Vizualizare sursă pentru „Patrulater circumscriptibil”

[[Fișier:Circumscriptible quadrilateral.svg|thumb|Un patrulater circumscriptibil cu cercul său înscris]]
În [[geometrie euclidiană |geometria euclidiană]], un '''patrulater circumscriptibil'''<ref><!-- Prof. dr. -->Dorin Andrica, [http://www.cs.ubbcluj.ro/files/curricula/2011/disc/syllabus/MMG1010_133_1_2011.rtf ''Syllabus masterat matematică''], [[Universitatea Babeș-Bolyai]], 9 noiembrie 2011, accesat 2021-12-03</ref><ref>[http://www.mateinfo.ro/reviste-de-matematica/revista-electronica-de-matematica-mateinfo-ro-aparitie-lunara-2065-6432/reviste-electronice-mateinfo-ro-din-anul-2011/234-revista-electronica-mateinfo-ro-august-2011/file Revista Electronică MateInfo.ro], mateinfo.ro, august 2011, ISSN 2065–6432, p.&nbsp;9, accesat 2021-12-03</ref><ref name=LO>[http://liceulotopeni.ro/images/stories/documente/sintezageometrieideclasaavii_a.pdf Sinteză a geometriei de clasa a VII-a], liceulotopeni.ro, accesat 2021-12-03</ref><ref name=Josefsson2>{{en icon}} {{citation
|last=Josefsson
|first=Martin
|journal=Forum Geometricorum
|pages=65–82
|title=More Characterizations of Tangential Quadrilaterals
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf
|volume=11
|year=2011
|access-date=2021-12-19
|archive-date=2016-03-04
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304022959/http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf
|dead-url=yes
}}</ref> este un [[patrulater]] [[poligon convex|convex]] ale cărui [[latură (geometrie) |laturi]] sunt toate [[tangentă (geometrie) |tangente]] la un singur [[cerc]]. Acest cerc este [[cerc înscris |cercul înscris]] în patrulater (cercul înscris al patrulaterului). Patrulaterele circumscriptibile sunt un [[submulțime|caz particular]] al [[poligon circumscriptibil |poligoanelor circumscriptibile]].

Se mai întâlnește și denumirea de '''patrulater circumscris ''unui'' cerc''',<ref name=LO/><ref>Gheorghe Adalbert Schneider, ''Să învățăm matematica fără profesor: Clasa a VII-a'', Craiova: Ed. Hyperion, 2020, p.&nbsp;126</ref> însă datorită riscului de a fi confundat cu patrulaterul circumscris ''de'' un cerc această denumire ar trebui evitată.<ref>[https://www.didactic.ro/materiale-didactice/patrulater-circumscris-inscris-unui-cerc Patrulater circumscris înscris unui cerc], didactic.ro, accesat 2021-12-03</ref>

Unii autori<ref name=>Artur Bălăucă, ''Algebră, geometrie, 1440 de probleme semnificative pentru olimpiade, concursuri și centre de excelență'', Iași: Ed. Taida, p.&nbsp;146</ref> consideră că noțiunile „patrulater circumscriptibil” și „patrulater circumscris unui cerc” sunt diferite, oferind definiții diferite pentru ele. Însă acele definiții sunt de fapt proprietăți ale aceleiași [[figură geometrică |figuri geometrice]].

Toate [[triunghi]]urile au un cerc înscris, dar nu toate patrulaterele au unul. Un exemplu de patrulater care nu este circumscriptibil este [[dreptunghi]]ul (care nu este [[pătrat]]).

== Cazuri particulare ==
Exemple de patrulatere circumscriptibile sunt pătratele, [[romb]]urile și [[romboid |romboizii]]. Aceștia din urmă sunt patrulatere circumscriptibile care au și [[patrulater ortodiagonal |diagonalele ortogonale]].<ref name=Josefsson>{{citation
|last=Josefsson
|first=Martin
|journal=Forum Geometricorum
|pages=119–130
|title=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
|volume=10
|year=2010
|access-date=2021-12-19
|archive-date=2011-08-13
|archive-url=https://web.archive.org/web/20110813091938/http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf
|dead-url=yes
}}.</ref> [[Romboid dreptunghic |Romboidul dreptunghic]] este [[patrulater inscriptibil |inscriptibil]]. Un patrulater care este atât circumscriptibil, cât și inscriptibil este un [[patrulater bicentric]], iar dacă este atât circumscriptibil, cât și [[trapez]] se vorbește despre un [[trapez circumscriptibil]].

== Caracteristici ==
Într-un patrulater circumscriptibil cele patru [[bisectoare]] (interioare) se întâlnesc în centrul cercului înscris. Invers, un [[patrulater convex]] în care cele patru bisectoare se întâlnesc într-un punct este circumscriptibil, iar punctul de intersecție este centrul cercului înscris.<ref name=Andreescu>{{en icon}} {{citation
|last1=Andreescu|first1=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan
|title=Mathematical Olympiad Treasures
|publisher=Birkhäuser
|year=2006
|pages=64–68}}.</ref>

Conform [[teorema lui Pitot |teoremei lui Pitot]], sumele lungimilor celor două perechi de laturi opuse dintr-un patrulater circumscriptibil sunt egale cu [[semiperimetru]]l {{mvar|s}} al patrulaterului:
:<math>a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.</math>

Invers, un patrulater în care {{mvar|1=a + c = b + d}} este circumscriptibil.<ref name=Josefsson2/>{{rp|p.65}}<sup>,</sup><ref name=Andreescu/>

Dacă laturile opuse dintr-un patrulater convex {{mvar|ABCD}} (care nu este un [[trapez]]) se intersectează în {{mvar|E}} și {{mvar|F}}, atunci acesta este circumscriptibil [[dacă și numai dacă]]<ref name=Andreescu/>
:<math>\displaystyle BE+BF=DE+DF</math>
sau
:<math>\displaystyle AE-EC=AF-FC.</math>
A doua dintre acestea este aproape aceeași cu una dintre egalitățile din [[Patrulater exscriptibil#Teorema_ Urquhart|Teorema Urquhart]]. Singurele diferențe sunt semnele din ambele părți: în teorema lui Urquhart există sume în loc de diferențe.

Altă condiție necesară și suficientă ca un patrulater convex {{mvar|ABCD}} să fie circumscriptibil este ca cercurile înscrise în cele două triunghiuri {{mvar|ABC}} și {{mvar|ADC}} să fie tangente unul la celălalt. <ref name=Josefsson2/>{{rp|p.66}}

O proprietate privind unghiurile formate din diagonala {{mvar|BD}} și cele patru laturi ale unui patrulater {{mvar|ABCD}} i se datorează lui Iosifescu. El a demonstrat în 1954 că un patrulater convex are un cerc înscris dacă și numai dacă<ref name=Minculete>{{en icon}} 
{{citation
|last=Minculete
|first=Nicusor
|journal=Forum Geometricorum
|pages=113–118
|title=Characterizations of a Tangential Quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf
|volume=9
|year=2009
|access-date=2021-12-19
|archive-date=2016-03-03
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160303233609/http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf
|dead-url=yes
}}</ref>
:<math>\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.</math>

Mai mult, un patrulater convex cu laturile (în ordine) {{mvar|a, b, c, d}} este circumscriptibil dacă și numai dacă
:<math>R_aR_c=R_bR_d</math>
unde {{mvar|R<sub>a</sub>, R<sub>b</sub>, R<sub>c</sub>, R<sub>d</sub>}} sunt razele cercurilor tangente extern la laturile {{mvar|a, b, c}} respectiv {{mvar|d}} și prelungirile celor două laturi adiacente fiecărei laturi.<ref>{{en icon}} {{citation
 |last         = Josefsson
 |first        = Martin
 |journal      = Forum Geometricorum
 |pages        = 63–77
 |title        = Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals
 |url          = http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201207.pdf
 |volume       = 12
 |year         = 2012
 |access-date  = 2021-12-19
 |archive-date = 2022-01-16
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20220116120156/https://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201207.pdf
 |dead-url     = yes
}}</ref>{{rp|p.72}}

== Formule ==
Literatura de specialitate conține formule pentru calculul [[arie]]i<ref name=Josefsson/><ref name=Durell>{{en icon}} {{citation
|last1=Durell|first1=C.V.|last2=Robson|first2=A.
|title=Advanced Trigonometry
|publisher=Dover reprint
|year=2003
|pages=28–30}}</ref><ref name=Hajja>{{en icon}} {{citation
|last=Hajja
|first=Mowaffaq
|journal=Forum Geometricorum
|pages=103–106
|title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|volume=8
|year=2008
|access-date=2021-12-19
|archive-date=2019-11-26
|archive-url=https://web.archive.org/web/20191126135341/http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|dead-url=yes
}}.</ref><ref>{{citation
|last1=Siddons|first1=A.W.|last2=Hughes|first2=R.T.
|title=Trigonometry
|publisher=Cambridge Univ. Press
|year=1929
|page=203}}</ref><ref name=Yiu>{{en icon}} Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', [http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20190302221424/http://math.fau.edu/Yiu/EuclideanGeometryNotes.pdf |date=2019-03-02 }}, 1998, pp. 156–157</ref><ref name=Grinberg>{{en icon}} [http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf Grinberg, Darij, ''Circumscribed quadrilaterals revisited'', 2008]</ref><ref name=Yiu/><ref>{{en icon}} {{citation
|last=Hoyt |first=John P.
|journal=[[American Mathematical Monthly]]
|pages=54–56
|title=Maximizing the Area of a Trapezium
|volume=93
|number=1
|year=1986
 |doi=10.2307/2322549}}.</ref> și a razei cercului înscris
<ref name=Durell/><ref name=Yiu/><ref name=Grinberg/><ref>{{en icon}} {{citation
|last1=Siddons|first1=A.W.|last2=Hughes|first2=R.T.
|title=Trigonometry
|publisher=Cambridge Univ. Press
|year=1929
|page=203}}</ref><ref>{{citation
|last=Hoyt |first=John P.
|journal=[[Mathematics Magazine]]
|pages=239, 242
|title=Quickies, Q694
|volume=57
|number=4
|year=1984}}</ref><ref>{{en icon}} {{citation
|last=Josefsson
|first=Martin
|journal=Forum Geometricorum
|pages=27–34
|title=On the inradius of a tangential quadrilateral
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf
|volume=10
|year=2010
|access-date=2021-12-19
|archive-date=2021-12-19
|archive-url=https://web.archive.org/web/20211219065040/https://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf
|dead-url=yes
}}.</ref><ref>{{en icon}} Alexander Bogomolny (2016), [https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/BorislavMirchev.shtml ''An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral''], ''Cut-the-knot''</ref> în funcție de lungimile laturilor, ale unghiurilor<ref name=Josefsson/> și diagonalelor<ref name=Hajja/> în funcție de lungimea [[segment (geometrie) |segmentelor]] dintre vârfuri și punctele de tangență etc.

== Note ==
{{listănote|2}}

== Vezi și ==
* [[Patrulater exscriptibil]]

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{commonscat-inline|Tangential quadrilaterals}}
* {{en icon}} {{MathWorld |title=Tangential Quadrilateral |urlname=TangentialQuadrilateral|mode=cs2}}

{{Poligoane}}

[[Categorie:Patrulatere]]