Vizualizare sursă pentru „Paraleloedru”

În [[geometrie]] un '''paraleloedru''' este un [[poliedru]] care poate umple [[spațiu euclidian |spațiul euclidian]] [[tridimensional]] cu un [[fagure (geometrie)|fagure]] cu copii ale sale [[translație (geometrie) |translate]], fără a necesita și [[rotație (matematică) |rotire]]. Există cinci tipuri de paraleloedru, identificate pentru prima dată de [[Evgraf Fiodorov]] în 1885 în studiile sale despre sistemele cristalografice: [[cub]]ul, [[prismă hexagonală |prisma hexagonală]], [[dodecaedru rombic |dodecaedrul rombic]], [[dodecaedru rombohexagonal |dodecaedrul rombohexagonal]] și [[octaedru trunchiat |octaedrul trunchiat]].<ref name=alexandrov>{{en icon}} {{cite book|last=Alexandrov|first=Aleksandr Danilovich |contribution=8.1 Parallelohedra|pages=349–359|publisher=Springer|title=Convex Polyhedra|year=2005}}</ref>

== Clasificare ==
Orice paraleloedru este un [[zonoedru]], construit ca {{ill-wd| Q1322294}} a între trei și șase [[segment (geometrie) |segmente]]. Fiecare dintre aceste segmente poate avea ca lungime orice [[număr real]] pozitiv, iar fiecare [[latură (geometrie) |latură]] a unui paraleloedru este paralelă cu unul dintre aceste segmente generatoare și are aceeași lungime cu el. Dacă lungimea unui segment dintr-un paraleloedru generat din patru sau mai multe segmente este zero, rezultatul este că poliedrul [[degenerare (matematică)|degenerează]] la o formă mai simplă, un paraleloedru format dintr-un segment mai puțin.<ref name=dienst>{{en icon}} {{cite web|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304000157/http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~thilo/contents/fedorov.htm|url=http://www.matha.mathematik.uni-dortmund.de/~thilo/contents/fedorov.htm|url-status=dead|archive-date=2016-03-04|title=Fedorov's five parallelohedra in '''R'''<sup>3</sup>|first=Thilo|last=Dienst|publisher=University of Dortmund}}</ref> Ca zonoedre, aceste forme au automat [[simetrie față de centru]] ''C''<sub>i</sub> de [[ordin de simetrie|ordinul]] 2,<ref name=alexandrov/> dar sunt posibile simetrii suplimentare cu o alegere adecvată a segmentelor generatoare.<ref name=tutton>{{en icon}} {{cite book|title=Crystallography and Practical Crystal Measurement, Vol. I: Form and Structure|publisher=Macmillan|year=1922|first=A. E. H.|last=Tutton|page=567|url=https://archive.org/details/crystallographyp01tuttrich/page/566/mode/2up}}</ref>

Cele cinci tipuri de paraleloedre sunt:<ref name=alexandrov/>
* [[Paralelipiped]]ul, generat din trei segmente care nu sunt toate paralele cu un plan comun. Forma sa cea mai simetrică este [[cub]]ul, generat de trei segmente perpendiculare având aceeași lungime.
* [[Prismă hexagonală |Prisma hexagonală]], generată din patru segmente, trei dintre ele paralele cu un plan comun și al patrulea nu. Forma sa cea mai simetrică este prisma dreaptă cu baza un hexagon regulat.
* [[Dodecaedru rombic |Dodecaedrul rombic]], generat din patru segmente, dintre care două nu sunt paralele cu un plan comun. Forma sa cea mai simetrică este generată de cele patru diagonale lungi ale unui cub.
* [[Dodecaedru rombohexagonal |Dodecaedrul rombohexagonal]], generat din cinci segmente, dintre care unul este paralel cu un plan care conține două perechi disjuncte dintre celelalte patru segmente. Poate fi generat folosind ca generatoare o latură a cubului și cele patru diagonale lungi ale acestuia.
* [[Octaedru trunchiat |Octaedrul trunchiat]], generat din șase segmente, cu patru seturi de câte trei segmente coplanare. Poate fi încorporat în spațiul cvadridimensional ca 4-[[permutaedru]], ale cărui vârfuri sunt toate permutări ale etichetelor (1,2,3,4). În spațiul tridimensional forma sa cea mai simetrică este generată din șase segmente paralele cu diagonalele fețelor unui cub.

Orice zonoedru ale cărui fețe au aceeași structură combinatorică ca una dintre aceste cinci forme este un paraleloedru, indiferent de unghiurile sau lungimile laturilor sale. De exemplu, orice {{ill-wd| Q382497}} a unui paraleloedru va produce un alt paraleloedru de același tip.<ref name=alexandrov/>
{| class=wikitable width=600 style="text-align:center;"
|-
!Nume
![[Cub]]<br/>(paralelipiped)
![[Prismă hexagonală]]<br/>Cub alungit
![[Dodecaedru rombic]]
![[Dodecaedru rombohexagonal]]
![[Octaedru trunchiat]]
|-
!Imagini (culorile arată laturile paralele)
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_cube.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_hexagonal prism.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_rhombic dodecahedron.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edges_elongated_rhombic_dodecahedron.png|120px]]
|[[Fișier:Parallelohedron_edge_truncated_octahedron.png|140px]]
|-
!Numărul generatorilor
!3
!4
!4
!5
!6
|-
!Vârfuri
!8
!12
!14
!18
!24
|-
!Laturi
!12
!18
!24
!28
!36
|-
!Fețe
!6
!8
!12
!12
!14
|- valign=top
!Fagure
|[[Fișier:Partial cubic honeycomb.png|160px]]
|[[Fișier:Hexagonal prismatic honeycomb.png|160px]]
|[[Fișier:HC R1.png|120px]]
|[[Fișier:Rhombo-hexagonal dodecahedron tessellation.png|160px]]
|[[Fișier:HC-A4.png|160px]]
|-
!Denumire fagure, [[Diagramă Coxeter]]
![[Fagure cubic |Cubic]]<br/>{{CDD|node_1|4|node|3|node|4|node}}<br/>{{CDD|node_1|infin|node|2|node_1|infin|node|2|node_1|infin|node}}
![[Fagure prismatic hexagonal |Prismatic hexagonal]]<br/>{{CDD|node_1|6|node|3|node|2|node_1|infin|node}}
![[Fagure dodecaedric rombic |Dodecaedric rombic]]<br/>{{CDD|node_f1|3|node|split1-43|nodes}}
![[Fagure dodecaedric rombohexagonal |Dodecaedric rombohexagonal]]
![[Fagure cubic bitrunchiat |Cubic bitrunchiat]]<br/>{{CDD|node|4|node_1|3|node_1|4|node}}
|}

== Simetrii ==
Atunci când sunt subdivizate în funcție de grupurile lor de simetrie, există 22 de forme ale paraleloedrelor. Pentru fiecare formă, centrele copiilor ei din fagure formează punctele uneia dintre cele 14 [[rețea Bravais |rețele Bravais]]. Deoarece există mai puține rețele Bravais decât forme simetrice de paraleloedre, unele perechi de paraleloedre au aceeași rețea Bravais.<ref name=tutton/>

Prin plasarea unui capăt al fiecărui segment generator al unui paraleloedru în originea spațiului tridimensional, generatorii pot fi reprezentați ca [[vector (fizică și matematică) |vectori]] tridimensionali, definiți de pozițiile capetelor lor. Pentru această plasare a segmentelor, un vârf al paraleloedrului va fi el însuși în origine, iar restul va fi în poziții date de sumele anumitor submulțimi ale acestor vectori. Un paraleloedru cu vectori {{math|g}} poate fi astfel parametrizat prin coordonate {{math|3g}}, câte trei pentru fiecare vector, dar numai unele dintre aceste combinații sunt valide (din cauza cerinței ca anumite triplete de segmente să se afle în plane paralele, sau că anumite triplete de vectori sunt coplanare) și diferite combinații pot duce la paraleloedre care diferă doar printr-o rotație, [[scalare (geometrie) |scalare]] sau, mai general, printr-o transformare afină. Când se consideră transformările afine, numărul de parametri liberi care descriu forma unui paraleloedru este 0 pentru un paralelipiped (toate paralelipipedele sunt echivalente între ele în cadrul transformărilor afine), 2 pentru o prismă hexagonală, 3 pentru un dodecaedru rombic, 4 pentru un dodecaedru rombohexagonal și 5 pentru un octaedru trunchiat.<ref>{{en icon}} {{cite conference|last1=Dolbilin|first1=Nikolai P.|last2=Itoh|first2=Jin-ichi|last3=Nara|first3=Chie|editor1-last=Akiyama|editor1-first=Jin|editor2-last=Kano|editor2-first=Mikio|editor3-last=Sakai|editor3-first=Toshinori|contribution=Affine classes of 3-dimensional parallelohedra – their parametrization|doi=10.1007/978-3-642-45281-9_6|pages=64–72|publisher=Springer|series=Lecture Notes in Computer Science|title=Computational Geometry and Graphs - Thailand-Japan Joint Conference, TJJCCGG 2012, Bangkok, Thailand, December 6-8, 2012, Revised Selected Papers|volume=8296|year=2012}}</ref>

== Istoric ==
Clasificarea paraleloedrelor în cinci tipuri a fost făcută pentru prima dată de cristalograful rus [[Evgraf Fedorov]], în capitolul 13 al unei cărți în limba rusă publicată pentru prima dată în 1885.<ref>{{ru icon}} {{cite book|title= Начала учения о фигурах|trans-title=Introducere în Teoria Figurilor |first=Evgraf|last=Fedorov|year=1885}}</ref> O parte din matematica din această carte este defectuoasă; de exemplu, cuprinde o demonstrație incorectă a unei leme care afirmă că fiecare [[pavare]] monoedrică a planului este în cele din urmă periodică, problemă încă nerezolvată, cunoscută drept {{ill-wd| Q18204561}}<!-- nu are legătură cu Albert Einstein -->.<ref>{{en icon}} {{fr icon}} {{cite journal|last1=Senechal|first1=Marjorie|last2=Galiulin|first2=R. V.|hdl=2099/1195|issue=10|journal=Structural Topology|mr=768703|pages=5–22|title=An introduction to the theory of figures: the geometry of E. S. Fedorov|year=1984}}</ref> În cazul paraleloedrelor, Fedorov a presupus fără demonstrație că orice paraleloedru are simetrie față de centru și a folosit această presupunere pentru a-și demonstra clasificarea. Clasificarea paraleloedrelor a fost ulterior plasată pe o bază mai fermă de către [[Hermann Minkowski]], care a folosit {{ill-wd| Q104853627||teorema de unicitate pentru poliedre cu fețe ale căror [[normală |normale]] și arii sunt date}} pentru a demonstra că paraleloedrele au simetrie față de centru.<ref name=alexandrov/>

== Forme înrudite ==
În bidimensional, figura analogă cu un paraleloedru este un [[paralelogon]], un poligon care poate pava planul prin translație. Acestea sunt [[paralelogram]]e și [[hexagon |hexagoane]] cu laturile opuse paralele și de lungime egală.<ref>{{en icon}} {{cite journal|last1=Grünbaum|first1=Branko|author1-link=Branko Grünbaum|last2=Shephard|first2=Geoffrey Colin|doi=10.1090/S0273-0979-1980-14827-2|issue=3|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|mr=585178|pages=951–973|series=New Series|title=Tilings with congruent tiles|volume=3|year=1980|doi-access=free}}</ref>

În dimensiuni superioare, un paraleloedru este numit '''[[paralelotop]]'''. Există 52 de paralelotopuri [[cvadridimensional]]e diferite, enumerate mai întâi de [[Boris Delaunay]] (cu un paralelotop lipsă, descoperit ulterior de Mihail Ștogrin),<ref>{{en icon}} {{cite journal|last=Engel|first=P.|editor1-last=Hargittai|editor1-first=I.|editor2-last=Vainshtein|editor2-first=B.K.|department=Crystal Symmetries: Shubnikov Centennial Papers|doi=10.1016/0898-1221(88)90232-5|issue=5-8|journal=Computers & Mathematics with Applications|mr=991578|pages=425–436|title=Mathematical problems in modern crystallography|volume=16|year=1988|doi-access=free}} See in particular [https://books.google.com/books?id=UdnSBQAAQBAJ&lpg=PA435 p. 435].</ref> și 103769 tipuri în spațiul cu cinci dimensiuni.<ref>{{OEIS|A071880}}</ref><ref>{{en icon}} {{cite journal|last=Engel|first=Peter|doi=10.1107/S0108767300007145|issue=5|journal=Acta Crystallographica|mr=1784709|pages=491–496|title=The contraction types of parallelohedra in <math>E^5</math>|volume=56|year=2000}}</ref> Spre deosebire de cazul tridimensional, nu toate sunt zonotopuri. 17 dintre paralelotopurile cvadridimensionale sunt zonotopuri, unul este [[24-celule]] regulat, iar restul de 34 dintre aceste forme sunt sume Minkowski de zonotopuri cu 24 celule.<ref>{{en icon}} {{cite journal|last1=Deza|first1=Michel|last2=Grishukhin|first2=Viacheslav P.|arxiv=math/0307171|doi=10.11650/twjm/1500404985|issue=4|journal=Taiwanese Journal of Mathematics|mr=2426535|pages=901–916|title=More about the 52 four-dimensional parallelotopes|volume=12|year=2008}}</ref> Un paralelotop {{mvar|d}}-dimensional poate avea cel mult {{math|2<sup>''d''−2</sup>}} [[fațetă (geometrie) |fațete]], acest maxim fiind atins de [[permutoedru]].<ref name=dienst/>

== Note ==
<references responsive />

== Legături externe ==
{{Portal|Matematică}}
* {{en icon}} {{mathworld | title = Primary parallelohedron | urlname = PrimaryParallelohedron}}

[[Categorie:Poliedre]]
[[Categorie:Teselări]]
[[Categorie:Poliedre care umplu spațiul]]