pavare heptagonală de ordinul 3 |{7,3}]]
|[[Fișier:Truncated heptagonal tiling.svg|64px]]<br/>3.14.14
|[[Fișier:Triheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Pavare triheptagonală |3.7.3.7]]
|[[Fișier:Truncated order-7 triangular tiling.svg|64px]]<br/>7.6.6
|[[Fișier:Order-7 triangular tiling.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară de ordinul 7 |{3,7}]]
|[[Fișier:Rhombitriheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>3.4.7.4
|[[Fișier:Truncated triheptagonal tiling.svg|64px]]<br/>[[Marea pavare rombitriheptagonală |4.6.14]]
|[[Fișier:Snub triheptagonal tiling.svg|65px]]<br/>3.3.3.3.7
|- align=center
|(8 3 2)
|[[Fișier:H2-8-3-kisrhombille.svg|72px]]<br/>V4.6.16
|[[Fișier:H2-8-3-dual.svg|64px]]<br/>[[Pavare octogonală |{8,3}]]
|[[Fișier:H2-8-3-trunc-dual.svg|64px]]<br/>3.16.16
|[[Fișier:H2-8-3-rectified.svg|64px]]<br/>[[Pavare trioctogonală |3.8.3.8]]
|[[Fișier:H2-8-3-trunc-primal.svg|64px]]<br/>8.6.6
|[[Fișier:H2-8-3-primal.svg|64px]]<br/>[[Pavare triunghiulară de ordinul 8 |{3,8}]]
|[[Fișier:H2-8-3-cantellated.svg|64px]]<br/>3.4.8.4
|[[Fișier:H2-8-3-omnitruncated.svg|64px]]<br/>[[Marea pavare rombitrioctogonală |4.6.16]]
|[[Fișier:H2-8-3-snub.svg|65px]]<br/>3.3.3.3.8
|}

;Triunghiuri fundamentale generale (''p q r'')
{| class="wikitable"
![[Construcția Wythoff |Simbol Wythoff]]<br/>(p q r)
!Triunghiuri<br/>fundamentale
! q &#124; p r
! r q &#124; p
! r &#124; p q
! r p &#124; q 
! p &#124; q r 
! p q &#124; r 
! p q r &#124; 
! &#124; p q r
|-
![[Diagramă Coxeter]]
!
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node|r}}
!{{CDD|3|node|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_1|p|node_1|q|node_1|r}}
!{{CDD|3|node_h|p|node_h|q|node_h|r}}
|-
![[Configurația vârfului |Config. vârf]]
!
!(p.r)<sup>q</sup>
!(r.2p.q.2p)
!(p.q)<sup>r</sup>
!(q.2r.p.&nbsp;2r)
!(q.r)<sup>p</sup>
!(r.2q.p.&nbsp;2q)
!(2p.2q.2r)
!(3.r.3.q.3.p)
|- align=center
|(4 3 3)
|[[Fișier:Uniform dual tiling 433-t012.png|72px]]<br/>V6.6.8
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t0.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t01.png|64px]]<br/>3.8.3.8
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t1.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>3</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t12.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t2.png|64px]]<br/>(3.3)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t02.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Fișier:Uniform tiling 433-t012.png|64px]]<br/>6.6.8
|[[Fișier:Uniform tiling 433-snub2.png|64px]]<br/>3.3.3.3.3.4
|- align=center
|(4 4 3)
|[[Fișier:Uniform dual tiling 443-t012.png|72px]]<br/>V6.8.8
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t0.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t01.png|64px]]<br/>3.8.4.8
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t1.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>3</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t12.png|64px]]<br/>3.6.4.6
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t2.png|64px]]<br/>(3.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t02.png|64px]]<br/>4.6.4.6
|[[Fișier:Uniform tiling 443-t012.png|64px]]<br/>6.8.8
|[[Fișier:Uniform tiling 443-snub1.png|64px]]<br/>3.3.3.4.3.4
|- align=center
|(4 4 4)
|[[Fișier:Uniform dual tiling 444-t012.png|72px]]<br/>V8.8.8
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t0.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t01.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t1.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t12.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t2.png|64px]]<br/>(4.4)<sup>4</sup>
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t02.png|64px]]<br/>4.8.4.8
|[[Fișier:Uniform tiling 444-t012.png|64px]]<br/>8.8.8
|[[Fișier:Uniform tiling 444-snub.png|64px]]<br/>3.4.3.4.3.4
|}

== Liste extinse cu pavări uniforme ==
Există mai multe moduri în care lista de pavări uniforme poate fi extinsă:
# [[Figura vârfului |Figurile vârfurilor]] pot avea fețe retrograde și pot înconjura vârful mai mult decât o dată.
# [[Poligon stelat |Poligoanele stelate]] pot fi incluse.
# [[Apeirogon |Apeirogoanele]], {&infin;}, pot fi folosite ca fețe ale pavărilor.
# Restricția care cere ca dalele să se întâlnească latură la latură poate fi relaxată, permițând pavări suplimentare, cum ar fi [[pavare pitagoreică |pavarea pitagoreică]].

Triunghiurile cu simetrie de grup retrogradă sunt:
: (4/3 4/3 2) (6 3/2 2) (6/5 3 2) (6 6/5 3) (6 6 3/2)
Triunghiurile cu simetrie de grup infinită sunt:
: (4 4/3 &infin;) (3/2 3 &infin;) (6 6/5 &infin;) (3 3/2 &infin;)

[[Branko Grünbaum]], în cartea din 1987 ''Tilings and patterns'' (în {{ro|Pavări și modele}}), în secțiunea 12.3 enumeră 25 de pavări uniforme, inclusiv cele 11 forme convexe, și adaugă încă 14 pe care le numește „pavări goale” care cuprind primele două extinderi de mai sus, fețe poligonale stelate și figuri ale vârfurilor.

[[Fișier:Six uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|Figurile vârfului ale celor șase pavări cu poligoane regulate convexe și apeirogoane (simbolul Wythoff este cu roșu)]]
[[Fișier:Twenty one uniform tiling vertex figures.png|320px|thumb|Figurile vârfului ale 21 de pavări uniforme]]
[[Coxeter |H.S.M. Coxeter]] ș.a., în lucrarea din 1954 ''Uniform polyhedra'' (în {{ro|Poliedre uniforme}}), în „Tabelul 8: Teselări uniforme”, tratează primele trei extensii și enumeră 38 de pavări uniforme. Dacă se numără și o pavare formată din 2 apeirogoane, totalul poate fi considerat 39 de pavări uniforme.

Pe lângă cele 11 soluții convexe, mai jos sunt prezentate cele 28 de pavări stelate uniforme enumerate de Coxeter ''ș.a. '', grupate după grafurile laturilor în comun.<!-- Pentru claritate, apeirogoanele nu sunt colorate în primele șapte pavări, iar apoi sunt colorate doar poligoanele din jurul unui vârf. (acest text se referă la imagini care nu sunt la commons, ci la en.wp, cele blocate și mai jos)-->

Nu este demonstrat că acest set ar fi complet.
{| class=wikitable
|+ Simetrii ale [[grup de friză |grupului de friză]]
!#<ref name=mcneill/>||Diagramă||Configurația<br/>vârfului||Wythoff||Simetrie||Note
|-
|I1||[[Fișier:Apeirogonal tiling.svg|100px]]|| &infin;.&infin; || ||p1m1 ||(Două dale semiplan, pavare apeirogonală de ordinul 2)
|-
|I2||[[Fișier:Infinite prism alternating.svg|100px]]|| 4.4.&infin;  || '''&infin; 2 &#124; 2''' ||p1m1 ||[[Prismă apeirogonală]]
|-
|I3||[[Fișier:Infinite antiprism.svg|100px]]||3.3.3.&infin; || '''&#124; 2 2 &infin;''' ||p11g ||[[Antiprismă apeirogonală]]
|}

{| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"
!colspan=7| Simetrii ale [[grup de tapet |grupului de tapet]]
|-
!McNeill<ref name=mcneill>[http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Jim McNeill]</ref>||Grünbaum<ref>Tiles and Patterns, Table 12.3.1 p.640</ref>||Diagrama<br/>laturilor||Imagine||Configurația<br/>vârfului||Wythoff||Simetrie
|-
!I4||
||[[Fișier:4.oo.4-3.oo tiling frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling sha.gif|150px]]||4.&infin;.4/3.&infin;<br/>4.&infin;.-4.&infin; || '''4/3 4 &#124; &infin;''' ||p4m 
|-
!I5||
||[[Fișier:3.oo.3.oo.3oo tiling-frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling ditatha.gif|150px]]||(3.&infin;.3.&infin;.3.&infin;)/2 || '''3/2 &#124; 3 &infin;'''||rowspan=3|p6m 
|-
!I6||
|rowspan=2|[[Fișier:6.oo.6-5.oo tiling-frame.png|100px]]||[[Fișier:Star tiling hoha.gif|150px]]|| 6.&infin;.6/5.&infin;<br/>6.&infin;.-6.&infin; || '''6/5 6 &#124; &infin;''' 
|-
!I7||
|| [[Fișier:Star tiling tha.gif|150px]]||&infin;.3.&infin;.3/2<br/>&infin;.3.&infin;.-3 || '''3/2 3 &#124; &infin;''' 
|-
!rowspan=2|1||15
|rowspan=2|[[Fișier:12.3-2.12.6 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling shothat.gif|150px]]-->
|3/2.12.6.12<br/>-3.12.6.12|| 3/2 6 &#124; 6||rowspan=2|p6m
|-
!16 
|<!--[[Fișier:Star tiling sraht.gif|150px]]-->||4.12.4/3.12/11<br/>4.12.4/3.-12 || 2 6 (3/2 6/2) &#124;
|-
!rowspan=3|2||
|rowspan=3|[[Fișier:8-3.4.8-3.oo tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling sossa.gif|150px]]-->
| 8/3.4.8/3.&infin; || 4 &infin; &#124; 4/3||rowspan=3|p4m
|-
!7 
|<!--[[Fișier:Star tiling sost.gif|150px]]--> || 8/3.8.8/5.8/7<br/>8/3.8.-8/3.-8 || 4/3 4 (4/2 &infin;/2) &#124;
|-
! 
|<!--[[Fișier:Star tiling gossa.gif|150px]]--> || 8.4/3.8.&infin;<br/>8.-4.8.&infin; || 4/3 &infin; &#124; 4
|-
!rowspan=3|3||
|rowspan=3|[[Fișier:12-5.6.12-5.oo tiling frame.svg|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling shaha.gif|150px]]--> || 12/5.6.12/5.&infin; ||6 &infin; &#124; 6/5||rowspan=3|p6m
|-
!21 
|<!--[[Fișier:Star tiling huht.gif|150px]]--> || 12/5.12.12/7.12/11<br/>12/5.12.-12/5.-12 || 6/5 6 (6/2 &infin;/2) &#124;
|-
! 
|<!--[[Fișier:Star tiling ghaha.gif|150px]]--> || 12.6/5.12.&infin;<br/>12.-6.12.&infin; || 6/5 &infin; &#124; 6
|-
!rowspan=3|4||18
|rowspan=3|[[Fișier:12-5.3.12-5.6-5 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling ghothat.gif|150px]]--> || 12/5.3.12/5.6/5 || 3 6 &#124; 6/5||rowspan=3|p6m
|-
!19 
|<!--[[Fișier:Star tiling graht.gif|150px]]--> || 12/5.4.12/7.4/3<br/>12/5.4.-12/5.-4 || 2 6/5 (3/2 6/2) &#124;
|-
!17
|<!--[[Fișier:Star tiling qrothat.gif|150px]]--> || 4.3/2.4.6/5<br/>4.-3.4.-6 || 3/2 6 &#124; 2
|-
!5||
|[[Fișier:8.8-3.oo tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling satsa.gif|150px]]--> || 8.8/3.&infin; || 4/3 4 &infin; &#124;||p4m
|-
!6||
||[[Fișier:12.12-5.oo tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling hatha.gif|150px]]--> || 12.12/5.&infin; || 6/5 6 &infin; &#124;||p6m
|-
!7||6
|[[Fișier:8.4-3.8-5 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling qrasquit.gif|150px]]--> || 8.4/3.8/5<br/>4.8.-8/3 || 2 4/3 4 &#124;||p4m
|-
!8||13
|[[Fișier:6.4-3.12-7 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling quitothit.gif|150px]]--> || 6.4/3.12/7<br/>-6.4.12/5 || 2 3 6/5 &#124;||p6m
|-
!9||12
|[[Fișier:12.6-5.12-7 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling thotithit.gif|150px]]--> || 12.6/5.12/7<br/> -12.6.12/5 || 3 6/5 6 &#124;||p6m
|-
!10||8
|[[Fișier:4.8-5.8-5 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling quitsquat.gif|150px]]--> || 4.8/5.8/5<br/>-4.8/3.8/3 || 2 4 &#124; 4/3||p4m
|-
!11||22
|[[Fișier:12-5.12-5.3-2 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling quothat.gif|150px]]--> || 12/5.12/5.3/2<br/>12/5.12/5.-3 || 2 3 &#124; 6/5||p6m
|-
!12||2
|[[Fișier:3-2.3-2.3-2.4.4 tiling-frame.png|100px]]||<!--[[Fișier:Star tiling retrat.gif|150px]]--> || 4.4.3/2.3/2.3/2<br/>4.4.-3.-3.-3 || newythoffian||cmm
|-
!13||4
| ||<!--[[Fișier:Star tiling rasisquat.gif|150px]]--> || 4.3/2.4.3/2.3/2<br/>4.-3.4.-3.-3 || &#124; 2 4/3 4/3 ||p4g
|-
!14||
| ||<!--[[Fișier:Star tiling snassa.gif|150px]]--> || 3.4.3.4/3.3.&infin;<br/>3.4.3.-4.3.&infin; || &#124; 4/3 4 &infin; ||p4g
|}

== Pavări autoduale ==
[[Fișier:Self-dual square tiling.png|right|Pavarea pătrată {4,4} (cu negru) împreună cu duala sa (cu roșu)]]
Pavările pot fi [[autodual]]e. Pavarea pătrată cu simbolul Schläfli {4,4}, este autoduală. Alături sunt prezentate două pavări pătrate (cu roșu, respectiv cu negru), fiecare fiind duala celeilalte.
{{-}}
== Pavări uniforme cu poligoane stelate ==
[[Fișier:Hexagon hexagram tiling2.png|thumb|Acest exemplu, 4.8{{subsuper|p=*|b={{math|&pi;}}/8}}.4{{subsuper|p=**|b={{math|&pi;}}/4}}.8{{subsuper|p=*|b={{math|&pi;}}/4}} nu este considerat a fi latură la latură datorită pătratului mare, deși poate fi interpretat ca poligon stelat cu perechi de laturi coliniare]]
Considerarea unui poligon stelat ca fiind un [[poligon în formă de stea]] (neconvex) cu un număr dublu de laturi și acceptarea acestora ca poligoane regulate le permite să fie folosite într-o ''pavare unifomă''. Aceste poligoane sunt notate cu {N<sub>&alpha;</sub>} pentru un 2N-gon [[figură izotoxală|izotoxal]] neconvex cu unghi diedru extern &alpha;. Vârfurile sale externe sunt notate cu N{{subsuper|p=*|b=&alpha;}} și cu N{{subsuper|p=**|b=&alpha;}} cele interne. Această extindere a definiției necesită să nu fie considerate vârfuri colțurile în care se întâlnesc doar 2 poligoane. Pavarea este definită prin configurația vârfurilor ca o secvență ciclică de poligoane convexe și neconvexe în jurul fiecărui vârf. Există 4 astfel de plavări uniforme cu unghiuri &alpha; ajustabile și 18 pavări uniforme care funcționează numai cu anumite unghiuri; obținând un total de 22 de pavări uniforme care folosesc poligoane stelate.<ref>{{en icon}} Branko Gruenbaum, G.C. Shephard, 1987, ''Tilings and Patterns''. 2.5 Tilings using star polygons, pp.&nbsp;82–85</ref>

Toate aceste pavări sunt legate topologic de pavările uniforme cu poligoane regulate convexe, cu vârfurile cu doar 2 valențe ignorate și fețe pătrate ca digoane, reduse la o singură latură.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Patru pavări uniforme cu poligoane stelate, unghi &alpha;
|- valign=bottom
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-36s6s-e.svg|160px]]<br/>3.6{{subsuper|p=*|b=&alpha;}}.6{{subsuper|p=**| b=&alpha;}}<br/>[[Pavare hexagonală trunchiată |3.12.12]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-44s4s-a.svg|160px]]<br/>4.4{{subsuper|p=*| b=&alpha;}}.4{{subsuper|p=**| b=&alpha;}}<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-63s3s-a.svg|160px]]<br/>6.3{{subsuper|p=*| b=&alpha;}}.3{{subsuper|p=**| b=&alpha;}}<br/>[[Pavare hexagonală |6.6.6]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-33s33s-a.svg|160px]]<br/>3.3{{subsuper|p=*| b=&alpha;}}.3.3{{subsuper|p=**| b=&alpha;}}<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]] topologică
|}

{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ 18 pavări uniforme cu poligoane stelate
|- valign=bottom
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-g.svg|160px]]<br/>4.6.4{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.6<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-l.svg|160px]]<br/>(8.4{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/4}})<sup>2</sup><br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-o.svg|160px]]<br/>12.12.4{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/3}}<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-c.svg|160px]]<br/>3.3.8{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/12}}.4{{subsuper|p=**| b={{math|&pi;}}/3}}.8{{subsuper|p=*|{{math|&pi;}}/12}}<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-b.svg|160px]]<br/>3.3.8{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/12}}.3.4.3.8{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/12}}<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-e.svg|160px]]<br/>3.4.8.3.8{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/12}}<br/>[[Pavare pătrată trunchiată |4.8.8]] topologică
|- valign=bottom
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-q.svg|160px]]<br/>5.5.4{{subsuper|p=*|4{{math|&pi;}}/10}}.5.4{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/10}}<br/>[[Pavare pătrată snub |3.3.4.3.4]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-i.svg|160px]]<br/>4.6{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.6{{subsuper|p=**| b={{math|&pi;}}/2}}.6{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}<br/>[[Pavare triunghiulară trunchiată |6.6.6]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-h.svg|160px]]<br/>(4.6{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}})<sup>3</sup><br/>[[Pavare hexagonală |6.6.6]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-m.svg|160px]]<br/>9.9.6{{subsuper|p=*| b=4{{math|&pi;}}/9}}<br/>[[Pavare triunghiulară trunchiată |6.6.6]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-j.svg|160px]]<br/>(6.6{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/3}})<sup>2</sup><br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-n.svg|160px]]<br/>(12.3{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}})<sup>2</sup><br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]] topologică
|- valign=bottom
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-d.svg|160px]]<br/>3.4.6.3.12{{subsuper|p=*| topologică b={{math|&pi;}}/6}}<br/>[[Pavare trihexagonală trunchiată |4.6.12]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-a.svg|160px]]<br/>3.3.3.12{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.3.3.12{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}<br/>[[Pavare hexagonală trunchiată |3.12.12]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-p.svg|160px]]<br/>18.18.3{{subsuper|p=*| b=2{{math|&pi;}}/9}}<br/>[[Pavare hexagonală trunchiată |3.12.12]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-f.svg|160px]]<br/>3.6.6{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/3}}.6<br/>[[Pavare rombitrihexagonală |3.4.6.4]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-k.svg|160px]]<br/>8.3{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/12}}.8.6{{subsuper|p=*| b=5{{math|&pi;}}/12}}<br/>[[Pavare rombitrihexagonală |3.4.6.4]] topologică
|[[Fișier:Uniform-star-tiling-9393s.svg|160px]]<br/>9.3.9.3{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/9}}<br/>[[Pavare trihexagonală |3.6.3.6]] topologică
|- valign=bottom
|}

=== Pavări uniforme cu poligoane care alternează ===
Poligoanele stelate de forma {p<sub>&alpha;</sub>} pot reprezenta și ele 2''p''-goane convexe la care alternează două unghiuri, cel mai simplu fiind un romb {2<sub>&alpha;</sub>}. Admițându-le ca poligoane regulate, se creează mai multe pavări uniforme, mai jos fiind date câteva exemple.
{| class=wikitable style="text-align:center;"
|+ Exemple
|- valign=bottom
|[[Fișier:Hexatile-rhombic-snub-hex.svg|160px]]<br/>3.2*.6.2**<br/>[[Pavare rombitrihexagonală |3.4.6.4]] topologică
|[[Fișier:Octatile-rhombic0.svg|160px]]<br/>4.4.4.4<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|[[Fișier:Octatile-rhombic1.svg|320px]]<br/>(2{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.2{{subsuper|p=**|b={{math|&pi;}}/3}})<sup>2</sup><br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|[[Fișier:Octatile-rhombic2.svg|160px]]<br/>2{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.2{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.2{{subsuper|p=**| b={{math|&pi;}}/3}}.2{{subsuper|p=**| b={{math|&pi;}}/3}}<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|[[Fișier:Octatile-rhombic3.svg|160px]]<br/>4.2{{subsuper|p=*| b={{math|&pi;}}/6}}.4.2{{subsuper|p=**| b={{math|&pi;}}/3}}<br/>[[Pavare pătrată |4.4.4.4]] topologică
|}

== Note ==
<references responsive />

== Bibliografie ==
* {{en icon}} [[Norman Johnson]], ''Uniform Polytopes'', Manuscript (1991)
* {{en icon}} [[Norman Johnson]], ''The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs'', Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966 
* {{en icon}} {{cite book|author1-link=Branko Grünbaum|last1=Grünbaum|first1=Branko |last2=Shephard|first2=G. C.|title=Tilings and Patterns|publisher=W. H. Freeman and Company|year=1987|isbn=0-7167-1193-1|url-access=registration|url=https://archive.org/details/isbn_0716711931}} (Star tilings section 12.3)
* {{en icon}} [[Coxeter|H.S.M. Coxeter]], M.S. Longuet-Higgins, J.C.P. Miller, ''Uniform polyhedra'', '''Phil. Trans.''' 1954, 246 A, 401&ndash;50 {{JSTOR|91532}} (Table 8)

== Vezi și ==
* [[Lista pavărilor uniforme euclidiene‎]]

== Legături externe ==
* {{Commonscat-inline}}
* {{en icon}} {{MathWorld | urlname=UniformTessellation | title=Uniform tessellation}}
* {{en icon}} [http://www2u.biglobe.ne.jp/~hsaka/mandara/ue2 Uniform Tessellations on the Euclid plane]
* {{en icon}} [http://www.orchidpalms.com/polyhedra/tessellations/tessel.htm Tessellations of the Plane]
* {{en icon}} [http://www.tess-elation.co.uk/ David Bailey's World of Tessellations] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20160402225543/http://www.tess-elation.co.uk/ |date=2016-04-02 }}
* {{en icon}} [https://web.archive.org/web/20060909053826/http://www.uwgb.edu/dutchs/SYMMETRY/uniftil.htm k-uniform tilings]
* {{en icon}} [http://probabilitysports.com/tilings.html n-uniform tilings]
* {{en icon}} {{KlitzingPolytopes|flat.htm|4D|Euclidean tilings}}

{{Portal|Matematică}}
{{Faguri}}
{{Teselări}}

[[Categorie:Pavări uniforme| ]]