Vizualizare sursă pentru „Pavare rombică”

{{Infocaseta Poliedru
| name = Pavare rombică
| image_up = 1-uniform 7 dual.svg
| caption =
| type = [[pavare Laves]]
| vertex_config =
| face_config = V3.6.3.6
| schläfli =
| wythoff =
| coxeter = {{CDD|node|3|node_f1|6|node}}<br/>{{CDD|node_h1|3|node|6|node_f1}}
| symmetry = p6m, [6,3], *632<br/>p3m1, [3<sup>[3]</sup>], *333
| rotsymmetry = p6, [6,3]<sup>+</sup>, (632)<br/>p3, [3<sup>[3]</sup>]<sup>+</sup>, (333)
| dual = [[Pavare trihexagonală]]
| properties = [[figură izoedrică |tranzitivă pe fețe]] și [[figură izotoxală |pe laturi]]
| vertex_figure =
}}
În [[geometrie]] '''pavarea rombică''' este o [[teselare]] a [[geometrie euclidiană |planului euclidian]] cu [[romb]]uri identice având [[unghi]]urile de 60° și 120°. În fiecare [[vârf (geometrie) |vârf]] de 60° se întâlnesc câte 6 romburi, iar în fiecare vârf de 120° se întâlnesc câte 3 romburi.<ref>{{en icon}} {{citation
| last1 = Conway | first1 = John | author1-link = John Horton Conway
| last2 = Burgiel | first2 = Heidi
| last3 = Goodman-Strauss | first3 = Chaim | author3-link = Chaim Goodman-Strauss
| contribution = Chapter 21: Naming Archimedean and Catalan polyhedra and tilings
| isbn = 978-1-56881-220-5
| page = 288
| publisher = AK Peters
| title = The Symmetries of Things | title-link = The Symmetries of Things
| year = 2008}}</ref>

== Proprietăți ==
[[Fișier:Rhombus_(Rhombille).svg|thumb|left|Romb unitate pentru pavarea rombică duală la pavarea trihexagonală cu latura o unitate]]
[[Fișier:Compound of two hexagonal tiling.svg|thumb|left|Două [[pavare hexagonală |pavări hexagonale]] cu laturile roșii și albastre generează dalele rombice]]
[[Fișier:1-uniform_7_dual_edgecolor4.svg|thumb|left|Patru pavări hexagonale cu laturile roșii, verzi, albastre și violete în interiorul unei pavări rombice<ref>{{en icon}} Richard K. Guy & Robert E. Woodrow, ''The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History'', 1996, p.79, Figure 10</ref>]]
Pavarea rombică poate fi văzută ca o subdiviziune a unei [[pavare hexagonală |pavări hexagonale]] cu fiecare [[hexagon]] divizat în trei romburi care se întâlnesc în centrul hexagonului. Această subdiviziune reprezintă o pavare compusă regulată. De asemenea, poate fi văzută ca o subdiviziune a patru pavări hexagonale, fiecare hexagon fiind divizat în 12 romburi.

Diagonalele fiecărui romb sunt în raportul 1:{{radic|3}}.
Aceasta este [[dualitate (matematică) |pavarea duală]] a [[pavare trihexagonală |pavării trihexagonale]] sau [[Pavare trihexagonală#Rețeaua_Kagome |rețeaua kagome]]. Ca duală a unei [[pavare uniformă |pavări uniforme]], este una dintre cele unsprezece [[pavare Laves |pavări Laves]] posibile, iar în [[configurația feței]] pavărilor monoedrice este notată [3.6.3.6].<ref>{{en icon}} {{citation
| last1 = Grünbaum
| first1 = Branko
| author1-link = Branko Grünbaum
| last2 = Shephard
| first2 = G. C.
| author2-link = Geoffrey Colin Shephard
| isbn = 0-7167-1193-1
| location = New York
| publisher = W. H. Freeman
| title = Tilings and Patterns
| year = 1987
| url-access = registration
| url = https://archive.org/details/isbn_0716711931}}. Section 2.7, Tilings with regular vertices, pp.&nbsp;95–98</ref>

De asemenea, este una dintre cele 56 de [[figură izoedrică |pavări izoedrice]] cu patrulatere posibile<ref>{{en icon}} {{harvtxt|Grünbaum|Shephard|1987}}, Figure 9.1.2, Tiling ''P''<sub>4</sub>-42, p.&nbsp;477</ref> și una dintre cele 8 pavări ale planului în care fiecare latură se află pe o [[dreaptă]] de [[simetrie]] a pavării.<ref>{{en icon}} {{citation
| last1 = Kirby | first1 = Matthew
| last2 = Umble | first2 = Ronald
| arxiv = 0908.3257
| doi = 10.4169/math.mag.84.4.283
| issue = 4
| journal = Mathematics Magazine
| mr = 2843659
| pages = 283–289
| title = Edge tessellations and stamp folding puzzles
| volume = 84
| year = 2011}}</ref>

Este posibil să se încorporeze pavarea rombică într-un subset a unei rețele de întregi [[tridimensional]]e, constând din punctele (''x'',''y'',''z'') cu |'' x''&nbsp;+&nbsp;''y''&nbsp;+&nbsp;''z''|&nbsp;≤&nbsp;1, în așa fel încât două vârfuri să fie adiacente [[dacă și numai dacă]] punctele rețelei corespunzătoare sunt la o distanță de o unitate unul față de celălalt și, mai important ca asta, numărul de laturi din calea cea mai scurtă între oricare două vârfuri ale pavărilor să fie aceeași cu [[distanță Manhattan |distanța Manhattan]] dintre punctele rețelei corespunzătoare. Astfel, pavarea rombică poate fi privită ca un exemplu de [[graf]] cu distanțe unitate și [[cub]] parțial.<ref>{{en icon}} {{citation
 | last1 = Deza | first1 = Michel | author1-link = Michel Deza
 | last2 = Grishukhin | first2 = Viatcheslav
 | last3 = Shtogrin | first3 = Mikhail
 | doi = 10.1142/9781860945489
 | isbn = 1-86094-421-3
 | location = London
 | mr = 2051396
 | page = 150
 | publisher = Imperial College Press
 | title = Scale-isometric polytopal graphs in hypercubes and cubic lattices: Polytopes in hypercubes and <math>\mathbb{Z}_n</math>
 | url = https://books.google.com/books?id=i1WLG6NeDCkC&pg=PA150
 | year = 2004}}</ref>

== Aplicații decorative și artistice ==
Pavarea rombică poate fi interpretată ca o [[proiecție izometrică]] a unui set de cuburi în două moduri diferite, formând o figură ambiguă legată de [[cub Necker |cubul Necker]]. În acest context este cunoscută sub numele de iluzia „cuburilor reversibile”.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Human psychology|first=Howard Crosby|last=Warren|publisher=Houghton Mifflin|year=1919|page=262|url=https://books.google.com/books?id=ByxVAAAAMAAJ&pg=PA262}}.</ref>

În ''Metamorphosis I'', ''Metamorphosis II'' și ''Metamorphosis III'' [[Maurits Cornelis Escher |M.C. Escher]] folosește această interpretare a pavărilor ca o modalitate de transformarea între forme bidimensionale și tridimensionale.<ref>{{en icon}} {{citation
| last = Kaplan
| first = Craig S.
| contribution = Metamorphosis in Escher's art
| pages = 39–46
| title = Bridges 2008: Mathematical Connections in Art, Music and Science
| url = http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/papers/kaplan_bridges2008.pdf
| year = 2008
| access-date = 2022-12-07
| archive-date = 2014-12-22
| archive-url = https://web.archive.org/web/20141222141236/http://www.cgl.uwaterloo.ca/~csk/papers/kaplan_bridges2008.pdf
| dead-url = yes
}}.</ref> Într-o altă lucrare a sa, ''Cycle'' (1938), Escher s-a jucat cu tensiunea dintre bidimensionalitatea și tridimensionalitatea acestei pavări: în ea desenează o clădire care are atât blocuri cubice mari, cât și elemente arhitecturale (desenate izometric), și o terasă la etaj pavată cu pavarea rombică. O figură umană coboară de pe terasă în curte pe lângă cuburi, devenind mai stilizată și mai bidimensională pe măsură ce face acest lucru.<ref>{{en icon}} {{citation|title=M.C. Escher, the Graphic Work|first=Maurits Cornelis|last=Escher|author-link= Maurits Cornelis Escher|publisher=Taschen|year=2001|isbn=9783822858646|url=https://books.google.com/books?id=lq-EZiRdPswC&pg=PR1|pages=29–30}}.</ref> Aceste lucrări implică doar o singură interpretare tridimensională a pavărilor, dar în ''Convex și Concav'' Escher experimentează cu figuri reversibile în general și introduce o reprezentare a iluziei cuburilor reversibile pe un steag din scenă.<ref>{{en icon}} {{citation
| last = De May | first = Jos
| editor1-last = Schattschneider | editor1-first = D. | editor1-link = Doris Schattschneider
| editor2-last = Emmer | editor2-first = M.
| contribution = Painting after M. C. Escher
| pages = 130–141
| publisher = Springer
| title = M. C. Escher's Legacy: A Centennial Celebration
| year = 2003}}</ref>

Pavarea rombică este folosită și ca model pentru [[parchet (material de construcție) |parchetări]]<ref>{{en icon}} {{citation|title=Treasure Chests: The Legacy of Extraordinary Boxes|first1=Lon|last1=Schleining|first2=Randy|last2=O'Rourke|publisher=Taunton Press|year=2003|isbn=9781561586516|contribution=Tricking the eyes with tumbling blocks|page=58|url=https://books.google.com/books?id=xA91sJ1LNQIC&pg=PA58}}.</ref> și pentru acoperirea podelelor sau a pereților, uneori cu variații în formele romburilor.<ref>{{en icon}} [http://mathtourist.blogspot.com/2011/02/tessellation-tango.html Tessellation Tango], The Mathematical Tourist, Drexel University, retrieved 2012-05-23.</ref> Ea apare în [[mozaic]]urile antice grecești din pardoseala din [[Delos]]<ref>{{en icon}} {{citation|title=Mosaics of the Greek and Roman World|first=Katherine M. D.|last=Dunbabin|publisher=Cambridge University Press|year=1999|isbn=9780521002301|page=32|url=https://books.google.com/books?id=U7Uu_Dq8oY4C&pg=PA32}}</ref> și în pavarea podelelor italiene din secolul al XI-lea,<ref name="tumble3">{{en icon}} {{citation|title=Quilt of Joy: Stories of Hope from the Patchwork Life|first=Mary|last=Tatem|publisher=Revell|year=2010|isbn=9780800733643|contribution=Tumbling Blocks|page=115|url=https://books.google.com/books?id=BXxuCv8InhUC&pg=PA115}}.</ref> deși dalele cu acest model din Catedrala din Siena sunt dintr-o epocă mai recentă.<ref>{{en icon}} {{citation|title=Italian ceramic art|first=Henry|last=Wallis|publisher=Bernard Quaritch|year=1902|page=xxv|url=https://books.google.com/books?id=YQQ4AAAAMAAJ&pg=PR25}}</ref> În matlasări este cunoscut încă din anii 1850.<ref name="tumble1">{{en icon}} {{citation|title=Tumbling Blocks: New Quilts from an Old Favorite|first=Barbara|last=Smith|publisher=Collector Books|year=2002|isbn=9781574327892}}</ref><ref name="tumble3"/><ref name="tumble2">{{en icon}} {{citation|title=Tumbling Blocks|series=Benni Harper Mysteries|first=Earlene|last=Fowler|publisher=Penguin|year=2008|isbn=9780425221235|author-link=Earlene Fowler}}</ref>. În aceste aplicații decorative romburile pot apărea în mai multe culori, dar de obicei se folosec trei niveluri de umbrire, cele mai strălucitoare pentru romburi cu diagonale lungi orizontale și mai întunecate pentru romburi cu celelalte două orientări, pentru a le spori aspectul tridimensional.

== Poliedre și pavări înrudite ==
{{Imagine multiplă
|image1=Rhombic tiling tilted1.svg
|image2=Skew_rhombille.png
|footer= Pavări cu paralelograme echivalente combinatoric
}}
Pavarea rombică este duala [[pavare trihexagonală |pavării trihexagonale]]. Este una dintre multele moduri diferite de pavare a planului cu romburi congruente. Altele sunt [[Pavare pătrată#Pavări_topologic_echivalente |variații aplatizate în diagonală a pavării pătrate]] (cu [[simetrie de translație]] pe toate cele patru laturi ale rombului), ca pavarea utilizată de modelul de pliere ''Miura-ori'' (alternând între [[translație (geometrie) |translație]] și [[simetrie de reflexie |simetria de reflexie]]) și {{ill-wd| Q585688||pavarea Penrose}}, care folosește {{ill-wd| Q741518||aperiodic}} două tipuri de romburi cu unghiuri ascuțite de 36° și 72°. Când se permite mai mult de un tip de romb sunt posibile pavări suplimentare, inclusiv unele care sunt echivalente din punct de vedere topologic cu pavarea rombică, dar cu simetrie mai mică.

De asemenea, pavări echivalente combinatoric cu pavarea rombică pot fi realizate cu paralelograme și interpretate ca [[proiecție axonometrică |proiecții axonometrice]] ale laturilor cuburilor tridimensionale.

Există doar opt pavări ale planului de tip [[teselare pe laturi]] cu proprietatea că reflexia oricărei dale față de oricare dintre laturile sale produce o altă pavare; una dintre ele este pavarea rombică.<ref>{{en icon}} {{citation
| last1 = Kirby | first1 = Matthew
| last2 = Umble | first2 = Ronald
| arxiv = 0908.3257
| doi = 10.4169/math.mag.84.4.283
| issue = 4
| journal = Mathematics Magazine
| mr = 2843659
| pages = 283–289
| title = Edge tessellations and stamp folding puzzles
| volume = 84
| year = 2011}}</ref>

== Exemple ==
<gallery mode="packed" heights="135px">
Fișier:P3 dual.svg|Pavare rombică suprapusă peste duala sa, pavarea trihexagonală
Fișier:Delos cubic floor mosaic.jpg|Pavare rombică în mozaicul din [[Delos]]
Fișier:Siena Duomo rhombille floor tiles.jpg|Model de pavare rombică în catedrala din Siena
Fișier:Rhombille Tiling in Tallinn EST.jpg|Pavare rombică într-un terminal din [[Tallinn]]
</gallery>

== Note ==
<references responsive/>

== Lectură suplimentară ==
* {{en icon}} Keith Critchlow, ''Order in Space: A design source book'', 1970, pp.77–76, pattern 1

== Vezi și ==
* [[Pavare euclidiană cu poligoane regulate convexe]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{Commonscat-inline}}

{{Teselări}}

{{DEFAULTSORT:Rombică, pavare}}
[[Categorie:Pavări euclidiene]]
[[Categorie:Pavări izoedrice]]
[[Categorie:Pavări izotoxale]]
[[Categorie:Poliedre cvasiregulate|Pavare rombică]]